齒頂圓

1

漸開線直齒圓柱齒輪齒厚測量方法及其計公算式

本文意欲回答讀者在查閱設計手冊時無從知曉而常常提出來的關于幾個基本含義的問題：什么是公法線？什么是量柱距？什么是固定弦和分度

圓弦？它們的計算公式是怎樣推出來的等等。

漸開線圓柱齒輪常用的齒厚測量方法有公法線長度、量柱（或球）距、分度圓弦齒厚、固定弦齒厚四

種方法。后兩種方法是測量單個齒，一般用于大型齒輪。對于精度要求不太高的齒輪也常用分度圓弦測量

法。公法線長度測量在外齒輪上用得最多，內齒輪也可用；大齒輪測量因受量具限制很少用。量柱距測量

主要用于內齒輪和小模數齒輪。

1.公法線長度測量

（1）公法線及其長度計算式

對于漸開線齒廓，根據漸開線的性質，其上任意點的法線總是和基圓相切，因此用兩個平行的卡爪

卡住幾個齒時（見圖1），兩個卡爪接觸點A、B的連線必定與基圓相切于某一點C，這條AB連線就叫公

法線，一般用W

k

表示；下標k表示卡住的齒數。

圖1中，根據漸開線的性質，AC＝AC?

)

；

BC＝BC?⌒；AB＝AB??⌒。AB是（k-1）個基圓齒距p

b

和一個基圓齒厚S

b

之和，即：

(1)(1)cos

kbbb

WkpSkmS????????……（1-1）

式中，

k

–跨測齒數；

?–壓力角（°）；

m–模數，mm；

分度圓和基圓上的齒厚具有如下關系：

22

b

b

s

s

invinvo

rr

?????

由上等式可得：

(2tan)2

2

b

bb

r

m

sxmrinv

r

?

?????圖1公法線長度的測量計算

=

1

cos2sincos

2

mxmzminv???????…………（1-2）

將（1-2）式代入（1-1）式，經整理后可得公法線長度計算式為：

cos[(0.5)2tan]

k

Wmzinvkx????????…………（1-3）

式中，z–齒輪的齒數；

inv?

–漸開線函數；

x–變位系數；

若模數m=1,（1-3）式變為：

cos[(0.5)2tan]

k

Wzinvkx????????

cos[(0.5)2sinzinvkx?????????

Kk

WW?????…………（1-4）

2

（1-4）式中第二行的前一項cos(0.5)

k

Wk???????［zinv］就是m=1的標準齒輪的公法線長度。

后一項2sin

k

Wx????為m=1的齒輪變位后公法線長度的附加量。

k

W?和

k

W??二項的數據可直接由《機械設計手冊》或《齒輪手冊》等資料中查取，將其值相加再乘以模數

便得到齒輪的公法線長度。所以，查表計算的公法線長度為：

()

kkk

WWWm?????…………（1-5）

對于斜齒輪，公式中的?和x應為法面值

n

?和

n

x，齒數z應為假想齒數z?。其中t

n

inv

zz

inv

?

?

???

式中，

t

?為端面壓力角。

公式（1-3）、（1-4）、（1-5）同樣適用于內齒輪，只是其中的k值代表跨齒槽數而已。當α=20°時，

其公法線長度也可同外齒輪一樣直接由《機械設計手冊》或《齒輪手冊》等資料中查取。

（2）跨測齒數k的確定

跨測齒數選擇要適當，多或少均不合適，所以要選擇一個合適的齒數。

對于不變位的標準齒輪，公法線千分尺的兩個測量平面應相切于分度圓附近。若正好切于分度圓上A、

B兩點（圖2），則公法線長度為：

2sin

k

ABrW???…………（1-6）

這時，AB間所跨的齒數為：

A

1b

b

BS

k

p

???

??

⌒

……………(1-7)

因為AB??⌒＝AB＝2rsin?,

將該式與（1-2）式(式中x=0)代入(1-7)式，可得：

0.5

z

k

?

?

??（式中?為弧度）；

將?轉換為以度為單位（360°＝2π弧度），則：

0.5

180

z

k

?

??

?

…………………（1-8）

上式計算出的結果四舍五入予以圓整。圖2卡爪與齒輪相切于分度圓

當?＝20°，跨測齒數計算式為：

0.5

9

z

k??，……………（1-9）

當－0.3≤x≤+0.3時，跨測齒數k均可用此式計算。

對于變位齒輪，是假定卡尺在輪齒中部所在的中圓附近接觸，可據此推出：

22

122

[(1)costan]0.5

cos

zxx

kinv

zz

???

??

??????

當x＞∣±0.3∣時，可按下計算跨測齒數。

3

2

0.5

180

zxctg

k

??

?

???

?

…………………（1-10）

20???時的k值可查《機械設計手冊》中的線圖確定（內齒輪的k值是跨測齒槽數）。

2.量柱距測量

（1）量柱（或球）直徑d

p

量柱（或球）測量可以比較自由地選取量柱直徑，只要直徑合適即可。合適的含義是：

○1量柱直徑要足夠大，在齒槽中放上量柱以后，其外表應高出齒頂，以便測量時測頭不碰齒頂。

○2量柱應與齒槽兩側的漸開線齒面部分接觸，通常選擇在輪齒中部。

量柱直徑的取值通常用模數m來表示。

對于內齒輪，量柱直徑的適用范圍大約為（1.4~1.7）m。通常取d

p

=1.68m，有時也有取1.65m的，

甚至取到1.44m，但1.44m有時會低于齒面，不便測量。

對于外齒輪，量柱直徑的適用范圍大約為（1.6~1.9）m。常取d

p

=1.92m，或1.728m、1.68m等，大

約在嚙合節圓附近接觸。

（2）量柱距M的計算

計算M值分偶數齒（雙數，齒槽相對）和奇數齒（單數），見圖3。

○1首先要計算通過量柱中心的量柱接觸點的漸開線壓力角

M

?（見圖4，公式推導從略）

.

圖3內、外齒輪量柱距測量圖4量柱接觸點壓力角

m

?計算

2tan

cos2

p

M

d

x

invinv

mzzz

??

??

?

????……………………………（2-1）

當20???時，

M

inv?按下式計算：

1

0.014904(1.064181.57080.728)p

M

d

invx

zm

?????………………（2-2）

○2M值計算：

對于偶數齒：

cos

cosp

M

mz

Md

?

?

??………………………………………（2-3）

對于奇數齒：

cos90

cos

cosp

M

mz

Md

z

?

?

??

?

…………………………………（2-4）

公式（2-1）~（2-4）中的?號或

?

號，上面的用于外齒輪，下面的用于內齒輪；x為變位系數。

4

○3M值的上、下偏差E

Ms

和E

Mi

的確定

M值的上、下偏差由齒輪的公法線平均長度上、下偏差換算得出，其換算公式見表1。

表1

內

齒

輪

偶

數

齒

上偏差

Ms

E

sinsin

wmswmwm

Ms

MM

EET

E

??

????

??

公式中：

wms

E?

齒輪的公法線平均長度上偏差

wmi

E?

齒輪的公法線平均長度下偏差

wmwmswmi

TEE???

齒輪的公法線平均長度公差

Z-齒輪的齒數

M

?-通過量柱中心的量柱接觸點的漸開線壓力角

wm

E

-齒輪的公法線平均長度最小偏差值，通常按

wms

E

取值，例如

直徑為200mm，模數為8mm的8級精度直齒輪，其公法線平

均長度上、下偏差代號為FH,對應的偏差值為-128μm和

-256μm,則

wm

E

取值為-128μm。

下偏差

Mi

E

sinsin

wmiwm

Mi

MM

EE

E

??

???

??

奇

數

齒

上偏差

Ms

E

9090

coscos

sinsin

wmswmwm

Ms

MM

EET

E

ZZ??

??????

??

下偏差

Mi

E

9090

coscos

sinsin

wmiwm

Mi

MM

EE

E

ZZ??

???

??

??

外

齒

輪

偶

數

齒

上偏差

Ms

E

sinsin

wmswm

Ms

MM

EE

E

??

???

??

下偏差

Mi

E

sinsin

wmiwmwm

Mi

MM

EET

E

??

????

??

○4內、外齒輪M值及其上、下偏差的標注形式為Ems

Emi

M。

3.弦齒厚測量

弦齒厚測量多用于大模數齒輪，測單個齒。通過以齒頂圓為基準，測量一定高度上的齒厚來控制齒輪

的尺寸。常用的有測量分度圓弦齒厚（圖5）和固定弦齒厚（圖6）兩種方法。這兩種方法都要以齒頂圓

為基準，因此齒頂圓尺寸精度要求高(6~8精度齒輪為IT8)。

測量分度圓弦齒厚，當變位系數較大時不方便，有的可能不能測量。對于斜齒輪，還要換算成當量齒

數，也不方便。此外，其測量精度也不高。固定弦測量計算比較簡單，但也有測量精度不高，模數小時測

量不方便的缺點。

圖5分度圓弦齒厚測量圖6固定弦齒厚測量

（1）分度圓弦齒厚測量：

分度圓弦齒厚的計算與測量內、外齒輪有別，外齒輪應用較多。其測量尺寸的計算公式根據圖5所

示幾何關系推出。計算測量尺寸的公式列于表2中。

表2分度圓弦齒厚測量計算公式

名稱直齒輪

外

齒

輪

標準

齒輪

弦齒厚

2sinsin

2

srmz

mz

??

??

（見圖5）；式中，m—模數，z—齒數

弦齒高

11

(1cos)[(1cos)]

2222aa

hhmmzmhz

zz

??

????????

；式中，

a

h?—齒頂高系數

變位

齒輪

弦齒厚

2tan

sin()

2

x

smz

zz

??

??

；式中，x—變位系數；?—壓力角（°）；

5

弦齒高

12tan

[1cos()]

22a

x

hhmmz

zz

??

?????

內

齒

輪

標準

齒輪

弦齒厚

2

sinsmz

mz

?

?

2

弦齒高

2

1

(1cos)

22a

hhmzh

z

?

?????

22

2

；式中，2

2

(1cos);

2

a

a

d

h????

2

22

2

2aa

invinv

z

?

??????；

2a

d

—齒頂圓直徑；

2a

?

—齒頂圓壓力角，

22

arccos(/)

aba

dd??

，其中，

2

coscos

b

ddmz????

—基圓直徑。

變位

齒輪

弦齒厚2

2

22

2tan

sin()

2

x

smz

zz

?

?

??；

弦齒高

2

222

22

2tan

1

[1cos()];

22a

x

hhmzh

zz

?

?

??????式中，

2a

h

—內齒輪齒頂高；2

22

(1cos);

2

a

a

d

h????

而

22

2

2tan

2aa

x

invinv

zz

??

???????

為使用方便，通常將各種齒數20???，m=1,1

a

h??的非變位標準直齒圓柱外齒輪的分度圓弦齒厚和

弦齒高制成參數表，使用時按外齒輪的實際齒數查取相應數值再分別乘以模數數值即得所需數值。

（2）固定弦齒厚測量：

以外齒輪為例，所謂固定弦就是將產形齒條的齒槽跨在齒輪的齒上，齒條與輪齒的切點A和B之間

的距離即是固定弦

c

s。固定弦齒厚可根據其固定弦長與齒條基準線上的距離CD（CD等于

/2m?）之間

的幾何關系推導出來。固定弦不涉及齒輪變位，也不涉及拱高。計算固定弦測量尺寸的公式列于表3中。

表3固定弦齒厚測量計算公式

名稱直齒輪斜齒輪

外

齒

輪

標準

齒輪

弦齒厚

2

2

cos

;

2(1tan)2c

mm

s

???

?

??

?

2

2

cos

;

2(1tan)2

nnn

cn

n

mm

s

???

?

??

?

弦齒高

sin2;

8ca

m

hh

?

???

式中，

a

h?

齒頂高

sin2;

8

n

cnan

m

hh

?

???

變位

齒輪

弦齒厚2(cossin2);

2c

smx

?

????2(cossin2);

2cnnnnn

smx

?

????

弦齒高2(sin2sin);

8ca

hhmx

?

?????2(sin2sin);

8cnannnn

hhmx

?

?????

內

齒

輪

標準

齒輪

弦齒厚

2cos

;

2c

m

s

??

?

2cos

;

2

nn

cn

m

s

??

?

弦齒高

222

sin2;

8ca

m

hhh

?

?????

式中，2

22

(1cos);

2

a

a

d

h????

22

2

;

2aa

invinv

z

?

??????

222

sin2;

8

n

cnan

m

hhh

?

?????2

22

(1cos);

2

a

a

d

h????

22

2

;

2atat

invinv

z

?

??????

變位

齒輪

弦齒厚2(cossin2);

2c

smx

?

????2(cossin2);

2cnnnnn

smx

?

????

弦齒高

2

2222

(sin2sin);

8ca

hhmxh

?

???????

式中，

2

22

(1cos);

2

a

a

d

h????

2

22

22

2tan

;

2aa

x

invinv

zz

?

?

???????

2

2222

(sin2sin);

8cnannnn

hhmxh

?

???????

式中，

2

22

(1cos);

2

a

a

d

h????

2

22

22

2tan

;

2

n

atat

x

invinv

zz

?

?

???????

6

為方便使用，通常也將201

a

h?????，的各種模數的標準外齒輪以及20???，

1,m?1

a

h??的變位外

齒輪的固定弦齒厚和弦齒高制成參數表供直接查詢。

無錫市萬向聯軸器有限公司余銘2008-11-9