三角形面積計算

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[教學內容]五（上）第15～16頁例4、例5，“試一試”和“練一練”，

練習三第1～3題。

[教材簡析]三角形面積計算公式的推導，是研究探究性學習的一個比較典

型的案例。教材在推導三角形面積計算公式時先通過例４用圖呈現了一個三角形

的面積是它所在的平行四邊形面積的一半這個十分重要的數量關系。由此產生研

究三角形面積計算的方向和思路：能否從平行四邊形面積算出三角形的面積?再

通過例5“從第127頁上選一個三角形剪下來，看看與下面哪個三角形可以拼成

平行四邊形”的思維策略，組織學生動手操作、合作交流，經歷探索面積計算公

式的過程，這就為學生提供了操作的物質條件和具體的方法指導。

本設計充分重視直觀操作對三角形面積的認識的支撐作用，通過看、比、貼、

剪、旋轉等活動，調動學習的主動性和積極性，感受并探索三角形面積計算公式

的推導過程。通過創設問題情境，凸顯數學思考，讓學生經歷猜想、實驗、發現、

歸納等數學活動，積累探索學習的經驗，提升數學思維水平，與此同時注重數學

學習與生活實際緊密聯系，適當引導學生在數學知識學習過程中感受數學的文化

價值。

[教學目標]

1.引導學生用多種方法來推導三角形面積計算公式，溝通長方形、平行四邊

形和三角形間的內在聯系。

2.理解三角形的面積與形狀無關，與底與高有聯系，并會用面積計算公式

計算三角形面積。

3.通過操作讓學生進一步學習用轉化的思想方法解決新的問題。引導學生

積極探索解決問題的策略，發展動手操作、觀察、分析推理能力，培養創新的意

識。

[教學重點]探究三角形面計算公式的由來，掌握三角形面積計算方法。

[教學難點]理解三角形面積與平行四邊形、長方形面積之間的關系，溝通

相互之間的聯系。

[教學準備]

課件、學具（剪下書后三角形、剪刀等）、教具：準備三個三角形、以及長

方形、正方形、平行四邊形紙片各一張。

[教學過程]

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一、創設情境，引發猜想

1.教師出示一張三角形圖片，要求學生指出它的底和高。并提問：猜想一下，

它會與我們已經學過的什么圖形的面積有關？

(學生可能回答與平行四邊形、長方形有關)

2.觀察與聯想：這里有幾幅圖，你們覺得三角形的面積可能與哪幅圖的面積

有關，能根據這幾幅圖很快地說出剛才這個三角形的面積嗎？

預設1：與第一個平行四邊形的面積有關，三角形正好是它的一半，面積是

4×2÷2＝4平方分米。

引導討論三角形與第一個平行四邊形之間的關系：

提問：為什么三角形面積是它的一半？！能比劃一下是怎么看的？

生比劃，教師將三角形圖片貼上去（如圖）追問：另一半跟這個三角形有什

么關系？你怎么看出來的？

（一模一樣大。用這個三角形跟上面的三角形比

一比就知道了。）

電腦演示：先旋轉180度，再平移重合（略）

預設2：三角形與正方形的面積一樣大。

教師引導學生說說你的發現。

（將三角形分成兩半，正好可以拼成正方形。）

電腦演示割拼過程（略）

進而引導發現三角形的面積正好是正方形面積的一半。

預設3：三角形與中間長方形面積也有一半的關系。

教師適時引問：為什么呢？

在學生猜想后指出：沒關系。這個問題，我們后面再討論！

【設計意圖】⑴研究新的數學問題，需要明確的方向和清晰的思路。這一點

在教學中尤為重要。這里的“轉化”是啟迪學生思維的關鍵，教學中創設了才想

的情景，旨在幫助學生迅速地江三角形的面積予以有的舊知識聯結起來。這個情

4dm

2dm

2dm

2dm

4dm4dm

2dm

1dm

2dm

4dm

3

景的創設，既保留了一定的空間，又巧妙地點名了思路。⑵這里提供三個圖，意

圖有二：一是盡可能地豐富聯結舊知的點，避免教學探究過于單調直接，而是為

后面的拓展進行孕伏，雖然學生沒有說清楚這些圖與三角形的聯系。

二、實踐探索，驗證猜想

1.出示第二個三角形。⑴提問：這個三角形還能像上面一

樣，割拼成一個長方形、正方形或者平行四邊形嗎？

在學生大膽猜想后引導想像一下，并在比劃出來。

指導實踐：我們來動手做一個這樣的平行四邊形。先來說

說，怎樣做？然后指導學生有選擇地利用書后P127

的三角形圖形做一做。

學生動手實踐，教師巡視，再組織集體交流。

教師先請學生演示，然后電腦演示（略）

⑵提問：觀察一下，原來一個三角形的面積可以怎么算出來？

（3×2÷2＝3平方厘米）

3×2算的是什么？為什么除以2？

（是拼成的平行四邊形的面積。因為一個三角形的面積應該等于平行四邊形

面積的一半。）

2.出示第三個三角形（貼在黑板上）。

⑴提問：現在我們不擺了。你們能想象出與它有聯系

的圖形面積，再計算出這個三角形的面積？

⑵預設1：可以把它轉成平行四邊形

來計算（如圖），4×1÷2＝2平方厘米，

預設2：還可以轉化成長方形來計算

（如圖），4×1÷2＝2平方厘米，

3.觀察推理

⑴引導學生仔細觀察：這三個三角形，求它們的面積都運用了什么辦法？（都

轉成平行四邊形或者長方形。）

⑵先填表，再觀察：三角形與轉化后的平行四邊形面積有什么關系？底與高

又有什么聯系？

2dm

3cm

2dm

3cm

1dm

4cm

1dm

4cm

1dm

1dm

4cm

4

拼成的平行四邊形三角形

底/cm高/cm面積/cm2底/cm高/cm面積/cm2

⑶計算任意一個三角形的面積你們有辦法計算嗎？怎么計算？

特別指出：這里的底乘以高其實就是哪個圖形的面積？

（就是轉化后的平行四邊形的面積。）

板書：三角形的面積=底×高÷2.

如字母來表示三角形的面積公式，怎么表示？

板書：S＝a×h÷2

【設計意圖】這里從動手實踐到空間想想，較好地實現知識的內化。同時，

這里呈現的三角形，包含了各種形狀的圖形，素材豐富全面，促使學生對三角形

面積認識不再是個案的體會，而是實現了三角形本質聯系的體驗，同時也體現了

數學學習的嚴謹性和確定性。從這一片段的教學來看，教師在學生學習活動中的

引領作用不可忽視。

三、拓展延伸，文化滲透

1.現在我們回過頭來看，第一個三角形與第二個平行四邊形有什么聯系。教

師將三角形移至第二個平行四邊形上面（如圖），指導學

生觀察：這個三角形面積與平行四邊形的面積有什么關

系？

引導學生發現，三角形的面積正好等于平行四邊形的面積。只要把露出的三

角形的尖部分剪下來，再帖到右邊，就能得到平行四邊形了。

教師適時引問：上面的尖子，是不是隨便剪呢？

指導學生開展小組討論一下，并邊嘗試剪一剪：沿著三角形兩條要的中點連

線剪下來就能拼成平行四邊形了。

電腦演示剪貼過程（略）

觀察一下，現在三角形的面積、底和高分別于平行四邊形有什么聯系？

學生回答后板書：平行四邊形面積=底×高

5

三角形面積=底×（高÷2）=底×高÷2

2.再看第三幅圖（如下），你們能看懂這個三角形與長方形的聯系嗎？

引導學生觀察發現，這種轉化的辦法和剛才差不多，只是分別

從左右兩邊分別見下一個三角形，在分別貼上出，就能拼成一個正

方形了。電腦演示（略）

教師適時指出：這個辦法，我們古人早就想出來了。請大家自學課本P16“你

知道嗎？”

提問：什么叫“半廣以乘正從”？

（廣就是三角形的底，半廣就是低的一半，用底的一半乘高，就是三角形的

面積。因為三角形的面積就是長方形的面積，長方形的面積是長乘寬，這里的長

就是三角形的底的一半，寬就是高。）

板書：長方形面積=長×寬

三角形面積=底÷2×高=底×高÷2

適時讓學生說說讀后感想，進行我國數學史文化教育。

【設計意圖】這里的拓展，既拓寬了學生計算三角形面積計算新思路，又有

機教學滲透文化歷史教育。盡管要解決的問題具有挑戰性，探究的過程也有一定

的難度，但由于前面由淺入深的認知鋪墊，學生的原有認知經驗不斷被激活，探

究意識與能力不斷增強，相信學生在這一環節中一定會有更多的收獲。

四、練習鞏固，內化新知

⑴你能求出下列三角形的面積嗎？

先獨立練習，然后交流反饋：第二題圍繞如何選條件來展開，第四題討論能

不能用20×12÷2來計算？為什么？

【設計意圖】突出三角形面積計算與底與高之間的對應關系。

⑵思考：比較下面兩個涂色的三角形面積，哪個大？為什么？

12c

12dm

8dm

14m

10m

5m

20d

m

12d

m

6dm

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【設計意圖】引導學生探究三角形面積與哪些因素有關系，與形狀有沒有關

系。

五、總結全課，布置作業

1.說說本節課有哪些收獲？

2.作業：完成練習三第2、3題。

[資料鏈接]

《九章算術》方田章論述了許多平面圖形的面積計算方法。如：方田章第一

題“今有田廣十五步，從(音縱zong)十六步。問為田幾何?！薄按鹪唬阂划€”。這

里“廣”就是寬，“從”即縱，指其長

度?！胺教镄g曰：廣從步數相乘得積步，

(得積步就是得到乘積的平方步數)以

畝法二百四十步(實質應為積步)除

之，即畝數。百畝為一頃?！碑敃r稱長方形為方田或直田。稱三角形為圭田，面

積公式為“術曰：半廣以乘正從”。這里廣是指三角形的底邊，正從是指底邊上

的高，劉徽在注文中對這一計算公式實質上作了證明：“半廣者，以盈補虛，為

直田也?！薄耙嗫梢园胝龔囊猿藦V”(如圖)。盈是多余，虛乃不足?！耙杂a虛”

就是以多余部分填補不足的部分，這就是我國古代數學推導平面圖形面積公式所

用的傳統的“出入相補”的方法，由上圖“以盈補虛”變圭田為與之等積的直田，

于是得到了圭田的面積計算公式。

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