梅涅勞斯定理

板塊一梅涅勞斯定理及其逆定理

梅涅勞斯定理：如果一條直線與ABC△的三邊AB、BC、CA或其延長(zhǎng)線交于F、D、E點(diǎn),

那么

1

AFBDCE

FBDCEA

???

．這條直線叫ABC△的梅氏線,ABC△叫梅氏三角形．

G

F

E

DCB

A

G

F

E

DCB

A

H

3

H

2

H

1

F

E

DCB

A

證法一：如左圖,過(guò)C作CG∥DF

∵

DBFB

DCFG

?

,

ECFG

AEAF

?

∴

1

AFBDCEAFFBFG

FBDCEAFBFGAF

??????

．

證法二：如中圖,過(guò)A作AGBD∥交DF的延長(zhǎng)線于G

∴

AFAG

FBBD

?

,

BDBD

DCDC

?

,

CEDC

EAAG

?

三式相乘即得：

1

AFBDCEAGBDDC

FBDCEABDDCAG

??????

．

證法三：如右圖,分別過(guò)

ABC、、

作DE的垂線,分別交于

123

HHH、、

．

則有

123

AHBHCH∥∥,

所以3

12

231

1

CH

AHBH

AFBDCE

FBDCEABHCHAH

??????

．

梅涅勞斯定理的逆定理：若F、D、E分別是ABC△的三邊AB、BC、CA或其延長(zhǎng)線的三點(diǎn),

如果

1

AFBDCE

FBDCEA

???

,則F、D、E三點(diǎn)共線．

知識(shí)導(dǎo)航

梅涅勞斯定理與塞瓦定理

【例1】如圖,在

ABC△

中,AD為中線,過(guò)點(diǎn)

C

任作一直線交AB于點(diǎn)F,交AD于點(diǎn)E,求證：

:2:AEEDAFFB?

．

E

CDB

F

A

【解析】∵直線

FEC

是ABD△的梅氏線,

∴

1

AEDCBF

EDBCFA

???

．而

1

2

DC

BC

?

,∴

1

1

2

AEBF

EDFA

???

,即

2AEAF

EDBF

?

．

習(xí)題1.在△

ABC

中,D是

BC

的中點(diǎn),經(jīng)過(guò)點(diǎn)D的直線交AB于點(diǎn)E,交

CA

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

F．求證：

FAEA

FCEB

?

．

E

F

B

D

C

A

【解析】直線截

ABC△

三邊于D、E、F三點(diǎn),應(yīng)用梅氏定理,知

1

CDBEAF

DBEAFC

???

,又因?yàn)?/p>

BDBC?

,所以

1

BEAF

EAFC

??

,即

FAEA

FCEB

?

．

習(xí)題2.如圖,在△

ABC

中,90ACB???

,

ACBC?

．AM為

BC

邊上的中線,

CDAM?

于點(diǎn)D,

CD

的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)E．求

AE

EB

．

夯實(shí)基礎(chǔ)

D

E

B

M

C

A

【解析】由題設(shè),在

RtAMC△

中,

CDAM?

,

2ACCM?

,

由射影定理

2

2

4

ADADAMAC

DMDMAMCM

?

???

?

．

對(duì)ABM△和截線

EDC

,由梅涅勞斯定理,

1

AEBCMD

EBCMDA

???

,即

21

1

14

AE

EB

???

．

所以

2

AE

EB

?

．

【例2】如圖,在

ABC△

中,D為

AC

中點(diǎn),

BEEFFC??

,求證：

::5:3:2BMMNND?

．

N

M

D

CFEB

A

【解析】∵直線AE是

BCD△

的梅氏線,

∴

1

BMDACE

MDACEB

???

．

∴

12

1

21

BM

MD

???

,∴

1

1

BM

MD

?

∵直線AF是

BCD△

的梅氏線,

∴

1

BNDACF

NDACFB

???

,

∴

11

1

22

BN

ND

???

,

4

1

BN

ND

?

．

∴

::5:3:2BMMNND?

．

習(xí)題3.如圖,在

ABC△

中,D為

BC

的中點(diǎn),

::4:3:1AEEFFD?

．求

::AGGHAB

．

探索提升

C

E

F

DB

H

G

A

【解析】∵

HFC

是ABD△的梅氏線,

∴

1

AHBCDF

HBDCFA

???

．

∵D為

BC

的中點(diǎn),

::4:3:1AEEFFD?

,

∴

2

1

BC

DC

?

,

1

7

DF

FA

?

．

∴

21

1

17

AH

HB

???

,∴

7

2

AH

HB

?

．

∵

GEC

是ABD△的梅氏線,

∴

1

AGBCDE

GBDCEA

???

,

∴

21

1

11

AG

GB

???

,∴

1

2

AG

GB

?

．

∴

::3:4:2AGGHHB?

．

∴

::3:4:9AGGHAB?

．

【例

3

】過(guò)

ABC△

的重心

G

的直線分別交AB、

AC

于點(diǎn)E、F,交

CB

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．

求證：

1

BECF

EAFA

??

．

D

G

F

E

CB

A

MD

G

F

E

CB

A

【解析】作直線

AG

交

BC

于M,

∵

:1:2MGGA?

,

BMMC?

．

∴

AEBDMG

EBDMGA

??

1

1

2

AEBD

EBDM

????

．

∴

2

EBBD

AEDM

?

．

同理,

2

CFDC

FADM

?

,

而

2BDDCBDBDBM????

2()2BDBMDM???

∴

2

1

222

BECFBDDCDM

EAFADMDMDM

?????

．

【例4】如圖,點(diǎn)D、E分別在

ABC△

的邊

AC

、AB上,AEEB?,

2

3

AD

DC

?

,BD與

CE

交于點(diǎn)

F,

40

ABC

S?

△

．求

AEFD

S

．

F

D

E

C

B

A

【解析】對(duì)

ECA△

和截線BFD,由梅氏定理得：

1

EFCDAB

FCDABE

???

,即

32

1

21

EF

FC

???

,

所以

1

3

EF

FC

?

．所以

11

48BFEBECABC

SSS??

△△△

,

進(jìn)而

2111

4011

5840AEFDABDBEFABC

SSSS

??

???????

??

??△△△

．

習(xí)題4.如圖,在

ABC△

中,三個(gè)三角形面積分別為5,8,10．四邊形AEFD的面積為

x

,求

x

的

值．

x

10

8

5

F

D

E

C

B

A

【解析】對(duì)

ECA△

和截線BFD,由梅氏定理得：

1

CDABEF

DABEFC

???

,即

18231

1

5152

x

x

?

???

?

,解得

22x?

．

【備選】如圖,

ABC△

被通過(guò)它的三個(gè)頂點(diǎn)與一個(gè)內(nèi)點(diǎn)

O

的三條直線分為6個(gè)小三角形,

其中三個(gè)小三角形的面積如圖所示,求

ABC△

的面積．

35

40

30

O

F

E

C

D

B

A

【解析】對(duì)ABD△和截線

COF

,由梅氏定理得：

1

AFBCDO

FBCDOA

???

,即

41

1

32

BC

CD

???

,所以

3

2

BC

CD

?

,所以

3

BC

BD

?

．所以

33105315

ABCABD

SS????

△△

．

【例5】如圖,在

ABC△

中,A?的外角平分線與邊

BC

的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P,B?的平分線與邊

CA

交于點(diǎn)

Q

,

C?

的平分線與邊AB交于點(diǎn)R,求證：P、

Q

、R三點(diǎn)共線．

PCB

Q

R

A

【解析】AP是

BAC?

的外角平分線,則

BPAB

PCCA

?

①

BQ

是

ABC?

的平分線,則

CQBC

QAAB

?

②

CR

是

ACB?

的平分線,則

ARCA

RBBC

?

③

??①②③

得

1

BPCQARABBCCA

PCQARBCAABBC

??????

因R在AB上,

Q

在

CA

上,P在

BC

的延長(zhǎng)線上,

則根據(jù)梅涅勞斯定理的逆定理得：P、

Q

、R三點(diǎn)共線．

習(xí)題5.證明：不等邊三角形的三個(gè)角的外角平分線與對(duì)邊的交點(diǎn)是共線的三個(gè)點(diǎn)．

FED

C

B

A

非常挑戰(zhàn)

P

FED

C

B

A

【解析】如圖,

CDBEAF、、

分別為三角形

ABC

的三個(gè)外角平分線,分別交

ABACBC、、

于

DEF、、

．

過(guò)

C

作BE的平行線,則

BCPCBEEBDCPB???????

,

所以

BPC△

是等腰三角形．則

PBCB?

．

則有：

CEPBCB

EABABA

??

．

同理

ADAC

DBCB

?

；

BFBA

FCAC

?

．

所以

1

CEADBFCBACBA

EADBFCBACBAC

??????

．

所以

DEF、、

共線．

板塊二塞瓦定理及其逆定理

塞瓦定理：如果ABC△的三個(gè)頂點(diǎn)與一點(diǎn)P的連線AP、BP、CP交對(duì)邊或其延長(zhǎng)線于點(diǎn)D、E、

F,如圖,那么

1

BDCEAF

DCEAFB

???

．通常稱點(diǎn)P為ABC△的塞瓦點(diǎn)．

P

FE

DCB

A

證明：∵直線FPC、EPB分別是ABD△、ACD△的梅氏線,

∴

1

BCDPAF

CDPAFB

???

,

1

DBCEAP

BCEAPD

???

．

兩式相乘即可得：

1

BDCEAF

DCEAFB

???

．

塞瓦定理的逆定理：如果點(diǎn)D、E、F分別在ABC△的邊BC、CA、AB上或其延長(zhǎng)線上,并

知識(shí)導(dǎo)航

且

1

BDCEAF

DCEAFB

???

,那么AD

、

BE

、

CF相交于一點(diǎn)（或平行）．

F

P

F'E

DCB

A

F

E

DCB

A

證明：⑴若AD與BE相交于一點(diǎn)P時(shí),如圖,作直線

CP

交AB于'F．

由塞瓦定理得：

'

1

BDCEAF

DCEAFB

???

?

,

又已知

1

BDCEAF

DCEAFB

???

,∴

AFAF

FBFB

?

?

?

,

∴

ABAB

FBFB

?

?

,∴FBFB

?

?．

∴'F與F重合

∴'CF與CF重合

∴AD、BE、CF相交于一點(diǎn)．

⑵若AD與BE所在直線不相交,則AD∥BE,如圖．

∴

BDEA

DCAC

?

,又已知

1

BDCEAF

DCEAFB

???

,

∴

1

EACEAF

ACEAFB

???

,即

CEFB

ACAF

?

．

∴//BEFC,∴ADBEFC∥∥．

說(shuō)明：三線平行的情況在實(shí)際題目中很少見(jiàn)．

【例6】（1）設(shè)

AXBYCZ，，

是ABC△的三條中線,求證：

AXBYCZ，，

三線共點(diǎn)．

Z

Y

X

C

B

A

（2）若

AXBYCZ，，

為ABC△的三條內(nèi)角平分線．求證：

AXBYCZ，，

三線共點(diǎn)．

探索提升

Z

Y

X

C

B

A

【解析】（1）由條件知,

BXXCYCYAZAZB???，，

．∴

1

BXCYAZ

XCYAZB

???

,

根據(jù)塞瓦定理的逆定理可得三條中線

AXBYCZ，，

共點(diǎn)．

這個(gè)點(diǎn)稱為這個(gè)三角形的重心．

（2）由三角形內(nèi)角平分線定理得：

BXABCYBCAZAC

XCACYABAZBBC

???，，

．

三式分別相乘,得：

1

BXCYAZABBCAC

XCYAZBACABBC

??????

．

根據(jù)塞瓦定理的逆定理可得三角形三內(nèi)角平分線

AXBYCZ，，

共點(diǎn),

這個(gè)點(diǎn)稱為這個(gè)三角形的內(nèi)心．

習(xí)題6.若

AXBYCZ，，

分別為銳角ABC△的三條高線,求證：

AXBYCZ，，

三線共點(diǎn)．

Z

Y

XC

B

A

【解析】由ABXCBZ△∽△得：

BXAB

BZBC

?

；由BYACZA△∽△得：

AZAC

AYAB

?

；

由AXCBYC△∽△可得：

YCBC

CXAC

?

．所以

1

BXAZYCABACBC

BZAYCXBCABAC

??????

．

根據(jù)塞瓦定理的逆定理可得三條高線

AXBYCZ，，

共點(diǎn)．

對(duì)直角三角形、鈍角三角形,同樣也可以證得三條高線共點(diǎn)．我們把一個(gè)三角形三條高

線所在直線的交點(diǎn)叫做這個(gè)三角形的垂心．

【例7】如圖,M為ABC△內(nèi)的一點(diǎn),BM與AC交于點(diǎn)E,CM與AB交于點(diǎn)F,若AM通過(guò)

BC的中點(diǎn)D,求證：EFBC∥．

F

D

E

M

CB

A

【解析】對(duì)ABC△和點(diǎn)M應(yīng)用塞瓦定理可得：

1

AFBDCE

FBDCEA

???

．又因?yàn)锽DDC?,所以

1

AFCE

FBEA

??

．進(jìn)而

AFAE

FBEC

?

,所以EFBC∥．

習(xí)題

7.

如果梯形

ABCD

的兩腰

AD

、

BC

的延長(zhǎng)線交于

M

,兩條對(duì)角線交于

N

．求證：直線

MN

必平分梯形的兩底．

BQA

N

C

P

D

M

【解析】∵ABCD∥

∴

MDCM

DABC

?

∴

1

MDBC

DACM

??

∵

1

MDAQBC

DAQBCM

???

（由塞瓦定理得）

∴

1

AQ

QB

?

,∴

AQQB?

∵

DPPC

AQQB

?

,∴DPPC?．

板塊三梅涅勞斯定理、塞瓦定理綜合

【備選】如圖,E、F分別為ABC△的AC、AB邊上的點(diǎn),且3AEEC?,3BFFA?,

BE、CF交于點(diǎn)P,AP的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)D．求:APPD的值．

A

B

C

D

E

F

P

非常挑戰(zhàn)

【解析】∵P為

ABC△

的塞瓦點(diǎn)．

∴

11

1

33

AFBDCEBD

FBDCEADC

??????

∴

9

1

BD

DC

?

,∴

9

10

BD

BC

?

．

∵EPB為ACD△的梅氏線,

∴

91

1

103

APDBCEAP

PDBCEAPD

??????

∴

10

3

AP

PD

?

【備選】如圖,四邊形

ABCD

的對(duì)邊AB和

DC

,DA和

CB

分別相交于點(diǎn)

LK，

,對(duì)角線

AC

與BD

交于點(diǎn)M．直線KL與BD、

AC

分別交于點(diǎn)

FG、

．

求證：

KFKG

LFLG

?

．

F

G

LK

M

D

C

B

A

【解析】對(duì)DKL△與點(diǎn)B應(yīng)用塞瓦定理得：

1

DAKFLC

AKFLCD

???

．

對(duì)DKL△和截線ACG應(yīng)用梅涅勞斯定理可得：

1

DAKGLC

AKGLCD

???

．

進(jìn)而可得

KFKG

LFLG

?

．