中點

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2012中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)5

圖形的中點問題

一.知識要點：

線段的中點是幾何圖形中的一個特殊點，與中點有關(guān)的問題很多，添加適當(dāng)?shù)妮o助線、

恰當(dāng)?shù)乩弥悬c是處理中點問題的關(guān)鍵。

涉及中點問題的幾何問題，一般常用下列定理或方法：

(1)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半;

(2)三角形中位線定理；

(3)等腰三角形三線合一的性質(zhì)；

(4)倍長中線，構(gòu)造全等三角形（或平行四邊形）；

(5)平行四邊形的性質(zhì)與判定.

二.例題精選

1、若一點是直角三角形斜邊的中點或等腰三形底邊的中點，則常過中點作中線，應(yīng)用“直

角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”性質(zhì)或“等腰三角形三線合一”的性質(zhì)。

例1.如圖，已知△ABC中，∠B=90°，AB=BC,D在AB上,E在BC上，

BD=CE,M是AC的中點，求證：△DEM是等腰直角三角形.

提示：連結(jié)BM,證明ΔBDM≌ΔCEM,得DM=ME，∠DMB=∠EMC,

則∠DME=90?,

得ΔMDM為等腰直角三角形

2、三角形中遇到兩邊的中點，常應(yīng)用“三角形的中位線定理”,若有一點是三角形一邊的中

點或梯形一腰的中點，則常過中點作中位線。

例2.如圖，在四邊形ABCD中，AD＝BC，M、N分別是AB、CD的中點，

AD、BC的延長線分別交MN的延長線于E、F．

求證：∠DEN＝∠F．

提示：連結(jié)AC，作AC中點G，連結(jié)MG，NG。則MG=NG，MG∥BC，NG∥

AD。∴∠MGN＝∠F,∠GNM=∠DEN,∠MGN=∠GNM.∴∠DEN＝∠F．

A

N

F

E

C

D

M

B

A

B

C

M

D

E

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3、若有三角形的中線或過中點的線段，則通常加倍延長中線或過中點的線段，以構(gòu)造兩個

三角形全等。

例3.已知：如圖2，AD為△ABC的中線，BE交AC于E，交

AD于F，且AE=EF，求證：AC=BF

提示：延長AD至G，使DG=AD，連結(jié)BG，則ΔBDG≌ΔCDA，∴AC=BG=BF

4、遇到兩平行線所截得的線段的中點時，常聯(lián)想或構(gòu)造“X字型”全等三角形.

例4.如圖，正方形ABCD和正方形CGEF的邊長分別是2和3，

且點B，C，G在同一直線上，M是線段AE的中點，連結(jié)MF，

則MF的長為．

提示：延長AD、FM交于點H，則AH=EF=3，DH=1=DF，

∴FH=2

MF=

2

2

2

1

?FH

5、有關(guān)面積的問題中遇到中點，常用“等底等高的兩個三角形面積相等”的性質(zhì)。

例5.如圖所示，點E、F分別是矩形ABCD的邊AB、BC的中點，連

AF、CE交于點G，則

ABCD

AGCD

S

S

矩形

四邊形=______________

提示：連接BG，∵E是線段AB的中點，∴S

△AEG

=S

△BEG

=x，S

△BGF

=S

△GCF

=y，

設(shè)AB=2a，BC=2b，

ABCD

S

矩形

=2a×2b=4ab，

根據(jù)題意，得：2y+x=

2

1

×BC×BE=ab，2x+y=

2

1

×BA×BF=ab，∴2x+y=2y+x，即

x=y=

3

ab

，∴S

四邊形AGCD

=4ab-4x=

3

2

ABCD

S

矩形

∴

ABCD

AGCD

S

S

矩形

四邊形等于

3

2

，

A

E

F

B

C

D

G

M

F

E

D

C

B

A

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三.能力訓(xùn)練

1.已知AD是△ABC的角平分線，AB＝10，AC＝6，CN⊥AD于N，且M是BC的中點.則MN

的長為_________.

2.順次連結(jié)四邊形ABCD各邊中點得四邊形MNPQ，給出以下6個命題：

①若所得四邊形MNPQ為矩形，則原四邊形ABCD為菱形；

②若所得四邊形MNPQ為菱形，則原四邊形ABCD為矩形；

③若所得四邊形MNPQ為矩形，則AC⊥BD；

④若所得四邊形MNPQ為菱形，則AC=BD；

⑤若所得四邊形MNPQ為矩形，則∠BAD=90°；

⑥若所得四邊形MNPQ為菱形，則AB=AD．

以上命題中，正確的是()

A．①②B．③④C．③④⑤⑥D(zhuǎn)．①②③④.

3.如圖，在△ABC中，DC=4，BC邊上的中線AD=2，AB+AC=3+7，則S

△ABC

等于()

A．15B．

2

55

C．32D．

2

73

4.如圖，在□ABCD中，BC=2AB，CE⊥AB于E，F(xiàn)為AD的中點,∠AEF=54°，則∠B=.

中，AB=7,AC=3,則中線AD的取值范圍是______________

6.如圖，已知ΔABC中，AB=5，AC=3，BC上的中線AD=2，求

BC的長.

A

B

C

D

D

N

M

A

B

C

（第1題）

A

BC

D

EF

P

（第5題）

（第4題）

第3題

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7.如圖，已知△ABC中，AD是高，CE是中線，DC=BE，DG⊥CE，G

為垂足．求證：(1)G是CE的中點；(2)∠B=2∠BCE．

8.在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，BC=3，CD=1，E

是AD中點．

請判斷EC與EB的位置關(guān)系，并寫出推理過程。

9.如圖,在ΔABC中,∠ABC=2∠C,AD⊥BC于D,E是AC中

點,ED的延長線與AB的延長線交于點F,

求證:BF=BD

10.如圖,ΔABC中，角平分線BE與BC邊上的中線

AD互相垂直,并且BE=4，AD=6,求AB的長

A

C

B

D

E

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圖3

圖2

圖1

M

N

F

O

M

G

F

D

E

E

N

F

E

B

A

C

D

D

B

C

A

B

C

A

圖2

圖1

G

H

F

E

B

G

H

F

E

B

C

A

D

D

A

C

四.思維拓展

11.如圖，四邊形ABCD中，E為BC的中點，AE與BD交于F，且F

是BD的中點，O是AC，BD的交點，AF=2EF，△AOD的面積是3cm2，

求四邊形ABCD的面積．

12.在圖1，圖2中，

?

ABC和

?

DEC都是等腰直角三角形。∠ACB=∠DCE=900，F(xiàn)是DE的中

點，H是AE的中點，G是BD的中點.

(1)如圖1，點D,E分別在AC,BC的延長線上，

求證：

?

FGH是等腰直角三角形.

(2)將圖1中的

?

DEC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)一

個銳角，得到圖2，

?

FGH還是等腰直角

三角形嗎？若是,給出證明;若不是請說明理由.

13.如圖1.在四邊形ABCD中,AB=CD,E、F分別是BC、AD的中點，連接EF并延長，分別與

BA、CD的延長線交于點M、N,則∠BME=∠CNE(提示：參見例2).

問題一：如圖2，在四邊形ADBC中，AB與CD相交于點O,AB=CD,E、F分別是BC、AD的中點，

連接EF,分別交DC、AB于M、N，判斷?OMN的形狀，請直接寫出結(jié)論。

問題二：如圖3，在?ABC中，AC>AB,D點在AC上，AB=CD,E、F分別是BC、AD的中點，連

接EF并延長，與BA的延長線交于點G,若∠EFC=60?,連接GD,判斷?AGD的形狀并證明.

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14.如圖，正方形ABCD的邊長是2，M是AD的中點,點E從點A出發(fā)，沿AB運動到點B停

止，連接EM并延長交射線CD于點F，過M作EF的垂線交射線BC于點G，連結(jié)EG、FG。

（1）設(shè)AE=

x

時，△EGF的面積為

y

,求

y

關(guān)于

x

的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量

x

的取值范圍；

（2）P是MG的中點，請直接寫出點P的運動路線的長。

15.如圖1，在等腰梯形ABCD中，ADBC∥，

E

是AB的中點，過點E作EFBC∥交

CD于點F．46ABBC??，，60B??∠.

（1）求點E到BC的距離；

（2）點P為線段EF上的一個動點，過P作PMEF?交BC于點M，過M作MNAB∥

交折線ADC于點N，連結(jié)PN，設(shè)EPx?.

①當(dāng)點N在線段AD上時（如圖2），PMN△的形狀是否發(fā)生改變？若不變，求出PMN△

的周長；若改變，請說明理由；

②當(dāng)點N在線段DC上時（如圖3），是否存在點P，使PMN△為等腰三角形？若存在，

請求出所有滿足要求的x的值；若不存在，請說明理由.

A

D

E

B

F

C

圖4（備用）

AD

E

B

F

C

圖5（備用）

A

D

E

B

F

C

圖1圖2

A

D

E

B

F

C

P

N

M

圖3

A

D

E

B

F

C

P

N

M

（第25題）

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