費(fèi)馬大定理證明

希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！

授課：XXX

費(fèi)馬大定理（Fermat'slasttheorem）

現(xiàn)代表述為：當(dāng)n＞2時(shí)，方程

xn＋yn＝zn

沒有正整數(shù)解。

費(fèi)馬大定理的提出涉及到兩位相隔1400年的數(shù)學(xué)家，一位是古希臘的丟番圖，一位是法國的費(fèi)馬。

丟番圖活動于公元250年左右，他以著作《算術(shù)》聞名于世，不定方程研究是他的主要成就之一。他求解

了他這樣表述的不定方程（《算術(shù)》第2卷第8題）：

將一個已知的平方數(shù)分為兩個平方數(shù)。（1）

現(xiàn)在人們常把這一表述視為求出不定方程

x2＋y2＝z2（2）

的正整數(shù)解。因而，現(xiàn)在一般地，對于整系數(shù)的不定方程，如果只要求整數(shù)解，就把這類方程稱為丟番圖

方程。有時(shí)把不定方程稱為丟番圖方程。

關(guān)于二次不定方程（1）的求解問題解決后，一個自然的想法是問未知數(shù)指數(shù)增大時(shí)會怎么樣。費(fèi)馬提出了

這一數(shù)學(xué)問題。

費(fèi)馬生前很少發(fā)表作品，一些數(shù)學(xué)成果常寫在他給朋友的信中，有的見解就寫在所讀的書頁的空白處。他

去世后，才由后人收集整理出版。

1637年前后，費(fèi)馬在讀巴歇校訂注釋的丟番圖的《算術(shù)》第2卷第8題，即前引表述（1）時(shí)，在書的空

白處寫道：“另一方面，將一個立方數(shù)分成兩個立方數(shù)，一個四次冪分為兩個四次冪，或者一般地將一個高

于二次的冪分為兩個同次的冪，這是不可能的。關(guān)于此，我已發(fā)現(xiàn)一種美妙的證法，可惜這里空白的地方

太小，寫不下。”（3）

費(fèi)馬去世后，人們在整理他的遺物時(shí)發(fā)現(xiàn)了這一段話，卻沒有找到證明，這更引起了數(shù)學(xué)界的興趣。

后來，表述（3）被理解為：當(dāng)整數(shù)n＞2時(shí)，方程

xn＋yn＝zn（4）

沒有正整數(shù)解。

歐拉、勒讓德、高斯等大數(shù)學(xué)家都試證過這一命題，但都沒有證明出來，問題表述的簡單和證明的困難，

吸引了更多的人投入證明工作。

這一命題就被稱為費(fèi)馬猜想，又叫做費(fèi)馬問題，但更多地被叫做“費(fèi)馬最后定理”，在我國，則一般稱之為

希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！

授課：XXX

費(fèi)馬大定理。

“費(fèi)馬最后定理”的來歷可能是：費(fèi)馬一生提出過許多數(shù)論命題，后來經(jīng)過數(shù)學(xué)界的不懈努力，到1840年前

后，除了一個被反駁以外，大多數(shù)都被證明，只剩下這個費(fèi)馬猜想沒有被證明，因此稱之為“最后定理”。

稱之為費(fèi)馬大定理是為了和“費(fèi)馬小定理”相區(qū)別，后者也是數(shù)論中的一個著名定理：設(shè)p為素?cái)?shù)，而a與p

互素，則ap-a必為p的倍數(shù)。

從費(fèi)馬的時(shí)代起，人們就不斷進(jìn)行費(fèi)馬大定理的試證工作。巴黎科學(xué)院曾先后兩次提供獎?wù)潞酮劷穑剟?/p>

證明費(fèi)馬大定理的人，布魯塞爾科學(xué)院也懸賞重金，但都無結(jié)果。1908年，德國數(shù)學(xué)家佛爾夫斯克爾

（F．Wolfskehl）將10萬馬克贈給格丁根皇家科學(xué)會，用以獎勵證明費(fèi)馬大定理的人，懸賞期100年。

人們先對費(fèi)馬大定理作了一些探討，得出只要證明n＝4時(shí)以及n是任一奇素?cái)?shù)p時(shí)定理成立，定理就得證。

這為后來的證明指出了方向。

最初的證明是一個數(shù)一個數(shù)地進(jìn)行的。

n＝3的情形在公元972年已為阿拉伯人胡堅(jiān)迪（al-Khujandi）所知，但他的證明有缺陷。1770年歐拉給出

一個證明，但也不完善。后來，高斯給出完善的證明。

n＝4的情形，費(fèi)馬本人已接近得出證明（見無窮遞降法），后來歐拉等人給出了新證。

n＝5的情形，1823年和1826年勒讓德和狄利克雷各自獨(dú)立地給出證明。1832年后者還證明了n＝14的情

形。

n＝7的情形，1839年為拉梅（Lame）所證明。

后來，人們?yōu)檠芯康姆奖悖瑢M(fèi)馬大定理作了進(jìn)一步的分析。對于素?cái)?shù)p，當(dāng)p不能整除xyz之積時(shí)，不

定方程

xp＋yp＝zp（5）

無正整數(shù)解（p＞2），稱之為費(fèi)馬大定理的第一種情形，這種情形似乎容易證一些。

法國數(shù)學(xué)家熱爾曼證明：如果p是一個奇素?cái)?shù)，使得2p＋1也是素?cái)?shù)，那么對于p，費(fèi)馬大定理的第一種

情形成立；勒讓德推廣了熱爾曼的結(jié)果，證明：如果p是素?cái)?shù)，使4p＋1，8p＋1，l0p＋1，14p＋1，16p

＋1之一也是素?cái)?shù)，則對于p，費(fèi)馬大定理的第一種情形成立。這實(shí)際上已經(jīng)證明了對于所有素?cái)?shù)p＜l00，

費(fèi)馬大定理的第一種情形成立。

德國數(shù)學(xué)家?guī)炷瑺杽t從另一個角度分析了費(fèi)馬大定理，他引入理想數(shù)和分圓數(shù)，開創(chuàng)理想數(shù)論，他把素?cái)?shù)

分為正則素?cái)?shù)和非正則素?cái)?shù)兩部分。他證明，對于正則素?cái)?shù)，費(fèi)馬大定理成立。以100之內(nèi)的奇素?cái)?shù)為例，

共有24個，除37，59，67外都是正則素?cái)?shù)。1844年，庫默爾證明了對于它們費(fèi)馬大定理成立。那么素?cái)?shù)

中到底有多少正則素?cái)?shù)呢？這一問題卻長期未得到解決。1915年，卡利茨證明非正則素?cái)?shù)有無窮多，對于

非正則素?cái)?shù)怎么處理呢？還得回到一個一個證明的老路上來。

希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！

授課：XXX

1857年庫默爾證明對于p＝59，67，費(fèi)馬大定理成立；1892年米里曼諾夫（D．Mirimanoff）證明對p＝37

費(fèi)馬大定理成立。電子計(jì)算機(jī)出現(xiàn)并廣泛應(yīng)用之后，對非正則素?cái)?shù)情形的證明取得了新的進(jìn)展：1978年證

明，對125000以內(nèi)的非正則素?cái)?shù)，費(fèi)馬大定理成立；1987年這一上限推進(jìn)到150000;1992年更推進(jìn)到1000000。

由于庫默爾第一次“成批地”證明了定理的成立。人們視之為費(fèi)馬大定理證明的一次重大突破。1857年，他

獲得巴黎科學(xué)院的金質(zhì)獎?wù)隆?/p>

對于第一種情形，進(jìn)展更快一些。如1948年，日本的森島太郎等證明對于P＜57×109，第一種情形成立。

1983年，人們證明了對于當(dāng)時(shí)已知的最大的素?cái)?shù)p＝286243－1，第一種情形成立。1985年，英國的希斯

－布朗（R．Heath-Brown）證明：存在無窮個素?cái)?shù)p，使第一種情形成立。

前人直接證明費(fèi)馬大定理的努力取得了許多成果，并促進(jìn)了一些數(shù)學(xué)分支的發(fā)展，但離定理的證明，無疑

還有遙遠(yuǎn)的距離。怎么辦呢？按數(shù)學(xué)家解決問題的傳統(tǒng)，就是要作變換—把問題轉(zhuǎn)化為已知的或易于解決

的領(lǐng)域的“新”問題。

一個轉(zhuǎn)化方向是把問題具體化，就是建立一個可由要證的命題推導(dǎo)出來的新命題（從邏輯的角度看，是要

證命題的必要條件）。一般地，更具體的命題比原命題容易證明，如果證明了這個新命題，則把對原命題的

證明推進(jìn)了一大步。如果反駁了這個新命題，那就直接反駁了原命題：必要條件不成立的命題不成立。

具體化的方式取得了一批重要的成果。1909年，威費(fèi)里希（A．Wieferich）證明，如果對指數(shù)p，費(fèi)馬大

定理的第一種情形不成立，則p2可以整除2p-1－1。經(jīng)過尋找，在3×109以下只有p＝1093和p＝3511滿

足這一條件，但這兩個素?cái)?shù)均已直接驗(yàn)證滿足費(fèi)馬大定理。這實(shí)際上就證明了，對30億以內(nèi)的所有素?cái)?shù)，

第一種情形都成立。20世紀(jì)80年代人們更證明了費(fèi)馬大定理若有反例，即存在正整數(shù)x，y，z，當(dāng)n＞2

時(shí)，使

xn＋yn＝zn

成立，則n＞101800000。

另一個轉(zhuǎn)化方向是使問題抽象化，就是建立一個可由之推導(dǎo)出要證明的命題的“新”命題（從邏輯的角度看，

是要證命題的充分條件）。一般地說，更抽象的命題更難證明，但是一旦證明了，就能立即推出要證的命題，

并且還能得出許多別的結(jié)果來。

抽象化的一個結(jié)果就是求解丟番圖方程，方程（5）不過是丟番圖方程的一個特例。經(jīng)過一種代數(shù)幾何學(xué)的

轉(zhuǎn)化，人們把丟番圖方程的解與代數(shù)曲線上的有理點(diǎn)（坐標(biāo)都是有理數(shù)的點(diǎn)）聯(lián)系起來了。

對于平面中的一條曲線，人們首先注意到的一個數(shù)值不變量是它的次數(shù)，即定義這條曲線的方程的次數(shù)。

次數(shù)為一次、二次的曲線都是有理曲線（在代數(shù)幾何中，它們與直線同構(gòu)），它們主要是解析幾何的研究對

象。代數(shù)幾何是從19世紀(jì)上半葉關(guān)于三次或更高次的平面曲線的研究開始的。

定義代數(shù)曲線的方程一般可表示為

F（u，v）＝0，（6）

希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！

授課：XXX

左邊為u，v的一個多項(xiàng)式。丟番圖方程就是一種代數(shù)曲線的方程。人們發(fā)現(xiàn)，曲線上的有理點(diǎn)就是使等式

成立的點(diǎn)，即定義曲線的方程的解。

對方程

xn＋yn＝zn

來說，兩邊除以zn，得

。

令u=,v=，則有

un＋vn＝1（7）

（7）被稱為費(fèi)馬方程，由它定義的曲線被稱為費(fèi)馬曲線。于是，費(fèi)馬大定理轉(zhuǎn)化為“在平面中，費(fèi)馬曲線

在n＞2時(shí)沒有坐標(biāo)都是非零有理數(shù)的點(diǎn)”。

黎曼在1857年引入了代數(shù)函數(shù)，使代數(shù)幾何有了較大的發(fā)展。他把代數(shù)函數(shù)定義在一些互相適當(dāng)聯(lián)結(jié)的覆

疊的復(fù)平面上，它們后來被稱為黎曼曲面，代數(shù)函數(shù)在其黎曼曲面上得以單值化。若把代數(shù)曲線視為由方

程（6）確定的一個代數(shù)函數(shù)的圖象，則每個代數(shù)曲線都有一個自己的（一一對應(yīng)的）黎曼曲面。這種黎曼

曲面有一大特點(diǎn)：它們恒可以經(jīng)連續(xù)變換成為球面或帶有n個洞（貫通的洞）的球面。洞的個數(shù)被稱為黎

曼曲面的從而也是與它對應(yīng)的代數(shù)曲線的虧格—這是一個重要的代數(shù)幾何不變量，它決定了黎曼曲面從而

代數(shù)曲線的許多性質(zhì)，虧格可以作為劃分代數(shù)曲線的一個標(biāo)準(zhǔn)，例如按虧格g的不同，有：

g＝0：直線、圓、圓錐曲線；

g＝1：橢圓曲線；

g≥2：其他曲線，如費(fèi)馬曲線等。

1922年，英國數(shù)學(xué)家莫德爾提出一個猜想——虧格g≥2的代數(shù)曲線上的有理點(diǎn)只有有限多個。按前述轉(zhuǎn)化

分析，由它立即可得出丟番圖方程（由方程定義的代數(shù)曲線虧格g≥2的）的解只有有限多個；進(jìn)而可推出，

n＞2時(shí)，方程（5）的正整數(shù)解（原始解）至多只有有限多個。

1983年，德國數(shù)學(xué)家法爾廷斯利用法國數(shù)學(xué)家格羅唐迪克所建立的概形理論證明了莫德爾猜想，從而證明

了前述關(guān)于費(fèi)馬大定理的結(jié)論。人們認(rèn)為這是費(fèi)馬大定理證明中的又一次重大突破，對許多數(shù)學(xué)分支都產(chǎn)

生了重要的影響。為此，法爾廷斯獲得1986年度菲爾茲獎。1985年，希斯－布朗利用法爾廷斯的結(jié)果，

證明了對于幾乎所有的素?cái)?shù)p，費(fèi)馬大定理成立，即如果對某些素?cái)?shù)p，定理不成立，那么這樣的p的數(shù)目

在整個素?cái)?shù)中是微不足道的。

種種轉(zhuǎn)化的方法既推進(jìn)了所轉(zhuǎn)化的領(lǐng)域的發(fā)展，也使費(fèi)馬大定理的證明取得進(jìn)展。可以說，以上結(jié)論已十

分接近費(fèi)馬大定理了，但它們畢竟不是原定理的證明，離原定理的證明尚有并非容易跨越的“一小步”。

希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！

授課：XXX

1993

希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！

授課：XXX

年6月23日，星期三。英國劍橋大學(xué)新落成的牛頓數(shù)學(xué)研究所的大廳里正在進(jìn)行例行的學(xué)術(shù)報(bào)告會。報(bào)告

從上午8時(shí)整開始，報(bào)告人懷爾斯用了兩個半小時(shí)就他關(guān)于“模形式、橢圓曲線和伽羅瓦表示”的研究結(jié)果

作了一個冗長的發(fā)言。10時(shí)30分，在他的報(bào)告結(jié)束時(shí)，他平靜地宣布：“因此，我證明了費(fèi)馬大定理。”

很快，這一消息轟動了全世界，許多一流的大眾傳播媒介迅速地報(bào)道了這一消息，并一致稱之為“世紀(jì)性的

科學(xué)成就”。

那么，懷爾斯是怎樣完成費(fèi)馬大定理的最后一步證明的呢？他繼續(xù)使用轉(zhuǎn)化的方法，采用的則是橢圓函數(shù)

參數(shù)化。

20世紀(jì)50年代，一些數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)橢圓函數(shù)與模函數(shù)有聯(lián)系。模函數(shù)也是一種人們早有研究的復(fù)變數(shù)函數(shù)，

它是定義在單位圓（或上半平面）內(nèi)部且以其周界為自然邊界的一種特殊解析函數(shù)。人們發(fā)現(xiàn)，構(gòu)成模函

數(shù)的種種反演變換生成一個變換群G，模函數(shù)是關(guān)于群G的自守函數(shù)。這是它與橢圓函數(shù)的聯(lián)系之一。一

些數(shù)學(xué)家猜測，橢圓曲線可由特殊的模函數(shù)單值化，這種曲線被稱為模曲線。1967年韋伊發(fā)表了這一猜想，

稱為谷山－志村－韋伊猜想：所有橢圓曲線都是模曲線。

1971年，一位法國數(shù)學(xué)家指出橢圓函數(shù)可與費(fèi)馬大定理聯(lián)系起來。橢圓曲線可由模函數(shù)單值化，這與代數(shù)

曲線由其黎曼曲面單值化十分相似。是否也可以類比于黎曼曲面方法，從模函數(shù)中找出橢圓曲線的分類標(biāo)

準(zhǔn)對其分類，使其中與費(fèi)馬大定理對應(yīng)的一類中無有理點(diǎn)呢？

1986年，德國數(shù)學(xué)家符萊（G．Frey）真正把費(fèi)馬方程與橢圓曲線聯(lián)系起來：如果u，v，w滿足費(fèi)馬方程

up＋vp＝wp（p≥5，是素?cái)?shù)），

則可構(gòu)造橢圓函數(shù)

y2＝x（x一up）（x＋vp）（8）

與之對應(yīng)，他要求v為偶數(shù)，u為4m+3型的奇數(shù)。因而（8）只是一種所謂“半穩(wěn)定性”橢圓曲線。符萊進(jìn)

而猜想，按他所作的對應(yīng)，從谷山－志村－韋伊猜想可以推出費(fèi)馬大定理。1990年，李貝（K．Ribet）證

明了這一個猜想，即證明，如果谷山－志村－韋伊猜想真，那么費(fèi)馬大定理一定真（一個“抽象化”的轉(zhuǎn)化）。

于是證明費(fèi)馬大定理的努力指向了谷山－志村－韋伊猜想。懷爾斯針對符萊引入的“半穩(wěn)定性”橢圓曲線，

他認(rèn)為，只需對這一類橢圓曲線證明谷山－志村－韋伊猜想就行了（這又是一個“具體化”的轉(zhuǎn)化）。當(dāng)然這

也是極困難的工作。為此，他寫了200多頁，1993年6月23日他的報(bào)告就是關(guān)于這一證明的。人們認(rèn)為，

懷爾斯取得費(fèi)馬大定理證明的第三次突破——最終證明了費(fèi)馬大定理。這一成就被列入1993年世界科學(xué)十

大成就之一。

但懷爾斯的長達(dá)200多頁的論文送交審查時(shí)，卻被發(fā)現(xiàn)其證明有漏洞。許多傳媒又迅速地報(bào)道了這一“爆炸

性”新聞。

懷爾斯本人在挫折面前沒有止步，從1993年7月起他就一直在修改論文，補(bǔ)正漏洞，這是一項(xiàng)十分困難的

工作。1994年8月在瑞士蘇黎世召開的國際數(shù)學(xué)家大會（ICM）上特邀懷爾斯作報(bào)告，在報(bào)告中他只字未

提費(fèi)馬大定理。人們認(rèn)為，他一定是遇到了難以克服的困難。

希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！

授課：XXX

1994年9月，懷爾斯終于解決了困難，重新寫出了一篇108頁的論文，于1994年10月14日寄往美國《數(shù)

學(xué)年刊》，論文順利通過審查，1995年5月，《數(shù)學(xué)年刊》第41卷第3期登載了他的這一篇論文！這使得

懷爾斯獲得1995－1996年度沃爾夫獎。這一成果被認(rèn)為是“20世紀(jì)最重大的數(shù)學(xué)成就”。

（注：可編輯下載，若有不當(dāng)之處，請指正，謝謝!）