有理數的概念

第二章有理數高遠

1/16

【中考命題趨勢】

本章在各地中考題中主要是對有理數有關概念的理解及運算能力的考察，大多數以填空題、選擇題的形

式命題，有時出現個別判斷題型，雖然試題內容相對簡單，一般不會出現高難度題，屬于中考的送分題，但

考察的分值和比例并不多。

【知識點歸納】

一、有理數的基本概念

考點1．負數

⑴用正負數表示相反意義的量（增加，減少；零上，零下；向前，向后。。。）

⑵定義：在正數前面加“—”（讀負）的數，（-5，-2.8，

3

....

4

?）

⑶

a?

不一定是負數，關鍵看a是正數、負數還是0

?

?

?

?

?

?

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負數，有理數

數軸

相反數

概念

絕對值

有理數的大小比較

倒數

加法

減法

乘法

有理數運算

除法

乘方

混合運算

科學記數法

近似數和有效數字

第二章有理數高遠

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例題：

例1：設向東行駛為正，則向東行駛30m記做，向西行駛20m記做，原地不動記做，

—5m表示向行駛5m，+16m表示向行駛16m.。

例2：收入—2000元，表示。

考點2．有理數

⑴定義：

整數：正整數、零和負整數統稱為整數。??...2,1,0,1,2....??

自然數：正整數和零。??0,1,2,3....

分數：正分數和負分數統稱為分數。

4

0.3,0.31,......

5

????

?

??

??

?

?

?

?

?

?

?

?

有限小數

小數

無限循環小數

無限小數

無限不循環小數

有限小數和無限循環小數與分數可以相互轉化。

【注】?

，以及

?

的倍數都不是分數。

有理數：整數和分數統稱為有理數。

⑵有理數分類

①按有理數的定義分類②按正負分類

正整數正整數

整數0正有理數

有理數負整數有理數正分數

正分數0負整數

分數負有理數

負分數負分數

⑶習慣上將“正有理數和零”稱作非負有理數（即非負數）

⑷數集：把一些數放在一起就組成了一個數集，簡稱數集。有理數集，整數集，非負整數集等等。

⑸【注】0既不是正數也不是負數，0是整數，0是自然數，0是非負數，0是非正數。0不僅僅表示沒有。

最小的正整數是1，最大的負整數是-1，沒有最大、最小的整數，最小的自然數是0。

第二章有理數高遠

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例題：

例1：

7

6

%,5,260,2001,0,120.1,100020,-,

3

1

????

??

，負數有個，正數有個，整數有

個，正分數有個，非負整數有個。

例2：下列說法正確的是：（）

⑴一個數，如果不是正數，必定就是負數

⑵正有理數是正整數和正分數的統稱。

⑶一個有理數不是分數就是正數。

⑷整數不是奇數就是偶數。

⑸0是最小的有理數。⑹3.1415926不是分數

⑺正整數和負整數統稱為整數。⑻奇數是正數

⑼有理數包括整數和分數⑽—0.6是分數⑾0不是正數也不是負數。

⑿0是自然數，不是整數。⒀沒有最小的有理數。

【中考鏈接】

例⒈（2009綿陽）在電視上看到天氣預報中，綿陽王朗國家級自然保護區某天氣溫為“－5℃”表示的意思

是。

例⒉（2010廣東廣州）如果＋10%表示“增加10%”，那么“減少8%”可以記作（）

A．－18%B．－8%C．＋2%D．＋8%

例⒊（2010安徽）在－１，０，１，２這四個數中，既不是正數也不是負數的是（）

A．-1B.0C.1D.2

例⒋（2010新疆烏魯木齊）在

2,1,2,0??

這四個數中負整數是（）

A．-2B．0C．2?D．1

考點3．數軸

⑴定義：規定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數軸

⑵數軸的三層涵義：

①數軸是一條直線，可以向兩方無限延伸

②數軸的三要素：原點，正方向，單位長度，三者缺一不可

③原點的確定，單位長度大小的確定都是根據實際而定的，但一條數軸上的單位長度要統一，一般規定向

右為正方向。

第二章有理數高遠

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（3）數軸的畫法

①畫一條水平的直線；②在這條直線上的適當位置取一點作為原點；③確定正方向，用箭頭表示；④選取

適當長度作為單位長度，并對應標上數字。

（4）數軸能形象地表示數，所有的有理數都可用數軸上的點表示，但數軸上的點所表示的數并不都是有理

數

（5）在數軸上比較有理數的大小

①在數軸上表示的兩個數，右邊的數總比左邊的數大。

②由正、負數在數軸上的位置可知：正數都有大于0，負數都小于0，正數大于一切負數。

例題：

例1：寫出數軸上A,B,C,D,E各點表示的數，并用“>”號連接起來。

例2：寫出大于—4而不大于2的所有的整數，并在數軸上表示出來。

例3：若數軸上的點A向右移動2個單位長度后，又向左移動1個單位長度，此時正好對應—8這個點，那

么原來A點對應的數是。

例4：寫出兩個比—2大的負有理數。

【中考鏈接】

例⒈（2010吉林）如圖，數軸上點A所表示的數是_________。

例⒉（2010連云港）下面四個數中比－2小的數是（）

A．1B．0C．－1D．－3

例⒊（2010河北）如圖，矩形ABCD的頂點A，B在數軸上，CD=6，點A對應的數為

1?

，則點B所對應

的數為．

B

C

A

0

D

例4．不大于4的正整數的個數為（）．

A、2B、3C、4D、5

第二章有理數高遠

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4．相反數

（1）（代數意義）只有符號不同的兩個數稱互為相反數，如－5與5互為相反數。

（幾何意義）從數軸上看，位于原點兩旁，且與原點距離相等的兩點所表示的兩個數叫做互為相反數。

（2）互為相反數的性質

①正數的相反數是負數，負數的相反數是正數，0的相反數是0

②互為相反數的兩個數和為0，反過來，和為0的兩個數互為相反數

即：a,b互為相反數?a+b=0，有時也可以表示為a=-b或b=-a

（3）相反數的求法：

只需在一個數前面加一個“－”號，即aa?的相反數是。

在一個數的前面加一個“+”號，表示這個數的本身。

（4）多重符號化簡

多重符號化簡的結果是由“－”號的個數決定的。如果“－”號是奇數個，則結果為負；如果是偶數個，

則結果為正。可簡寫為“奇負偶正”。

（5）【注】相反數等于本身的數只有0，正數的相反數小于它本身，負數的相反數大于它本身。

aa的相反數的相反數是

例題：

例1：下列說法正確的是()

A一個數比它的相反數小，那么這個數是正數。

B符號相反的兩個數互為相反數。

C互為相反數的兩個數可能相等。

D一個數的相反數不可能大于它本身。

例2：（1）0.1與a互為相反數，那么a=。

（2）a-1的相反數是。

（3）若-x的相反數是-7.5，則x=。

（4）如果m的相反數是最大的負整數，n的相反數是-2，那么m+n=。

例3：-[-（-3.5）]=-[-（+8）]=

【中考鏈接】

例⒈（2010江蘇淮安）-(-2)的相反數是（）

第二章有理數高遠

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A．2B．

1

2

C．-

1

2

D．-2

例⒉（2010浙江金華）如圖，若A是實數a在數軸上對應的點，則關于a，－a，1的大小關系表示正確的是

（）

A．a＜1＜－aB．a＜－a＜1

C．1＜－a＜aD．－a＜a＜1

5．絕對值

（1）（幾何意義）在數軸上表示數a的點離開原點的距離，叫做數a的絕對值。

（代數意義）一個正數的絕對值是它本身；一個負數的絕對值是它的相反數；零的絕對值是零．

（2）絕對值的求法：去掉絕對值符號，必須要對絕對值符號里面的實數進行數性（正、負）確認，再去掉

絕對值符號。

(0)

a0(0)

(0)

aa

a

aa

?

?

?

??

?

?

??

?

（3）絕對值性質

一個數的絕對值是一個非負數，a≥0。

【注】絕對值最小的數是0，絕對值等于本身的數是正數和0（非負數），絕對值等于它的相反數的數是負數

和0（非正數）。

（4）兩個相反數的絕對值相等．

即：若ab?

?則a=b或a=-b

例題：

例1：若|a|=2，則a=。

例2：到原點5個單位長度的點是。

例3：若|m|=-m,則m是。若|m|=m,則m是。

例4：若|x+2|+|y-3|=0，則x=,y=。

例5：若|a|=4,|b|=3,且a

例6：寫出絕對值不大于3的所有整數

【中考鏈接】

01

A

第二章有理數高遠

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例⒈（2010鄂爾多斯）如果a與1互為相反數，則│a│等于（）

A.2B.－2C.1D.－1

例⒉（2010吉林）如圖，檢測4個足球，其中超過標準質量的克數記為正數，不足標準質量的克數記為負數，

從輕重的角度看，最接近標準的是（）

例⒉（2010湖南長沙）實數a、b在數軸上位置如圖所示，則|a|、|b|的大小關系是．

a

b

o

考點6：倒數

（1）定義：乘積為1的兩個數互為倒數，0沒有倒數。

即：a,b互為倒數?ab=1

【注】倒數等于本身的數是1，-1。

（2）求法：

①求非零整數的倒數，即a（a≠0的整數）的倒數是

1

a

②求一個分數的倒數，即??0,0

n

nm

m

??倒數是

m

n

③求一個帶分數的倒數，應將帶分數化為假分數再求其倒數

④求一個小數的倒數，現將小數化為分數，再求其倒數

例題：

例1．若a、b互為相反數，c、d互為倒數，且c＝–l，求

c

ba

cdc

2

)(

2||

2?

??的值．

例2：下列說法正確的是。

①只有1的倒數等于它的本身。②－3.5的倒數是3.5。③零沒有倒數。④0.1的倒數是10。⑤任何一個

有理數a的倒數都等于

a

1

。⑥兩個數的積等于1，這兩個數互為倒數。

【中考鏈接】

第二章有理數高遠

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例⒈（2010廣東佛山）如圖，數軸上的點A表示的數為a，則

1

a

等于（）．

A.

1

2

?B.

1

2

C.-2D.2

例⒉（2010山東荷澤）負實數

a

的倒數是（）

A．－aB．

a

1

C．

a

1

?D．a

考點7．有理數大小比較原則

（1）正數都大于0，負數都小于0，正數大于一切負數

（2）兩個負數，絕對值大的反而小

（3）有的不能直接比較兩數的大小，可利用相減法、相除法以及尋找第三個等量的方法

例題：

例1：實數a,b在數軸上的位置如圖所示，是比較a,-a,b,-b的大小關系。

0b

a

例2：因為

3

1

?

3

2

?，所以，

3

1

?

3

2

?

例3：若x

二、有理數的運算

考點1．有理數的加法

(1)有理數加法法則

①同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加。

②絕對值不相等的異號兩數相加，取絕對值較大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值。

③互為相反數的兩個數相加得零。

④一個數與0相加，仍得這個數。

第二章有理數高遠

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??

??

??

??

??

??

0,0,

0,0,

2

,

0,0

,

,

0,0

,

0,

abab

abab

abab

ab

abba

abab

ab

abba

ab

a

???

???

?

??

?

??

?

??

?

?

?

??

?

??

?

??

?

?

?

?

字母表示：(1)a,b同號

若則a+b=+

若則a+b=-

（）a,b異號

則a+b=+

若

則a+b=-

則a+b=-

若

則a+b=+

若，則a+b=0

(3)若則a+b=b

（2）有理數加法的運算律

加法交換律：a＋b＝b＋a

加法結合律：(a+b)+c=a+(b+c)

（3）靈活運用加法運算律

①互為相反數的兩個數，可先相加；

②符號相同的數可以先相加；

③分母相同的數可以先相加；

④幾個數相加可以能得到整數可先相加。

（4）步驟：先確定符號，再計算絕對值

例題：

例1：下列說法正確的是

①若兩個數的和為正數，則這兩個數都是正數。②兩個有理數相加，和一定大于每一個加數。③兩個有

理數的和可能為0。④兩個有理數的和可能等于其中一個加數。⑤若a與-2互為相反數，則a+(-2)=0。

例2：如果|x|=2,|y|=3,則

①x,y同號，x+y=

②x,y異號，x+y=

例3：絕對值不大于-4.3的所有整數的和。

例4：用簡便方法計算：

第二章有理數高遠

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(1)13(12)17(18)

(18.75)6.25(3.25)18.75

821

()()

933

?????

?????

?????

（2）如果a,b互為相反數，則a+2a+3a+…+99a+100a+b+2b+…+99b+100b=。

（3）（-1）+3+（-5）+7+…+95+（-97）+99=。

2．有理數的減法

法則：減去一個數等于加上這個數的相反數。

字母表示為：a-b=a+(-b)

例題：

例1：下列說法正確的是。

①在有理數的減法中，被減數不一定比減數或差大。②兩個相反數相減得零。③零減去一個數，仍得這個數。

④負數減去正數，差為負數。⑤較小的數減去較大的數，所得的差一定為負。

例2：①A、B兩點間的距離是多少？②A、C兩點間的距離是多少？③探究兩點間的距離與表示這兩點的數

有什么關系？

例3：某日哈爾濱等五城市最高氣溫與最低氣溫記錄如下表，哪個城市的溫差最大？哪個城市的溫差最小？

城市哈爾濱長春大連北京沈陽

最高氣溫（Co）

236123

最低氣溫（Co）

-12-10-22-8

考點3．有理數的加減混合運算

（1）步驟：現將式子寫成代數和的形式，再按加法法則進行計算，適當的應用加法運算律

（2）代數和的讀法：①按照運算符號來讀，②按照性質符號來讀；例如：把-8+（+10）+（-6）+（-4）寫成

省略加號和的形式為-8+10-6-4。讀作“負8，正10，負6，負4的和”也可讀作“負8加10減6減4。

例題：

例1：-7，-12，+2的代數和比他們的絕對值的和小。

例2：某校購回面粉10袋，每袋50千克，入庫時又重新稱量，結果如下，（超過的千克數記為正數，不足的

第二章有理數高遠

11/16

千克數記為負數）。+0.8，-0.5，+1.1,0,-0.3,+0.4,-1.2,-0.7,+0.6。問：①該校共買進面粉多少千克？②平均每袋

面粉重多少？③平均每袋面粉比標準量多還是少？

例3：出租車司機小李某天下午的營運全是在東西走向的大道上進行的，如果規定向東為正，向西為負，他

這天下午的行車里程如下（單位：千米）：+15，-3，+14，-11，+10，-12，+4，-15，+16，-18。①將最后一

名乘客從到目的地時，小李距最初的出發點多少千米？②若汽車的耗油量為a升每千米，那么這天下午小李

的車共耗油多少升？

考點4．有理數的乘法

（1）有理數的乘法法則

①兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘；任何數與零相乘都得零。

【注】ab>0?a,b同號。ab<0?a,b異號。

②幾個不等于零的數相乘，積的正負號由負因數的個數決定，當負號的個數為奇數時，積為負；當負號的個

數為偶數時，積為正。

③幾個數相乘，有一個因數為零，積就為零。

（2）乘法運算律

乘法交換律：ab=ba乘法結合律：(ab)c=a(bc)乘法對加法的分配律：a(b+c)=ab+ac

（3）步驟：先確定符號，在把絕對值相乘。

例題：

例1：如果|a|=2,|b|=3,且ab<0,求3a+2b的值。

例2：下列說法正確的是。

①一個數與1的積等于它本身。②一個數與-1的積是它的相反數。③如果ab=0，則一定有a=b=0。④

一個有理數和它相反數的積一定為負。⑤積比每個因數都大。

例3：在-2,3，-4,5中任取兩個數相乘，所得的積最大是。

例4：（10-11）×（11-12）×（12-13）×…×（99-100）=

例5：如果三個數的積為負數，則這幾個數中有個負因數。

例6：（-7）×（-2）+（-12）×（-7）-（-3）×（-7）=

例7：若a,b異號，那么|1-ab|=。

例8：?

?

?

?

?

?

?

????

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

9

1

1

5

1

1

4

1

1

3

1

1

2

1

1

5．有理數的除法

第二章有理數高遠

12/16

－1

a01

b

（1）法則

①除以一個數等于乘以這個數的倒數。【注】0不能做除數。

即：)0(

1

a????b

b

ab

②兩數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。零除以任何一個不等于的數，都得零。

（2）乘除混合運算時，先變除為乘，再按照乘法計算

例題

例1：???

?

?

?

?

?

?

????

3

2

327

1211

18362

??

????

??

??

例2：體育課上，全班男同學進行百米測驗，達標成績為15秒，下面是第一組8名男生的成績記錄，其中“+”

表示成績大于15秒。-0.8.，+1.0，-1.2，-0.7，+0.5，-0.5，+0.1。①這個小組的男生達標率是多少？②這個小

組的平均成績是多少秒？

【中考鏈接】

例⒈（2010江蘇鎮江）計算：—3+2=（—3）×2=

例⒉（2010江蘇宿遷）有理數

a

、b在數軸上的位置如圖所示，則ba?的值（）．

A．大于0B．小于0

C．小于aD．大于b

例3．在數軸上表示a、b、c三個數的點的位置如圖所示，化簡式子：|a－b|+|a－c|－|c－b|.

c0ab

例⒋（2010山東淄博）下列結論中不能由0??ba得到的是（）

（A）aba??2（B）ba?（C）0?a，0?b（D）22ba?

例⒌如圖，數軸上A、B兩點對應的實數分別為

a

，b，則下列結論不正確

．．．

的是（）

A．0??baB．0?abC．0??baD．|

a

|—|b|>0

例6．（2010廣東中山）閱讀下列材料：

)210321(

3

1

21???????，

)321432(

3

1

32???????，

第二章有理數高遠

13/16

)432543(

3

1

43???????，

由以上三個等式相加，可得

.20543

3

1

433221??????????

讀完以上材料，請你計算下列各題：

（1）1110433221?????????（寫出過程）；

（2）)1(433221?????????nn?=；

（3）987543432321?????????????=．

例⒎（2010重慶江津區）先觀察下列等式：

1

1×2

＝1－

1

2

1

2×3

＝

1

2

－

1

3

1

3×4

＝

1

3

－

1

4

……

則計算：

1

1×2

＋

1

2×3

＋

1

3×4

＋

1

4×5

＋

1

5×6

＝_____________.

例8．（2009濟寧模擬題）計算：??

11

33

33

????

?????

????

????

的結果是（）

A.9B.-9C.1D.-1

考點6．有理數的乘方

（1）定義：求幾個相同因數積的運算，叫做乘方。乘方的結果叫做冪，a叫做底數，n叫做指數。

????????aaaana

n

個

（2）有理數乘方的符號法則：

正數的任何次冪都是正數，負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數，0的任何非0次冪都是零。

【注】①單獨的一個數字或字母，它的指數是1，通常省略不寫；

②當底數是分數或負數時，要加上括號。

③理解????221

221

nn

nnaaaa?

??????

（n=1,2,3.....)

特別的，當ａ＝１時，有????2211111nn??????（n=1,2,3.....)

2345678

910

24,28,216,232264,2128,2256,

251221024

???????

??

記憶：，

，

例題：

第二章有理數高遠

14/16

例1：在??43?中，指數是，底數是，冪是。

在－43中，指數是，底數是，冪是。

例2：

??

3

22

，?

?

?

?

?

?

?

?

2

3

2

，?

?

?

?

?

?

?

?

2

3

2

例3：52?表示（）

A5個-2相乘B5個2相乘的相反數C2個-5相乘D2個5相乘的相反數

例4：|x+5|+(y-2)2=0,那么x=,y=,?yx

例5：一根繩子，第一次減去一半，第二次減去剩下的一半，如果剪下去，第六次后剩下的繩子的長度

為。

例6：20033的末位數字是。

【中考鏈接】

例⒈（2010成都）3x表示（）

（A）3x（B）xxx??（C）

xxx??

（D）3x?

例⒉（2010湖北孝感）2010)1(?的值是（）

A．1B．—1C．2010D．—2010

例⒊（2010廣東深圳）觀察下列算式，用你所發現的規律得出20102的末位數字是（）

21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…

A．2B．4C．6D．8

例⒋（2008深圳）若????22230,abab?????則的值是（）

A.0B.1C.-1D.2007

例5．（－０.125）2005×８2005+（－1）2004+（－1）2003的值是（）

(A)－2．(B)－1．(C)0．(D)1．

考點７．有理數的混合運算

（1）先算乘方，再算乘除，最后算加減。

（2）同級運算，按照從左至右的順序進行。

（3）如果有括號，就先算小括號里的，再算中括號里的，然后算大括號里的。

第二章有理數高遠

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例題：

例1：有理數a等于它的倒數，有理數b等于它的相反數，求20092008aa?的值。

例2：用3，-5,7，-13這四個數，進行加、減、成、除運算，每個數字用一次，使其結果為24。

例3：

3

2

2

1

4

3

6

5

5

3

14

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考點８．科學記數法

（1）定義：一個大于10的數記成

na10?的形式。其中,101??an是正整數。像這樣的記數法叫做科學

記數法。

（2）10的指數n確定方法：①等于原數的整數位數減1；②等于小數點向右移動的位數。

（3）一般的，10的n次冪，在1的后面有n的0。

例題：

例1：把下列各數用科學記數法表示

4879.5=-369000000=

例2：下面是用科學記數法表示的數，則原來的數是什么？

45(1)1.3910(2)5.00000210???

例3：25.8萬用科學記數法表示。

例4：光的傳播速度是300000km/s，太陽照射到地球上大約需要500s，則太陽島地球的距離用科學記數法可

表示為。

【中考鏈接】

例1．（2010浙江紹興）自上海世博會開幕以來,中國館以其獨特的造型吸引了世人的目光.據預測,在會展期

間,參觀中國館的人次數估計可達到14900000,此數用科學記數法表示是()

A.61049.1?B.810149.0?C.7109.14?D.71049.1?

例2．（2010遼寧丹東市）在“2008北京”奧運會國家體育場的“鳥巢”鋼結構工程施工建設中，首次使用了我

國科研人員自主研制的強度為84.610?帕的鋼材，那么84.610?的原數為（）

A．4600000B．46000000C．460000000D．4600000000

例⒊（2010安徽蕪湖）2010年蕪湖市承接產業轉移示范區建設成效明顯，一季度完成固定資產投資238億

元，用科學記數法可記作（）

第二章有理數高遠

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A．238×108元B．23.8×109元C．2.38×1010元D．0.238×1011元

三、近似數和有效數字

（1）準確數：完全符合實際的數。

近似數：和準確數非常接近的數，近似數和準確數接近的程度叫做精確度。

（2）有效數字：一個近似數，從左邊第一個不是0的數字起到精確到的位數止，所有的數字都叫做這個數

的有效數字。

（3）近似數的精確度有兩種形式：1）精確到哪一位，2）保留幾個有效數字。

（4）對于較大的數取近似數時，結果一般要用科學記數法表示，不看冪，只看a

例題：

例1：按要求對下列各題去近似值

①0.005308（保留三個有效數字）②0.49996（精確到0.001）

③120000（保留2個有效數字）④41096.92?（保留3個有效數字）

⑤738600000（精確到百萬位）⑥510549.13?（精確到百位）

⑦78.98萬（精確到萬位）

例2：下列各數均為近似數，分別精確到哪一位，有幾個有效數字。

①0.0280②4.876410?③550

⑶0.028⑤30萬⑥48760

例3：近似數2.30表示的精確度α的范圍是（）

A．2.295≤α<2.305B.2.25≤α<2.35C.2.295<α≤2.305D.2.25<α≤2.35

【中考鏈接】

例⒈（2010山東威海）據統計，截止到5月31日上海世博會累計入園人數803.27萬人．803.27萬這個數字

（保留兩位有效數字）用科學記數法表示為（）

A．8.0×102B.8.03×102C.8.0×106D.8.03×106

例⒉（2010山東青島）由四舍五入法得到的近似數8.8×103，下列說法中正確的是（）．

A．精確到十分位，有2個有效數字B．精確到個位，有2個有效數字

C．精確到百位，有2個有效數字D．精確到千位，有4個有效數字