人教版九年級數學上冊

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成都戴氏高考中考學校榮縣校區初中數學李庚老師

《人教版九年級上冊全書教案》

第二十一章二次根式

教材內容

1．本單元教學的主要內容：

二次根式的概念；二次根式的加減；二次根式的乘除；最簡二次根式．

2．本單元在教材中的地位和作用：

二次根式是在學完了八年級下冊第十七章《反比例正函數》、第十八章《勾

股定理及其應用》等內容的基礎之上繼續學習的，它也是今后學習其他數學知

識的基礎．

教學目標

1．知識與技能

（1）理解二次根式的概念．

（2）理解a（a≥0）是一個非負數，（a）2=a（a≥0），2a=a（a≥

0）．

（3）掌握a·b＝ab（a≥0，b≥0），ab=a·b；

a

b

=

a

b

（a≥0，b>0），

a

b

=

a

b

（a≥0，b>0）．

（4）了解最簡二次根式的概念并靈活運用它們對二次根式進行加減．

2．過程與方法

（1）先提出問題，讓學生探討、分析問題，師生共同歸納，得出概念．?再

對概念的內涵進行分析，得出幾個重要結論，并運用這些重要結論進行二次根

式的計算和化簡．

（2）用具體數據探究規律，用不完全歸納法得出二次根式的乘（除）法規

定，?并運用規定進行計算．

（3）利用逆向思維，?得出二次根式的乘（除）法規定的逆向等式并運用它

進行化簡．

（4）通過分析前面的計算和化簡結果，抓住它們的共同特點，?給出最簡

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二次根式的概念．利用最簡二次根式的概念，來對相同的二次根式進行合并，

成都戴氏高考中考學校榮縣校區初中數學李庚老師

達到對二次根式進行計算和化簡的目的．

3．情感、態度與價值觀

通過本單元的學習培養學生：利用規定準確計算和化簡的嚴謹的科學精神，

經過探索二次根式的重要結論，二次根式的乘除規定，發展學生觀察、分析、

發現問題的能力．

教學重點

1．二次根式a（a≥0）的內涵．a（a≥0）是一個非負數；（a）2＝a

（a≥0）；2a=a（a≥0）?及其運用．

2．二次根式乘除法的規定及其運用．

3．最簡二次根式的概念．

4．二次根式的加減運算．

教學難點

1．對a（a≥0）是一個非負數的理解；對等式（a）2＝a（a≥0）及

2a=a（a≥0）的理解及應用．

2．二次根式的乘法、除法的條件限制．

3．利用最簡二次根式的概念把一個二次根式化成最簡二次根式．

教學關鍵

1．潛移默化地培養學生從具體到一般的推理能力，突出重點，突破難點．

2．培養學生利用二次根式的規定和重要結論進行準確計算的能力，?培養學

生一絲不茍的科學精神．

單元課時劃分

本單元教學時間約需11課時，具體分配如下：

21．1二次根式3課時

21．2二次根式的乘法3課時

21．3二次根式的加減3課時

教學活動、習題課、小結2課時

21．1二次根式

第一課時

教學內容

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二次根式的概念及其運用

教學目標

理解二次根式的概念，并利用a（a≥0）的意義解答具體題目．

提出問題，根據問題給出概念，應用概念解決實際問題．

教學重難點關鍵

1．重點：形如a（a≥0）的式子叫做二次根式的概念；

2．難點與關鍵：利用“a（a≥0）”解決具體問題．

教學過程

一、復習引入

（學生活動）請同學們獨立完成下列三個問題：

問題1：已知反比例函數y=

3

x

，那么它的圖象在第一象限橫、?縱坐標相等

的點的坐標是___________．

問題2：如圖，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么

AB邊的長是__________．

B

A

C

問題3：甲射擊6次，各次擊中的環數如下：8、7、9、9、7、8，那么甲這

次射擊的方差是S2，那么S=_________．

老師點評：

問題1：橫、縱坐標相等，即x=y，所以x2=3．因為點在第一象限，所以

x=3，所以所求點的坐標（3，3）．

問題2：由勾股定理得AB=10

問題3：由方差的概念得S=

4

6

.

二、探索新知

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很明顯3、10、

4

6

，都是一些正數的算術平方根．像這樣一些正數的

算術平方根的式子，我們就把它稱二次根式．因此，一般地，我們把形如a

（a≥0）?的式子叫做二次根式，“”稱為二次根號．

（學生活動）議一議：

1．-1有算術平方根嗎？

2．0的算術平方根是多少？

3．當a<0，a有意義嗎？

老師點評:（略）

例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、

1

x

、

x（x>0）、0、42、-2、

1

xy?

、xy?（x≥0，y?≥0）．

分析：二次根式應滿足兩個條件：第一，有二次根號“”；第二，被開

方數是正數或0．

解：二次根式有：2、x（x>0）、0、-2、xy?（x≥0，y≥

0）；不是二次根式的有：33、

1

x

、42、

1

xy?

．

例2．當x是多少時，31x?在實數范圍內有意義？

分析：由二次根式的定義可知，被開方數一定要大于或等于0，所以3x-1≥

0，?31x?才能有意義．

解：由3x-1≥0，得：x≥

1

3

當x≥

1

3

時，31x?在實數范圍內有意義．

三、鞏固練習

教材P練習1、2、3．

四、應用拓展

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例3．當x是多少時，23x?+

1

1x?

在實數范圍內有意義？

分析：要使23x?+

1

1x?

在實數范圍內有意義，必須同時滿足23x?中的

≥0和

1

1x?

中的x+1≠0．

解：依題意，得

230

10

x

x

??

?

?

??

?

由①得：x≥-

3

2

由②得：x≠-1

當x≥-

3

2

且x≠-1時，23x?+

1

1x?

在實數范圍內有意義．

例4(1)已知y=2x?+2x?+5，求

x

y

的值．(答案:2)

(2)若1a?+1b?=0，求a2004+b2004的值．(答案:

2

5

)

五、歸納小結（學生活動，老師點評）

本節課要掌握：

1．形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，“”稱為二次根號．

2．要使二次根式在實數范圍內有意義，必須滿足被開方數是非負數．

六、布置作業

1．教材P

8

復習鞏固1、綜合應用5．

2．選用課時作業設計．

3.課后作業:《同步訓練》

第一課時作業設計

一、選擇題

1．下列式子中，是二次根式的是（）

A．-7B．37C．xD．x

2．下列式子中，不是二次根式的是（）

A．

4

B．16C．8D．

1

x

3．已知一個正方形的面積是5，那么它的邊長是（）

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A．5B．5C．

1

5

D．以上皆不對

二、填空題

1．形如________的式子叫做二次根式．

2．面積為a的正方形的邊長為________．

3．負數________平方根．

三、綜合提高題

1．某工廠要制作一批體積為1m3的產品包裝盒，其高為0.2m，按設計需

要，?底面應做成正方形，試問底面邊長應是多少？

2．當x是多少時，

23x

x

?

+x2在實數范圍內有意義？

3．若3x?+3x?有意義，則2x?=_______．

4.使式子2(5)x??

有意義的未知數x有（）個．

A．0B．1C．2D．無數

5.已知a、b為實數，且5a?+2102a?=b+4，求a、b的值．

第一課時作業設計答案:

一、1．A2．D3．B

二、1．a（a≥0）2．a3．沒有

三、1．設底面邊長為x，則0.2x2=1，解答：x=5．

2．依題意得：

230

0

x

x

??

?

?

?

?

，

3

2

0

x

x

?

??

?

?

?

?

?

∴當x>-

3

2

且x≠0時，

23x

x

?

＋x2在實數范圍內沒有意義．

3.

1

3

4．B

5．a=5，b=-4

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21.1二次根式(2)

第二課時

教學內容

1．a（a≥0）是一個非負數；

2．（a）2=a（a≥0）．

教學目標

理解a（a≥0）是一個非負數和（a）2=a（a≥0），并利用它們進行計

算和化簡．

通過復習二次根式的概念，用邏輯推理的方法推出a（a≥0）是一個非負

數，用具體數據結合算術平方根的意義導出（a）2=a（a≥0）；最后運用結

論嚴謹解題．

教學重難點關鍵

1．重點：a（a≥0）是一個非負數；（a）2=a（a≥0）及其運用．

2．難點、關鍵：用分類思想的方法導出a（a≥0）是一個非負數；?用探

究的方法導出（a）2=a（a≥0）．

教學過程

一、復習引入

（學生活動）口答

1．什么叫二次根式？

2．當a≥0時，a叫什么？當a<0時，a有意義嗎？

老師點評（略）．

二、探究新知

議一議：（學生分組討論，提問解答）

a（a≥0）是一個什么數呢？

老師點評：根據學生討論和上面的練習，我們可以得出

a（a≥0）是一個非負數．

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做一做：根據算術平方根的意義填空：

（4）2=_______；（2）2=_______；（9）2=______；（3）

2=_______；

（

1

3

）2=______；（

7

2

）2=_______；（0）2=_______．

老師點評：4是4的算術平方根，根據算術平方根的意義，4是一個平

方等于4的非負數，因此有（4）2=4．

同理可得：（

2

）2=2，（9）2=9，（3）2=3，（

1

3

）2=

1

3

，（

7

2

）

2=

7

2

，（0）2=0，所以

（a）2=a（a≥0）

例1計算

1．（

3

2

）22．（35）23．（

5

6

）24．（

7

2

）2

分析：我們可以直接利用（a）2=a（a≥0）的結論解題．

解：（

3

2

）2=

3

2

，（35）2=32·（5）2=32·5=45，

（

5

6

）2=

5

6

，（

7

2

）2=

2

2

(7)7

24

?．

三、鞏固練習

計算下列各式的值：

（18）2（

2

3

）2（

9

4

）2（0）2（4

7

8

）2

22(35)(53)?

四、應用拓展

-9-/260

例2計算

1．（1x?）2（x≥0）2．（2a）23．（221aa??）2

4．（24129xx??）2

分析：（1）因為x≥0，所以x+1>0；（2）a2≥0；（3）a2+2a+1=

（a+1）≥0；

（4）4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2≥0．

所以上面的4題都可以運用（a）2=a（a≥0）的重要結論解題．

解：（1）因為x≥0，所以x+1>0

（1x?）2=x+1

（2）∵a2≥0，∴（2a）2=a2

（3）∵a2+2a+1=（a+1）2

又∵（a+1）2≥0，∴a2+2a+1≥0，∴221aa??=a2+2a+1

（4）∵4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2

又∵（2x-3）2≥0

∴4x2-12x+9≥0，∴（24129xx??）2=4x2-12x+9

例3在實數范圍內分解下列因式:

（1）x2-3（2）x4-4(3)2x2-3

分析：(略)

五、歸納小結

本節課應掌握：

1．a（a≥0）是一個非負數；

2．（a）2=a（a≥0）;反之:a=（a）2（a≥0）．

六、布置作業

1．教材P

8

復習鞏固2．（1）、（2）P

9

7．

2．選用課時作業設計．

3.課后作業:《同步訓練》

第二課時作業設計

一、選擇題

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1．下列各式中15、3a、21b?、22ab?、220m?、144?，二次

根式的個數是（）．

A．4B．3C．2D．1

2．數a沒有算術平方根，則a的取值范圍是（）．

A．a>0B．a≥0C．a<0D．a=0

二、填空題

1．（-3）2=________．

2．已知1x?有意義，那么是一個_______數．

三、綜合提高題

1．計算

（1）（9）2（2）-（3）2（3）（

1

2

6）2（4）（-3

2

3

）2

(5)(2332)(2332)??

2．把下列非負數寫成一個數的平方的形式:

（1）5（2）3.4（3）

1

6

（4）x（x≥0）

3．已知1xy??+3x?=0，求xy的值．

4．在實數范圍內分解下列因式:

（1）x2-2（2）x4-93x2-5

第二課時作業設計答案:

一、1．B2．C

二、1．32．非負數

三、1．（1）（9）2=9（2）-（3）2=-3（3）（

1

2

6）2=

1

4

×

6=

3

2

（4）（-3

2

3

）2=9×

2

3

=6(5)-6

2．（1）5=（5）2（2）3.4=（3.4）2

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（3）

1

6

=（

1

6

）2（4）x=（x）2（x≥0）

3．

103

304

xyx

xy

????

??

??

???

??

xy=34=81

4.（1）x2-2=（x+2）（x-2）

（2）x4-9=（x2+3）（x2-3）=（x2+3）（x+3）（x-3）

(3)略

21.1二次根式(3)

第三課時

教學內容

2a＝a（a≥0）

教學目標

理解2a=a（a≥0）并利用它進行計算和化簡．

通過具體數據的解答，探究2a=a（a≥0），并利用這個結論解決具體問

題．

教學重難點關鍵

1．重點：2a＝a（a≥0）．

2．難點：探究結論．

3．關鍵：講清a≥0時，2a＝a才成立．

教學過程

一、復習引入

老師口述并板收上兩節課的重要內容；

1．形如a（a≥0）的式子叫做二次根式；

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2．a（a≥0）是一個非負數；

3．(a)2＝a（a≥0）．

那么，我們猜想當a≥0時，2a=a是否也成立呢？下面我們就來探究這個

問題．

二、探究新知

（學生活動）填空：

22=_______；20.01=_______；2

1

()

10

=______；

2

2

()

3

=________；20=________；2

3

()

7

=_______．

（老師點評）：根據算術平方根的意義，我們可以得到：

22=2；20.01=0.01；2

1

()

10

=

1

10

；2

2

()

3

=

2

3

；20=0；2

3

()

7

=

3

7

．

因此，一般地：2a=a（a≥0）

例1化簡

（1）9（2）2(4)?（3）25（4）2(3)?

分析：因為（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，

（4）（-3）2=32，所以都可運用2a=a（a≥0）?去化簡．

解：（1）9=23=3（2）2(4)?=24=4

（3）25=25=5（4）2(3)?

=23=3

三、鞏固練習

教材P

7

練習2．

四、應用拓展

例2填空：當a≥0時，2a=_____；當a<0時，2a=_______，?并根據

這一性質回答下列問題．

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（1）若2a=a，則a可以是什么數？

（2）若2a=-a，則a可以是什么數？

（3）2a>a，則a可以是什么數？

分析：∵2a=a（a≥0），∴要填第一個空格可以根據這個結論，第二空格

就不行，應變形，使“（）2”中的數是正數，因為，當a≤0時，

2a=2()a?

，那么-a≥0．

（1）根據結論求條件；（2）根據第二個填空的分析，逆向思想；（3）根

據（1）、（2）可知2a=│a│，而│a│要大于a，只有什么時候才能保證

呢？a<0．

解：（1）因為2a=a，所以a≥0；

（2）因為2a=-a，所以a≤0；

（3）因為當a≥0時2a=a，要使2a>a，即使a>a所以a不存在；當

a<0時，2a=-a，要使2a>a，即使-a>a，a<0綜上，a<0

例3當x>2，化簡2(2)x?

-2(12)x?

．

分析：(略)

五、歸納小結

本節課應掌握：2a=a（a≥0）及其運用，同時理解當a<0時，2a＝－a

的應用拓展．

六、布置作業

1．教材P

8

習題21．13、4、6、8．

2．選作課時作業設計．

3.課后作業:《同步訓練》

第三課時作業設計

一、選擇題

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1．22

11

(2)(2)

33

??

的值是（）．

A．0B．

2

3

C．4

2

3

D．以上都不對

2．a≥0時，2a、2()a?

、-2a，比較它們的結果，下面四個選項中

正確的是（）．

A．2a=2()a?

≥-2aB．2a>2()a?

>-2a

C．2a<2()a?

<-2aD．-2a>2a=2()a?

二、填空題

1．-0.0004=________．

2．若20m是一個正整數，則正整數m的最小值是________．

三、綜合提高題

1．先化簡再求值：當a=9時，求a+212aa??的值，甲乙兩人的解答如

下：

甲的解答為：原式=a+2(1)a?

=a+（1-a）=1；

乙的解答為：原式=a+2(1)a?

=a+（a-1）=2a-1=17．

兩種解答中，_______的解答是錯誤的，錯誤的原因是__________．

2．若│1995-a│+2000a?=a，求a-19952的值．

（提示：先由a-2000≥0，判斷1995-a?的值是正數還是負數，去掉絕對

值）

3.若-3≤x≤2時，試化簡│x-2│+2(3)x?

+21025xx??。

答案:

一、1．C2．A

二、1．-0．022．5

三、1．甲甲沒有先判定1-a是正數還是負數

2．由已知得a-?2000?≥0，?a?≥2000

-15-/260

所以a-1995+2000a?=a，2000a?=1995，a-2000=19952，

所以a-19952=2000．

3.10-x

21．2二次根式的乘除

第一課時

教學內容

a·b＝ab（a≥0，b≥0），反之ab=a·b（a≥0，b≥0）及其

運用．

教學目標

理解a·b＝ab（a≥0，b≥0），ab=a·b（a≥0，b≥0），并

利用它們進行計算和化簡

由具體數據，發現規律，導出a·b＝ab（a≥0，b≥0）并運用它進

行計算；?利用逆向思維，得出ab=a·b（a≥0，b≥0）并運用它進行

解題和化簡．

教學重難點關鍵

重點：a·b＝ab（a≥0，b≥0），ab=a·b（a≥0，b≥0）及

它們的運用．

難點：發現規律，導出a·b＝ab（a≥0，b≥0）．

關鍵：要講清ab（a<0,b<0）=ab，如(2)(3)???=(2)(3)?????或

(2)(3)???=23?=2×3．

教學過程

一、復習引入

（學生活動）請同學們完成下列各題．

1．填空

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（1）4×9=_______，49?=______；

（2）16×25=_______，1625?=________．

（3）100×36=________，10036?=_______．

參考上面的結果，用“>、<或＝”填空．

4×9_____49?，16×25_____1625?，100×

36________10036?

2．利用計算器計算填空

（1）2×3______6，（2）2×5______10，

（3）5×6______30，（4）4×5______20，

（5）7×10______70．

老師點評（糾正學生練習中的錯誤）

二、探索新知

（學生活動）讓3、4個同學上臺總結規律．

老師點評：（1）被開方數都是正數；

（2）兩個二次根式的乘除等于一個二次根式，?并且把這兩個二次根式中的

數相乘，作為等號另一邊二次根式中的被開方數．

一般地，對二次根式的乘法規定為

a·b＝ab．（a≥0，b≥0）

反過來:ab=a·b（a≥0，b≥0）

例1．計算

（1）5×7（2）

1

3

×9（3）9×27（4）

1

2

×6

分析：直接利用a·b＝ab（a≥0，b≥0）計算即可．

解：（1）5×7=35

-17-/260

（2）

1

3

×9=

1

9

3

?

=3

（3）9×27=292793???=93

（4）

1

2

×6=

1

6

2

?

=3

例2化簡

（1）916?（2）1681?（3）81100?

（4）229xy

（5）54

分析：利用ab=a·b（a≥0，b≥0）直接化簡即可．

解：（1）916?=9×16=3×4=12

（2）1681?=16×81=4×9=36

（3）81100?=81×100=9×10=90

（4）229xy

=23×22xy

=23×2x×2y

=3xy

（5）54=96?=23×6=36

三、鞏固練習

（1）計算（學生練習，老師點評）

①16×8②36×210③5a·

1

5

ay

(2)化簡:20;18;

24

;54;2212ab

教材P

11

練習全部

四、應用拓展

例3．判斷下列各式是否正確，不正確的請予以改正：

（1）(4)(9)49???????

-18-/260

（2）

12

4

25

×25=4×

12

25

×25=4

12

25

×25=412=83

解：（1）不正確．

改正：(4)(9)???=49?＝4×9=2×3=6

（2）不正確．

改正：

12

4

25

×25=

112

25

×25=

112

25

25

?

=112=167?＝47

五、歸納小結

本節課應掌握：（1）a·b＝ab=（a≥0，b≥0），ab=a·b

（a≥0，b≥0）及其運用．

六、布置作業

1．課本P

15

1，4，5，6．（1）（2）．

2．選用課時作業設計．

3.課后作業:《同步訓練》

第一課時作業設計

一、選擇題

1．若直角三角形兩條直角邊的邊長分別為15cm和

12

cm，?那么此直角

三角形斜邊長是（）．

A．3

2

cmB．33cmC．9cmD．27cm

2．化簡a

1

a

?

的結果是（）．

A．a?B．aC．-a?D．-a

3．等式2111xxx????成立的條件是（）

A．x≥1B．x≥-1C．-1≤x≤1D．x≥1或x≤-1

4．下列各等式成立的是（）．

A．45×25=85B．53×4

2

=205

-19-/260

C．43×32=75D．53×42=206

二、填空題

1．1014=_______．

2．自由落體的公式為S=

1

2

gt2（g為重力加速度，它的值為10m/s2），若物

體下落的高度為720m，則下落的時間是_________．

三、綜合提高題

1．一個底面為30cm×30cm長方體玻璃容器中裝滿水，?現將一部分水例入

一個底面為正方形、高為10cm鐵桶中，當鐵桶裝滿水時，容器中的水面下降

了20cm，鐵桶的底面邊長是多少厘米？

2．探究過程：觀察下列各式及其驗證過程．

（1）2

2

3

=

2

2

3

?

驗證：2

2

3

=22×

2

3

=

222

3

?

=

332(22)2

33

??

?

=

32

2222

2222(21)2

21212121

??

???

????

=

2

2

3

?

（2）3

3

8

=

3

3

8

?

驗證：3

3

8

=23×

3

8

=

33

8

=

3

2

333

31

??

?

=

22

222

3(31)33(31)3

313131

???

??

???

=

3

3

8

?

同理可得：4

44

4

1515

??

5

55

5

2424

??

，……

-20-/260

通過上述探究你能猜測出：a

21

a

a?

=_______（a>0）,并驗證你的結論．

答案:

一、1．B2．C3.A4.D

二、1．1362．12s

三、1．設：底面正方形鐵桶的底面邊長為x，

則x2×10=30×30×20，x2=30×30×2，

x=3030?×2=302．

2．a

21

a

a?

=

21

a

a

a

?

?

驗證：a

21

a

a?

=

3

2

2211

aa

a

aa

??

??

=

33

222111

aaaaaa

aaa

???

??

???

=

2

22

(1)

11

aaa

aa

?

?

??

=

21

a

a

a

?

?

.

21．2二次根式的乘除

第二課時

教學內容

a

b

=

a

b

（a≥0，b>0），反過來

a

b

=

a

b

（a≥0，b>0）及利用它們進行

計算和化簡．

教學目標

理解

a

b

=

a

b

（a≥0，b>0）和

a

b

=

a

b

（a≥0，b>0）及利用它們進行運

算．

利用具體數據，通過學生練習活動，發現規律，歸納出除法規定，并用逆向

-21-/260

思維寫出逆向等式及利用它們進行計算和化簡．

教學重難點關鍵

1．重點：理解

a

b

=

a

b

（a≥0，b>0），

a

b

=

a

b

（a≥0，b>0）及利用它

們進行計算和化簡．

2．難點關鍵：發現規律，歸納出二次根式的除法規定．

教學過程

一、復習引入

（學生活動）請同學們完成下列各題：

1．寫出二次根式的乘法規定及逆向等式．

2．填空

（1）

9

16

=________，

9

16

=_________；

（2）

16

36

=________，

16

36

=________；

（3）

4

16

=________，

4

16

=_________；

（4）

36

81

=________，

36

81

=________．

規律：

9

16

______

9

16

；

16

36

______

16

36

；

4

16

_______

4

16

；

36

81

_______

36

81

．

3．利用計算器計算填空:

（1）

3

4

=_________，（2）

2

3

=_________，（3）

2

5

=______，（4）

7

8

=________．

-22-/260

規律：

3

4

______

3

4

；

2

3

_______

2

3

；

2

5

_____

2

5

；

7

8

_____

7

8

。

每組推薦一名學生上臺闡述運算結果．

（老師點評）

二、探索新知

剛才同學們都練習都很好，上臺的同學也回答得十分準確，根據大家的練習

和回答，我們可以得到：

一般地，對二次根式的除法規定：

a

b

=

a

b

（a≥0，b>0），

反過來，

a

b

=

a

b

（a≥0，b>0）

下面我們利用這個規定來計算和化簡一些題目．

例1．計算：（1）

12

3

（2）

31

28

?

（3）

11

416

?

（4）

64

8

分析：上面4小題利用

a

b

=

a

b

（a≥0，b>0）便可直接得出答案．

解：（1）

12

3

=

12

3

=

4

=2

（2）

31

28

?

=

313

834

282

?????

=3×=23

（3）

11

416

?

=

111

16

4164

???

=

4

=2

（4）

64

8

=

64

8

=8=2

2

例2．化簡：

（1）

3

64

（2）

2

2

64

9

b

a

（3）

2

9

64

x

y

（4）

2

5

169

x

y

-23-/260

分析：直接利用

a

b

=

a

b

（a≥0，b>0）就可以達到化簡之目的．

解：（1）

3

64

=

33

8

64

?

（2）

2

2

64

9

b

a

=

2

2

648

3

9

bb

a

a

?

（3）

2

9

64

x

y

=

2

93

8

64

xx

y

y

?

（4）

2

5

169

x

y

=

2

55

13

169

xx

y

y

?

三、鞏固練習

教材P14練習1．

四、應用拓展

例3．已知

99

6

6

xx

x

x

??

?

?

?

，且x為偶數，求（1+x）

2

2

54

1

xx

x

??

?

的值．

分析：式子

a

b

=

a

b

，只有a≥0，b>0時才能成立．

因此得到9-x≥0且x-6>0，即6

解：由題意得

90

60

x

x

??

?

?

??

?

，即

9

6

x

x

?

?

?

?

?

∴6

∵x為偶數

∴x=8

∴原式=（1+x）

(4)(1)

(1)(1)

xx

xx

??

??

=（1+x）

4

1

x

x

?

?

-24-/260

=（1+x）

4

(1)

x

x

?

?

=(1)(4)xx??

∴當x=8時，原式的值=49?=6．

五、歸納小結

本節課要掌握

a

b

=

a

b

（a≥0，b>0）和

a

b

=

a

b

（a≥0，b>0）及其運

用．

六、布置作業

1．教材P

15

習題21．22、7、8、9．

2．選用課時作業設計．

3.課后作業:《同步訓練》

第二課時作業設計

一、選擇題

1．計算

112

121

335

??

的結果是（）．

A．

2

7

5B．

2

7

C．2D．

2

7

2．閱讀下列運算過程：

133

3

333

??

?

，

22525

5

555

??

?

數學上將這種把分母的根號去掉的過程稱作“分母有理化”，那么，化簡

2

6

的結果是（）．

A．2B．6C．

1

3

6D．6

二、填空題

1．分母有理化:(1)

1

32

=_________;(2)

1

12

=________;(3)

10

25

=______.

-25-/260

2．已知x=3，y=4，z=5，那么yzxy?的最后結果是_______．

三、綜合提高題

1．有一種房梁的截面積是一個矩形，且矩形的長與寬之比為3：1，?現用

直徑為315cm的一種圓木做原料加工這種房梁，那么加工后的房染的最大

截面積是多少？

2．計算

（1）

32

nn

mm

·（-

3

3

1n

mm

）÷

32

n

m

（m>0，n>0）

（2）-3

22

2

33

2

mn

a

?

÷（

2

3

2

mn

a

?

）×

2a

mn?

（a>0）

答案:

一、1．A2．C

二、1．(1)

3

6

;(2)

3

6

;(3)

10252

2

2525

?

??

2．

15

3

三、1．設：矩形房梁的寬為x（cm），則長為3xcm，依題意，

得：（3x）2+x2=（315）2，

4x2=9×15，x=

3

2

15（cm），

3x·x=3x2=

135

4

3（cm2）．

2．（1）原式＝-

4

252

nn

mm

÷

32

n

m

=-

43

25

2

2

nnm

mmn

?

=-

3

222

nnnn

n

mmmm

????=-

2

3

n

n

m

-26-/260

（2）原式=-2

22

2

3()()

2

mnmnaa

amnmn

??

??

??

=-2

23

2

a

=-6a

21.2二次根式的乘除(3)

第三課時

教學內容

最簡二次根式的概念及利用最簡二次根式的概念進行二次根式的化簡運

算．

教學目標

理解最簡二次根式的概念，并運用它把不是最簡二次根式的化成最簡二次

根式．

通過計算或化簡的結果來提煉出最簡二次根式的概念，并根據它的特點來

檢驗最后結果是否滿足最簡二次根式的要求．

重難點關鍵

1．重點：最簡二次根式的運用．

2．難點關鍵：會判斷這個二次根式是否是最簡二次根式．

教學過程

一、復習引入

（學生活動）請同學們完成下列各題（請三位同學上臺板書）

1．計算（1）

3

5

，（2）

32

27

，（3）

8

2a

老師點評：

3

5

=

15

5

，

32

27

=

6

3

，

8

2a

=

2a

a

2．現在我們來看本章引言中的問題：如果兩個電視塔的高分別是h

1

km，

h

2

km，?那么它們的傳播半徑的比是_________．

它們的比是1

2

2

2

Rh

Rh

．

二、探索新知

觀察上面計算題1的最后結果，可以發現這些式子中的二次根式有如下

兩個特點：

1．被開方數不含分母；

2．被開方數中不含能開得盡方的因數或因式．

-27-/260

我們把滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式．

那么上題中的比是否是最簡二次根式呢？如果不是，把它們化成最簡二次

根式．

學生分組討論，推薦3～4個人到黑板上板書．

老師點評：不是．

1

2

2

2

Rh

Rh

=12

11

222

2

2

hh

Rhh

Rhhh

??.

例1．(1)

5

3

12

;(2)2442xyxy?

;(3)238xy

例2．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的

長．

B

A

C

解：因為AB2=AC2+BC2

所以AB=222.56?=2

516916913

()36

242

4

????

=6.5（cm）

因此AB的長為6.5cm．

三、鞏固練習

教材P

14

練習2、3

四、應用拓展

例3．觀察下列各式，通過分母有理數，把不是最簡二次根式的化成最簡

二次根式：

1

21?

=

1(21)21

21

(21)(21)

???

?

?

??

=2-1，

1

32?

=

1(32)32

32

(32)(32)

???

?

?

??

=3-

2

，

同理可得：

1

43?

=4-3，……

-28-/260

從計算結果中找出規律，并利用這一規律計算

（

1

21?

+

1

32?

+

1

43?

+……

1

20022001?

）（2002+1）的值．

分析：由題意可知，本題所給的是一組分母有理化的式子，因此，分母有

理化后就可以達到化簡的目的．

解：原式=（2-1+3-2+4-3+……+2002-2001）×

（2002+1）

=（2002-1）（2002+1）

=2002-1=2001

五、歸納小結

本節課應掌握：最簡二次根式的概念及其運用．

六、布置作業

1．教材P

15

習題21．23、7、10．

2．選用課時作業設計．

3.課后作業:《同步訓練》

第三課時作業設計

一、選擇題

1．如果

x

y

（y>0）是二次根式，那么，化為最簡二次根式是（）．

A．

x

y

（y>0）B．xy（y>0）C．

xy

y

（y>0）D．以

上都不對

2．把（a-1）

1

1a

?

?

中根號外的（a-1）移入根號內得（）．

A．1a?B．1a?C．-1a?D．-1a?

3．在下列各式中，化簡正確的是（）

A．

5

3

=315B．

1

2

=±

1

2

2

-29-/260

C．4ab=a2bD．32xx?=x1x?

4．化簡

32

27

?

的結果是（）

A．-

2

3

B．-

2

3

C．-

6

3

D．-2

二、填空題

1．化簡422xxy?

=_________．（x≥0）

2．a

2

1a

a

?

?

化簡二次根式號后的結果是_________．

三、綜合提高題

1．已知a為實數，化簡：3a?-a

1

a

?

，閱讀下面的解答過程，請判斷

是否正確？若不正確，?請寫出正確的解答過程：

解：3a?-a

1

a

?

=aa?-a·

1

a

a?=（a-1）a?

2．若x、y為實數，且y=

22441

2

xx

x

????

?

，求xyxy??的值．

答案:

一、1．C2．D3.C4.C

二、1．x22xy?

2．-1a??

三、1．不正確，正確解答：

因為

30

1

0

a

a

?

??

?

?

??

?

?

，所以a<0，

原式＝2aa?-a·

2

a

a

?

=a?·2a-a·

2

a

a

?

=-aa?+a?=(1-a)

-30-/260

a?

2．∵

2

2

40

40

x

x

?

??

?

?

??

?

?

∴x-4=0，∴x=±2，但∵x+2≠0，∴x=2，y=

1

4

∴22

163

4

164

xyxyxy???????

.

21.3二次根式的加減(1)

第一課時

教學內容

二次根式的加減

教學目標

理解和掌握二次根式加減的方法．

先提出問題，分析問題，在分析問題中，滲透對二次根式進行加減的方法

的理解．再總結經驗，用它來指導根式的計算和化簡．

重難點關鍵

1．重點：二次根式化簡為最簡根式．

2．難點關鍵：會判定是否是最簡二次根式．

教學過程

一、復習引入

學生活動：計算下列各式．

（1）2x+3x；（2）2x2-3x2+5x2；（3）x+2x+3y；（4）3a2-2a2+a3

教師點評：上面題目的結果，實際上是我們以前所學的同類項合并．同類

項合并就是字母不變，系數相加減．

二、探索新知

學生活動：計算下列各式．

（1）2

2

+3

2

（2）28-38+58

（3）7+27+397?（4）33-23+

2

老師點評：

（1）如果我們把

2

當成x，不就轉化為上面的問題嗎？

-31-/260

22+32=（2+3）2=52

（2）把8當成y；

28-38+58=（2-3+5）8=48=82

（3）把7當成z；

7+27+97

=27+27+37=（1+2+3）7=67

（4）3看為x，2看為y．

33-23+2

=（3-2）3+2

=3+2

因此，二次根式的被開方數相同是可以合并的，如22與8表面上看是

不相同的，但它們可以合并嗎？可以的．

（板書）3

2

+8=3

2

+2

2

=5

2

33+27=33+33=63

所以，二次根式加減時，可以先將二次根式化成最簡二次根式，?再將被

開方數相同的二次根式進行合并．

例1．計算

（1）8+18（2）16x+64x

分析：第一步，將不是最簡二次根式的項化為最簡二次根式；第二步，將

相同的最簡二次根式進行合并．

解：（1）8+18=2

2

+3

2

=（2+3）

2

=5

2

（2）16x+64x=4x+8x=（4+8）x=12x

-32-/260

例2．計算

（1）348-9

1

3

+312

（2）（48+20）+（12-5）

解：（1）348-9

1

3

+312=123-33+63=（12-3+6）3=153

（2）（48+20）+（12-5）=48+20+12-5

=43+25+23-5=63+5

三、鞏固練習

教材P

19

練習1、2．

四、應用拓展

例3．已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（

2

9

3

xx

+y2

3

x

y

）-（x2

1

x

-

5x

y

x

）的值．

分析：本題首先將已知等式進行變形，把它配成完全平方式，得（2x-1）

2+（y-3）2=0，即x=

1

2

，y=3．其次，根據二次根式的加減運算，先把各項化

成最簡二次根式，?再合并同類二次根式，最后代入求值．

解：∵4x2+y2-4x-6y+10=0

∵4x2-4x+1+y2-6y+9=0

∴（2x-1）2+（y-3）2=0

∴x=

1

2

，y=3

原式=

2

9

3

xx

+y2

3

x

y

-x2

1

x

+5x

y

x

=2xx+xy-xx+5xy

=xx+6xy

-33-/260

當x=

1

2

，y=3時，

原式=

1

2

×

1

2

+6

3

2

=

2

4

+36

五、歸納小結

本節課應掌握：（1）不是最簡二次根式的，應化成最簡二次根式；（2）

相同的最簡二次根式進行合并．

六、布置作業

1．教材P

21

習題21．31、2、3、5．

2．選作課時作業設計．

3.課后作業:《同步訓練》

第一課時作業設計

一、選擇題

1．以下二次根式：①

12

；②22；③

2

3

；④27中，與3是同類二

次根式的是（）．

A．①和②B．②和③C．①和④D．③和④

2．下列各式：①33+3=63；②

1

7

7=1；③2+6=8=22；④

24

3

=2

2

，其中錯誤的有（）．

A．3個B．2個C．1個D．0個

二、填空題

1．在8、

1

75

3

a

、

2

9

3

a

、125、3

2

3a

a

、30.2、-2

1

8

中，與

3a是同類二次根式的有________．

2．計算二次根式5a-3b-7a+9b的最后結果是________．

三、綜合提高題

1．已知5≈2.236，求（80-

4

1

5

）-（

1

3

5

+

4

45

5

）的值．（結果

精確到0.01）

-34-/260

2．先化簡，再求值．

（6x

y

x

+3

3

xy

y

）-（4x

x

y

+36xy），其中x=

3

2

，y=27．

答案:

一、1．C2．A

二、1．

1

75

3

a3

2

3a

a

2．6b-2a

三、1．原式=45-

3

5

5-

4

5

5-

12

5

5=

1

5

5≈

1

5

×2.236≈0.45

2．原式=6xy+3xy-（4xy+6xy）=（6+3-4-6）xy=-xy，

當x=

3

2

，y=27時，原式=-

3

27

2

?

=-

9

2

2

21.3二次根式的加減(2)

第二課時

教學內容

利用二次根式化簡的數學思想解應用題．

教學目標

運用二次根式、化簡解應用題．

通過復習，將二次根式化成被開方數相同的最簡二次根式，進行合并后解

應用題．

重難點關鍵

講清如何解答應用題既是本節課的重點，又是本節課的難點、關鍵點．

教學過程

一、復習引入

上節課，我們已經講了二次根式如何加減的問題，我們把它歸為兩個步

驟：第一步，先將二次根式化成最簡二次根式；第二步，再將被開方數相同的

二次根式進行合并，下面我們講三道例題以做鞏固．

二、探索新知

例1．如圖所示的Rt△ABC中，∠B=90°，點P從點B開始沿BA邊以1

厘米/?秒的速度向點A移動；同時，點Q也從點B開始沿BC邊以2厘米/秒的

-35-/260

速度向點C移動．問：幾秒后△PBQ的面積為35平方厘米？PQ的距離是多少

厘米？（結果用最簡二次根式表示）

B

A

C

Q

P

分析：設x秒后△PBQ的面積為35平方厘米，那么PB=x，BQ=2x，?根據

三角形面積公式就可以求出x的值．

解：設x后△PBQ的面積為35平方厘米．

則有PB=x，BQ=2x

依題意，得：

1

2

x·2x=35

x2=35

x=35

所以35秒后△PBQ的面積為35平方厘米．

PQ=2222245535PBBQxxx??????

=57

答：35秒后△PBQ的面積為35平方厘米，PQ的距離為57厘米．

例2．要焊接如圖所示的鋼架，大約需要多少米鋼材（精確到0.1m）？

分析：此框架是由AB、BC、BD、AC組成，所以要求鋼架的鋼材，?只需知

道這四段的長度．

解：由勾股定理，得

AB=22224220ADBD????=25

-36-/260

BC=222221BDCD???=5

所需鋼材長度為

AB+BC+AC+BD

=25+5+5+2

=35+7

≈3×2.24+7≈13.7（m）

答：要焊接一個如圖所示的鋼架，大約需要13.7m的鋼材．

三、鞏固練習

教材P19練習3

四、應用拓展

例3．若最簡根式343abab??與根式23226abbb??是同類二次根式，求

a、b的值．（?同類二次根式就是被開方數相同的最簡二次根式）

分析：同類二次根式是指幾個二次根式化成最簡二次根式后，被開方數相

同；?事實上，根式23226abbb??不是最簡二次根式，因此把

23226abbb??化簡成|b|·26ab??，才由同類二次根式的定義得3a-

?b=?2，2a-b+6=4a+3b．

解：首先把根式23226abbb??化為最簡二次根式：

23226abbb??=2(216)ba??

=|b|·26ab??

由題意得

4326

32

abab

ab

????

?

?

??

?

∴

246

32

ab

ab

??

?

?

??

?

∴a=1，b=1

五、歸納小結

本節課應掌握運用最簡二次根式的合并原理解決實際問題．

六、布置作業

1．教材P

21

習題21．37．

2．選用課時作業設計．

-37-/260

3.課后作業:《同步訓練》

作業設計

一、選擇題

1．已知直角三角形的兩條直角邊的長分別為5和5，那么斜邊的長應為

（）．（?結果用最簡二次根式）

A．52B．50C．25D．以上都不對

2．小明想自己釘一個長與寬分別為30cm和20cm的長方形的木框，?為了

增加其穩定性，他沿長方形的對角線又釘上了一根木條，木條的長應為（）

米．（結果同最簡二次根式表示）

A．13100B．1300C．1013D．513

二、填空題

1．某地有一長方形魚塘，已知魚塘的長是寬的2倍，它的面積是

1600m2，?魚塘的寬是_______m．（結果用最簡二次根式）

2．已知等腰直角三角形的直角邊的邊長為2，?那么這個等腰直角三角

形的周長是________．（結果用最簡二次根式）

三、綜合提高題

1．若最簡二次根式2

2

32

3

m?

與21

2410nm??是同類二次根式，求m、n

的值．

2．同學們，我們以前學過完全平方公式a2±2ab+b2=（a±b）2，你一定

熟練掌握了吧!現在，我們又學習了二次根式，那么所有的正數（包括0）都

可以看作是一個數的平方，如3=（3）2，5=（5）2，你知道是誰的二次根

式呢？下面我們觀察：

（2-1）2=（2）2-2·1·2+12=2-22+1=3-22

反之，3-22=2-22+1=（2-1）2

∴3-22=（2-1）2

∴322?=

2

-1

求：（1）322?；

-38-/260

（2）

423?

；

（3）你會算412?嗎？

（4）若

2ab?

=mn?，則m、n與a、b的關系是什么？并說明理

由．

答案:

一、1．A2．C

二、1．2022．2+22

三、1．依題意，得

22

2

32410

12

mm

n

?

???

?

?

??

?

?

，

2

2

8

3

m

n

?

?

?

?

?

?

?

，

22

3

m

n

?

??

?

?

??

?

?

所以

22

3

m

n

?

?

?

?

?

?

?

或

22

3

m

n

?

??

?

?

?

?

?

或

22

3

m

n

?

?

?

?

??

?

?

或

22

3

m

n

?

??

?

?

??

?

?

2．（1）322?=2(21)?=2+1

（2）

423?

=2(31)?=3+1

（3）412?=2423(31)???=3-1

（4）

mna

mnb

??

?

?

?

?

理由：兩邊平方得a±2b=m+n±2mn

所以

amn

bmn

??

?

?

?

?

-39-/260

21.3二次根式的加減(3)

第三課時

教學內容

含有二次根式的單項式與單項式相乘、相除；多項式與單項式相乘、相

除；多項式與多項式相乘、相除；乘法公式的應用．

教學目標

含有二次根式的式子進行乘除運算和含有二次根式的多項式乘法公式的應

用．

復習整式運算知識并將該知識運用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等

運算．

重難點關鍵

重點：二次根式的乘除、乘方等運算規律；

難點關鍵：由整式運算知識遷移到含二次根式的運算．

教學過程

一、復習引入

學生活動：請同學們完成下列各題:

1．計算

（1）（2x+y）·zx（2）（2x2y+3xy2）÷xy

2．計算

（1）（2x+3y）（2x-3y）（2）（2x+1）2+（2x-1）2

老師點評：這些內容是對八年級上冊整式運算的再現．它主要有（1）?單

項式×單項式；（2）單項式×多項式；（3）多項式÷單項式；（4）完全平

方公式；（5）平方差公式的運用．

二、探索新知

如果把上面的x、y、z改寫成二次根式呢？以上的運算規律是否仍成立

呢？?仍成立．

整式運算中的x、y、z是一種字母，它的意義十分廣泛，可以代表所有一

切，?當然也可以代表二次根式，所以，整式中的運算規律也適用于二次根

式．

例1．計算:

（1）（6+8）×3（2）（46-3

2

）÷2

2

分析：剛才已經分析，二次根式仍然滿足整式的運算規律，?所以直接可

用整式的運算規律．

解：（1）（6+8）×3=6×3+8×3

-40-/260

=18+24=32+26

解：（46-32）÷22=46÷22-32÷22

=23-

3

2

例2．計算

（1）（5+6）（3-5）（2）（10+7）（10-7）

分析：剛才已經分析，二次根式的多項式乘以多項式運算在乘法公式運算

中仍然成立．

解：（1）（5+6）（3-5）

=35-（5）2+18-65

=13-35

（2）（10+7）（10-7）=（10）2-（7）2

=10-7=3

三、鞏固練習

課本P

20

練習1、2．

四、應用拓展

例3．已知

xb

a

?

=2-

xa

b

?

，其中a、b是實數，且a+b≠0，

化簡

1

1

xx

xx

??

??

+

1

1

xx

xx

??

??

，并求值．

分析：由于（1x?+x）（1x?-x）=1，因此對代數式的化簡，可

先將分母有理化，再通過解含有字母系數的一元一次方程得到x的值，代入化

簡得結果即可．

解：原式=

2(1)

(1)(1)

xx

xxxx

??

????

+

2(1)

(1)(1)

xx

xxxx

??

????

=

2(1)

(1)

xx

xx

??

??

+

2(1)

(1)

xx

xx

??

??

-41-/260

=（x+1）+x-2(1)xx?+x+2(1)xx?

=4x+2

∵

xb

a

?

=2-

xa

b

?

∴b（x-b）=2ab-a（x-a）

∴bx-b2=2ab-ax+a2

∴（a+b）x=a2+2ab+b2

∴（a+b）x=（a+b）2

∵a+b≠0

∴x=a+b

∴原式=4x+2=4（a+b）+2

五、歸納小結

本節課應掌握二次根式的乘、除、乘方等運算．

六、布置作業

1．教材P

21

習題21．31、8、9．

2．選用課時作業設計．

3.課后作業:《同步訓練》

作業設計

一、選擇題

1．（

24

-315+2

2

2

3

）×

2

的值是（）．

A．

20

3

3-330B．330-

2

3

3

C．230-

2

3

3D．

20

3

3-30

2．計算（x+1x?）（x-1x?）的值是（）．

A．2B．3C．4D．1

二、填空題

1．（-

1

2

+

3

2

）2的計算結果（用最簡根式表示）是________．

2．（1-23）（1+23）-（23-1）2的計算結果（用最簡二次根式表

示）是_______．

-42-/260

3．若x=2-1，則x2+2x+1=________．

4．已知a=3+22，b=3-22，則a2b-ab2=_________．

三、綜合提高題

1．化簡

57

10141521

?

???

2．當x=

1

21?

時，求

2

2

1

1

xxx

xxx

???

???

+

2

2

1

1

xxx

xxx

???

???

的值．（結果用最簡

二次根式表示）

課外知識

1．同類二次根式：幾個二次根式化成最簡二次根式后，它們的被開方數

相同，?這些二次根式就稱為同類二次根式，就是本書中所講的被開方數相同

的二次根式．

練習：下列各組二次根式中，是同類二次根式的是（）．

A．2x與2yB．34

8

9

ab

與58

9

2

ab

C．mn與nD．mn?與mn?

2．互為有理化因式：?互為有理化因式是指兩個二次根式的乘積可以運用

平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2，同時它們的積是有理數，不含有二次根

式：如x+1-22xx?與x+1+22xx?就是互為有理化因式；x與

1

x

也是互

為有理化因式．

練習：

2

+3的有理化因式是________；

x-y的有理化因式是_________．

-1x?-1x?的有理化因式是_______．

3．分母有理化是指把分母中的根號化去，通常在分子、?分母上同乘以一

個二次根式，達到化去分母中的根號的目的．

練習：把下列各式的分母有理化

-43-/260

（1）

1

51?

；（2）

1

123?

；（3）

2

62?

；（4）

3342

3342

?

?

．

4．其它材料：如果n是任意正整數，那么

21

n

n

n

?

?

=n

21

n

n?

理由：

21

n

n

n

?

?

=

33

2211

nnnn

nn

??

?

??

=n

21

n

n?

練習：填空

2

2

3

=_______；

3

3

8

=________；

4

4

15

=_______．

答案:

一、1．A2．D

二、1．1-

3

2

2．43-243．24．42

三、1．原式＝

57

25273537

?

???

=

57

2(57)3(57)

?

???

=

1

23?

=-（

2

-3）=3-

2

2．原式＝

2222

222

(1)(1)

(1)()

xxxxxx

xxx

???????

???

=

222(1)()2

1

xxx

x

????

?

=

2(1)(1)

1

xxx

x

???

?

=2（2x+1）

∵x=

1

21?

=2+1原式＝2（22+3）=42+6.

-44-/260

二次根式復習課

教學目標

1．使學生進一步理解二次根式的意義及基本性質，并能熟練地化簡含二次根

式的式子；

2．熟練地進行二次根式的加、減、乘、除混合運算．

教學重點和難點

重點：含二次根式的式子的混合運算．

難點：綜合運用二次根式的性質及運算法則化簡和計算含二次根式的式子．

教學過程設計

一、復習

1．請同學回憶二次根式有哪些基本性質？用式子表示出來，并說明各式成立

的條件．

指出：二次根式的這些基本性質都是在一定條件下才成立的，主要應用于化

簡二次根式．

2．二次根式的乘法及除法的法則是什么？用式子表示出來．

指出：二次根式的乘、除法則也是在一定條件下成立的．把兩個二

次根式相除，

計算結果要把分母有理化．

3．在二次根式的化簡或計算中，還常用到以下兩個二次根式的關

系式：

4．在含有二次根式的式子的化簡及求值等問題中，常運用三個可

逆的式子：

-45-/260

二、例題

例1x取什么值時，下列各式在實數范圍內有意義：

分析：

(1)題是兩個二次根式的和，x的取值必須使兩個二次根式都有意

義；

(3)題是兩個二次根式的和，x的取值必須使兩個二次根式都有意

義；

(4)題的分子是二次根式，分母是含x的單項式，因此x的取值必

須使二次根式有意義，同時使分母的值不等于零．

-46-/260

x≥-2且x≠0．

解因為n2-9≥0，9-n2≥0，且n-3≠0，所以n2=9且n≠3，所以

例3

-47-/260

分析：第一個二次根式的被開方數的分子與分母都可以分解因

式．把它們分別分解因式后，再利用二次根式的基本性質把式子化簡，

化簡中應注意利用題中的隱含條件3-a≥0和1-a＞0．

解因為1-a＞0，3-a≥0，所以

a＜1，|a-2|＝2-a．

(a-1)(a-3)=[-(1-a)][-(3-a)]=(1-a)(3-a)≥0．

這些性質化簡含二次根式的式子時，要注意上述條件，并要闡述清

楚是怎樣滿足這些條件的．

-48-/260

問：上面的代數式中的兩個二次根式的被開方數的式子如何化為完

全平方式？

分析：先把第二個式子化簡，再把兩個式子進行通分，然后進行計

算．

-49-/260

解

注意：

所以在化簡過程中，

例6

-50-/260

分析：如果把兩個式子通分，或把每一個式子的分母有理化再進行

計算，這兩種方法的運算量都較大，根據式子的結構特點，分別把兩個

式子的分母看作一個整體，用換元法把式子變形，就可以使運算變為簡

捷．

a+b＝2(n+2)，ab=(n+2)2-(n2-4)＝4(n+2)，

三、課堂練習

1．選擇題：

A．a≤2B．a≥2

C．a≠2D．a＜2

A．x+2B．-x-2

C．-x+2D．x-2

A．2xB．2a

C．-2xD．-2a

2．填空題：

-51-/260

4．計算：

四、小結

1．本節課復習的五個基本問題是“二次根式”這一章的主要基礎

知識，同學們要深刻理解并牢固掌握．

-52-/260

2．在一次根式的化簡、計算及求值的過程中，應注意利用題中的

使二次根式有意義的條件(或題中的隱含條件)，即被開方數為非負數，

以確定被開方數中的字母或式子的取值范圍．

3．運用二次根式的四個基本性質進行二次根式的運算時，一定要

注意論述每一個性質中字母的取值范圍的條件．

4．通過例題的討論，要學會綜合、靈活運用二次根式的意義、基

本性質和法則以及有關多項式的因式分解，解答有關含二次根式的式子

的化簡、計算及求值等問題．

五、作業

1．x是什么值時，下列各式在實數范圍內有意義？

2．把下列各式化成最簡二次根式：

-53-/260

第二十三章旋轉

單元要點分析

教學內容

1．主要內容：

圖形的旋轉及其有關概念：包括旋轉、旋轉中心、旋轉角．圖形旋轉的有

關性質：對應點到旋轉中心的距離相等，對應點與旋轉中心所連線段的夾角等

于旋轉角，旋轉前、后的圖形全等．通過不同形式的旋轉，設計圖案．中心對

稱及其有關概念：中心對稱、對稱中心、關于中心的對稱點；關于中心對稱的

兩個圖形．中心對稱的性質：對稱點所連線段都經過對稱中心，而且被對稱中

心所平分；關于中心對稱的兩個圖形是全等圖形．中心對稱圖形：概念及性

質：包括中心對稱圖形、對稱中心．關于原點對稱的點的坐標：兩個點關于原

點對稱時，它們的坐標符號都相反，即點P（x，y）關于原點的對稱點為P′

（-x，-y）．課題學習．圖案設計．

2．本單元在教材中的地位與作用：

學生通過平移、平面直角坐標系，軸對稱、反比例函數、四邊形等知識的

學習，初步積累了一定的圖形變換數學活動經驗．本章在此基礎上，讓學生進

行觀察、分析、畫圖、簡單圖案的欣賞與設計等操作性活動形成圖形旋轉概

念．它又對今后繼續學習數學，尤其是幾何，包括圓等內容的學習起著橋梁鋪

墊之作用．

教學目標

1．知識與技能

了解圖形的旋轉的有關概念并理解它的基本性質．

了解中心對稱的概念并理解它的基本性質．

了解中心對稱圖形的概念；掌握關于原點對稱的兩點的關系并應用；再通

過幾何操作題的練習，掌握課題學習中圖案設計的方法．

2．過程與方法

（1）讓學生感受生活中的幾何，?通過不同的情景設計歸納出圖形旋轉的

有關概念，并用這些概念來解決一些問題．

（2）?通過復習圖形旋轉的有關概念從中歸納出“對應點到旋轉中心的距

離相等，對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角，旋轉前后的圖形全

-54-/260

等”等重要性質，并運用它解決一些實際問題．

（3）經歷復習圖形的旋轉的有關概念和性質，分析不同的旋轉中心，?不

同的旋轉角，出現不同的效果并對各種情況進行分類．

（4）復習對稱軸和軸對稱圖形的有關概念，?通過知識遷移講授中心對稱

圖形和對稱中心的有關內容，并附加練習鞏固這個內容．

（5）通過幾何操作題，探究猜測發現規律，并給予證明，附加例題進一

步鞏固．

（6）復習中心對稱圖形和對稱中心的有關概念，然后提出問題，讓學生

觀察、?思考，老師歸納得出中心對稱圖形和對稱中心的有關概念，最后用一

些例題、練習來鞏固這個內容．

（7）復習平面直角坐標系的有關概念，?通過實例歸納出兩個點關于原點

對稱時，坐標符號之間的關系，并運用它解決一些實際問題．

（8）通過復習平移、軸對稱、旋轉等有關概念研究如何進行圖形設計．

3．情感、態度與價值觀

讓學生經歷觀察、操作等過程，了解圖形旋轉的概念，從事圖形旋轉基本

性質的探索活動，進一步發展空間觀察，培養運動幾何的觀點，增強審美意

識．讓學生通過獨立思考，自主探究和合作交流進一步體會旋轉的數學內涵，

獲得知識，體驗成功，享受學習樂趣．讓學生從事應用所學的知識進行圖案設

計的活動，享受成功的喜悅，激發學習熱情．

教學重點

1．圖形旋轉的基本性質．

2．中心對稱的基本性質．

3．兩個點關于原點對稱時，它們坐標間的關系．

教學難點

1．圖形旋轉的基本性質的歸納與運用．

2．中心對稱的基本性質的歸納與運用．

教學關鍵

1．利用幾何直觀，經歷觀察，產生概念；

2．利用幾何操作，通過觀察、探究，?用不完全歸納法歸納出圖形的旋轉

和中心對稱的基本性質．

單元課時劃分

本單元教學時間約需10課時，具體分配如下：

23．1圖形的旋轉3課時

23．2中心對稱4課時

23．3課題學習；圖案設計1課時

教學活動、習題課、小結2課時

23.1圖形的旋轉（1）

-55-/260

第一課時

教學內容

1．什么叫旋轉？旋轉中心？旋轉角？

2．什么叫旋轉的對應點？

教學目標

了解旋轉及其旋轉中心和旋轉角的概念，了解旋轉對應點的概念及其應用

它們解決一些實際問題．

通過復習平移、軸對稱的有關概念及性質，從生活中的數學開始，經歷觀

察，產生概念，應用概念解決一些實際問題．

重難點、關鍵

1．重點：旋轉及對應點的有關概念及其應用．

2．難點與關鍵：從活生生的數學中抽出概念．

教具、學具準備

小黑板、三角尺

教學過程

一、復習引入

（學生活動）請同學們完成下面各題．

1．將如圖所示的四邊形ABCD平移，使點B的對應點為點D，作出平移后

的圖形．

2．如圖，已知△ABC和直線L，請你畫出△ABC關于L的對稱圖形△A′

B′C′．

3．圓是軸對稱圖形嗎？等腰三角形呢？你還能指出其它的嗎？

（口述）老師點評并總結：

（1）平移的有關概念及性質．

（2）如何畫一個圖形關于一條直線（對稱軸）?的對稱圖形并口述它既有

的一些性質．

（3）什么叫軸對稱圖形？

二、探索新知

我們前面已經復習平移等有關內容，生活中是否還有其它運動變化呢？回

-56-/260

答是肯定的，下面我們就來研究．

1．請同學們看講臺上的大時鐘，有什么在不停地轉動？旋繞什么點呢？?

從現在到下課時鐘轉了多少度？分針轉了多少度？秒針轉了多少度？

（口答）老師點評：時針、分針、秒針在不停地轉動，它們都繞時針的中

心．?如果從現在到下課時針轉了_______度，分針轉了_______度，秒針轉了

______度．

2．再看我自制的好像風車風輪的玩具，它可以不停地轉動．如何轉到新

的位置？（老師點評略）

3．第1、2兩題有什么共同特點呢？

共同特點是如果我們把時針、風車風輪當成一個圖形，那么這些圖形都可

以繞著某一固定點轉動一定的角度．

像這樣，把一個圖形繞著某一點O轉動一個角度的圖形變換叫做旋轉，點

O叫做旋轉中心，轉動的角叫做旋轉角．

如果圖形上的點P經過旋轉變為點P′，那么這兩個點叫做這個旋轉的對

應點．

下面我們來運用這些概念來解決一些問題．

例1．如圖，如果把鐘表的指針看做三角形OAB，它繞

O點按順時針方向旋轉得到△OEF，在這個旋轉過程中：

（1）旋轉中心是什么？旋轉角是什么？

（2）經過旋轉，點A、B分別移動到什么位置？

解：（1）旋轉中心是O，∠AOE、∠BOF等都是旋轉角．

（2）經過旋轉，點A和點B分別移動到點E和點F的位置．

例2．（學生活動）如圖，四邊形ABCD、四邊形EFGH都是邊長為1的正

方形．

（1）這個圖案可以看做是哪個“基本圖案”通過旋轉

得到的？

（2）請畫出旋轉中心和旋轉角．

（3）指出，經過旋轉，點A、B、C、D分別移到什么位

置？

（老師點評）

（1）可以看做是由正方形ABCD的基本圖案通過旋轉而得到的．（2）?畫

圖略．（3）點A、點B、點C、點D移到的位置是點E、點F、點G、點H．

最后強調，這個旋轉中心是固定的，即正方形對角線的交點，?但旋轉角

和對應點都是不唯一的．

三、鞏固練習

教材P65練習1、2、3．

四、應用拓展

例3．兩個邊長為1的正方形，如圖所示，?讓一個正方形的頂點與另一個

-57-/260

正方形中心重合，不難知道重合部分的面積為

1

4

，現把其中一個正方形固定不

動，?另一個正方形繞其中心旋轉，問在旋轉過程中，兩個正方形重疊部分面

積是否發生變化？?說明理由．

分析：設任轉一角度，如圖中的虛線部分，?要說明旋轉后正方形重疊部

分面積不變，只要說明S

△OEE`

=S

△ODD`

，那么只要說明△OEF′≌△ODD′．

解：面積不變．

理由：設任轉一角度，如圖所示．

在Rt△ODD′和Rt△OEE′中

∠ODD′=∠OEE′=90°

∠DOD′=∠EOE′=90°-∠BOE

OD=OD

∴△ODD′≌△OEE′

∴S△ODD`

=S

△OEE`

∴S四邊形OE`BD`

=S

正方形OEBD

=

1

4

五、歸納小結（學生總結，老師點評）

本節課要掌握：

1．旋轉及其旋轉中心、旋轉角的概念．

2．旋轉的對應點及其它們的應用．

六、布置作業

1．教材P66復習鞏固1、2、3．

2．《同步練習》

一、選擇題

1．在26個英文大寫字母中，通過旋轉180°后能與原字母重合的有（）．

A．6個B．7個C．8個D．9個

2．從5點15分到5點20分，分針旋轉的度數為（）．

A．20°B．26°C．30°D．36°

3．如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以直角頂點C為旋轉中

心，?將△ABC旋轉到△A′B′C的位置，其中A′、B′分別是A、B的對應

點，且點B在斜邊A′B′上，直角邊CA′交AB于D，則旋轉角等于

（）．

A．70°B．80°C．60°D．50°

-58-/260

(1)(2)(3)

二、填空題．

1．在平面內，將一個圖形繞一個定點沿著某個方向轉動一個角度，這樣的圖

形運動稱為________，這個定點稱為________，轉動的角為________．

2．如圖2，△ABC與△ADE都是等腰直角三角形，∠C和∠AED都是直角，?點

E?在AB上，如果△ABC經旋轉后能與△ADE重合，那么旋轉中心是點

_________；旋轉的度數是__________．

3．如圖3，△ABC為等邊三角形，D為△ABC?內一點，?△ABD?經過旋轉后到

達△ACP的位置，則，（1）旋轉中心是________；（2）?旋轉角度是

________；?（?3）?△ADP?是________三角形．

三、綜合提高題．

1．閱讀下面材料：

如圖4，把△ABC沿直線BC平行移動線段BC的長度，可以變到△ECD的位

置．

如圖5，以BC為軸把△ABC翻折180°，可以變到△DBC的位置．

(4)(5)(6)(7)

如圖6，以A點為中心，把△ABC旋轉90°，可以變到△AED的位置，像

這樣，?其中一個三角形是由另一個三角形按平行移動、翻折、旋轉等方法變

成的，這種只改變位置，不改變形狀和大小的圖形變換，叫做三角形的全等變

換．

回答下列問題

如圖7，在正方形ABCD中，E是AD的中點，F是BA延長線上一點，

AF=

1

2

AB．

（1）在如圖7所示，可以通過平行移動、翻折、旋轉中的哪一種方法，?

使△ABE移到△ADF的位置？

（2）指出如圖7所示中的線段BE與DF之間的關系．

2．一塊等邊三角形木塊，邊長為1，如圖，?現將木塊沿水平線翻滾五個三角

形，那么B點從開始至結束所走過的路徑長是多少？

-59-/260

答案:

一、1．B2．C3．B

二、1．旋轉旋轉中心旋轉角2．A45°3．點A60°等邊

三、1．（1）通過旋轉，即以點A為旋轉中心，將△ABE逆時針旋轉90°．

（2）BE=?DF，BE⊥DF

2．翻滾一次滾120°翻滾五個三角形，正好翻滾一個圓，所以所走路徑

是2．

23.1圖形的旋轉(2)

第二課時

教學內容

1．對應點到旋轉中心的距離相等．

2．對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角．

3．旋轉前后的圖形全等及其它們的運用．

教學目標

理解對應點到旋轉中心的距離相等；理解對應點與旋轉中心所連線段的夾

角等于旋轉角；理解旋轉前、后的圖形全等．掌握以上三個圖形的旋轉的基本

性質的運用．

先復習旋轉及其旋轉中心、旋轉角和旋轉的對應點概念，接著用操作幾

何、實驗探究圖形的旋轉的基本性質．

重難點、關鍵

1．重點：圖形的旋轉的基本性質及其應用．

2．難點與關鍵：運用操作實驗幾何得出圖形的旋轉的三條基本性質．

教學過程

-60-/260

一、復習引入

（學生活動）老師口問，學生口答．

1．什么叫旋轉？什么叫旋轉中心？什么叫旋轉角？

2．什么叫旋轉的對應點？

3．請獨立完成下面的題目．

如圖，O是六個正三角形的公共頂點，正六邊形ABCDEF能

否看做是某條線段繞O點旋轉若干次所形成的圖形？

（老師點評）分析：能．看做是一條邊（如線段AB）繞O

點，按照同一方法連續旋轉60°、120°、180°、240°、300°形成的．

二、探索新知

上面的解題過程中，能否得出什么結論，請回答下面的問題：

1．A、B、C、D、E、F到O點的距離是否相等？

2．對應點與旋轉中心所連線段的夾角∠BOC、∠COD、∠DOE、∠EOF、∠

FOA是否相等？

3．旋轉前、后的圖形這里指三角形△OAB、△OBC、△OCD、△ODE、△

OEF、△OFA全等嗎？

老師點評：（1）距離相等，（2）夾角相等，（3）前后圖形全等，那么

這個是否有一般性？下面請看這個實驗．

請看我手里拿著的硬紙板，我在硬紙板上挖下一個三角形的洞，?再挖一

個點O作為旋轉中心，把挖好的硬紙板放在黑板上，先在黑板上描出這個挖掉

的三角形圖案（△ABC），然后圍繞旋轉中心O轉動硬紙板，?在黑板上再描出

這個挖掉的三角形（△A′B′C′），移去硬紙板．

（分組討論）根據圖回答下面問題（一組推薦一人上臺說明）

1．線段OA與OA′，OB與OB′，OC與OC′有什么

關系？

2．∠AOA′，∠BOB′，∠COC′有什么關系？

3．△ABC與△A′B′C′形狀和大小有什么關系？

老師點評：1．OA=OA′，OB=OB′，OC=OC′，也就

是對應點到旋轉中心相等．

2．∠AOA′=∠BOB′=∠COC′，我們把這三個相等

的角，?即對應點與旋轉中心所連線段的夾角稱為旋轉角．

3．△ABC和△A′B′C′形狀相同和大小相等，即全等．

綜合以上的實驗操作和剛才作的（3），得出

（1）對應點到旋轉中心的距離相等；

（2）對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；

（3）旋轉前、后的圖形全等．

例1．如圖，△ABC繞C點旋轉后，頂點A的對應點為

點D，試確定頂點B?對應點的位置，以及旋轉后的三角形．

-61-/260

分析：繞C點旋轉，A點的對應點是D點，那么旋轉角就是∠ACD，根據對

應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角，即∠BCB′=ACD，?又由對應點到

旋轉中心的距離相等，即CB=CB′，就可確定B′的位置，如圖所示．

解：（1）連結CD

（2）以CB為一邊作∠BCE，使得∠BCE=∠ACD

（3）在射線CE上截取CB′=CB

則B′即為所求的B的對應點．

（4）連結DB′

則△DB′C就是△ABC繞C點旋轉后的圖形．

例2．如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，且

DE=

1

4

，△ABF是△ADE的旋轉圖形．

（1）旋轉中心是哪一點？

（2）旋轉了多少度？

（3）AF的長度是多少？

（4）如果連結EF，那么△AEF是怎樣的三角形？

分析：由△ABF是△ADE的旋轉圖形，可直接得出旋轉中心和旋轉角，要

求AF?的長度，根據旋轉前后的對應線段相等，只要求AE的長度，由勾股定

理很容易得到．?△ABF與△ADE是完全重合的，所以它是直角三角形．

解：（1）旋轉中心是A點．

（2）∵△ABF是由△ADE旋轉而成的

∴B是D的對應點

∴∠DAB=90°就是旋轉角

（3）∵AD=1，DE=

1

4

∴AE=22

1

1()

4

?

=

17

4

∵對應點到旋轉中心的距離相等且F是E的對應點

∴AF=

17

4

（4）∵∠EAF=90°（與旋轉角相等）且AF=AE

∴△EAF是等腰直角三角形．

三、鞏固練習

教材P64練習1、2．

四、應用拓展

例3．如圖，K是正方形ABCD內一點，以AK為一邊作正

-62-/260

方形AKLM，使L、M?在AK的同旁，連接BK和DM，試用旋轉的思想說明線段

BK與DM的關系．

分析：要用旋轉的思想說明就是要用旋轉中心、旋轉角、對應點的知識來

說明．

解：∵四邊形ABCD、四邊形AKLM是正方形

∴AB=AD，AK=AM，且∠BAD=∠KAM為旋轉角且為90°

∴△ADM是以A為旋轉中心，∠BAD為旋轉角由△ABK旋轉而成的

∴BK=DM

五、歸納小結（學生總結，老師點評）

本節課應掌握：

1．對應點到旋轉中心的距離相等；

2．對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；

3．旋轉前、后的圖形全等及其它們的應用．

六、布置作業

1．教材P66復習鞏固4綜合運用5、6．

2．作業設計．

作業設計

一、選擇題

1．△ABC繞著A點旋轉后得到△AB′C′，若∠BAC′=130°，∠BAC=80°，?

則旋轉角等于（）

A．50°B．210°C．50°或210°D．130°

2．在圖形旋轉中，下列說法錯誤的是（）

A．在圖形上的每一點到旋轉中心的距離相等

B．圖形上每一點移動的角度相同

C．圖形上可能存在不動的點

D．圖形上任意兩點的連線與其對應兩點的連線長度相等

3．如圖，下面的四個圖案中，既包含圖形的旋轉，又包含圖形的軸對稱的是

（）

二、填空題

1．在作旋轉圖形中，各對應點與旋轉中心的距離________．

2．如圖，△ABC和△ADE均是頂角為42°的等腰三角形，BC、

-63-/260

DE分別是底邊，圖中的△ABD繞A旋轉42°后得到的圖形是________，它們

之間的關系是______，?其中BD=_________．

3．如圖，自正方形ABCD的頂點A引兩條射線分別交BC、CD

于E、F，?∠EAF=45°，在保持∠EAF=45°的前提下，當點

E、F分別在邊BC、CD上移動時，BE+?DF?與EF的關系是

________．

三、綜合提高題

1．如圖，正方形ABCD的中心為O，M為邊上任意一點，過OM隨意連一條曲

線，?將所畫的曲線繞O點按同一方向連續旋轉3次，每次旋轉角度都是

90°，這四個部分之間有何關系？

2．如圖，以△ABC的三頂點為圓心，半徑為1，作兩兩不相交的扇形，?則圖

中三個扇形面積之和是多少？

3．如圖，已知正方形ABCD的對角線交于O點，若點E在AC的延長線上，

?AG?⊥EB，交EB的延長線于點G，AG的延長線交DB的延長線于點F，則△

OAF與△OBE重合嗎？如果重合給予證明，如果不重合請說明理由？

答案:

一、1．C2．A3．D

二、1．相等2．△ACE圖形全等CE3．相等

三、1．這四個部分是全等圖形

-64-/260

2．∵∠A+∠B+∠C=180°，

∴繞AB、AC的中點旋轉180°，可以得到一個半圓，

∴面積之和=

1

2

?

．

3．重合：證明：∵EG⊥AF

∴∠2+∠3=90°

∵∠3+∠1+90°=180°

∵∠1+∠3=90°

∴∠1=∠2

同理∠E=∠F，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC

∴△ABF≌△BCE，∴BF=CE，∴OE=OF，∵OA=OB

∴△OBE繞O點旋轉90°便可和△OAF重合．

23.1圖形的旋轉(3)

第三課時

教學內容

選擇不同的旋轉中心或不同的旋轉角，設計出不同的美麗的圖案．

教學目標

理解選擇不同的旋轉中心、不同的旋轉角度，會出現不同的效果，掌握根

據需要用旋轉的知識設計出美麗的圖案．

復習圖形旋轉的基本性質，著重強調旋轉中心和旋轉角然后應用已學的知

識作圖，設計出美麗的圖案．

重難點、關鍵

-65-/260

1．重點：用旋轉的有關知識畫圖．

2．難點與關鍵：根據需要設計美麗圖案．

教具、學具準備

小黑板

教學過程

一、復習引入

1．（學生活動）老師口問，學生口答．

（1）各對應點到旋轉中心的距離有何關系呢？

（2）各對應點與旋轉中心所連線段的夾角與旋轉角有何關系？

（3）兩個圖形是旋轉前后的圖形，它們全等嗎？

2．請同學獨立完成下面的作圖題．

如圖，△AOB繞O點旋轉后，G點是B點的對應

點，作出△AOB旋轉后的三角形．

（老師點評）分析：要作出△AOB旋轉后的三角

形，應找出三方面：第一，旋轉中心：O；第二，旋

轉角：∠BOG；第三，A點旋轉后的對應點：A′．

二、探索新知

從上面的作圖題中，我們知道，作圖應滿足三要素：旋轉中心、旋轉角、

對應點，而旋轉中心、旋轉角固定下來，對應點就自然而然地固定下來．因

此，下面就選擇不同的旋轉中心、不同的旋轉角來進行研究．

1．旋轉中心不變，改變旋轉角

畫出以下圖所示的四邊形ABCD以O點為中心，旋轉角分別為30°、60°

的旋轉圖形．

2．旋轉角不變，改變旋轉中心

畫出以下圖，四邊形ABCD分別為O、O為中心，旋轉角都為30?°的旋轉

圖形．

-66-/260

因此，從以上的畫圖中，我們可以得到旋轉中心不變，改變旋轉角與旋轉

角不變，改變旋轉中心會產生不同的效果，所以，我們可以經過旋轉設計出美

麗的圖案．

例1．如下圖是菊花一葉和中心與圓圈，現以O?為旋轉中心畫出分別旋轉

45°、90°、135°、180°、225°、270°、315°的菊花圖案．

分析：只要以O為旋轉中心、旋轉角以上面為變化，?旋轉

長度為菊花的最長OA，按菊花葉的形狀畫出即可．

解：（1）連結OA

（2）以O點為圓心，OA長為半徑旋轉45°，得A．

（3）依此類推畫出旋轉角分別為90°、135°、180°、

225°、270°、315°的A、A、A、A、A、A．

（4）按菊花一葉圖案畫出各菊花一葉．

那么所畫的圖案就是繞O點旋轉后的圖形．

例2．（學生活動）如圖，如果上面的菊花一

葉，繞下面的點O′為旋轉中心，?請同學畫出圖

案，它還是原來的菊花嗎？

老師點評：顯然，畫出后的圖案不是菊花，而是

另外的一種花了．

三、鞏固練習

教材P65練習．

四、應用拓展

例3．如圖，如何作出該圖案繞O點按逆時針旋轉90°的圖形．

分析：該備案是一個比較復雜的圖案，是作出幾個

復合圖形組成的圖案，因此，要先畫出圖中的關鍵點，

這些關鍵點往往是圖案里線的端點、角的頂點、圓的圓

心等，然后再根據旋轉的特征，作出這些關鍵點的對應

點，最后再按原圖案作出旋轉后的圖案．

解：（1）連結OA，過O點沿OA逆時針作∠AOA′

=90°，在射線OA′上截取OA′=OA；

（2）用同樣的方法分別求出B、C、D、E、F、G、H

的對應點B′、C′、D′、E′、F′、G′、H′；

-67-/260

（3）作出對應線段A′B′、B′C′、C′D′、D′E′、E′F′、F′

A′、A?′G′、G′D′、D′H′、H′A′；

（4）所作出的圖案就是所求的圖案．

五、歸納小結（學生歸納，老師點評）

本節課應掌握：

1．選擇不同的旋轉中心、不同的旋轉角，設計出美麗的圖案；

2．作出幾個復合圖形組成的圖案旋轉后的圖案，?要先求出圖中的關鍵點

──線的端點、角的頂點、圓的圓心等．

六、布置作業

1．教材P67綜合運用7、8、9．

2．選作課時作業設計．

第三課時作業設計

一、選擇題

1．如圖，擺放有五雜梅花，下列說法錯誤的是（以中心梅花為初始位置）

（?）

A．左上角的梅花只需沿對角線平移即可

B．右上角的梅花需先沿對角線平移后，再順時針

旋轉45°

C．右下角的梅花需先沿對角線平移后，再順時針

旋轉180

D．左下角的梅花需先沿對角線平移后，再順時針旋

轉90°

2．同學們曾玩過萬花筒吧，它是由三塊等寬等長的玻璃鏡片圍成的，如圖

23-?33是看到的萬花筒的一個圖案，圖中所有三角形均是等邊三角形，其

中的菱形AEFG可以看成把菱形ABCD以A為中心（）

A．順時針旋轉60°得到的B．順時針旋轉120°得到的

C．逆時針旋轉60°得到的D．逆時針旋轉120°得到的

3．下面的圖形23-34，繞著一個點旋轉120°后，能與原來的位置重合的是

（）

A．（1），（4）B．（1），（3）C．（1），（2）

D．（3），（4）

-68-/260

二、填空題

1．如圖，五角星也可以看作是一個三角形繞中心點旋轉_______次得到的，每

次旋轉的角度是________．

2．圖形之間的變換關系包括平移、_______、軸對稱以及它們的組合變換．

3．如圖，過圓心O和圖上一點A連一條曲線，將OA繞O點按同一方向連續旋

轉三次，每次旋轉90°，把圓分成四部分，這四部分面積_________．

三、綜合提高題．

1．請你利用線段、三角形、菱形、正方形、圓作為“基本圖案”繪制一幅以

“校運動會”為主題的徽標．

2．如圖，是某設計師設計的方桌布圖案的一部分，請你運用旋轉的方法，?將

該圖案繞原點O順時針依次旋轉90°、180°、270°，并畫出圖形，?你來

試一試吧！但是涂陰影時，要注意利用旋轉變換的特點，不要涂錯了位置，

否則你將得不到理想的效果，并且還要扣分的噢！

-69-/260

3．如圖，△ABC的直角三角形，BC是斜邊，將△ABP繞點A逆時針旋轉后，

能與△ACP′重合，如果AP=3，求PP′的長．

答案:

一、1．D2．D3．C

二、1．472°2．旋轉3．相等

三、1．答案不唯一，學生設計的只要符合題目的要求，都應給予鼓勵．

2．略

3．∵△ABP繞點A逆時針旋轉后，能與△ACP′重合，

∴AP′=AP，∠CAP′=∠BAP，

∴∠PAP′=∠PAC+∠CAP′=∠PAC+∠BAP=∠BAC=90°，

△PAP′為等腰直角三角形，PP′為斜邊，

∴PP′=2AP=32．

23.2中心對稱(1)

第一課時

教學內容

兩個圖形關于這個點對稱或中心對稱、對稱中心、關于中心的對稱點等概

念及其運用它們解決一些實際問題．

教學目標

了解中心對稱、對稱中心、關于中心的對稱點等概念及掌握這些概念解決

一些問題．

復習運用旋轉知識作圖，?旋轉角度變化，?設計出不同的美麗圖案來引入

旋轉180°的特殊旋轉──中心對稱的概念，并運用它解決一些實際問題．

重難點、關鍵

1．重點：利用中心對稱、對稱中心、關于中心對稱點的概念解決一些問

題．

2．難點與關鍵：從一般旋轉中導入中心對稱．

教具、學具準備

小黑板、三角尺

教學過程

一、復習引入

請同學們獨立完成下題．

如圖，△ABC繞點O旋轉，使點A旋轉到點D處，

畫出旋轉后的三角形，?并寫出簡要作法．

-70-/260

老師點評：分析，本題已知旋轉后點A的對應點是點D，且旋轉中心也已

知，所以關鍵是找出旋轉角和旋轉方向．顯然，逆時針或順時針旋轉都符合要

求，?一般我們選擇小于180°的旋轉角為宜，故本題選擇的旋轉方向為順時

針方向；?已知一對對應點和旋轉中心，很容易確定旋轉角．如圖，連結OA、

OD，則∠AOD即為旋轉角．接下來根據“任意一對對應點與旋轉中心的連線所

成的角都是旋轉角”和“對應點到旋轉中心的距離相等”這兩個依據來作圖即

可．

作法：（1）連結OA、OB、OC、OD；

（2）分別以OB、OB為邊作∠BOM=∠CON=

∠AOD；

（3）分別截取OE=OB，OF=OC；

（4）依次連結DE、EF、FD；

即：△DEF就是所求作的三角形，如圖所

示．

二、探索新知

問題：作出如圖的兩個圖形繞點O旋轉180°的圖案，并回答下列的問

題：

1．以O為旋轉中心，旋轉180°后兩個圖形是否重合？

2．各對稱點繞O旋轉180°后，這三點是否在一條直線上？

老師點評：可以發現，如圖所示的兩個圖案繞O旋轉180°都是重合的，

即甲圖與乙圖重合，△OAB與△COD重合．

像這樣，把一個圖形繞著某一個點旋轉180°，如果它能夠與另一個圖形

重合，那么就說這兩個圖形關于這個點對稱或中心對稱，這個點叫做對稱中

心．

這兩個圖形中的對應點叫做關于中心的對稱點．

例1．如圖，四邊形ABCD繞D點旋轉180°，請作出旋轉后的圖案，寫出

-71-/260

作法并回答．

（1）這兩個圖形是中心對稱圖形嗎？如果是對稱中心是哪一點？如果不

是，請說明理由．

（2）如果是中心對稱，那么A、B、C、D關于中心的對稱點是哪些點．

分析：（1）根據中心對稱的定義便直接可知這兩個圖形是中心對稱圖

形，?對稱中心就是旋轉中心．

（3）旋轉后的對應點，便是中心的對稱點．

解：作法：（1）延長AD，并且使得DA′=AD

（2）同樣可得：BD=B′D，CD=C′D

（3）連結A′B′、B′C′、C′D，則四邊形A′B′C′D為所求的四邊

形，如圖23-44所示．

答：（1）根據中心對稱的定義便知這兩個圖形是中心對稱圖形，對稱中

心是D點．

（2）A、B、C、D關于中心D的對稱點是A′、B′、C′、D′，這里的

D′與D重合．

例2．如圖，已知AD是△ABC的中線，畫出以點D為對稱中心，與△ABD?

成中心對稱的三角形．

分析：因為D是對稱中心且AD是△ABC的中線，所以C、B為一對的對應

點，因此，只要再畫出A關于D的對應點即可．

解：（1）延長AD，且使AD=DA′，因為C點關于D的中心對稱點是B

（C′），B?點關于中心D的對稱點為C（B′）

（2）連結A′B′、A′C′．

則△A′B′C′為所求作的三角形，如圖所示．

-72-/260

三、鞏固練習

教材P74練習2．

四、應用拓展

例3．如釁，在△ABC中，∠C=70°，BC=4，AC=4，現將△ABC沿CB方向

平移到△A′B′C′的位置．

（1）若平移的距離為3，求△ABC與△A′B′C′重疊部分的面積．

（2）若平移的距離為x（0≤x≤4），求△ABC與△A′B′C′重疊部分的

面積y，寫出y與x的關系式．

分析：（1）∵BC=4，AC=4

∴△ABC是等腰直角三角形，易得△BDC′也是等腰直角三角形且BC′=1

（2）∵平移的距離為x，∴BC′=4-x

解：（1）∵CC′=3，CB=4且AC=BC

∴BC′=C′D=1

∴S

△BDC`

=

1

2

×1×1=

1

2

（2）∵CC′=x，∴BC′=4-x

∵AC=BC=4

∴DC′=4-x

∴S

△BDC`

=

1

2

（4-x）（4-x）=

1

2

x2-4x+8

五、歸納小結（學生歸納，老師點評）

本節課應掌握：

1．中心對稱及對稱中心的概念；

2．關于中心的對稱點的概念及其運用．

六、布置作業

1．教材P73練習1．

2．選作課時作業設計．

第一課時作業設計

一、選擇題

-73-/260

1．在英文字母VWXYZ中，是中心對稱的英文字母的個數有（）個．

A．1B．2C．3D．4

2．下面的圖案中，是中心對稱圖形的個數有（）個

A．1B．2C．3D．4

3．如圖，把一張長方形ABCD的紙片，沿EF折疊后，ED′與BC的交點為

G，?點D、C分別落在D′、C′的位置上，若∠EFG=55°，則∠1=

（）

A．55°B．125°C．70°D．110°

二、填空題

1．關于某一點成中心對稱的兩個圖形，對稱點連線必通過_________．

2．把一個圖形繞著某一個點旋轉180°，如果它能夠與另一個圖形重

合，?那么就說這兩個圖形是_________圖形．

3．用兩個全等的直角非等腰三角形可以拼成下面圖形中的哪幾種：

_______（?填序號）

（1）長方形；（2）菱形；（3）正方形；（4）一般的平行四邊形；

（5）等腰三角形；（6）?梯形．

三、綜合提高題

1．仔細觀察所列的26個英文字母，將相應的字母填入下表中適當的空格

內．

ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ

對稱

形式

軸對稱旋轉

對稱

中心

對稱

只有一條對稱軸有兩條對稱軸

2．如圖，在正方形ABCD中，作出關于P點的中心對稱圖形，并寫出作

法．

-74-/260

3．如圖，是由兩個半圓組成的圖形，已知點B是AC的中點，?畫出此圖

形關于點B成中心對稱的圖形．

答案:

一、1．B2．D3．D

二、1．這一點（對稱中心）2．中心對稱3．（1）（4）（5）

三、1．略

2．作法：（1）延長CB且BC′=BC；

（2）延長DB且BD′=DB，延長AB且使BA′=BA；

（3）連結A′D′、D′C′、C′B

則四邊形A′BC′D′即為所求作的中心對稱圖形，如圖所示．

3.略.

-75-/260

23.2中心對稱(2)

第二課時

教學內容

1．關于中心對稱的兩個圖形，對稱點所連線段都經過對稱中心，?而且被

對稱中心所平分．

2．關于中心對稱的兩個圖形是全等圖形．

教學目標

理解關于中心對稱的兩個圖形，對稱點所連線段都經過對稱中心，而且被

對稱中心所平分；理解關于中心對稱的兩個圖形是全等圖形；掌握這兩個性質

的運用．

復習中心對稱的基本概念（中心對稱、對稱中心，關于中心的對稱點），

提出問題，讓學生分組討論解決問題，老師引導總結中心對稱的基本性質．

重難點、關鍵

1．重點：中心對稱的兩條基本性質及其運用．

2．難點與關鍵：讓學生合作討論，得出中心對稱的兩條基本性質．

教學過程

一、復習引入

（老師口問，學生口答）

1．什么叫中心對稱？什么叫對稱中心？

2．什么叫關于中心的對稱點？

3．請同學隨便畫一三角形，以三角形一頂點為對稱中心，?畫出這個三角

形關于這個對稱中心的對稱圖形，并分組討論能得到什么結論．

（每組推薦一人上臺陳述，老師點評）

（老師）在黑板上畫一個三角形ABC，分兩種情況作兩個圖形

（1）作△ABC一頂點為對稱中心的對稱圖形；

（2）作關于一定點O為對稱中心的對稱圖形．

第一步，畫出△ABC．

第二步，以△ABC的C點（或O點）為中心，旋轉180°畫出△A′B′和

△A′B′C′，如圖1和用2所示．

-76-/260

(1)(2)

從圖1中可以得出△ABC與△A′B′C是全等三角形；

分別連接對稱點AA′、BB′、CC′，點O在這些線段上且O平分這些線

段．

下面，我們就以圖2為例來證明這兩個結論．

證明：（1）在△ABC和△A′B′C′中，

OA=OA′，OB=OB′，∠AOB=∠A′OB′

∴△AOB≌△A′OB′

∴AB=A′B′

同理可證：AC=A′C′，BC=B′C′

∴△ABC≌△A′B′C′

（2）點A′是點A繞點O旋轉180°后得到的，即線段OA繞點O?旋轉

180?°得到線段OA′，所以點O在線段AA′上，且OA=OA′，即點O是線段

AA′的中點．

同樣地，點O也在線段BB′和CC′上，且OB=OB′，OC=OC′，即點O是

BB′和CC′的中點．

因此，我們就得到

1．關于中心對稱的兩個圖形，對稱點所連線段都經過對稱中心，而且被

對稱中心所平分．

2．關于中心對稱的兩個圖形是全等圖形．

例1．如圖，已知△ABC和點O，畫出△DEF，使△DEF和△ABC關于點O成

中心對稱．

分析：中心對稱就是旋轉180°，關于點O成中心對稱就是繞O旋轉

180°，因此，我們連AO、BO、CO并延長，取與它們相等的線段即可得到．

解：（1）連結AO并延長AO到D，使OD=OA，于是得到點A的對稱點D，

如圖所示．

-77-/260

（2）同樣畫出點B和點C的對稱點E和F．

（3）順次連結DE、EF、FD．

則△DEF即為所求的三角形．

例2．（學生練習，老師點評）如圖，已知四邊形ABCD和點O，畫四邊形

A′B?′C′D′，使四邊形A′B′C′D′和四邊形ABCD關于點O成中心對稱

（只保留作圖痕跡，不要求寫出作法）．

二、鞏固練習

教材P70練習．

三、應用拓展

例3．如圖等邊△ABC內有一點O，試說明：OA+OB>OC．

分析：要證明OA+OB>OC，必然把OA、OB、OC轉為在一個三角形內，應用

兩邊之和大于第三邊（兩點之間線段最短）來說明，因此要應用旋轉．以A為

旋轉中心，?旋轉60°，便可把OA、OB、OC轉化為一個三角形內．

解：如圖，把△AOC以A為旋轉中心順時針方向旋轉60°后，到△AO′B?

的位置，則△AOC≌△AO′B．

∴AO=AO′，OC=O′B

-78-/260

又∵∠OAO′=60°，∴△AO′O為等邊三角形．

∴AO=OO′

在△BOO′中，OO′+OB>BO′

即OA+OB>OC

四、歸納小結（學生總結，老師點評）

本節課應掌握：

中心對稱的兩條基本性質：

1．關于中心對稱的兩個圖形，對應點所連線都經過對稱中心，?而且被對

稱中心所平分；

2．關于中心對稱的兩個圖形是全等圖形及其它們的應用．

五、布置作業

1．教材P74復習鞏固1綜合運用6、7．

2．選作課時作業設計．

第二課時作業設計

一、選擇題

1．下面圖形中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

A．直角B．等邊三角形C．直角梯形D．兩條相交直

線

2．下列命題中真命題是（）

A．兩個等腰三角形一定全等

B．正多邊形的每一個內角的度數隨邊數增多而減少

C．菱形既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形

D．兩直線平行，同旁內角相等

3．將矩形ABCD沿AE折疊，得到如圖的所示的圖形，已知∠CED′

=60°，則∠AED的大小是（）

A．60°B．50°C．75°D．55°

二、填空題

1．關于中心對稱的兩個圖形，對稱點所連線段都經過__________，而且

被對稱中心所________．

2．關于中心對稱的兩個圖形是_________圖形．

3．線段既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，它的對稱軸是_________，?

它的對稱中心是__________．

三、綜合提高題

-79-/260

1．分別畫出與已知四邊形ABCD成中心對稱的四邊形，使它們滿足以下條

件：（1）?以頂點A為對稱中心，（2）以BC邊的中點K為對稱中心．

2．如圖，已知一個圓和點O，畫一個圓，使它與已知圓關于點O成中心對

稱．

3．如圖，A、B、C是新建的三個居民小區，我們已經在到三個小區距離

相等的地方修建了一所學校M，現計劃修建居民小區D，其要求：（1）

到學校的距離與其它小區到學校的距離相等；（2）控制人口密度，有

利于生態環境建設，試寫居民小區D?的位置．

答案:

一、1．D2．C3．A

二、1．對稱中心平分2．全等3．線段中垂線，線段中點．

三、1．略2．作出已知圓圓心關于O點的對稱點O′，以O′為圓心，

已知圓的半徑為半徑作圓．

3．連結AB、AC，分別作AB、AC的中垂線PQ、GH相交于M，學校M所在

位置，?就是△ABC外接圓的圓心，小區D是在劣弧BC的中點即滿足題

意．

23.2中心對稱(3)

-80-/260

第三課時

教學內容

1．中心對稱圖形的概念．

2．對稱中心的概念及其它們的運用．

教學目標

了解中心對稱圖形的概念及中心對稱圖形的對稱中心的概念，掌握這兩個

概念的應用．

復習兩個圖形關于中心對稱的有關概念，利用這個所學知識探索一個圖形

是中心對稱圖形的有關概念及其它的運用．

重難點、關鍵

1．重點：中心對稱圖形的有關概念及其它們的運用．

2．難點與關鍵：區別關于中心對稱的兩個圖形和中心對稱圖形．

教具、學具準備

小黑板、三角形

教學過程

一、復習引入

1．（老師口問）口答：關于中心對稱的兩個圖形具有什么性質？

（老師口述）：關于中心對稱的兩個圖形，對稱點所連線段都經過對稱中

心，而且被對稱中心所平分．

關于中心對稱的兩個圖形是全等圖形．

2．（學生活動）作圖題．

（1）作出線段AO關于O點的對稱圖形，如圖所示．

A

O

（2）作出三角形AOB關于O點的對稱圖形，如圖所示．

B

A

O

（2）延長AO使OC=AO，

延長BO使OD=BO，

連結CD

則△COD為所求的，如圖所示．

-81-/260

B

A

C

D

O

二、探索新知

從另一個角度看，上面的（1）題就是將線段AB繞它的中點旋轉180°，

因為OA=?OB，所以，就是線段AB繞它的中點旋轉180°后與它重合．

上面的（2）題，連結AD、BC，則剛才的兩個關于中心對稱的兩個圖形，

就成平行四邊形，如圖所示．

∵AO=OC，BO=OD，∠AOB=∠COD

∴△AOB≌△COD

∴AB=CD

也就是，ABCD繞它的兩條對角線交點O旋轉180°后與它本身重合．

因此，像這樣，把一個圖形繞著某一個點旋轉180°，如果旋轉后的圖形

能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對

稱中心．

（學生活動）例1：從剛才講的線段、平行四邊形都是中心對稱圖形外，

每一位同學舉出三個圖形，它們也是中心對稱圖形．

老師點評：老師邊提問學生邊解答．

（學生活動）例2：請說出中心對稱圖形具有什么特點？

老師點評：中心對稱圖形具有勻稱美觀、平穩．

例3．求證：如圖任何具有對稱中心的四邊形是平行四邊形．

B

A

C

D

O

分析：中心對稱圖形的對稱中心是對應點連線的交點，也是對應點間的線

段中點，因此，直接可得到對角線互相平分．

證明：如圖，O是四邊形ABCD的對稱中心，根據中心對稱性質，線段

AC、?BD必過點O，且AO=CO，BO=DO，即四邊形ABCD的對角線互相平分，因

此，?四邊形ABCD是平行四邊形．

三、鞏固練習

教材P72練習．

-82-/260

四、應用拓展

例4．如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，若將矩形折疊，使C點和A點重

合，?求折痕EF的長．

分析：將矩形折疊，使C點和A點重合，折痕為EF，就是A、C兩點關于

O點對稱，這方面的知識在解決一些翻折問題中起關鍵作用，對稱點連線被對

稱軸垂直平分，進而轉化為中垂線性質和勾股定理的應用，求線段長度或面

積．

解：連接AF，

∵點C與點A重合，折痕為EF，即EF垂直平分AC．

∴AF=CF，AO=CO，∠FOC=90°，又四邊形ABCD為矩形，∠B=90°，

AB=CD=3，AD=?BC=4

設CF=x，則AF=x，BF=4-x，

由勾股定理，得AC2=BC2+AB2=52

∴AC=5，OC=

1

2

AC=

5

2

∵AB2+BF2=AF2∴32+（4-x）=2=x2

∴x=

25

8

∵∠FOC=90°

∴OF2=FC2-OC2=（

25

8

）2-（

5

2

）2=（

15

8

）2OF=

15

8

同理OE=

15

8

，即EF=OE+OF=

15

4

五、歸納小結（學生歸納，老師點評）

本節課應掌握：

1．中心對稱圖形的有關概念；

2．應用中心對稱圖形解決有關問題．

六、布置作業

1．教材P74綜合運用5P75拓廣探索8、9．

2．選用作業設計

作業設計

一、選擇題

-83-/260

21085

1．下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）

A．等邊三角形B．等腰梯形

C．平行四邊形D．正六邊形

2．下列圖形中，是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形的是（）．

A．正方形B．矩形C．菱形D．平行四邊形

3．如圖所示，平放在正立鏡子前的桌面上的數碼“21085?”在鏡子中的像

是（）

A．21085B．28015C．58012D．51082

二、填空題

1．把一個圖形繞著某一個點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠與原來的