三的倍數有哪些

叩問疑點重錘節點準拎課眼

以“3的倍數”教學為例談大問題創設的基本思路

深圳市福強小學（518048）劉全祥

案例：北師大版課標實驗教科書四年級上冊

教學實錄：

一．問詢疑點，探詢學生認識起點

師：同學們，這里有三張數字卡片，看看，是??？（2，5，9，學生答略）

誰能用這三個數字擺幾個三位數，使它是2的倍數？

生：592.

師：有沒有不同的想法？

生：952.

師：擺2的倍數有什么訣竅？

生：只要把0、2、4、6、8放在個位就一定是2的倍數。

師：非常好！還是用這三個數字，誰能擺幾個三位數，使它是5的倍數？

（生嘗試略）

師：5的倍數有什么特點？

生：個位數字是0或5的數都是5的倍數。

師：恩！下面增加一點難度。敢不敢挑戰？（生：敢！）真的敢！好！咱們

變換一下方式。請同學們把練習本打開。還是用這三個數字，請寫出幾個三位數，

使它是3的倍數。

師：你寫的是什么數？

生：我寫的是259或529

師：和他一樣的請舉手。你們怎么都把9放在個位？

生：我覺得個位數字是3、6、9的數就是3的倍數。

師：這是你的觀點，同意這個觀點的請舉手，老師把它寫在黑板上（板書：

3的倍數：個位數字是3、6、9的數）。有沒有不同的意見？

生：老師，我不同意他們的觀點，這兩個數不是3的倍數，并且用這三張數

字卡片根本擺不出3的倍數。

師：肯定？OK，咱們來驗證一下。老師這有一個計算器，誰上來操作一下。

（生驗算）怎么樣？

生：確實不是3的倍數。

策略分析：任何一個兒童的思考與挫折都應被視為精彩的表現來加以接納。用2、

5、9三張數字卡片擺2、5、3的倍數，是對學生“已有經驗”的一種喚醒，在

這種喚醒的過程中，直面兒童的多樣性，關注“后知后覺”兒童的困惑與沉默，

某種程度上，就找到了大問題教學的立足點。

二．重錘節點，搭建教學腳手架

鏡頭1：用4顆算珠撥數

師：看來，個位數字是3、6、9的數不一定就是3的倍數。那3的倍數到底

與什么有關？今天我們就來研究這個問題。（板書課題，齊讀）研究3的倍數的

特征，要借助一個學具——計數器。以前用過嗎？誰能在計數器上撥一個數？

（一生舉手嘗試，撥出了13）

師：他用了多少顆算珠？

生：4顆。

師：誰還能用4個算珠撥一個不同的數？（生嘗試略）用4顆算珠可以撥多

少個數？

生：很多個。

師：0K？今天我們就借助撥珠實驗來研究3的倍數的特征。怎樣研究呢？請

看屏幕

（CAI課件呈現：

1、撥珠實驗一：用4顆算珠撥數；

（1）同桌合作：用4個珠子撥數，一人負責撥珠，一人負責判斷撥出來的

數是不是3的倍數（可以借助計算器）

（2）時間2分鐘，看哪一個小組撥出來的數多。

（3）填寫實驗報告單

師：有沒有不明白的地方？

生：沒有。

師：好，同桌商量，然后分工，分好了就可以開始做實驗。

（生活動，師巡視，生匯報）

師：（組織教學：好，現在很多組都完成了。好現在請把學具收好，我看一

看，哪一個小組收拾學具快、齊、靜！）哪個小組來匯報？

生：我們撥的數是13,22,31,1003.2002，?

生：我們撥的數,4,40,301,400,?

（學生報數，教師將學生報的數匯總在實驗報告單中）

師：等一等，等一等，撥的完嗎？撥不完，那么你們觀察老師匯總的實驗報

告單，有沒有什么發現？

生：我們報的數都不是3的倍數。

生：用4顆算珠撥不出3的倍數。

師：同意嗎？OK！用4顆算珠撥不出3的倍數我們可以在結論這里簡潔地寫

作“一個都撥不出”

策略分析：大問題背景下，教師的責任不僅僅只是“上好課”，更關鍵的，教師

的責任在于：實現每一位學生的學習權。在走進教室之前，部分學生通過自己的

經歷和體驗已經隱隱約約地知道了“3的倍數的特征”與“數的個位數字”無關，

而是將所有數位上的數字相加。知其然但不知其所以然，鑒于此，創設一個“陌

生“的問題情境，讓學生在計數器上撥數，這樣不僅將“3的倍數特征”與“各

個數位上的數字和”巧妙地聯系了起來，同時陌生化的情境也保障了每一位學生

尤其是“先知先覺”的學生興致盎然學習的興趣。

鏡頭2：自選一個顆數撥數。

師：好！既然用4顆算珠撥不出3的倍數。那么是不是不管用多少顆算珠都

撥不出3的倍數呢？

生：不是。

師：口說無憑！我們再來做一次實驗。

（CAI課件顯示：

（1）任意選擇一個顆數。

(2)用你選擇的那個顆數撥數

（3）分工合作，完成實驗報告單(二)。

師：任意選擇一個顆數什么意思？

師：好。現在同桌合作，做實驗

（學生做實驗的時候教師請一些小組把實驗數據輸入表格)

師：這是部分小組的實驗數據。觀察這個表格，你有什么發現？

（獨立思考后，四人小組交流，教師組織學生匯報）

生：我發現珠子的顆數等于各個數位上的數字相加

師:具體說說

生：比如說345,3+4+5=12,擺這個數就要用12顆算珠。

師：那擺1025需要多少顆算珠？

生：1+2+5=8顆。

師：很好。這是一個重要的發現，老師把它寫下來。

（板書：算珠的顆數=各個數位上的數字和）

師：誰還有不同的發現？

生：我發現珠子的顆數是3、6、9的撥出來的都是3的倍數。

師：有沒有誰有補充？，除了3、6、9，當顆數是哪些數時，撥出來的也是

3的倍數？

生：12、15.

生：只要珠子的顆數是3的倍數，撥出的就一定是3的倍數。

師：還可以怎樣說？

（生沉默不語）

師：同學們設想一下，要是根據這個規律去判斷，那同學們每天豈不是都要

背著一個計數器？在判斷一個數是不是3的倍數前，先在計數器上撥一撥，數一

數？聯系剛才的發現想一想？誰能不借助計算器也能判斷一個數是不是3的倍

數？

生：各個數位上的數字和是3的倍數，這個數就是3的倍數。

師：具體說說你怎么想的

生：剛才說了，算珠的顆數就等于各個數位上的數字和，所以算珠的顆數是

3的倍數，說明這個數各個數位的數字和和也是3的倍數。

師：同意嗎？OK。那誰上來把這個發現改一改。同學們覺得這個猜想怎樣？

師：老師也贊同你的猜想。不過！猜想畢竟只是猜想，要想知道猜想正不正

確，我們還要驗證。怎樣驗證？有沒有好的建議？

策略分析：實施合作學習，教師持有的最大焦慮是合作學習“某種程度上”影

響了教學的進度。解決的有效策略之一是設計大活動，提大問題，高水準地設定

合作學習的課題。讓學生每個小組“任選一個顆數撥數”，每個小組只選擇一種

顆數，這既有利于節省課堂教學的時間，同時由于各小組選擇的顆數不盡相同，

因此這也為各小組交流、觀察、碰撞、發現作了鋪墊與孕伏。

鏡頭3：自由報（或撥）數，驗證規律

師：老師有一個建議，想不想聽聽。（CAI課件出示活動三）

1）一個同學報數，計算自己報的數的數字和,判斷是不是3的倍數。

2)另一個同學用計算器驗證同桌的判斷。

3）如果你找到一個數，它的數字和是3的倍數，但這個數卻不是3的倍數；

或者它的數字和不是3的倍數，這個數卻是3的倍數，請把它記下來。

師：看的明白嗎？誰來解釋解釋？

生：我任意報一個數，比如說708，數字和是15，我覺得它應該是3的倍數。

物品同桌用計算器驗算，它的確除以3沒有余數。

師：會了嗎？這樣一個人負責報數、判斷是不是3的倍數，另外一個人負責

用計算器驗證。看有沒有一個組找到一個數，它的數字和是3的倍數，但這個數

卻不是3的倍數的數，或者找到一個數，它的數字和不是3的倍數，這個數卻是

3的倍數的。

（生交流，教師巡視指導）

策略分析：學習，智力的沖刺與挑戰，。一位同學報數，判斷后另一位學生用計

算器驗算。這本身就充盈著競爭，充盈著挑戰。而日本著名教育家佐藤學教授指

出，挑戰學習的兒童是靈動的、高雅的、美麗的。

三．以問導學，拓展延伸

師：同學們，今天我們通過小組合作，明白了3的倍數的特征。學到這，你

有沒有什么問題想問的？

生：我不明白，3的倍數的特征為什么和所有數位上的數都有關，而2、5

的倍數特征只和個位數字有關呢？

????

師：這個同學提了一個很好的問題，其實，一個數是不是2、5的倍數和一

個數是不是3的倍數的判斷方法實質是一樣的，等同學們到了高中或者大學就會

明白了。今天的課上到這里。下課！

策略分析：下課鈴的敲響并不意味著問題的結束，相反，它應成為許多新的問題

的開始。2、5的倍數特征為什么只和個位上的數有關，而3的倍數的特征卻和

所有數位上的數都有關？這一問題的拋出，不僅意味著學生問題意識的增強，同

時也為學生從2、3、5倍數特征孤立、割裂、甚至是相互對立的表象中跳離出來

提供了可能。課結束而曲不終！余音繞梁中，這一疑問會一直激蕩在學生心頭，

促使學生不懈地去探究。

反思：一切教學法，均源自于學習內容自身的規定性和兒童內在的心理需求。

解讀教材、分析學情的意義正在于此！備《3的倍數的特征》一課，在正式確定

教學思路之前，我始終努力思考如下幾個問題：首先，在“2、3、5、7、9??

的倍數的特征”這一知識序列中，“3”的倍數究竟處于怎樣的特殊位置，它具

有怎樣的承先啟后的作用？其次，對于一個只初步接觸“2、5倍數的特征”的

四年級學生而言，“3的倍數的認識”對其構成怎樣的認識難度和思維挑戰：僅

僅憑借原有的認識結構即可實現對新知的同化？還是需要借助知識結構的順應，

在重構中完成對新知的理解和掌握？應該說，正是在對上述問題的思量中，我們

確定了本次課堂教學重構的框架，同理也厘清了大問題提出的基本思路，具體地

說：

一，問診疑點，探詢學生知識的盲點。眾所周知，在接觸“3的倍數的特征”

之前，學生已經學習了“2、5的倍數的特征”。看一個數是不是2、5的倍數，

只需看這個數的個位。個位是0、2、4、6、8的數就是2的倍數，個位是0、5

的數就是5的倍數。而3的倍數的特征則不然，一個數是不是3的倍數，不能只

看個位，而要看它所有數位上的數字的和。為什么會這樣？越是“課前自學的”、

“校外培訓的”、“爸爸媽媽先教的”學生就越會產生這樣的疑問。某種程度上，

這既彰顯了知識前后“不一致”、“相互矛盾”的地方，同時也彰顯了學生認識

上的盲區：即在某種程度上，位置制是研究數的倍數特征的基礎。從位置制的角

度講一個數能否被2、3、5乃至被其它數整除，要看這個數數位上的數被某數除，

所得的余數的和能夠被某數整除，如果能被某數整數，那么這個數也一定能被某

數整除。反之，則不能。這是知識的節點，也是問題的關鍵點。雖然，小學生由

于知識和思維特點的限制，還不可能從這樣的高度去建構與理解。但是，這并不

意味著教師不可以作相應的滲透。事實上，這正是本次教學重構響鼓重錘的地方。

二，重錘節點，為學生同化、順應新知搭建腳手架。學生的學習應像呼吸一

樣自然！如何讓學生“自然”而非“人為”地想到“所有數位的數字和”呢？特

別地，在學生已有的經歷與體驗中，有沒有學生耳熟能詳的、可資利用的經歷與

活動能讓學生自然地實現“各個數位上的數字自然地相加呢”？在反復斟酌的基

礎上，我們想到了用計數器作為學生同化、順應新知的腳手架。理由有三：一，

計數器“所撥的數的各個數位上的數字和”等于一共使用的“算珠的顆數”，而

4顆算珠撥不出3的倍數，6、9、12??顆算珠撥出來的都是3的倍數，這樣不

僅將學生思維的關注點從“個位上的算珠”順利地轉移到“一共使用的算珠的顆

數”，同時也在對上述問題的考量中，“自然”而非“人為”地感到“各個數位

上的數字和”與“算珠的顆數”甚至與“3的倍數的特征”的關系；二，活動是

兒童的天性！用計算器撥數，不僅能讓抽象的“數字和”具體化，而且“3的倍

數的特征”與“所有數位上的數字都有關”這一直觀的印象必將留在學生腦海中，

為學生高中乃至大學從數論的角度研究所有數的倍數的特征作一個鋪墊與孕伏；

三，也是最重要的，正如前文所說，在走進課堂之前，部分學生已經“先知先覺”

了“3的倍數的特征”，如何讓這部分學生同其他學生一樣也對教師即將講授的

內容保持濃厚的興趣？“陌生化”無疑是一種好的策略。事實證明，讓學生用計

數器撥數，把所有學生置于一個“將各個數位上的數字相加”看似無關的陌生

的情境，既為學生洞察現象背后的本質提供了契機，同時也保障了每一位學生不

同角度、不同側面、不同層次挑戰高水準學習的機會。

三，圍繞課眼，設計大活動，為學生深度思考預留空間和時間。正如文有“文

眼”，課也應該有“課眼”。著名特級教師黃愛華老師認為，“課眼”可以是學

生的學習疑點，可以是教材的盲點，可以是知識的連接點，也可以是數學思想的

聚焦點，課眼常常都是鉆研教材的著力點。品讀教材，分析學情，我們認為“3

的倍數的特征”雖然重點是讓學生明確“各個數位上的數字和”，但“位置制”

才是牽一發而動全身的基礎，是課眼。圍繞這一課眼，由淺入深地設計了三個活

動：（1）用4顆算珠撥數；（2）任選一個顆數撥數；（3）自由報（或撥）數，

驗證規律。這三個活動層層遞進，互為補充。具體地說，用4顆算珠撥數，學生

撥不出3的倍數，自然想到用多少顆算珠才能撥出3的倍數？學生任意選擇一顆

算珠，交流后發現，只要算珠的顆數是3的倍數撥出來的數就一定是3的倍數，

否則就不是。這一猜想是否正確，自由報數，同桌驗證既是對上一猜想的驗證，

同時也是對猜想發現的規律的鞏固與運用。而學生也就在這層層遞進、互為補充

的活動中拾級而上，隱隱約約觸摸到了3的倍數的特征的實質。

為教之道在于導！為學之道在于悟！學會思考是送給學生的最好禮物！然而，

“沒有長期思考型訓練的人，是不會深刻思考問題的??無論怎樣訓練即時性思

考，也不會掌握智慧深度。”（日本數學家廣中平佑語）“數學是自己思考的產

物，首先要能夠自己思考起來，用自己的見解與別人的見解進行交換??但是思

考數學問題需要很長時間??”（著名數學家陳省身語）這就要求我們摒繁瑣之

氣，興磅礴之風。設計大活動，提大問題，我們期待著！

(作者系深圳市黃愛華教育科研專家工作室成員）