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教育學科教師輔導講義
學員編號：年級：高一課時數：
學員姓名：輔導科目：數學學科教師：
課題三角函數和差公式和倍角公式
授課日期及時段
教學目的
1、學習并掌握三角函數的和差公式的推導過程；
2、理解并掌握倍角公式的推導過程及其應用；
3、能靈活利用和差公式進行分析求解問題。
教學內容
一、上次作業檢查與講解；
二、學習要求及方法的培養：
三、知識點分析、講解與訓練：
一、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：
二、三角函數的化簡、計算、證明的恒等變形的基本思路是：一角二名三結構。即首先觀察角與角之間的關系，
注意角的一些常用變式，角的變換是三角函數變換的核心！第二看函數名稱之間的關系，通常“切化弦”；第三
觀察代數式的結構特點。基本的技巧有:
（1）巧變角（已知角與特殊角的變換、已知角與目標角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變
換.如()()?????????????，2()()?????????，2()()?????????，
2
2
??
??
?
???，????
222
???
?
??
?
????等），
(2)三角函數名互化(切割化弦)，
(3)公式變形使用（tantan???????tan1tantan??????。
(4)三角函數次數的降升(降冪公式：2
1cos2
cos
2
?
?
?
?，2
1cos2
sin
2
?
?
?
?與升冪公式：
21cos22cos????，21cos22sin????)。
(5)式子結構的轉化(對角、函數名、式子結構化同)。
(6)常值變換主要指“1”的變換（221sincosxx??22ctantancotxxxx????
tansin
42
??
???等），
(7)正余弦“三兄妹—sincossincosxxxx?、”的內存聯系――“知一求二”，
三、輔助角公式：??22sincossinaxbxabx?????
(其中?角所在的象限由a,b的符號確定，?角的值由tan
b
a
??確定)在求最值、化簡時起著重要作用。
例一、（1）下列各式中，值為
1
2
的是（）
A、1515sincosB、22
1212
cossin
??
?C、
2
225
1225
tan.
tan.?
D、
130
2
cos?
；
（2）命題P：0tan(AB)??，命題Q：0tanAtanB??，則P是Q的（）
典例精講
知識回顧
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A、充要條件B、充分不必要條件C、必要不充分條件D、既不充分也不必要條件；
（3）已知
3
5
sin()coscos()sin??????????，那么2cos?的值為；
（4）
13
1080sinsin
?的值是；
(5)已知0tan110a?，求0tan50的值（用a表示）甲求得的結果是
3
13
a
a
?
?
，乙求得的結果是
21
2
a
a
?
，對
甲、乙求得的結果的正確性你的判斷是。
例二、（1）化簡tan(cossin)????
sintan
cotcsc
??
??
?
?
?
；（2）求證：
2
1tan
1sin
2
12sin1tan
22
?
?
??
?
?
?
??
；
例三、(1)若
3
2
(,)????，化簡
1111
2
2222
cos???為_____；
（2）函數2553f(x)sinxcosxcosx??
5
3
2
(xR)??的單調遞增區間為_______
例四、（1）若方程
sin3cosxxc??
有實數解，則
c
的取值范圍是___________；
（2）當函數23ycosxsinx??取得最大值時，tanx的值是；
（3）如果????sin2cos()fxxx??????是奇函數，則tan?=；
（4）求值：???
?
?
?
20sin64
20cos
1
20sin
3
2
22
；
例五、（1）已知函數()sin()(0,0),fxAxaxR?????????的最大值是1，其圖像經過點
1
(,)
32
M
?
。
（1）求()fx的解析式；
（2）已知,(0,)
2
?
???，且
312
(),(),
513
ff????求()f???的值。
（2）[2014·江西卷]已知函數f(x)＝sin(x＋θ)＋acos(x＋2θ)，其中a∈R，θ∈
?
?
?
?
－
π
2
，
π
2
。
(1)當a＝2，θ＝
π
4
時，求f(x)在區間[0，π]上的最大值與最小值；
(2)若f
?
?
?
?π
2
＝0，f(π)＝1，求a，θ的值。
例六、（2012年高考（安徽理））設函數2
2
()cos(2)sin
24
fxxx
?
???
(I)求函數()fx的最小正周期；
(II)設函數()gx對任意xR?,有()()
2
gxgx
?
??,且當[0,]
2
x
?
?時,
1
()()
2
gxfx??,求函數()gx在
[,0]??上的解析式。
1、（08北京）若角?的終邊經過點(12)P?，，則
?cos
=；tan2?=。
鞏固練習
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2
、化簡
1sin4cos4
1sin4cos4
??
??
??
??
=()
2
?
2
?
?
?
3、tanθ和tan(
4
?
-θ)是方程x2+px+q=0的兩根，則p、q之間的關系是()
A.p+q+1=0B.p-q-1=0
C.p+q-1=0D.p-q+1=0
4、[2014·新課標全國卷Ⅰ]如圖，圓O的半徑為1，A是圓上的定點，P是圓上的動點，角x的始邊為射線OA，
終邊為射線OP，過點P作直線OA的垂線，垂足為M，將點M到直線OP的距離表示成x的函數f(x)，則y＝f(x)
在[0，π]上的圖像大致為()
ABCD
5、[2014·全國卷]直線l
1
和l
2
是圓x2＋y2＝2的兩條切線．若l
1
與l
2
的交點為(1，3)，則l
1
與l
2
的夾角的正切值
等于________。
6、（1）化簡
42
2
1
2cos2cos
2
2tan()sin()
44
xx
xx
??
??
??
（2）已知α是第一象限的角，且cosα
=
)42cos(
)
4
sin(
,
13
5
??
?
?
?
＋
求的值。
7、已知
)cos(
)2
2
sin(
sin3
??
?
?
?
?
?
?·cosθ=1，θ∈(0，π)，求θ的值。
8、已知
4
0,sin
25
?
?????。
（Ⅰ）求
2
2
sinsin2
coscos2
??
??
?
?
的值；（Ⅱ）求
5
tan()
4
?
??的值。
9、（2012年高考（北京理））已知函數
(sincos)sin2
()
sin
xxx
fx
x
?
?。
(1)求()fx的定義域及最小正周期；
(2)求()fx的單調遞增區間。
10、（2012年高考（福建理））某同學在一次研究性學習中發現,以下五個式子的值都等于同一個常數。
(1)2sin13cos17sin13cos17??????
(2)2sin15cos15sin15cos15??????
(3)2sin18cos12sin18cos12??????
(4)2sin(18)cos48sin(18)cos48????????
(5)2sin(25)cos55sin(25)cos55????????
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Ⅰ試從上述五個式子中選擇一個,求出這個常數
Ⅱ根據(Ⅰ)的計算結果,將該同學的發現推廣三角恒等式,并證明你的結論.
11、（2012年高考（廣東理））(三角函數)已知函數??2cos
6
fxx
?
?
??
??
??
??
(其中0??x?R)的最小正周期為10?。
(Ⅰ)求
?
的值；
(Ⅱ)設
?
、0,
2
?
?
??
?
??
??
,
56
5
35
f??
??
???
??
??
,
516
5
617
f??
??
??
??
??
,求??cos???
的值。
12、[2014·廣東卷]已知函數f(x)＝Asin
?
?
?
?
x＋
π
4
，x∈R，且f
?
?
?
?5π
12
＝
3
2
。
(1)求A的值；
(2)若f(θ)＋f(－θ)＝
3
2
，θ∈
?
?
?
?
0，
π
2
，求f
?
?
?
?3π
4
－θ
。
13、[2014·遼寧卷]已知函數f(x)＝(cosx－x)(π＋2x)－
8
3
(sinx＋1)，g(x)＝3(x－π)cosx－4(1＋sinx)ln
?
?
?
?
3－
2x
π
。
證明：
(1)存在唯一x
0
∈
?
?
?
?
0，
π
2
，使f(x
0
)＝0；
(2)存在唯一x
1
∈
?
?
?
?π
2
，π
，使g(x
1
)＝0，且對(1)中的x
0
，有x
0
＋x
1
<π。
答案：證明：(1)當x∈
?
?
?
?
0，
π
2
時，f′(x)＝－(1＋sinx)·(π＋2x)－2x－
2
3
cosx<0，函數f(x)在
?
?
?
?
0，
π
2
上為減
函數．又f(0)＝π－
8
3
>0，f
?
?
?
?π
2
＝－π2－
16
3
<0，所以存在唯一x
0
∈
?
?
?
?
0，
π
2
，使f(x
0
)＝0.
(2)記函數h(x)＝
3（x－π）cosx
1＋sinx
－4ln
?
?
?
?
3－
2
π
x
，x∈
?
?
?
?π
2
，π
.
令t＝π－x，則當x∈
?
?
?
?π
2
，π
時，t∈
?
?
?
?
0，
π
2
.
記u(t)＝h(π－t)＝
3tcost
1＋sint
－4ln
?
?
?
?
1＋
2
π
t
，則u′(t)＝
3f（t）
（π＋2t）（1＋sint）
.
由(1)得，當t∈(0，x
0
)時，u′(t)>0，
當t∈
?
?
?
?
x
0
，
π
2
時，u′(t)<0.
故在(0，x
0
)上u(t)是增函數，又u(0)＝0，從而可知當t∈(0，x
0
]時，u(t)>0，所以u(t)在(0，x
0
]上無零點．
在
?
?
?
?
x
0
，
π
2
上u(t)為減函數，由u(x
0
)>0，u
?
?
?
?π
2
＝－4ln2<0，知存在唯一t
1
∈
?
?
?
?
x
0
，
π
2
，使u(t
1
)＝0，
故存在唯一的t
1
∈
?
?
?
?
0，
π
2
，使u(t
1
)＝0.
因此存在唯一的x
1
＝π－t
1
∈
?
?
?
?π
2
，π
，使h(x
1
)＝h(π－t
1
)＝u(t
1
)＝0.
因為當x∈
?
?
?
?π
2
，π
時，1＋sinx>0，故g(x)＝(1＋sinx)h(x)與h(x)有相同的零點，所以存在唯一的x
1
∈
?
?
?
?π
2
，π
，使g(x
1
)＝0.
因為x
1
＝π－t
1
，t
1
>x
0
，所以x
0
＋x
1
<π.
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