二次函數知識點

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數學二次函數知識點總結

數學二次函數知識點總結

在數學中，二次函數最高次必須為二次。數學二次函數知識點總

結，希望可以幫助到大家，一起來看看下文。

數學二次函數知識點總結一

1二次函數及其圖像

二次函數(quadraticfunction)是指未知數的最高次數為二次的

多項式函數。二次函數可以表示為f(x)=ax^2bxc(a不為0)。其圖像

是一條主軸平行于y軸的拋物線。

一般的，自變量x和因變量y之間存在如下關系：

一般式

y=ax∧2;bxc(a≠0,a、b、c為常數)，頂點坐標為(-b/2a，-(4ac-

b∧2)/4a);

頂點式

y=a(xm)∧2k(a≠0,a、m、k為常數)或y=a(x-h)∧2k(a≠0,a、

h、k為常數)，頂點坐標為(-m，k)對稱軸為x=-m，頂點的位置特征

和圖像的開口方向與函數y=ax∧2的圖像相同，有時題目會指出讓你

用配方法把一般式化成頂點式;

交點式

y=a(x-x1)(x-x2)[僅限于與x軸有交點A(x1，0)和B(x2，0)的

拋物線];

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重要概念：a，b，c為常數，a≠0，且a決定函數的開口方向，

a>0時，開口方向向上，a牛頓插值公式(已知三點求函數解析式)

y=(y3(x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2)(y2(x-x1)(x-

x3))/((x2-x1)(x2-x3)(y1(x-x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3)。由此可

引導出交點式的系數a=y1/(x1*x2)(y1為截距)

求根公式

二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。

x是自變量，y是x的二次函數

x1,x2=[-b±(√(b^2-4ac))]/2a

(即一元二次方程求根公式)

求根的方法還有因式分解法和配方法

在平面直角坐標系中作出二次函數y=2x的平方的圖像，

可以看出，二次函數的圖像是一條永無止境的拋物線。不同的二

次函數圖像

如果所畫圖形準確無誤，那么二次函數將是由一般式平移得到的。

注意：草圖要有1本身圖像，旁邊注明函數。

2畫出對稱軸，并注明X=什么

3與X軸交點坐標，與Y軸交點坐標，頂點坐標。拋物線的性質

軸對稱

1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x=-b/2a。

對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。

特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)

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頂點

2.拋物線有一個頂點P，坐標為P(-b/2a，4ac-b^2;)/4a)

當-b/2a=0時，P在y軸上;當Δ=b^2;-4ac=0時，P在x軸上。

開口

3.二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小。

當a>0時，拋物線向上開口;當a|a|越大，則拋物線的開口

越小。

決定對稱軸位置的因素

4.一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置。

當a與b同號時(即ab>0)，對稱軸在y軸左;因為若對稱軸在左

邊則對稱軸小于0，也就是-b/2a當a與b異號時(即ab0,所以

b/2a要小于0，所以a、b要異號

可簡單記憶為左同右異，即當a與b同號時(即ab>0)，對稱軸

在y軸左;當a與b異號時(即ab事實上，b有其自身的幾何意

義：拋物線與y軸的交點處的該拋物線切線的函數解析式(一次函數)

的斜率k的值。可通過對二次函數求導得到。

決定拋物線與y軸交點的因素

5.常數項c決定拋物線與y軸交點。

拋物線與y軸交于(0，c)

拋物線與x軸交點個數

6.拋物線與x軸交點個數

Δ=b^2-4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點。

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Δ=b^2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。

Δ=b^2-4ac當a>0時，函數在x=-b/2a處取得最小值f(-

b/2a)=4ac-b/4a;在{x|x{x|x>-b/2a}上是增函數;拋物線的開口

向上;函數的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不變

當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸，這時，函數是偶函數，解析

式變形為y=ax^2c(a≠0)

特殊值的形式

7.特殊值的形式

①當x=1時y=abc

②當x=-1時y=a-bc

③當x=2時y=4a2bc

④當x=-2時y=4a-2bc

二次函數的性質

8.定義域：R

值域：(對應解析式，且只討論a大于0的情況，a小于0的情

況請讀者自行推斷)①[(4ac-b^2)/4a，

正無窮);②[t，正無窮)

奇偶性：當b=0時為偶函數，當b≠0時為非奇非偶函數。

周期性：無

解析式：

①y=ax^2bxc[一般式]

⑴a≠0

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⑵a>0，則拋物線開口朝上;a⑶極值點：(-b/2a，(4ac-

b^2)/4a);

⑷Δ=b^2-4ac,

Δ>0，圖象與x軸交于兩點：

([-b-√Δ]/2a，0)和([-b√Δ]/2a，0);

Δ=0，圖象與x軸交于一點：

(-b/2a，0);

Δ②y=a(x-h)^2k[頂點式]

此時，對應極值點為(h，k)，其中h=-b/2a，k=(4ac-b^2)/4a;

③y=a(x-x1)(x-x2)[交點式(雙根式)](a≠0)

對稱軸X=(X1X2)/2當a>0且X≧(X1X2)/2時，Y隨X的增大而

增大，當a>0且X≦(X1X2)/2時Y隨X

的增大而減小

此時，x1、x2即為函數與X軸的兩個交點，將X、Y代入即可求

出解析式(一般與一元二次方程連

用)。

交點式是Y=A(X-X1)(X-X2)知道兩個x軸交點和另一個點坐標設

交點式。兩交點X值就是相應X1X2值。

26.2用函數觀點看一元二次方程

1.如果拋物線與x軸有公共點，公共點的橫坐標是，那么當時，

函數的值是0，因此就是方程的一個根。

2.二次函數的圖象與x軸的位置關系有三種：沒有公共點，有一

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個公共點，有兩個公共點。這對應著一元二次方程根的三種情況：沒

有實數根，有兩個相等的實數根，有兩個不等的實數根。

26.3實際問題與二次函數

在日常生活、生產和科研中，求使材料最省、時間最少、效率最

高等問題，有些可歸結為求二次函數的最大值或最小值。

數學二次函數知識點總結二

數學要點：二次函數圖象和性質是二次函數的圖象是對稱軸平行

于y?軸的拋物線。接下來為大家帶來的是初中數學知識點總結之二

次函數。

二次函數

提醒大家：上面的內容是二次函數知識點，請大家做好筆記了。

初中數學知識點總結：平面直角坐標系

平面直角坐標系

平面直角坐標系：在平面內畫兩條互相垂直、原點重合的數軸，

組成平面直角坐標系。

水平的數軸稱為x軸或橫軸，豎直的數軸稱為y軸或縱軸，兩坐

標軸的交點為平面直角坐標系的原點。

平面直角坐標系的要素：①在同一平面②兩條數軸③互相垂直④

原點重合

三個規定：

①正方向的規定橫軸取向右為正方向，縱軸取向上為正方向

②單位長度的規定；一般情況，橫軸、縱軸單位長度相同；實際

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有時也可不同，但同一數軸上必須相同。

③象限的規定：右上為第一象限、左上為第二象限、左下為第三

象限、右下為第四象限。

相信上面對平面直角坐標系知識的講解學習，同學們已經能很好

的掌握了吧，希望同學們都能考試成功。

初中數學知識點：平面直角坐標系的構成

對于平面直角坐標系的構成內容，下面我們一起來學習哦。

平面直角坐標系的構成

在同一個平面上互相垂直且有公共原點的兩條數軸構成平面直

角坐標系，簡稱為直角坐標系。通常，兩條數軸分別置于水平位置與

鉛直位置，取向右與向上的方向分別為兩條數軸的正方向。水平的數

軸叫做X軸或橫軸，鉛直的數軸叫做Y軸或縱軸，X軸或Y軸統稱為

坐標軸，它們的公共原點O稱為直角坐標系的原點。

通過上面對平面直角坐標系的構成知識的.講解學習，希望同學

們對上面的內容都能很好的掌握，同學們認真學習吧。

初中數學知識點：點的坐標的性質

點的坐標的性質

建立了平面直角坐標系后，對于坐標系平面內的任何一點，我們

可以確定它的坐標。反過來，對于任何一個坐標，我們可以在坐標平

面內確定它所表示的一個點。

對于平面內任意一點C，過點C分別向Ｘ軸、Ｙ軸作垂線，垂足

在Ｘ軸、Ｙ軸上的對應點a，b分別叫做點C的橫坐標、縱坐標，有

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序實數對（a，b）叫做點C的坐標。

一個點在不同的象限或坐標軸上，點的坐標不一樣。

希望上面對點的坐標的性質知識講解學習，同學們都能很好的掌

握，相信同學們會在考試中取得優異成績的。

初中數學知識點：因式分解的一般步驟

關于數學中因式分解的一般步驟內容學習，我們做下面的知識講

解。

因式分解的一般步驟

如果多項式有公因式就先提公因式，沒有公因式的多項式就考慮

運用公式法；若是四項或四項以上的多項式，

通常采用分組分解法，最后運用十字相乘法分解因式。因此，可

以概括為：“一提”、“二套”、“三分組”、“四十字”。

注意：因式分解一定要分解到每一個因式都不能再分解為止，否

則就是不完全的因式分解，若題目沒有明確指出在哪個范圍內因式分

解，應該是指在有理數范圍內因式分解，因此分解因式的結果，必須

是幾個整式的積的形式。

相信上面對因式分解的一般步驟知識的內容講解學習，同學們已

經能很好的掌握了吧，希望同學們會考出好成績。

初中數學知識點：因式分解

因式分解

因式分解定義：把一個多項式化成幾個整式的積的形式的變形叫

把這個多項式因式分解。

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因式分解要素：①結果必須是整式②結果必須是積的形式③結果

是等式④

因式分解與整式乘法的關系：m(a+b+c)

公因式：一個多項式每項都含有的公共的因式，叫做這個多項式

各項的公因式。

公因式確定方法：①系數是整數時取各項最大公約數。②相同字

母取最低次冪③系數最大公約數與相同字母取最低次冪的積就是這

個多項式各項的公因式。

提取公因式步驟：

①確定公因式。②確定商式③公因式與商式寫成積的形式。

分解因式注意；

①不準丟字母

②不準丟常數項注意查項數

③雙重括號化成單括號

④結果按數單字母單項式多項式順序排列

⑤相同因式寫成冪的形式

⑥首項負號放括號外

⑦括號內同類項合并。

通過上面對因式分解內容知識的講解學習，相信同學們已經能很

好的掌握了吧，希望上面的內容給同學們的學習很好的幫助。