數列公式求和

1

一、利用常用求和公式求和

利用以下常用求和公式求和是數列求和的最基本最重要的方法.

1、等差數列求和公式：d

nn

na

aan

Sn

n2

)1(

2

)(

1

1

?

??

?

?

2、等比數列求和公式：

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

)1(

11

)1(

)1(

1

1

1

q

q

qaa

q

qa

qna

S

n

n

n

3、)1(

2

1

1

????

?

nnkS

n

k

n

4、)12)(1(

6

1

1

2?????

?

nnnkS

n

k

n

5、2

1

3)]1(

2

1

[????

?

nnkS

n

k

n

[例1]已知

3log

1

log

2

3

?

?x，求???????????nxxxx32的前n項和.

解：由

2

1

2loglog

3log

1

log

33

2

3

?????

?

?xxx

由等比數列求和公式得n

n

xxxxS????????32〔利用常用公式〕

＝

x

xxn

?

?

1

)1(

＝

2

1

1

)

2

1

1(

2

1

?

?

n

＝1－

n2

1

[例2]設S

n

＝1+2+3+…+n，n∈N*,求

1

)32(

)(

?

?

?

n

n

Sn

S

nf的最大值.

解：由等差數列求和公式得)1(

2

1

??nnS

n

，

)2)(1(

2

1

???nnS

n

〔利用常用公式〕

∴

1

)32(

)(

?

?

?

n

n

Sn

S

nf＝

64342??nn

n

＝

n

n

64

34

1

??

＝

50)

8

(

1

2??

n

n

50

1

?

∴當

8

8

?n，即n＝8時，

50

1

)(

max

?nf

題1.等比數列的前ｎ項和S

ｎ

＝2ｎ－１，則＝

2

題2．假設12+22+…+(n-1)2=an3+bn2+cn，則a=,b=,c=

.

解：原式=答案：

二、錯位相減法求和

這種方法是在推導等比數列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數列{a

n

·b

n

}的前n

項和，其中{a

n

}、{b

n

}分別是等差數列和等比數列.

[例3]求和：132)12(7531???????????n

n

xnxxxS………………………①

解：由題可知，{1)12(??nxn}的通項是等差數列{2n－1}的通項與等比數列{1?nx}的通項之積

設n

n

xnxxxxxS)12(7531432??????????……………………….②〔設制錯位〕

①－②得nn

n

xnxxxxxSx)12(222221)1(1432??????????????〔錯位相減〕

再利用等比數列的求和公式得：n

n

n

xn

x

x

xSx)12(

1

1

21)1(

1

??

?

?

????

?

∴

2

1

)1(

)1()12()12(

x

xxnxn

S

nn

n?

?????

?

?

[例4]求數列??????,

2

2

,,

2

6

,

2

4

,

2

2

32n

n

前n項的和.

解：由題可知，{

n

n

2

2

}的通項是等差數列{2n}的通項與等比數列{

n2

1

}的通項之積

設

n

n

n

S

2

2

2

6

2

4

2

2

32

????????…………………………………①

14322

2

2

6

2

4

2

2

2

1

?

????????

n

n

n

S………………………………②〔設制錯位〕

①－②得

14322

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

)

2

1

1(

?

???????????

nn

n

n

S

〔錯位相減〕

112

2

2

1

2

??

???

nn

n

∴

12

2

4

?

?

??

n

n

n

S

練習題1已知，求數列｛a

n

｝的前n項和S

n

.

答案：

3

練習題2的前n項和為____

答案：

三、反序相加法求和

這是推導等差數列的前n項和公式時所用的方法，就是將一個數列倒過來排列〔反序〕，再把它與原

數列相加，就可以得到n個)(

1n

aa?.

[例5]求證：nn

nnnn

nCnCCC2)1()12(53210??????????

證明：設n

nnnnn

CnCCCS)12(53210?????????…………………………..①

把①式右邊倒轉過來得

0113)12()12(

nn

n

n

n

nn

CCCnCnS???????????〔反序〕

又由mn

n

m

n

CC??可得

n

n

n

nnnn

CCCnCnS???????????1103)12()12(…………..……..②

①+②得nn

n

n

nnnn

nCCCCnS2)1(2))(22(2110?????????????〔反序相加〕

∴n

n

nS2)1(???

[例6]求?????89sin88sin3sin2sin1sin22222????????的值

解：設?????89sin88sin3sin2sin1sin22222?????????S………….①

將①式右邊反序得

?????1sin2sin3sin88sin89sin22222?????????S…………..②〔反序〕

又因為1cossin),90cos(sin22????xxxx?

①+②得〔反序相加〕

)89cos89(sin)2cos2(sin)1cos1(sin2222222????????????????S＝89

∴S＝44.5

題1已知函數

〔1〕證明：；

4

〔2〕求的值.

解：〔1〕先利用指數的相關性質對函數化簡，后證明左邊=右邊

〔2〕利用第〔1〕小題已經證明的結論可知，

兩式相加得：

所以.

練習、求值：

四、分組法求和

有一類數列，既不是等差數列，也不是等比數列，假設將這類數列適當拆開，可分為幾個等差、等比

或常見的數列，然后分別求和，再將其合并即可.

[例7]求數列的前n項和：23

1

,,7

1

,4

1

,11

12

????????

?

n

aa

an

，…

解：設

)23

1

()7

1

()4

1

()11(

12

?????????????

?

n

aa

a

S

n

n

將其每一項拆開再重新組合得

)23741()

111

1(

12

?????????????????

?

n

aa

a

S

n

n

〔分組〕

當a＝1時，

2

)13(nn

nS

n

?

??＝

2

)13(nn?

〔分組求和〕

當

1?a

時，

2

)13(

1

1

1

1

nn

a

a

S

n

n

?

?

?

?

?＝

2

)13(

1

1nn

a

aan?

?

?

??

[例8]求數列{n(n+1)(2n+1)}的前n項和.

解：設kkkkkka

k

??????2332)12)(1(

5

∴?

?

???

n

k

n

kkkS

1

)12)(1(＝)32(23

1

kkk

n

k

???

?

將其每一項拆開再重新組合得

S

n

＝kkk

n

k

n

k

n

k

???

???

??

1

2

1

3

1

32〔分組〕

＝)21()21(3)21(2222333nnn????????????????????

＝

2

)1(

2

)12)(1(

2

)1(22?

?

??

?

?nnnnnnn

〔分組求和〕

＝

2

)2()1(2??nnn

五、裂項法求和

這是分解與組合思想在數列求和中的具體應用.裂項法的實質是將數列中的每項〔通項〕分解，然后

重新組合，使之能消去一些項，最終到達求和的目的.通項分解〔裂項〕如：

〔1〕)()1(nfnfa

n

???〔2〕??

??

?

nn

nn

tan)1tan(

)1cos(cos

1sin

???

?

〔3〕

1

11

)1(

1

?

??

?

?

nnnn

a

n

〔4〕)

12

1

12

1

(

2

1

1

)12)(12(

)2(2

?

?

?

??

??

?

nnnn

n

a

n

〔5〕]

)2)(1(

1

)1(

1

[

2

1

)2)(1(

1

??

?

?

?

??

?

nnnnnnn

a

n

(6)

n

n

nnnn

nn

S

nn

nn

nn

nn

n

a

2)1(

1

1,

2)1(

1

2

1

2

1

)1(

)1(2

2

1

)1(

2

1?

??

?

?

?

??

?

??

??

?

?

?

?

則

〔7〕)

11

(

1

))((

1

CAnBAnBCCAnBAn

a

n?

?

??

?

??

?

〔8〕

1

1

1n

ann

nn

????

??

[例9]求數列???

??

???

??

,

1

1

,,

32

1

,

21

1

nn

的前n項和.

解：設nn

nn

a

n

???

??

?1

1

1

〔裂項〕

6

則

1

1

32

1

21

1

??

?????

?

?

?

?

nn

S

n

〔裂項求和〕

＝)1()23()12(nn??????????

＝11??n

[例10]在數列{a

n

}中，

11

2

1

1

?

?????

?

?

?

?

n

n

nn

a

n

，又

1

2

?

?

?

nn

naa

b，求數列{b

n

}的前n項的和.

解：∵

211

2

1

1n

n

n

nn

a

n

?

?

?????

?

?

?

?

∴)

1

11

(8

2

1

2

2

?

??

?

?

?

nn

nn

b

n

〔裂項〕

∴數列{b

n

}的前n項和

)]

1

11

()

4

1

3

1

()

3

1

2

1

()

2

1

1[(8

?

????????????

nn

S

n

〔裂項求和〕

＝)

1

1

1(8

?

?

n

＝

1

8

?n

n

[例11]求證：

?

?

??????1sin

1cos

89cos88cos

1

2cos1cos

1

1cos0cos

1

2

???????

解：設

??????89cos88cos

1

2cos1cos

1

1cos0cos

1

???????S

∵??

??

?

nn

nn

tan)1tan(

)1cos(cos

1sin

???

?

〔裂項〕

∴

??????89cos88cos

1

2cos1cos

1

1cos0cos

1

???????S

〔裂項求和〕

＝]}88tan89[tan)2tan3(tan)1tan2(tan)0tan1{(tan

1sin

1

????????

?

???????

＝)0tan89(tan

1sin

1

??

?

?＝?

?

1cot

1sin

1

?＝

?

?

1sin

1cos

2

∴原等式成立

練習題1.

答案：.

7

練習題2。=

答案：

六、分段求和法〔合并法求和〕

針對一些特殊的數列，將某些項合并在一起就具有某種特殊的性質，因此，在求數列的和時，可將這

些項放在一起先求和，然后再求S

n

.

[例12]求cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°的值.

解：設S

n

＝cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°

∵)180cos(cos???nn???〔找特殊性質項〕

∴S

n

＝〔cos1°+cos179°〕+〔cos2°+cos178°〕+〔cos3°+cos177°〕+···

+〔cos89°+cos91°〕+cos90°〔合并求和〕

＝0

[例13]數列{a

n

}：

nnn

aaaaaa?????

??12321

,2,3,1，求S

2002

.

解：設S

2002

＝

2002321

aaaa???????

由

nnn

aaaaaa?????

??12321

,2,3,1可得

,2,3,1

654

??????aaa

,2,3,1,2,3,1

121110987

?????????aaaaaa

……

2,3,1,2,3,1

665646362616

?????????

??????kkkkkk

aaaaaa

∵0

665646362616

??????

??????kkkkkk

aaaaaa〔找特殊性質項〕

∴S

2002

＝

2002321

aaaa???????〔合并求和〕

＝)()()(

66261612876321???

???????????????????????

kkk

aaaaaaaaaa

29993

)(aaaaaaa???????????????

＝

2999

aaaa???

＝

46362616????

???

kkkk

aaaa

＝5

8

[例14]在各項均為正數的等比數列中，假設

103231365

logloglog,9aaaaa???????求的值.

解：設

1032313

logloglogaaaS

n

???????

由等比數列的性質

qpnm

aaaaqpnm?????〔找特殊性質項〕

和對數的運算性質NMNM

aaa

???logloglog得

)log(log)log(log)log(log

6353932310313

aaaaaaS

n

??????????〔合并求和〕

＝)(log)(log)(log

6539231013

aaaaaa?????????

＝9log9log9log

333

??????

＝10

練習、求和：

練習題1設，則＝___

答案：2.

練習題2．假設S

n

=1-2+3-4+…+(-1)n-1·n，則S17+S33＋Ｓ50

等于()

A.1B.-1C.0D.2

解：對前n項和要分奇偶分別解決，即：S

n

=答案：A

練習題31002-992+982-972+…+22-12的值是

A.5000B.5050C.10100D.20200

解：并項求和，每兩項合并，原式=(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5050.答案：B

七、利用數列的通項求和

先根據數列的結構及特征進行分析，找出數列的通項及其特征，然后再利用數列的通項揭示的規律來

求數列的前n項和，是一個重要的方法.

9

[例15]求

???

1

1111111111

個n

??????????之和.

解：由于)110(

9

1

9999

9

1

1111

1

1

??????????k

k

k

?????

???

個

個

〔找通項及特征〕

∴???

1

1111111111

個n

??????????

＝

)110(

9

1

)110(

9

1

)110(

9

1

)110(

9

1

321???????????n〔分組求和〕

＝)1111(

9

1

)10101010(

9

1

1

321???????

個n

n???????????????

＝

9110

)110(10

9

1nn

?

?

?

?

＝

)91010(

81

1

1nn???

[例16]已知數列{a

n

}：??

?

?

??

??

?

1

1

))(1(,

)3)(1(

8

n

nnn

aan

nn

a求的值.

解：∵]

)4)(2(

1

)3)(1(

1

)[1(8))(1(

1??

?

??

????

?nnnn

naan

nn

〔找通項及特征〕

＝]

)4)(3(

1

)4)(2(

1

[8

??

?

??

?

nnnn

〔設制分組〕

＝)

4

1

3

1

(8)

4

1

2

1

(4

?

?

?

?

?

?

?

?

nnnn

〔裂項〕

∴????

?

?

?

?

?

??

?

?

?

?

?

?

???

111

1

)

4

1

3

1

(8)

4

1

2

1

(4))(1(

nnn

nnnnnn

aan〔分組、裂項求和〕

＝

4

1

8)

4

1

3

1

(4????

＝

3

13

提高練習：

1．已知數列??

n

a中，

n

S是其前n項和，并且

11

42(1,2,),1

nn

Sana

?

????，

⑴設數列),2,1(2

1

?????

?

naab

nnn

，求證：數列??

n

b是等比數列；

⑵設數列),2,1(,

2

????n

a

c

n

n

n

，求證：數列??

n

c是等差數列；

10

2．設二次方程

n

ax2-

n

a+1x+1=0(n∈N)有兩根α和β，且滿足6α-2αβ+6β=3．

(1)試用

n

a表示a

1n?

；

3．數列??

n

a中，2,8

41

??aa且滿足

nnn

aaa??

??12

2*Nn?

⑴求數列??

n

a的通項公式；

⑵設||||||

21nn

aaaS?????，求

n

S；

說明：本資料適用于高三總復習，也適用于高一“數列”一章的學習。