數學分析

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第一章實數集與函數

第一章實數集與函數

教學目的：

1.使學生掌握實數的概念，建立起實數集確界的清晰概念；2.使學生深刻理

解函數的概念，熟悉與函數性態有關的一些常見術語。要求學生：理解并熟練運

用實數的有序性、稠密性與封閉性；掌握鄰域的概念；牢記并熟練運用實數絕對

值的有關性質以及幾個常見的不等式；理解實數確界的定義及確界原理，并在有

關命題證明中正確地加以應用；深刻理解函數的定義以及復合函數、反函數、有

界函數、單調函數和初等函數的定義，熟悉函數的各種表示方法；牢記基本初等

函數的定義、性質及其圖象，會求函數的定義域，會分析函數的復合關系。

教學重點：函數、確界的概念及其有關性質。

教學時數：10學時

§1實數（2學時）

教學目的：使學生掌握實數的基本性質．

教學重點：

1.理解并熟練運用實數的有序性、稠密性和封閉性；

2.牢記并熟練運用實數絕對值的有關性質以及幾個常見的不等式．（它們是

分析論證的重要工具）

教學難點：實數集的概念及其應用．

教學方法：講授．（部分內容自學）

一．復習引新：

1.實數集：回顧中學中關于實數集的定義.

2.四則運算封閉性:

3.三歧性(即有序性):

edes性:

5.稠密性:有理數和無理數的稠密性,給出稠密性的定義.

6.實數集的幾何表示───數軸:

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7.兩實數相等的充要條件:

8.區間和鄰域:

二.講授新課：

（一）.幾個重要不等式:

1.絕對值不等式:定義[1]P3的六個不等式.

2.其他不等式:

⑴

⑵均值不等式:對記

(算術平均值)

(幾何平均值)

(調和平均值)

有平均值不等式:

等號當且僅當時成立.

⑶Bernoulli不等式:(在中學已用數學歸納法證明過)

有不等式

當且,且時,有嚴格不等式

證：由且

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3

⑷利用二項展開式得到的不等式:對由二項展開式

有上式右端任何一項.

作業：Ｐ４．１．（１）２．（２）、（３）３

§2數集?確界原理（4時）

教學目的：使學生掌握確界原理，建立起實數確界的清晰概念。

教學要求：

1.掌握鄰域的概念；

2.理解實數確界的定義及確界原理，并在有關命題的證明中正確地加以運

用。

教學重點：確界的概念及其有關性質（確界原理）。

教學難點：確界的定義及其應用。

教學方法：講授為主。

一、區間與鄰域

二、有界數集與確界原理:

1.有界數集:定義(上、下有界,有界)，閉區間、為有限數）、

鄰域等都是有界數集，集合也是有界數集.

無界數集:定義,等都是無界數集,

集合也是無界數集.

2.確界:給出直觀和刻畫兩種定義.

例1⑴則

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4

⑵則

例2非空有界數集的上（或下）確界是唯一的.

例3設和是非空數集，且有則有.

例4設和是非空數集.若對和都有則有

證是的上界,是的下界,

例5和為非空數集,試證明:

證有或由和分別是和的下界,有

或即是數集的

下界,又的下界就是的下界,

是的下界,是的下界,同理有于是

有.綜上,有.

3.數集與確界的關系:確界不一定屬于原集合.以例1⑵為例做解釋.

4.確界與最值的關系:設為數集.

⑴的最值必屬于,但確界未必,確界是一種臨界點.

⑵非空有界數集必有確界(見下面的確界原理),但未必有最值.

⑶若存在,必有對下確界有類似的結論.

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三、確界原理:

Th1.1(確界原理)

設S為非空數集。若S有上界，則S必有上確界；若S有下界，則S必有下確

界。

作業：Ｐ９：５；６；８

§3函數概念(2學時)

教學目的：使學生深刻理解函數概念。

教學要求：

1.深刻理解函數的定義以及復合函數、反函數和初等函數的定義，熟悉函數

的各種表示方法；

2.牢記基本初等函數的定義、性質及其圖象。會求初等函數的存在域，會分

析初等函數的復合關系。

教學重點：函數的概念。

教學難點：初等函數復合關系的分析。

一、函數:

1.函數:[1]P10—11的四點說明.

2.定義域:定義域和存在域.

3.函數的表示法:

4.反函數:一一對應,反函數存在定理.

5.函數的代數運算:

二、分段函數:以函數和為例介

紹概念.

例1去掉絕對值符號.

例2求

例3設求(答案為8)三、

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函數的復合:

例4求并求

定義域.

例5⑴

⑵則

A.B.C.D.

[4]P407E62.

四、初等函數:

1.基本初等函數:

2.初等函數:

3.初等函數的幾個特例:設函數和都是初等函數,則

⑴是初等函數,因為

⑵和都是初等函數,

因為,

.

⑶冪指函數是初等函數,因為

作業：P153；4.(2)(3)；5.(2)；7:(3)；11

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§4具有某些特性的函數(2學時)

教學目的：熟悉與初等函數性態有關的一些常見術語.

教學目的：深刻理解有界函數、單調函數的定義；理解奇偶函數、周期函數

的定義；會求一些簡單周期函數的周期。

教學重點：函數的有界性、單調性。

教學難點：周期函數周期的計算、驗證。

一、有界函數:有界函數概念.

例6驗證函數在內有界.

解法一由當時,有

,

對總有即在內有界.

解法二令關于的二次方程有實數根.

解法三令對應于是

二、單調函數

三、奇函數和偶函數

四、周期函數

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第二章數列極限

教學目的：

1.使學生建立起數列極限的準確概念，熟練收斂數列的性質；

2.使學生正確理解數列收斂性的判別法以及求收斂數列極限的常用方法，會

用數列極限的定義證明數列極限等有關命題。要求學生：逐步建立起數列極限的

概念.深刻理解數列發散、單調、有界和無窮小數列等有關概念.會應用數列

極限的定義證明有關命題，并能運用語言正確表述數列不以某定數

為極限等相應陳述；理解并能證明收斂數列、極限唯一性、單調性、保號性及不

等式性質；掌握并會證明收斂數列的四則運算定理、迫斂性定理及單調有界定理，

會用這些定理求某些收斂數列的極限；初步理解柯西準則在極限理論中的重要意

義，并逐步學會應用柯西準則判定某些數列的斂散性；

教學重點、難點：本章重點是數列極限的概念；難點則是數列極限的定

義及其應用.

教學時數：14學時

§1數列極限的定義

教學目的：使學生建立起數列極限的準確概念；會用數列極限的定義證明數

列極限等有關命題。

教學重點、難點：數列極限的概念，數列極限的N??定義及其應用。

教學時數：4學時

一、引入新課：以齊諾悖論和有關數列引入——

二、講授新課：

（一）數列：

1.數列定義——整標函數.數列給出方法:通項,遞推公式.數列的幾何意義.

2.特殊數列:常數列,有界數列,單調數列和往后單調數列.

（二）數列極限:以為例.

定義(的“”定義)

定義(數列收斂的“”定義)

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注：1.關于：的正值性,任意性與確定性,以小為貴;2.關于：的

存在性與非唯一性,對只要求存在,不在乎大小.3.的幾何意義.

（三）用定義驗證數列極限：講清思路與方法.

例1

例2

例3

例4

證

注意到對任何正整數時有就有

于是，對取

例5

證法一令有用Bernoulli不等式，有

或

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證法二（用均值不等式）

例6

證時，

例7設證明

（四）收斂的否定:

定義(的“”定義).

定義(數列發散的“”定義).

例8驗證

（五）數列極限的記註:

1.滿足條件“”的數列

2.改變或去掉數列的有限項,不影響數列的收斂性和極限.重排不改變

數列斂散性:

3.數列極限的等價定義:

對

任有理數

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對任正整數

（六）無窮小數列:定義.

Th2.1(數列極限與無窮小數列的關系).

§2收斂數列的性質（4學時）

教學目的：熟悉收斂數列的性質；掌握求數列極限的常用方法。

教學重點、難點：：迫斂性定理及四則運算法則及其應用，數列極限的計算。

教學時數：4學時

一.收斂數列的性質:

1.極限唯一性：（證）

2.收斂數列有界性——收斂的必要條件：（證）

3.收斂數列保號性：

Th1設若則

（證）

系1設若，（注

意“=”；并注意和的情況）.

系2設或.則對(或

(或

系3若則對

絕對值收斂性見后.

4.迫斂性(雙逼原理):

Th2(雙逼原理).(證)

5.絕對值收斂性:

Th3(注意反之不正確).

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(證)

系設數列{}和{}收斂,則

(證明用到以下6所述極限的運算性質).

6.四則運算性質:

Th4(四則運算性質,其中包括常數因子可提到極限號外).(證)

7.子列收斂性:子列概念.

Th5(數列收斂充要條件){}收斂{}的任何子列收斂于同一極限.

Th6(數列收斂充要條件){}收斂子列{}和{}收斂于同一極限.

Th7(數列收斂充要條件){}收斂子列{}、{}和{都

收斂.(簡證)

二.利用數列極限性質求極限:

兩個基本極限：

1．利用四則運算性質求極限：

例1

註：關于的有理分式當時的極限情況

例2填空:

⑴

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⑵

例3

例4

2.雙逼基本技法:大小項雙逼法，參閱[4]P53.

例5求下列極限:

⑴

⑵

⑶

例6(

例7求證

例8設存在.若則

三.利用子列性質證明數列發散:

例9證明數列發散.

§3收斂條件（4學時）

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教學目的：使學生掌握判斷數列極限存在的常用工具。

教學要求：

1.掌握并會證明單調有界定理，并會運用它求某些收斂數列的極限；

2.初步理解Cauchy準則在極限理論中的主要意義，并逐步會應用Cauchy準

則判斷某些數列的斂散性。

教學重點：單調有界定理、Cauchy收斂準則及其應用。

教學難點：相關定理的應用。

教學方法：講練結合。

一．數列收斂的一個充分條件——單調有界原理：回顧單調有界數列.

Th1(單調有界定理).(證)

例1設證明數列{}收斂.

例2(重根號),證明數

列{}單調有界,并求極限.

例3求(計算的逐次逼近

法,亦即迭代法).

解由均值不等式,有有下界;

注意到對有有

↘,

二、收斂的充要條件——Cauchy收斂準則：

1．Cauchy列：

2．Cauchy收斂準則：

Th2數列{收斂，

（或數列{收斂，}

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Th2又可敘述為：收斂列就是Cauchy列.(此處“就是”理解為“等價于”).

(簡證必要性)

例4證明:任一無限十進小數的不足近似值所

組成的數列

收斂.其中是中的數.

證令有

……

例5設試證明數列

{收斂.

三.關于極限證明留在下節進行.

例6

例7

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例8

四.數列單調有界證法欣賞:

Cauchy(1789—1857)最先給出這一極限，Riemann（1826—1866）最先給出

以下證法一.

證法一（Riemann最先給出這一證法）設應用二項式展開，

得

，

+

注意到

且比多一項即

↗.

有界.

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綜上,數列{}單調有界.

評註:該證法樸素而穩健,不失大將風度.

證法二(利用Bernoulli不等式)

注意到Bernoulli不等式為正整數),有

由利用Bernoulli不等式,有

↗.

為證{}上方有界,考慮數列可類證↘.事實上,

(此處利用了Bernoulli不等

式)

↘.

顯然有有即數列{}有上界.

評註:該證法的特點是驚而無險，恰到好處.

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證法三(利用均值不等式)在均值不等式

中,令

就有

即↗.

令可仿上證得時↗,

(時無意義,時諸=,不能用均值不等式.)當時,由

由↗↘.<

4.

證法四(仍利用均值不等式)

<

即↗.

有界性證法可參閱上述各證法.

證法五先證明：對和正整數，有不等式

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事實上，

<該不等式又可變形為

(為正整數)

在此不等式中,取則有就有

↗.

取又有對成立，

又由

評註:該證法真叫絕.[1]采用這一證法.

小結、習題（2學時）

第三章函數極限

教學目的：

1.使學生牢固地建立起函數極限的一般概念，掌握函數極限的基本性質；

2.理解并運用海涅定理與柯西準則判定某些函數極限的存在性；

3.掌握兩個重要極限和，并能熟練運用；

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4.理解無窮小（大）量及其階的概念，會利用它們求某些函數的極限。

教學重（難）點：

本章的重點是函數極限的概念、性質及其計算；難點是海涅定理與柯西準則

的應用。

教學時數：14學時

§1函數極限概念（2學時）

教學目的：使學生建立起函數極限的準確概念；會用函數極限的定義證明函

數極限等有關命題。

教學要求：使學生逐步建立起函數極限的

???定義的清晰概念。會應用函數

極限的

???定義證明函數的有關命題，并能運用

???語言正確表述函數不以某實

數為極限等相應陳述。

教學重點：函數極限的概念。

教學難點：函數極限的

???定義及其應用。

一、復習：數列極限的概念、性質等

二、講授新課：

（一）時函數的極限：

以時和為例引入.

介紹符號:的意義,的直觀意義.

定義(和.)

幾何意義介紹鄰域

其中為充分大的正數．然后用這些鄰域語言介紹幾何意義．

例1驗證

例2驗證

例3驗證

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證……

（二）時函數的極限：

由考慮時的極限引入.

定義函數極限的“”定義.

幾何意義.

用定義驗證函數極限的基本思路.

例4驗證

例5驗證

例6驗證

證由=

為使需有

為使需有

于是,倘限制,就有

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例7驗證

例8驗證(類似有

（三）單側極限:

1．定義：單側極限的定義及記法.

幾何意義:介紹半鄰域

然后介紹

等的幾何意義.

例9驗證

證考慮使的

2.單側極限與雙側極限的關系:

Th

類似有:

例10證明:極限不存在.

例11設函數在點的某鄰域內單調.若存在,則有

=

§2函數極限的性質（2學時）

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教學目的：使學生掌握函數極限的基本性質。

教學要求：掌握函數極限的基本性質：唯一性、局部保號性、不等式性質以

及有理運算性等。

教學重點：函數極限的性質及其計算。

教學難點：函數極限性質證明及其應用。

教學方法：講練結合。

一、組織教學：

我們引進了六種極限:,

.以下以極限為例討論性質.均給出證明或簡證.

二、講授新課：

（一）函數極限的性質:以下性質均以定理形式給出.

1.唯一性:

2.局部有界性:

3.局部保號性:

4.單調性(不等式性質):

Th4若和都存在,且存在點的空心鄰域,

使，都有

證設=(現證對有)

註:若在Th4的條件中,改“”為“”,未必就

有以舉例說明.

5.迫斂性:

6.四則運算性質:(只證“+”和“”)

（二）利用極限性質求極限：已證明過以下幾個極限：

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（注意前四個極限中極限就是函數值）

這些極限可作為公式用.在計算一些簡單極限時,有五組基本極限作為公

式用,我們將陸續證明這些公式.

利用極限性質，特別是運算性質求極限的原理是：通過有關性質,把所求極限

化為基本極限,代入基本極限的值,即計算得所求極限.

例1(利用極限和)

例2

例3

註:關于的有理分式當時的極限.

例4[利用公式]

例5

例6

例7

例8

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例9

例10已知求和

補充題:已知求和()

§3函數極限存在的條件（4學時）

教學目的：理解并運用海涅定理與柯西準則判定某些函數極限的存在性。

教學要求：掌握海涅定理與柯西準則，領會其實質以及證明的基本思路。

教學重點：海涅定理及柯西準則。

教學難點：海涅定理及柯西準則運用。

教學方法：講授為主，輔以練習加深理解，掌握運用。

本節介紹函數極限存在的兩個充要條件.仍以極限為例.

一.Heine歸并原則——函數極限與數列極限的關系：

Th1設函數在點的某空心鄰域內有定義.則極限存

在,對任何且都存在且相等.(證)

Heine歸并原則反映了離散性與連續性變量之間的關系,是證明極限不存在的

有力工具.對單側極限,還可加強為單調趨于.參閱[1]P70.

例1證明函數極限的雙逼原理.

例2證明

例3證明不存在.

二.Cauchy準則:

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Th2(Cauchy準則)設函數在點的某空心鄰域內有定義.

則存在,,

證

(利用Heine歸并原則)

Cauchy準則的否定:不存在的充要條件.

例4用Cauchy準則證明極限不存在.

證取

例5設在[上函數↘.則極限存在,在

[上有界.(簡證,留為作業).

§4兩個重要極限（2時）

教學目的：掌握兩個重要極限，并能熟練應用。

教學要求：掌握兩個重要極限，牢記結論；掌握證明的基本思路和方法，并

能靈活運用。

教學重點：兩個重要極限的證明及運用。

教學難點：兩個重要極限的證明及運用。

教學方法：講授定理的證明，舉例說明應用，練習。

一．（證）（同理有）

例1

例2.

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例3

例4

例5證明極限不存在.

二.

證對有

例6特別當等.

例7

例8

例9

§5無窮小量與無窮大量階的比較（2學時）

教學目的：理解無窮小（大）量及其階的概念。會利用它們求某些函數的極

限。

教學要求：作為函數極限的特殊情形，要求掌握無窮小（大）量及其階的概

念，并由此求出某些函數的極限。

一.無窮小量:定義.記法.

例1判斷:⑴可憐蟲是很小很可憐的蟲;()

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⑵無窮小量是很小很小的量.()

無窮小的性質:

性質1(無窮小的和差)

性質2(無窮小與有界量的積)

例2

無窮小與極限的關系:

Th1(證)

二.無窮小的階:設時

1．高階（或低階）無窮小：

2．同階無窮小：

三．等價無窮小：

Th2(等價關系的傳遞性).

等價無窮小在極限計算中的應用:

Th3(等價無窮小替換法則)

幾組常用等價無窮小:（見[2]）

例3時,無窮小與是否等價?

例4

四.無窮大量:

1.定義:

2.性質:

性質1同號無窮大的和是無窮大.

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性質2無窮大與無窮大的積是無窮大.

性質3與無界量的關系.

無窮大的階、等價關系以及應用,可仿無窮小討論,有平行的結果.

3.無窮小與無窮大的關系:

無窮大的倒數是無窮小,非零無窮小的倒數是無窮大

習題課（2學時）

一、理論概述：

二、范例講析：

例1設數集無界.試證明:存在數列{}使

例2設為定義在上的遞增函數.證明:極限存在

的充要條件是函數在上有上界.

例3證明:對其中是Riemann函數.

例4設函數定義在內,且滿足條件ⅰ>

ⅱ>對有試證明是內的常值函數.

例5求極限

{

注意=有界}

例6求和.

解法一

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又

解法二，由且原式極限存在，

，即.

例7.求.

注意時,且.先求由Heine歸并原則

即求得所求極限.

例8求和.并說明極限

是否存在.

解;

可見極限不存在.

第四章函數的連續性

教學目的：

1.使學生深刻掌握函數連續性的概念和連續函數的概念；

2.熟練連續函數的性質并能加以應用；

3.知道所有初等函數都是在其定義域上的連續函數，并能加以證明；

4.理解函數在某區間上一致連續的概念，并能清楚地認識到函數在一區間上

連續與這一區間上一致連續的聯系與區別。

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教學重點、難點：本章重點是函數連續性的概念和閉區間上連續

函數的性質；難點是一致連續性的概念與有關證明。

教學時數：14學時

§1函數的連續性（4學時）

教學目的：使學生深刻掌握函數連續性的概念和連續函數的概念。

教學要求：

1.使學生深刻理解函數在一點連續包括單側連續的定義，并能熟練寫出函數

在一點連續的各種等價敘述；

2.應使學生從分析導致函數在一點不連續的所有可能的因素出發，理解函數

在一點間斷以及函數間斷點的概念，從反面加深對函數在一點連續這一概念的理

解力并能熟練準確地識別不同類型的間斷點；

3.明確函數在一區間上連續是以函數在一點連續的概念為基礎的，使學生清

楚區分“連續函數”與“函數連續”所表述的不同內涵。

教學重點：函數連續性概念。

教學難點：函數連續性概念。

一、引入新課：通過生活和科學研究中的實例說明學習連續函數的必要性。

二、講授新課：

（一）函數在一點的連續性：

1．連續的直觀圖解：由圖解引出解析定義.

2.函數在一點連續的定義:設函數在點某鄰域有定義.

定義用例如[1]P87例1和例2,P88例3.

定義用

定義用先定義和

定義連續的Heine定義.

定義(“”定義.)

（注：強調函數在點連續必須滿足的三個條件。）

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32

例1用“”定義驗證函數在點連續.

例2試證明:若

則在點連續.

3.單側連續:定義單側連續,并圖解.

Th(單、雙側連續的關系)

例3討論函數在點的連續或單側連續性.

（二）間斷點及其分類:圖解介紹間斷點的分類.

跳躍間斷點和可去間斷點統稱為第一類間斷點,其他情況

即或中至少有一個不存在稱為第二類間斷點.

例4討論函數的間斷點類型.

例5延拓函數使在點連續.

例6舉出定義在[0,1]上且僅在點三點間斷的函數的例.

例7討論Dirichlet函數和Riemann函數的連續性.

（三）區間上的連續函數：

開區間上連續，閉區間上連續,按段連續.

§2連續函數的性質（6學時）

教學目的：熟悉連續函數的性質并能靈活應用。

教學要求：

1.掌握連續的局部性質（有界性、保號性），連續函數的有理運算性質，并

臨沂師范學院《數學分析》教案

--

33

能加以證明；熟知復合函數的連續和反函數的連續性。能夠在各種問題的討論中

正確運用連續函數的這些重要性質；

2.掌握閉區間上連續函數的主要性質，理解其幾何意義，并能在各種有關

的具體問題中加以運用；

3.理解函數在某區間上一致連續的概念，并能清楚地認識到函數在一區間上

連續與在這一區間上一致連續這二者之間的聯系與原則區別。

教學重點：閉區間上連續函數的性質；

教學難點：一致連續的概念。

一、復習：連續、間斷的含義.

二、講授新課：

（一）連續函數的局部性質:敘述為Th1—4.

1.局部有界性：

2.局部保號性：

3.四則運算性質：

4.復合函數連續性：

Th4若函數在點連續，函數在點連續,且,則

復合函數在點連續.(證)

註Th4可簡寫為（即

在條件滿足的前提下，極限運算與函數運算可以交換順序。）

例1求極限

例2求極限:

⑴⑵

例3求極限的連續性見后.

（二）閉區間上連續函數的基本性質:

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--

34

1.最值性:先定義最值.

Th5(最值性)

推論(有界性)

2.介值性:定義介值.

Th6(介值性)

連續函數的值域,連續的單調函數的值域.

推論(零點定理)

例4證明:方程在到之間有實根.

例5設是正數,為正整數.證明方程有唯一正實

根.唯一性的證明用在內的嚴格遞增性.

（三）反函數的連續性:

Th7若函數在上嚴格遞增(或減)且連續,則其反函數在

相應的定義域或上連續.(證)

關于函數等的連續性([1]P99E5,6.)

（四）函數的整體連續性——一致連續：

1．連續定義中對的依賴性：

例6考查函數在區間上的連續性.對作限制

就有

對,取這里與有關,有時特記為.

臨沂師范學院《數學分析》教案

--

35

本例中不存在可在區間上通用的,即不存在最小的(正數).

例7考查函數在區間上的連續性.

本例中可取得最小的,也就是可通用的該卻與無關,

可記為.

2.一致連續性:

定義(一致連續)順便介紹一致連續與連續的關系.

用定義驗證一致連續的方法:對,確證存在.為此,從不失

真地放大式入手,使在放大后的式子中,除因子之外,

其余部分中不含有和,然后使所得式子,從中解出

例8驗證函數在內一致連續.

例9驗證函在區間內一致連續.

證

例10若函數在有限區間內一致連續,則在內有界.

3.一致連續的否定:

否定定義.

例11證明函數在區間內非一致連續.

證法一(用一致連續的否定定義驗證)取取

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--

36

與便有但

證法二(用例10的結果).

4.一致連續的判定:

Th8(Cantor)若函數在閉區間上連續,在上一致連續.

§3初等函數的連續性（2學時）

教學目的：知道所有初等函數都是在其有定義的區間上連續的函數，并能夠

加以證明。

教學要求：深刻理解初等函數在其定義的區間上都是連續的，并能應用連續

性概念以及連續函數的性質加以證明，能熟練運用這一結論求初等函數的極限。

教學重點：初等函數的連續性的闡明。

教學難點：初等函數連續性命題的證明。

教學方法：學導式教學。

回顧基本初等函數中,已證明了連續性的幾個函數.

指數函數和對數函數的連續性.(證)

一.初等函數的連續性:

Th1一切基本初等函數都在其定義域上連續.

Th2任何初等函數在其有定義的區間上是連續的.

註:初等函數的連續區間和間斷點:初等函數的間斷點是其連續區間的開

端點.閉端點是其單側連續點.

例1求函數的連續區間和間斷點.

解

的連續區間為:、、和

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--

37

.間斷點為:和.在點右連續.

二.利用函數的連續性求極限:

例2

例3作倒代換

例4

解I=

例5

解

I=

習題課（2學時）

一、理論概述：

二、范例講析：

例1設函數在區間上連續,且證

明:在區間上至少存在某個使

證若,取或即可;若不妨設

設,應用零點定理即得所證.

臨沂師范學院《數學分析》教案

--

38

例2設函數在區間上連續，試證

明：使

例3設試證明：方程在區間

內有實根.

例4設函數在內連續且則在內有最

小值.與比較.

例5設函數和在區間I上連續,且在I的有理點,有

證明:在I上.

例6設函數和在區間I上一致連續.證明函數

在區間I上一致連續.

例7設函數在有限開區間內連續.則在

有限開區間內一致連續,和存在(有限).

例8設函數在有限開區間內連續.則在內一致連續,

在內一致連續.

第四章函數的連續性

?引言

在數學分析中，要研究種種不同性質的函數，其中有一類重要的函數，就是

連續函數。從今天開始，我們就來看看這類函數的特點。主要講以下幾個問題：

１．什么是“函數的連續性”？

２．“間斷”或“不連續”有哪些情形？

臨沂師范學院《數學分析》教案

--

39

３．連續函數有哪些性質？

４．初等函數的連續性有何特點？

§１連續性概念

教學目的：使學生深刻掌握函數連續性的概念和連續函數的概念。

教學要求：（１）使學生深刻理解函數在一點連續包括單側連續的定義，并能熟練

寫出函數在一點連續的各種等價敘述；（２）應使學生從分析導致函數

在一點不連續的所有可能的因素出發，理解函數在一點間斷以及函數

間斷點的概念，從反面加深對函數在一點連續這一概念的理解力并能

熟練準確地識別不同類型的間斷點；（３）明確函數在一區間上連續是

以函數在一點連續的概念為基礎的，使學生清楚區分“連續函數”與

“函數連續”所表述的不同內涵。

教學重點：函數連續性概念。

教學難點：函數連續性概念。

教學程序：

?引言

“連續”與“間斷”（不連續）照字面上來講，是不難理解的。例如下圖１中

的函數()yfx?，我們說它是連續的，而圖２中的函數在

0

x處是間斷的。

由此可見，所謂“連續函數”，從幾何上表現為它的圖象是坐標平面上一條連

綿不斷的曲線。而所謂“不連續函數”從幾何上表現為它的圖象在某些點處“斷

開”了。

當然，我們不能滿足于這種直觀的認識，因為單從圖形上看是不行的，圖形

只能幫助我們更形象地理解概念，而不能揭示概念的本質屬性。

例如，可以舉出這樣的例子，它在(0,1)內的任意無理數點都連續但卻無法用

圖形表示出來（如Rieman函數）。

因此，為了給出“連續”的定義，需要對此作進一步分析和研究。

從圖２看出，在

0

x處，函數值有一個跳躍，當自變量從

1

x左側的近傍變到

1

x右

側的近旁時，對應的函數值發生了顯著的變化。而在其它點處（如

1

x處），情況則

完全相反。：當自變量從

1

x向左側或向右側作微小改變時，對應的函數值也只作微

小的改變；這就是說，當自變量x靠近

1

x時，函數值就靠近

1

()fx，而當

1

xx?時，

1

()()fxfx?。換句話說，當

1

xx?時，()fx以

1

()fx為極限，即

1

1

lim()()

xx

fxfx

?

?。

根據這一分析，引入下面的定義：

一函數在一點的連續性

１．函數f在點

0

x連續的定義

定義１（f在點

0

x連續）設函數f在某

0

()Ux內有定義，若

0

0

lim()()

xx

fxfx

?

?，

則稱f在點

0

x連續。

臨沂師范學院《數學分析》教案

--

40

注

00

0

lim()()(lim)

xxxx

fxfxfx

??

??，即“

f

在點

0

x連續”意味著“極限運算與

對應法則

f

可交換。

２．例子

例１．

0

,sin,cosxRxx??在

0

x處連續。

例２．

2

lim(21)5(2)

x

xf

?

???。

例３．討論函數

1

sin,0

()

0,0

xx

fx

x

x

?

?

?

?

?

?

?

?

在點x=0處連續性。

３．函數f在點

0

x連續的等價定義

１）記號：

0

xxx???——自變量x在點的增量或改變量。設

00

()yfx?，

0000

()()()()yfxfxfxxfxyy?????????——函數y在點

0

x的增量。

注：自變量的增量x?或函數的增量

y?

可正、可負、也可為零。（區別于“增加”）。

２）等價定義１：函數

f

在點

0

x連續?

0

lim0

x

y

??

??。

３）等價定義２：函數f在點

0

x連續?0,0??????，當

0

||xx???時，

0

|()()|fxfx???。

注：一個定義是等價的，根據具體的問題選用不同的表述方式。如用三種

定義，可以證明以下命題：

例４．證明函數()()fxxDx?在點0x?連續，其中()Dx為Dirichlet函數。

４．函數f在點

0

x有極限與函數f在點

0

x連續之間的關系

１）從對鄰域的要求看：在討論極限時，假定f在0

0

()Ux內不定義（f在

點

0

x可以沒有定義）。而f在點

0

x連續則要求f在某

0

()Ux內有定義（包括

0

x）。

２）在極限中，要求

0

0||xx????，而當“f在點

0

x連續”時，由于x=

0

x

時，

0

|()()|fxfx???恒成立。所以換為：

0

||xx???.

３）從對極限的要求看：“f在點

0

x連續”不僅要求“f在點

0

x有極限”，

而且

0

0

lim()()

xx

fxfx

?

?；而在討論

0

lim()

xx

fx

?

時，不要求它等于

0

()fx，甚至于

0

()fx

可以不存在。

臨沂師范學院《數學分析》教案

--

41

總的來講，函數在點

0

x連續的要求是：①

()fx

在點

0

x有定義；②

0

lim()

xx

fx

?

存在；③

0

0

lim()()

xx

fxfx

?

?.任何一條不滿足，

f

在點

0

x就不連續。同時，由定義

可知，函數在某點是可連續，是函數在這點的局部性質。

５．

f

在點

0

x左（右）連續定義

①定義２：設函數

f

在點

0

()Ux

?

（

0

()Ux

?

內有定義），若

0

0

lim()()

xx

fxfx

??

?

（

0

0

lim()()

xx

fxfx

??

?），則稱

f

在點

0

x右（左）連續。

②

f

在點

0

x連續的等價刻劃

定理4.1函數f在點

0

x連續?f在點

0

x既是右連續，又是左連續。

如上例４：

00

lim()lim0(0)

xx

xDxxf

????

???（右連續），

00

lim()lim0(0)

xx

xDxxf

????

???

（左連續）。

例５．討論函數

2,0

()

2,0

xx

fx

xx

??

?

?

?

??

?

在點0x?的連續性。

二區間上的連續函數

１．定義

若函數

f

在區間Ｉ上每一點都連續，則稱

f

為Ｉ上的連續函數。對于閉區

間或半開半閉區間的端點，函數在這些點上連續是指左連續或右連續。若函數

f在區間[,]ab上僅有有限個第一類間斷點，則稱f在[,]ab上分段連續。

２．例子

（１）函數,,sin,cosyCyxyxyx????是Ｒ上的連續函數；（２）函數

21yx??在(1,1)?內每一點都連續。在1x?處為左連續，在1x??處為右連續，

因而它在[1,1]?上連續。

命題：初等函數在其定義區間上為連續函數。

函數[]yx?，sgnyx?在[1,1]?上是分段連續的[]yx?在Ｒ上是分段連續

嗎？sgnx在Ｒ上是分段連續嗎？

三間斷點及其分類

１．不連續點（間斷點）定義

定義３設函數f在某0

0

()Ux內有定義，若f在點

0

x無定義，或f在點

0

x

有定義而不２，不則稱點

0

x為函數f的間斷點或不連續點。

臨沂師范學院《數學分析》教案

--

42

注這個定義不好；還不如說：設

f

在0

0

()Ux內不定義，如果

()fx

在

0

x不

連續，則稱

0

x是()fx的不連續點（或間斷點）。由上述分析可見，若

0

x為函數

f

的間斷點，則必出現下列情形之一：①

()fx

在點

0

x無定義；②

0

lim()

xx

fx

?

不存

在；③

0

0

lim()()

xx

fxfx

?

?。據此，對函數的間斷點作如下分類：

２．間斷點分類

１）可去間斷點若

0

lim()

xx

fxA

?

?，而

f

在點

0

x無定義，或有定義但

0

()fxA?，

則稱

0

x為

f

的可去間斷點。

例如：0x?是函數

sin

()|sgn|,()

x

fxxgx

x

??的可去間斷點。

“可去間斷點”名稱何來？通過一定的手段，可以“去掉”。設

0

x是()fx的

可去間斷點，且

0

lim()

xx

fxA

?

?。0

0

(),

()

,

fxxx

fx

Axx

?

?

?

?

?

?則

0

x是()fx的連續點。

例如，對

sin

()

x

gx

x

?，定義

sin

,0

()

1,0

x

x

gx

x

x

?

?

?

?

?

?

?

?

，則()gx在0x?連續。

２）跳躍間斷點若

00

lim(),lim()

xxxx

fxfx

????

存在，但

00

(0),(0)fxfx??，則稱點

0

x

為函數f的跳躍間斷點。

例如，對[]yx?，

00

lim[]0,lim[]1

xx

xx

????

???故0x?是它的跳躍間斷點。

再如0x?是sgnx的跳躍間斷點。

可去間斷點與跳躍間斷點統稱為第一類間斷點，其特點的函數在該點處的

左、右極限都存在。

３）第二類間斷點函數的所有其它形式的間斷點（即使稱函數至少有一側極

限不存在的點）稱為函數的第二類間斷點。

例如，0x?是函數

1

x

，

1

sin

x

的第二類間斷點。

§２連續函數的性質

教學目的：熟悉連續函數的性質并能靈活應用。

教學要求：（１）掌握連續的局部性質（有界性、保號性），連續函數的有理運算

性質，并能加以證明；熟知復合函數的連續和反函數的連續性。能夠

在各種問題的討論中正確運用連續函數的這些重要性質；（２）掌握閉

區間上連續函數的主要性質，理解其幾何意義，并能在各種有關的

具體問題中加以運用；（３）理解函數在某區間上一致連續的概念，并

能清楚地認識到函數在一區間上連續與在這一區間上一致連續這二者

臨沂師范學院《數學分析》教案

--

43

之間的聯系與原則區別。

教學重點：閉區間上連續函數的性質；

教學難點：一致連續的概念。

?引言

函數的連續性是通過極限來定義的，因而有關函數極限的諸多性質，都可以移

到連續函數中來。

一連續函數的局部性質

性質１（局部有界性）若

f

在

0

x連續。則

f

在某

0

()Ux有界。

性質２（局部保號性）若

f

在

0

x連續，且

0

()0(0)fxor??則對任何正數

0

(0,())rfx?

0

(((),0))rfx?，存在某

0

()Ux有()0(()0)fxrfxr????。

注①在具體應用局部保號性時，r取一些特殊值，如當

0

()0fx?時，可取

0

()

2

fx

r?，則存在

0

()Ux，使得當

0

()xUx?有0

()

()

2

fx

fx?；②與極限相應的性質

做比較可見，這里只是把“極限存在”，改為“連續”，把

0

()Ux改為0

0

()Ux其余一

致。

性質３。（四則運算）若

f

和g在

0

x點連續，則

0

,,(()0)

f

fgfggx

g

???

也都

在點

0

x連續。

問題兩個不連續函數或者一個連續而另一個不連續的函數的和、積、商是否

仍舊連續？

性質４（復合函數的連續性）若f在點

0

x連續，記

00

()fxu?，函數g在

0

u連

續，則復合函數gf?在點

0

x連續。

注1)據連續性定義，上述定理可表為：

00

0

lim[()][()][lim()]

xxxx

gfxgfxgfx

??

??.

（即函數運算與極限可以交換次序，條件是函數連續利用它可來求一些函數的極

限。）

例１．求2

1

limsin(1)

x

x

?

?.

2)若復合函數gf?的內函數f當

0

xx?時極限為a，又外函數g在ua?連

續，上面的等式仍成立。（因此時若

0

0

lim()()

xx

fxafx

?

??的話是顯然的；若

0

0

lim()()

xx

fxafx

?

??，或()fx在

0

xx?無定義，即

0

x是f的可去間斷點時，只需對

性質４的證明做修改：“

0

||xx???”為“

0

0||xx????”即可）。故可用來求一些

臨沂師范學院《數學分析》教案

--

44

函數的極限。

例２求極限（１）

0

sin

lim2

x

x

x?

?;（２）

sin

lim2

x

x

x??

?.

性質５（反函數的連續性）若函數

f

在[,]ab上嚴格單調并連續，則反函數1f?

在其定義域

[(),()]fafb

或

[(),()]fbfa

上連續。

二、初等函數的連續性

１．復習（關于初等函數）

（１）初等函數：由基本初等函數經過有限次四則運算與復合運算所得到的函

數。

（２）基本初等函數：

常量函數yC?；

冪函數yx??；

指數函數(0,1)xyaaa???；

對數函數log(0,1)

a

yxaa???；

三角函數sin,cos,,yxxtgxctgx?；

反三角函數arcsin,arccos,,yxxarctgxarcctgx?。

２．初等函數的連續

定理１任何初等函數都是在其定義區間上的連續函數。

定理２一切基本初等函數都是其定義域上連續函數。

３．利用初等函數的連續性可計算極限

例３．設

0

lim()0

xx

uxa

?

??，

0

lim()

xx

vxb

?

?，證明：

0

()lim()vxb

xx

uxa

?

?。

例４．求

0

ln(1)

lim

x

x

x?

?

。

例５求

2

0

ln(1)

lim

cosx

x

x?

?

。

三區間上連續函數的基本性質

?引言

閉區間上的連續函數具有一些重要的性質。現將將基本的列舉如下。從幾

何上看，這些性質都是十分明顯的。但要嚴格證明它們，還需其它知識，將在

第七章§２給出。先給出下面的關于“最大大值”的定義：

定義１設f為定義在數集Ｄ上的函數，若存在

0

xD?，使得對一切xD?

臨沂師范學院《數學分析》教案

--

45

都有

0

()()fxfx?（

0

()()fxfx?），則稱

f

在Ｄ上有最大（小）值，并稱

0

()fx

為

f

在Ｄ上的最大（小）值。

例如，sin,[0,]yx??。

max

1y?、

min

0y?。

一般而言，

f

在其定義域上不一定有最大（小）值，即使

()fx

在Ｄ上有界。

例如：

(),(0,1)fxxx??

無最大（小）值；

1

,(0,1)

()

2,0,1

x

fx

x

x

?

?

?

?

?

?

?

?

在［０，１］上也無最大（小）值。

１．性質

性質１（最大、最小值定理）若

f

在閉區間[,]ab上連續，則

f

在[,]ab上有最

大值與最小值。

性質２（有界性定理）若

f

在[,]ab上連續，則

f

在[,]ab上有界。

思考①考慮函數(),(0,1)fxxx??，

1

,(0,1)

()

2,0,1

x

gx

x

x

?

?

?

?

?

?

?

?

上述結論成立否？說

明理由；②f要存在最大（小）值或有界是否一定要f連續？是否一定要閉區

間呢？

結論上述性質成立的條件是充分的，而非必要的。

性質３（介值定理）設f在[,]ab上連續，且()()fafb?。若

?

是介于()fa和()fb

之間的任何實數，則至少存在一點

0

(,)xab?，使得

0

()fx??。

注表明若f在[,]ab上連續，又()()fafb?的話，則f在[,]ab上可以取得()fa

和()fb之間的一切值。（如左圖）。

性質４（根存在定理）若f在[,]ab上連續，且()fa和()fb異號

（()()0fafb??），則至少存在一點

0

[,]xab?，使得

0

()0fx?。

幾何意義若點(,())Aafa和(,())Bbfb分別在x軸兩側，則連接Ａ、Ｂ的曲線

()yfx?與x軸至少有一個交點。

２．閉區間上連續函數性質應用舉例

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46

關健構造適當的

f

；構造適當的閉區間。

例６．證明：若0r?，n為正整數，則存在唯一正數

0

x，使得

0

nxr?。

例７．設

f

在[,]ab上連續，滿足([,])[,]fabab?。證明：存在

0

[,]xab?，

使得

00

()fxx?。

四一致連續性

?引言

在連續函數的討論和應用中，有一個極為重要的概念，叫做一致連續。我

們先敘述何謂一致連續。

設()fx在某一區間Ｉ連續，按照定義，也就是()fx在區間Ｉ內每一點都連

續。即對

00

,0,(;)xIxUx????????時，就有

0

|()()|fxfx???。

一般說來，對同一個?，當

0

x不同時，

?

一般是不同的。例如圖左。中

1

y

x

?

的曲線，對接近于原點的

0

x，

?

就應取小一些。而當

0

x離原點較遠時，

?

取大

一些。（對后者的

?

值就不一定可用于前者。但在以后的討論中，有時要求能取

到一個時區間Ｉ內所有的點都適用的

?

，這就需要引進一個新概念——一致連

續。

１．一致連續的定義

定義（一致連續）設f為定義在區間Ｉ上的函數。若對任給的

0??，存在一個()0?????，使得對任何,xxI

???

?，只要||xx????

??，就有

????||fxfx????

??，則稱函數f在區間Ｉ上一致連續。

２．函數在區間上連續與一致連續的比較

（１）區別：

定

義

函數f在Ｉ連續，

0

,0,0xI????????，當

0

(;)xUx??

?時，

????

0

||fxfx??

??

函數f在Ｉ上一致連

續，0,0??????，當

,xxI

???

?，

0

,(;)xxUx????

?時，

????||fxfx????

??

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47

對

?

的

要

求

對于Ｉ上的不同的點

0

x，

相應的

?

是不同的，換言

之，

?

的取值除依賴于?

外，還與

0

x有關，由此記

為

0

(;)x????表示

?

與?

和

0

x有關。

?

的取值只與?有關，

而與

0

x無關，或者說，

存在適合于Ｉ上所有

點

0

x的公共的

?

，記作

()????，它對任意的

0

x都適用。

性

質

與區間中每一點及其附近

的

()fx

情形有關，即只要

在區間中每一點，連續就

行。也即在每一點中可有

適合定義中的

?

，這是局

部性質。

要知

f

在整個區間的

情形，在整個區間內來

找適合定義中的

?

，這

種性質稱為整體性質。

（２）關系

若

f

在Ｉ上一致連續，則

f

在Ｉ上連續；反之不成立（即若

f

在Ｉ上連續，

f

不一定在Ｉ上一致連續。

３．問題：如何判斷一個函數是否一致連續呢？有下面的定理：

定理（康托Cantor定理）若函數

f

在閉區間[,]ab上連續，則

f

在[,]ab上

一致連續。

４．一致連續的例子

例１．證明()fxaxb??(0)a?在(,)????上一致連續。

例２．（１）證明函數

1

y

x

?在(0,1)內不一致連續。

（２）0c??，證明

1

y

x

?在(,1)c內是一致連續的。

例３．證明

1

sin

x

在(,1)c(0)c?內是一致連續的，而在(0,1)內連續但非

一致連續。

例４．設區間

1

I的右端點為

1

cI?，區間

2

I的左端點也為

2

cI?（

12

,II可分

別為有限或無限區間）。試按一致連續性定義證明：若f分別在

1

I和

2

I上的一致

連續，則f在

12

III??上也一致連續。

§３初等函數的連續性

教學目的：知道所有初等函數都是在其有定義的區間上連續的函數，并能夠加以

證明。

教學要求：深刻理解初等函數在其定義的區間上都是連續的，并能應用連續性概

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48

念以及連續函數的性質加以證明，能熟練運用這一結論求初等函數的

極限。

教學重點：初等函數的連續性的闡明。

教學難點：初等函數連續性命題的證明。

教學方法：學導式教學。

第五章導數和微分

教學目的：

1.使學生準確掌握導數與微分的概念。明確其物理、幾何意義，能從定義出

發求一些簡單函數的導數與微分；

2.弄清函數可導與可微之間的一致性及其相互聯系，熟悉導數與微分的運算

性質和微分法則，牢記基本初等函數的導數公式，并熟練地進行初等函數的微分

運算；

3.能利用導數與微分的意義解決某些實際問題的計算。

教學重點、難點：本章重點是導數與微分的概念及其計算；難點是求復合函

數的導數。

教學時數：16學時

§1導數的概念（4學時）

教學目的：使學生準備掌握導數的概念。明確其物理、幾何意義，能從定義

出發求一些簡單函數的導數與微分，能利用導數的意義解決某些實際應用的計算

問題。

教學要求：深刻理解導數的概念，能準確表達其定義；明確其實際背景并給

出物理、幾何解釋；能夠從定義出發求某些函數的導數；知道導數與導函數的相

互聯系和區別；明確導數與單側導數、可導與連續的關系；能利用導數概念解決

一些涉及函數變化率的實際應用為體；會求曲線上一點處的切線方程。

教學重點：導數的概念。

教學難點：導數的概念。

教學方法：“系統講授”結合“問題教學”。

一、問題提出：導數的背景.

背景：曲線的切線；運動的瞬時速度.

二、講授新課：

1.導數的定義:定義的各種形式.的定義.導數的記法.

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49

有限增量公式:

例1求

例2設函數在點可導,求極限

2.單側導數:定義.單側可導與可導的關系.曲線的尖點.

例3考查在點的可導情況.

3.導數的幾何意義:

可導的幾何意義,導數的幾何意義,單側導數的幾何意義.

例4求曲線在點處的切線與法線方程.

4.可導與連續的關系:

5.導函數:函數在區間上的可導性,導函數,導函數的記法.

注意:等具體函數的導函數不能記為應記為

6.費馬定理及達布定理

§2求導法則（4學時）

教學目的：熟悉導數的運算性質和求導法則，牢記基本初等函數的導數公式，

并熟練進行初等函數的導數運算。

教學要求：熟練掌握導數的四則運算法則，復合函數的求導法則；會求反函

數的導數，并在熟記基本初等函數導數公式的基礎上綜合運用這些法則與方法熟

練準確地求出初等函數的導數。

教學重點：導數的四則運算法則、復合函數求導法則、反函數求導法；

教學難點：復合函數求導法則及復合函數導數的計算。

教學方法：以問題教學法為主，結合課堂練習。

一、復習引新：復習導數的概念等知識，并由此引入新課.

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50

二、講授新課：

（一）.基本初等函數求導

推導基本初等函數的求導公式.

（二）.導數的四則運算法則:推導導數四則運算公式.(只證“”和“”)

例1求

例2求(

例3求

例4證明:(用商的求導公式證明).

例5證明:

例6證明:.

例7求曲線在點處的切線方程.

（三）.反函數的導數:推導公式并指出幾何意義.

例8證明反三角函數的求導公式.(只證反正弦)

（四）.復合函數求導法——鏈鎖公式：

例9設為實數，求冪函數的導數.

解

例10求和

例11求

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51

例12求

§3.參變量函數的導數（2學時）

教學目的：熟悉含參量函數的求導法則，并熟練進行此類函數的導數運算。

教學要求：會求由參數方程所給出的函數的導數，并注意與其它法則的綜合

應用。

教學重點：含參量方程的求導法則。

教學難點：含參量函數導數的計算。

教學方法：以問題教學為主，結合練習。

一.復習：導數公式及其運算法則.

二.講授新課：

1.參變量函數的導數公式：

設函數可導且

證（法一）用定義證明.

（法二）由恒有或嚴格單

調.(這些事實的證明將在下一章給出.)因此,有反函數,設反函數為

),有用復合函數求導法,并注意利用反函數求導

公式.就有

例1.設求

2.取對數求導法:

例2.設求

例3.設求

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52

例4.設求

3..抽象函數求導:

例5.求和

例6若可導,求.

§4高階導數（2學時）

教學目的：了解高階導數的定義，熟悉高階導數的計算。

教學要求：掌握高階導數與高階微分的定義，會求高階導數與高階微分。能

正確理解和運用一階微分的形式不變性，并與高階微分清楚地加以區分。

教學重點：高階導數（微分）的計算。

教學難點：高階導數（微分）的計算。

教學方法：以問題教學為主，結合練習。

一.高階導數:

定義:

注意區分符號和

以函數為例介紹高階導數計算方法.

高階導數的記法.

二.幾個特殊函數的高階導數:

1.多項式:多項式的高階導數.

例1求和.

2.正弦和余弦函數:計算、、、的

公式.

3．和的高階導數：

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53

4．的高階導數：

5．的高階導數：

6．分段函數在分段點的高階導數：以函數求

為例.

三.高階導數的運算性質:設函數和均階可導.則

1．

2．

3．乘積高階導數的Leibniz公式：約定

（介紹證法.）

例2求

解

例3求

解

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54

例4其中二階可導.求

例5驗證函數滿足微分方程

并依此求

解兩端求導

即對此式兩端求階導數,利用Leibniz公式,有

可見函數滿足所指方程.在上式中令得遞推公式

注意到和,就有

時,

時,

四.參數方程所確定函數的高階導數:

臨沂師范學院《數學分析》教案

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55

例6求

解

§5微分（2學時）

教學目的：

1.準確掌握微分的概念，明確其幾何意義，能從定義出發求一些簡單函數的

導數與微分。

2.弄清可導與可微之間的一致及其相互關系，熟悉微分的運動性質和微分法

則，牢記基本的初等函數的微分公式，并熟練進行初等函數的微分運算。

3.能利用微分的幾何意義等解決一些實際應用的計算問題。

教學要求：

1.清楚地理解函數在一點的微分的定義，并給出其幾何解釋；能從定義出發

求某些簡單函數的微分、能熟練運用基本微分表和微分運算公式求初等函數的微

分。

2.明確函數在一點可導性與一點可微之間的一致性，并會利用導數為微分、

利用微分求導數。會應用微分的實際意義解決某些計算問題。

教學重點：微分的定義、計算、可導與可微的關系

教學難點：運用微分的意義解決實際問題

一.微分概念:

1.微分問題的提出:從求的近似值入手,通過[1]P133例和可導函

數的情況,引出微分問題.

幾個數據:,

(查表得)

2.微分的定義:

3.微分的計算和幾何意義:

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56

Th(可微與可導的關系).

例1求和

二.微分運算法則:[1]P112法則1—4.只證2.

一階微分形式不變性.利用微分求導數.微商.

例2求和

例3求和

三．微分的應用:

1.建立近似公式:原理:即

特別當時,有近似公式具體的近似公式如:

等.

2.作近似計算:原理:

例4求和的近似值.

例5求的近似值.

3．估計誤差：

絕對誤差估計：

相對誤差估計：

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57

例6（[1]P138E5）設已測得一根圓軸的直徑為，并知在測量中

絕對誤差不超過.試求以此數據計算圓軸的橫截面面積時所產生的誤差.

4.求速度:原理:

例7球半徑以的速度勻速增大.求時,球體積增

大的速度.

四．高階微分：

高階微分的定義：

階微分定義為階微分的微分，即

注意區分符號的意義.

例7求

以例7為例,說明高階微分不具有形式不變性:

在例7中,倘若以求二階微分,然后代入,就有

倘若先把代入,再求二階微分,得到

可見上述兩種結果并不相等.這說明二階微分已經不具有形式不變性.一

般地,高階微分不具有形式不變性.

習題課（2學時）

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58

一、理論概述：

二、范例講析：

（一）.可導條件:

例1設在點的某鄰域內有證明在點可導.

例2設函數在點可導,則在點

不可導.

例3設函數定義在區間內,試證明:在點

可導的充要條件是存在內的函數（僅依賴于和.使

在點連續且適合條件

并有

證設存在,定義

易驗證函數在點連續,且

設又在點連續.

則有

即存在且

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59

（二）.求導數或求切線:

例4求和參閱[4]P92

E11.

例5求

例6求

解

設其中為的多項式.注意到對任何正

整數

則有

對有

例7拋物線方程為求下列切線:

⑴過點(該點在拋物線上)()

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60

⑵過點.(該點不在拋物線上)(和

)

（三）曲線的吻接:曲線的吻接及其解析表達.

例8設確定、和的值，使函數在

點可導.)

（四）.奇、偶函數和周期函數的導函數：

例9可導奇函數的導函數是偶函數.(給出用定義證和用鏈導公式證兩

種證法)

例10設是偶函數且在點可導,則.

證

即

由存在，

簡提可導周期函數的導函數為周期函數,且周期不變.

（五）.關于可導性的一些結果:

1.若是初等函數,則也是初等函數.在初等函數的定

義域內,導函數不存在的點是函數的不可導點.例如函數

的定義域是,但導函數在點沒有定義,因此點

是函數的不可導點.

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61

2.存在僅在一點可導的函數.例如

該函數僅在點可導.

3.存在處處連續但處處不可導的函數.

第六章微分中值定理及其應用

教學目的：

1.掌握微分學中值定理，領會其實質，為微分學的應用打好堅實的理論基礎；

2.熟練掌握洛比塔法則，會正確應用它求某些不定式的極限；

3.掌握泰勒公式，并能應用它解決一些有關的問題；

4.使學生掌握運用導數研究函數在區間上整體性態的理論依據和方法，能根

據函數的整體性態較為準確地描繪函數的圖象；

5.會求函數的最大值、最小值，了解牛頓切線法。

教學重點、難點：

本章的重點是中值定理和泰勒公式，利用導數研究函數單調性、極值與凸性；

難點是用輔助函數解決問題的方法。

教學時數：14學時

§1中值定理（4學時）

教學目的：掌握微分學中值定理，領會其實質，為微分學的應用打下堅實的

理論基礎。

教學要求：深刻理解中值定理及其分析意義與幾何意義，掌握三個定理的證

明方法，知道三者之間的包含關系。

教學重點：中值定理。

教學難點：定理的證明。

教學難點：系統講解法。

一、引入新課：

通過復習數學中的“導數”與物理上的“速度”、幾何上的“切線”之聯系，

引導學生從直覺上感到導數是一個非常重要而有用的數學概念。在學生掌握了“如

何求函數的導數”的前提下，自然提出另外一個基本問題：導數有什么用？俗話

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62

說得好：工欲善其事，必先利其器。因此，我們首先要磨鋒利導數的刀刃。我們

要問：若函數可導，則它應該有什么特性？由此引入新課——第六章微分中值定

理及其應用§1拉格朗日定理和函數的單調性（板書課題）

二、講授新課：

（一）極值概念：

1．極值：圖解，定義(區分一般極值和嚴格極值.)

2.可微極值點的必要條件:

Th(Fermat)(證)

函數的穩定點,穩定點的求法.

（二）微分中值定理:

中值定理:敘述為Th1.(證)定理條件的充分但不必要性.

ge中值定理:敘述為Th2.(證)圖解.

用分析方法引進輔助函數,證明定理.用幾何直觀引進輔助函數的方法參閱

[1]P157.

Lagrange中值定理的各種形式.關于中值點的位置.

推論1函數在區間I上可導且為I上的常值函數.

(證)

推論2函數和在區間I上可導且

推論3設函數在點的某右鄰域上連續,在內可導.若

存在,則右導數也存在,且有(證)

但是,不存在時,卻未必有不存在.例如對函數

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63

雖然不存在,但卻在點可導(可用定義求得).

Th(導數極限定理)設函數在點的某鄰域內連續,在內

可導.若極限存在,則也存在,且(證)

由該定理可見,若函數在區間I上可導,則區間I上的每一點,要么是導函數

的連續點,要么是的第二類間斷點.這就是說,當函數在區間I上

點點可導時,導函數在區間I上不可能有第二類間斷點.

推論4(導函數的介值性)若函數在閉區間上可導,且

(證)

Th(Darboux)設函數在區間上可導且.若

為介于與之間的任一實數,則

設對輔助函數,應用系4的結果.(證)

中值定理:

Th3設函數和在閉區間上連續,在開區間內可導,

和在內不同時為零,又則在內至少存在一點使

.

證分析引出輔助函數.驗證在

上滿足Rolle定理的條件,

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64

必有,因為否則就有.這與條件“和在內不

同時為零”矛盾.

Cauchy中值定理的幾何意義.

（三）中值定理的簡單應用:

1.證明中值點的存在性

例1設函數在區間上連續,在內可導,則,使

得.

證在Cauchy中值定理中取.

例2設函數在區間上連續,在內可導,且有.

試證明:.

2.證明恒等式:原理.

例3證明:對,有.

例4設函數和可導且又則

.證明.

例5設對,有,其中是正常

數.則函數是常值函數.(證明).

3.證明不等式:

例6證明不等式:時,.

例7證明不等式:對，有.

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65

4.證明方程根的存在性:

證明方程在內有實根.

例8證明方程在內有實根.

§2柯西中值定理和不定式的極限（2學時）

教學目的：

1.掌握討論函數單調性方法；

2.掌握L’Hospital法則，或正確運用后求某些不定式的極限。

教學要求：

1.熟練掌握L’Hospital法則，并能正確運用后迅速正確地求某些不定式的

極限；

2.深刻理解函數在一區間上單調以及嚴格單調的意義和條件；熟練掌握運用

導數判斷函數單調性與單調區間的方法；能利用函數的單調性證明某些不等式。

教學重點：利用函數的單調性，L’Hospital法則

教學難點：L’Hospital法則的使用技巧；用輔助函數解決問題的方法；。

教學方法：問題教學法，結合練習。

一.型:

Th1(Hospital法則)(證)應用技巧.

例1

例2.

例3.(作代換或利用等價無窮小代換直接計算.)

例4.(Hospital法則失效的例)

二.型:

Th2(Hospital法則)(證略)

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66

例5.

例6.

註:關于當時的階.

例7.(Hospital法則失效的例)

三.其他待定型:.前四個是冪指型的.

例8

例9.

例10.

例11.

例12.

例13.

例14設且求

解

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67

.

§3Taylor公式（2學時）

教學目的：掌握Taylor公式，并能應用它解決一些有關的問題。

教學要求：

1.深刻理解Taylor定理，掌握Taylor公式，熟悉兩種不同余項的Taylor

公式及其之間的差異；

2.掌握并熟記一些常用初等函數和Taylor展開公式，并能加以應用。

3.會用帶Taylor型余項的Taylor公式進行近似計算并估計誤差；會用代

Peanlo余項的Taylor公式求某些函數的極限。

教學重點：Taylor公式

教學難點：Taylor定理的證明及應用。

教學方法：系統講授法。

一.問題和任務:

用多項式逼近函數的可能性;對已知的函數,希望找一個多項式逼近到要求的

精度.

二.Taylor(1685—1731)多項式:

分析前述任務，引出用來逼近的多項式應具有的形式

定義Taylor多項式及Maclaurin多項式

例1求函數在點的Taylor多項式.

[1]P174.(留作閱讀)

三.Taylor公式和誤差估計:

稱為余項.稱給出的定量或定性描述的式

為函數的Taylor公式.

1.誤差的定量刻畫(整體性質)——Taylor中值定理:

Th1設函數滿足條件:

ⅰ>在閉區間上有直到階連續導數;

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68

ⅱ>在開區間內有階導數.則對使

.

證[1]P175—176.

稱這種形式的余項為Lagrange型余項.并稱帶有這種形式余項的

Taylor公式為具Lagrange型余項的Taylor公式.Lagrange型余項還可寫為

.

時,稱上述Taylor公式為Maclaurin公式,此時余項常寫為

.

2.誤差的定性描述(局部性質)——Peano型余項:

Th2若函數在點的某鄰域內具有階導數,且存在,則

,.

證設,.應用Hospital法則

次,并注意到存在,就有

=

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69

.

稱為Taylor公式的Peano型余項,相應的Maclaurin公

式的Peano型余項為.并稱帶有這種形式余項的Taylor公式為具

Peano型余項的Taylor公式(或Maclaurin公式).

四.函數的Taylor公式(或Maclaurin公式)展開:

1.直接展開:

例2求的Maclaurin公式.

解.

例3求的Maclaurin公式.

解,

.

例4求函數的具Peano型余項的Maclaurin公式.

解.

.

例5把函數展開成含項的具Peano型余項的Maclaurin

公式.([1]P179E5,留為閱讀.)

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--

70

2.間接展開:利用已知的展開式,施行代數運算或變量代換,求新的展開式.

例6把函數展開成含項的具Peano型余項的Maclaurin公

式.

解,

.

例7把函數展開成含項的具Peano型余項的Maclaurin公

式.

解,

注意,

.

例8先把函數展開成具Peano型余項的Maclaurin公式.利

用得到的展開式,把函數在點展開成具Peano型余項的

Taylor公式.

解.

臨沂師范學院《數學分析》教案

--

71

=+

例9把函數展開成具Peano型余項的Maclaurin公式，并與的

相應展開式進行比較.

解

;

.

而.

五.Taylor公式應用舉例:

1.證明是無理數:

例10證明是無理數.

證把展開成具Lagrange型余項的Maclaurin公式,有

.

反設是有理數,即和為整數),就有整數+.

臨沂師范學院《數學分析》教案

--

72

對也是整數.于是,整數=整數―整數=整數.

但由因而當時，不可能是整數.矛盾.

2.計算函數的近似值:

例11求精確到的近似值.

解.

注意到有.為使,

只要取.現取,即得數的精確到的近似值為

.

3.利用Taylor公式求極限:原理:

例12求極限.

解,

;

.

4.證明不等式：原理.

臨沂師范學院《數學分析》教案

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73

例13證明:時,有不等式.[3]P130E33.

§4函數的極值與最大（小）值（2學時）

教學目的：會求函數的極值和最值。

教學要求：

1.會求函數的極值與最值；

2.弄清函數極值的概念，取得極值必要條件以及第一、第二充分條件；掌握

求函數極值的一般方法和步驟；能靈活運用第一、第二充分條件判定函數的極值

與最值；會利用函數的極值確定函數的最值，對于取得極值的第三充分條件，也

應用基本的了解。

教學重點：利用導數求極值的方法

教學難點：極值的判定

教學方法：講授法＋演示例題

一．可微函數單調性判別法：

1．單調性判法：

Th1設函數在區間內可導.則在內↗(或↘)

在內(或).

證)

)證.

Th2設函數在區間內可導.則在內↗↗(或↘↘)

ⅰ>對有(或;

ⅱ>在內任子區間上

2.單調區間的分離:的升、降區間分別對應的非負、非正值區間.

例1分離函數的單調區間.

更一般的例可參閱[4]P147—148E13，14.

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--

74

二.可微極值點判別法:極值問題:極值點,極大值還是極小值,極值是多少.

1.可微極值點的必要條件:Fermat定理(表述為Th3).

函數的駐點和(連續但)不可導點統稱為可疑點,可疑點的求法.

2.極值點的充分條件:對每個可疑點,用以下充分條件進一步鑒別是否為

極值點.

Th4(充分條件Ⅰ)設函數在點連續,在鄰域和

內可導.則

ⅰ>在內在內時,

為的一個極小值點;

ⅱ>在內在內時,

為的一個極大值點;

ⅲ>若在上述兩個區間內同號,則不是極值點.

Th5(充分條件Ⅱ——“雨水法則”)設點為函數的駐點且

存在.則

ⅰ>當時,為的一個極大值點;

ⅱ>當時,為的一個極小值點.

證法一

當時,在點的某空心鄰域內與異

號,……

證法二用Taylor公式展開到二階,帶Peano型余項.

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--

75

Th6(充分條件Ⅲ)設,而.

則

ⅰ>為奇數時,不是極值點;

ⅱ>為偶數時,是極值點.且對應極小;對應極大.

例2求函數的極值.[1]P190E3

例3求函數的極值.[1]P190E4

3.函數的最值:設函數在閉區間上連續且僅有有限個可疑點

.則

=;

.

函數最值的幾個特例:

ⅰ>單調函數的最值:

ⅱ>如果函數在區間上可導且僅有一個駐點,則當為極大

值點時,亦為最大值點;當為極小值點時,亦為最小值點.

ⅲ>若函數在內可導且僅有一個極大(或小)值點,則該點亦為最

大(或小)值點.

ⅳ>對具有實際意義的函數,常用實際判斷原則確定最大(或小)值點.

三.最值應用問題:

例4、兩村距輸電線（直線）分別為和（如圖），長

.現兩村合用一臺變壓器供電.問變壓器設在何處,輸電線總長最

小.

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76

解設如圖，并設輸電線總長為.則有

,

,

解得和(捨去).答：……

四.利用導數證明不等式:

我們曾在前面簡介過用中值定理或Taylor公式證明不等式的一些方法.其實,

利用導數證明不等式的方法至少可以提出七種(參閱[3]P112—142).本段僅介

紹利用單調性或極值證明不等式的簡單原理.

1.利用單調性證明不等式:

原理:若↗,則對,有不等式.

例5證明:對任意實數和,成立不等式

證取在內↗

↗.于是,由,就有,即

.

2.不等式原理:[4]P169—171.

臨沂師范學院《數學分析》教案

--

77

不等式原理:設函數在區間上連續,在區間內可

導,且;又則時,(不等式原理的其

他形式.)

例6證明:時,.

例7證明:時,.

2.利用極值證明不等式:

例8證明:時,.

§5函數的凸性與拐點（2學時）

教學目的：掌握討論函數的凹凸性和方法。

教學要求：弄清函數凸性的概念，掌握函數凸性的幾個等價論斷，會求曲線

的拐點，能應用函數的凸性證明某些有關的命題。

教學重點：利用導數研究函數的凸性

教學難點：利用凸性證明相關命題

教學方法：系統講授法＋演示例題

一．凸性的定義及判定：

1．凸性的定義：由直觀引入.強調曲線彎曲方向與上升方向的區別.

定義設函數在區間上連續.若對,恒有

,或.

則稱曲線在區間上是凹(或凸)的.若在上式中,當時,

有嚴格不等號成立,則稱曲線在區間上是嚴格凹(或嚴格凸)的.

凹和凸也分別稱為上凸和下凸.

凸性的幾何意義:倘有切線,與切線的位置關系;與弦的位置關系;曲線的

彎曲方向.

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--

78

2．利用二階導數判斷曲線的凸向:

Th設函數在區間內存在二階導數,則在內

⑴在內嚴格上凸;

⑵在內嚴格下凸.

該判別法也俗稱為“雨水法則”.

證法一(用Taylor公式)對設,把

在點展開成具Lagrange型余項的Taylor公式,有

.

其中和在與之間.注意到,就有

,于是

若有上式中,即嚴格上凸.

若有上式中,即嚴格下凸.

證法二(利用Lagrange中值定理.)若則有↗↗,不

妨設,并設,分別在區間和上應用Lagrange

中值定理,有

臨沂師范學院《數學分析》教案

--

79

,

.

有又由，

<,，即

，嚴格下凸.

可類證的情況.

3．凸區間的分離:的正、負值區間分別對應函數的下凸和上凸區間.

二.曲線的拐點:拐點的定義.

例1確定函數的上凸、下凸區間和拐點.[4]P154E20

解的定義域為

.令,解得

.

在區間內的符號依次

為，.拐點為:

倘若注意到本題中的是奇函數,可使解答更為簡捷.

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--

80

三.Jenn不等式及其應用:

Jenn不等式:設在區間上恒有(或,則對

上的任意個點,有Jenn不等式:

(或,

且等號當且僅當時成立.

證令,把表為點處具二階Lagrange型余項的

Taylor公式，仿前述定理的證明，注意即得所證.

對具體的函數套用Jenn不等式的結果,可以證明一些較復雜的不等式.

這種證明不等式的方法稱為Jenn不等式法或凸函數法.具體應用時,往往還

用到所選函數的嚴格單調性.

例2證明:對有不等式.

例3證明均值不等式:對,有均值不等式

.

證先證不等式.

取.在內嚴格上凸,由Jenn不等式,有

.

臨沂師范學院《數學分析》教案

--

81

由↗↗.

對用上述已證結果,即得均值不等式的左半端.

例4證明:對,有不等式

.(平方根平均值)

例5設，證明.

解取,應用Jenn不等式.

Jenn不等式在初等數學中的應用舉例:參閱荊昌漢文:“凸(凹)函數

定理在不等式證明中的應用”,《數學通訊》1980.4.P39.

例6在⊿中,求證.

解考慮函數在

區間內凹,由Jenn不等式,有

.

.

例7已知.求證

.

臨沂師范學院《數學分析》教案

--

82

解考慮函數,在內嚴格上凸.由Jenn不等

式,有

.

.

例8已知求證.(留為作業)

解函數在內嚴格下凸.由Jenn不等式,有

.

習題、小結（2學時）

第七章實數的完備性

教學目的：

1.使學生掌握六個基本定理，能準確地加以表述，并深刻理解其實質意義；

2.明確基本定理是數學分析的理論基礎，并能應用基本定理證明閉區間上連續

函數的基本性質和一些有關命題，從而掌握應用基本定理進行分析論證的能力。

教學重點難點：本章的重點是實數完備性的基本定理的證明；難點是基本定

理的應用。

教學時數：14學時

§1關于實數集完備性的基本定理（4學時）

教學目的：

臨沂師范學院《數學分析》教案

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83

1.使學生掌握六個基本定理，能準確地加以表述，并深刻理解其實質意義；

2.明確基本定理是數學分析的理論基礎。

教學重點難點：實數完備性的基本定理的證明。

一．確界存在定理：回顧確界概念．

Th1非空有上界數集必有上確界；非空有下界數集必有下確界.

二.單調有界原理:回顧單調和有界概念.

Th2單調有界數列必收斂.

三.Cantor閉區間套定理:

1.區間套:設是一閉區間序列.若滿足條件

ⅰ>對,有,即,亦即后

一個閉區間包含在前一個閉區間中;

ⅱ>.即當時區間長度趨于零.

則稱該閉區間序列為一個遞縮閉區間套,簡稱為區間套.

簡而言之,所謂區間套是指一個“閉、縮、套”區間列.

區間套還可表達為:

.

我們要提請大家注意的是,這里涉及兩個數列和,其中遞

增,遞減.

例如和都是區間套.但、

和都不是.

區間套定理:

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Th3設是一閉區間套.則存在唯一的點,使對有

.

簡言之,區間套必有唯一公共點.

四．Cauchy收斂準則——數列收斂的充要條件:

1.基本列:回顧基本列概念.基本列的直觀意義.基本列亦稱為

Cauchy列.

例1驗證以下兩數列為Cauchy列:

⑴.

⑵.

解⑴

;

對，為使，易見只要.

于是取.

⑵

.

當為偶數時,注意到上式絕對值符號內有偶數項和下式每個括號均為正號,

有

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--

85

,

又

.

當為奇數時,

,

.

綜上,對任何自然數,有

.……

Cauchy列的否定:

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--

86

例2.驗證數列不是Cauchy列.

證對,取,有

.

因此,取,……

收斂原理:

Th4數列收斂是Cauchy列.

(要求學生復習函數極限、函數連續的Cauchy準則，并以Cauchy收斂原理為依

據，利用Heine歸并原則給出證明)

五.致密性定理:

數集的聚點

定義設是無窮點集.若在點(未必屬于)的任何鄰域內有的無

窮多個點,則稱點為的一個聚點.

數集=有唯一聚點,但;開區間的全體聚點之集

是閉區間;設是中全體有理數所成之集,易見的聚點集是閉

區間.

1.列緊性:亦稱為Weierstrass收斂子列定理.

Th5(Weierstrass)任一有界數列必有收斂子列.

2.聚點原理:Weierstrass聚點原理.

Th6每一個有界無窮點集必有聚點.

六.Heine–Borel有限復蓋定理:

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87

1.復蓋:先介紹區間族.

定義(復蓋)設是一個數集,是區間族.若對

,則稱區間族復蓋了,或稱區間族是數集的一個復蓋.記為

若每個都是開區間,則稱區間族是開區間族.開區間族常記為

.

定義(開復蓋)數集的一個開區間族復蓋稱為的一個開復蓋,簡

稱為的一個復蓋.

子復蓋、有限復蓋、有限子復蓋.

例3復蓋了區間,但不能復蓋

;復蓋,但不能復蓋

.

–Borel有限復蓋定理:

Th7閉區間的任一開復蓋必有有限子復蓋.

§2實數基本定理等價性的證明（4學時）

證明若干個命題等價的一般方法.

本節證明七個實數基本定理等價性的路線:證明按以下三條路線進行:

Ⅰ:確界原理單調有界原理區間套定理Cauchy收斂準則

確界原理;

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88

Ⅱ:區間套定理致密性定理Cauchy收斂準則;

Ⅲ:區間套定理Heine–Borel有限復蓋定理區間套定理.

一.“Ⅰ”的證明:(“確界原理單調有界原理”已證明過).

1.用“確界原理”證明“單調有界原理”:

Th2單調有界數列必收斂.

證

2.用“單調有界原理”證明“區間套定理”:

Th3設是一閉區間套.則存在唯一的點,使對有

.

證

系1若是區間套確定的公共點,則對,

當時,總有.

系2若是區間套確定的公共點,則有

↗,↘,.

3.用“區間套定理”證明“Cauchy收斂準則”:

Th4數列收斂是Cauchy列.

引理Cauchy列是有界列.(證)

Th4的證明:(只證充分性)教科書P217—218上的證明留作閱讀.現

采用[3]P70—71例2的證明,即三等分的方法,該證法比較直觀.

4．用“Cauchy收斂準則”證明“確界原理”：

Th1非空有上界數集必有上確界；非空有下界數集必有下確界.

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--

89

證（只證“非空有上界數集必有上確界”）設為非空有上界數集.當

為有限集時,顯然有上確界.下設為無限集,取不是的上界,

為的上界.對分區間,取,使不是的上界,為

的上界.依此得閉區間列.驗證為Cauchy列,由Cauchy收斂

準則,收斂;同理收斂.易見↘.設↘.有↗.下

證.用反證法驗證的上界性和最小性.

二.“Ⅱ”的證明:

1.用“區間套定理”證明“致密性定理”:

Th5(Weierstrass)任一有界數列必有收斂子列.

證（突出子列抽取技巧）

Th6每一個有界無窮點集必有聚點.

證（用對分法）

2．用“致密性定理”證明“Cauchy收斂準則”：

Th4數列收斂是Cauchy列.

證（只證充分性）證明思路：Cauchy列有界有收斂子列驗證收

斂子列的極限即為的極限.

三.“Ⅲ”的證明:

1.用“區間套定理”證明“Heine–Borel有限復蓋定理”:

證

2.用“Heine–Borel有限復蓋定理”證明“區間套定理”:

證采用[3]P72例4的證明.

§3閉區間上連續函數性質的證明（4學時）

教學目的：能應用基本定理證明閉區間上連續函數的基本性質和一些有關命

題，從而掌握應用基本定理進行分析論證的能力。

臨沂師范學院《數學分析》教案

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教學重點難點：基本定理的應用。

一.有界性:

命題1,在上.

證法一(用區間套定理).反證法.

證法二(用列緊性).反證法.

證法三(用有限復蓋定理).

二.最值性:

命題2,在上取得最大值和最小值.

(只證取得最大值)

證(用確界原理)參閱[1]P226[證法二]后半段.

三.介值性:證明與其等價的“零點定理”.

命題3(零點定理)

證法一(用區間套定理).

證法二(用確界原理).不妨設.

令,則非空有界,有上確界.設

,有.現證,(為此證明且).

取>且.由在點連續和,

,

.于是.由在點連續和,

.因此只能有.

證法三(用有限復蓋定理).

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91

四.一致連續性:

命題4(Cantor定理)

證法一(用區間套定理).參閱[1]P229—230[證法一]

證法二(用列緊性).參閱[1]P229—230[證法二]

習題課（2學時）

一．實數基本定理互證舉例：

例1用“區間套定理”證明“單調有界原理”.

證設數列遞增有上界.取閉區間,使不是的上

界,是的上界.易見在閉區間內含有數列的無窮多項,

而在外僅含有的有限項.對分,取使有

的性質.…….于是得區間套,有公共點.易見在點的

任何鄰域內有數列的無窮多項而在其外僅含有的有限項,

.

例2用“確界原理”證明“區間套定理”.

證為區間套.先證每個為數列的下界,而每個

為數列的上界.由確界原理,數列有上確界,數列有下

確界.設,.

易見有和.由，.

例3用“有限復蓋定理”證明“聚點原理”.

證(用反證法)設為有界無限點集,.反設的

每一點都不是的聚點,則對,存在開區間,使在

內僅有的有限個點.…….

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92

例4用“確界原理”證明“聚點原理”.

證設為有界無限點集.構造數集中大于的點有無窮多

個.易見數集非空有上界,由確界原理,有上確界.設.

則對,由不是的上界,中大于的點有無窮多個;由

是的上界,

中大于的點僅有有限個.于是,在內有的無窮

多個點,即是的一個聚點.

二.實數基本定理應用舉例：

例5設是閉區間上的遞增函數,但不必連續.如果

,,則,使.(山東大學研究生入學試題)

證法一(用確界技術.參閱[3]P76例10證法1)

設集合.則,不空;

,有界.由確界原理,有上確界.設,則.下

證.

ⅰ>若,有;又,得.

由遞增和,有,可見.由

,.于是,只能有.

ⅱ>若,則存在內的數列,使↗,;也

存在數列,↘,.由遞增,以及

,就有式對任何成立.令,得

于是有.

臨沂師范學院《數學分析》教案

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93

證法二(用區間套技術,參閱[3]P77例10證法2)當或

時,或就是方程在上的實根.以下總設

.對分區間,設分點為.倘有,就是方

程在上的實根.(為行文簡練計,以下總設不會出現這種情況).

若,取;若,取,如此得一級

區間.依此構造區間套,對,有

.由區間套定理,,使對任何,

有.現證.事實上,注意到時↗和

↘以及遞增,就有

.

令,得于是有.

例6設在閉區間上函數連續,遞增,且有

,.試證明:方程在區間內有實根.

（西北師大2001年碩士研究生入學試題）

證構造區間套,使.由區間套定

理,,使對,有.現證.事實上,由

在上的遞增性和的構造以及↗和↘,,有

.

注意到在點連續，由Heine歸并原則,有

,

臨沂師范學院《數學分析》教案

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94

,.為方程在區間

內的實根.

例7試證明:區間上的全體實數是不可列的.

證(用區間套技術,具體用反證法)反設區間上的全體實數是

可列的,即可排成一列:

把區間三等分，所得三個區間中至少有一個區間不含，記該區

間為一級區間.把區間三等分，所得三個區間中至少有一個區

間不含，記該區間為二級區間.…….依此得區間套,

其中區間不含.由區間套定理,,使對,有

.當然有.但對有而,

.矛盾.

第八章不定積分

教學要求：

1.積分法是微分法的逆運算。要求學生：深刻理解不定積分的概念，掌握原

函數與不定積分的概念及其之間的區別；掌握不定積分的線性運算法則，熟練掌

握不定積分的基本積分公式。

2.換元積分公式與分部積分公式在本章中處于十分重要的地位。要求學生：

牢記換元積分公式和選取替換函數（或湊微分）的原則，并能恰當地選取替換函

數（或湊微分），熟練地應用換元積分公式；牢記分部積分公式，知道求哪些函

數的不定積分運用分部積分公式，并能恰當地將被積表達式分成兩部分的乘積，

熟練地應用分部積分公式；獨立地完成一定數量的不定積分練習題，從而逐步達

到快而準的求出不定積分。

3.有理函數的不定積分是求無理函數和三角函數有理式不定積分的基礎。要

求學生：掌握化有理函數為分項分式的方法；會求四種有理最簡真分式的不定積

分，知道有理函數的不定積分（原函數）還是初等函數；學會求某些有理函數的

臨沂師范學院《數學分析》教案

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95

不定積分的技巧；掌握求某些簡單無理函數和三角函數有理式不定積分的方法，

從理論上認識到這些函數的不定積分都能用初等函數表示出來。

教學重點：深刻理解不定積分的概念；熟練地應用換元積分公式；熟練地應用

分部積分公式；

教學時數：18學時

§1不定積分概念與基本公式（4學時）

教學要求：積分法是微分法的逆運算。要求學生：深刻理解不定積分的概

念，掌握原函數與不定積分的概念及其之間的區別；掌握不定積分的線性運算法

則，熟練掌握不定積分的基本積分公式。

教學重點：深刻理解不定積分的概念。

一、新課引入：微分問題的反問題，運算的反運算.

二、講授新課：

（一）不定積分的定義:

1.原函數：

例1填空:;(;

;;;

.

定義.注意是的一個原函數.

原函數問題的基本內容：存在性，個數，求法.

原函數的個數:

Th若是在區間上的一個原函數,則對，都是

在區間上的原函數；若也是在區間上的原函數，則必有

.(證)

臨沂師范學院《數學分析》教案

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96

可見，若有原函數，則的全體原函數所成集合為

{│Ｒ}.

原函數的存在性:連續函數必有原函數.(下章給出證明).

可見,初等函數在其定義域內有原函數;若在區間上有原函數,

則在區間上有介值性.

例2.已知為的一個原函數,=5.求.

2.不定積分——原函數族：定義；不定積分的記法；幾何意義.

例3;.

（二）不定積分的基本性質:以下設和有原函數.

⑴.

(先積分后求導,形式不變應記牢！).

⑵.

(先求導后積分,多個常數需當心！)

⑶時，

（被積函數乘系數，積分運算往外挪！）

⑷

由⑶、⑷可見,不定積分是線性運算,即對,有

臨沂師范學院《數學分析》教案

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97

(當時,上式右端應理解為任意常數.)

例4.求.(=2).

（三）.不定積分基本公式:基本積分表.[1]P180—公式1—14.

例5.

（四）．利用初等化簡計算不定積分:

例6.求.

例7.

例8.

例9.

例10⑴;⑵

例11.

例12.

三、小結

§2換元積分法與分部積分法（10學時）

教學要求：換元積分公式與分部積分公式在本章中處于十分重要的地位。要

求學生：牢記換元積分公式和選取替換函數（或湊微分）的原則，并能恰當地選

取替換函數（或湊微分），熟練地應用換元積分公式；牢記分部積分公式，知道

求哪些函數的不定積分運用分部積分公式，并能恰當地將被積表達式分成兩部分

臨沂師范學院《數學分析》教案

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的乘積，熟練地應用分部積分公式；獨立地完成一定數量的不定積分練習題，從

而逐步達到快而準的求出不定積分。

教學重點：熟練地應用換元積分公式；熟練地應用分部積分公式；

一、新課引入：由直接積分的局限性引入

二、講授新課：

（一）.第一類換元法——湊微分法：

由

引出湊微公式.

Th1若連續可導,則

該定理即為：若函數能分解為

就有

.

例1.

例2.

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例3

常見微分湊法：

湊法1

例4

例5

例6

例7

由例4—7可見，常可用初等化簡把被積函數化為型，然后用湊法1.

例8⑴.⑵

.

湊法2.特別地,有

.和.

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例9.

例10

例11.

例12

=.

湊法3

例13⑴⑵

例14

例15.

例16

湊法4.

例17