有理數(shù)的分類

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有理數(shù)的概念與分類

現(xiàn)在開始學(xué)習(xí)有理數(shù)及其運算，主要內(nèi)容是有理數(shù)的有關(guān)概念.首先是借助生活中的實例引入負數(shù)，體會引入負數(shù)的

必要性和廣泛的應(yīng)用性．理解有理數(shù)的意義及分類，判斷一個數(shù)是正數(shù)還是負數(shù)，運用正、負數(shù)表示生活中具有相反意

義的量．其次是通過與溫度計的類比認識數(shù)軸，用數(shù)軸上的點表示有理數(shù)，借助數(shù)軸引入相反數(shù)的概念及互為相反數(shù)的

一對數(shù)在數(shù)軸上的位置關(guān)系，利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大?。谌墙柚鷶?shù)軸引入絕對值的概念及求一個數(shù)的絕對值，利

用絕對值比較兩個負數(shù)的大小，通過應(yīng)用題解決實際問題，體會絕對值的意義和作用.

重點知識歸納及講解

1、正數(shù)和負數(shù)的概念

比0大的數(shù)叫做正數(shù)；在正數(shù)前面加上“－”號的數(shù)叫做負數(shù)；0既不是正數(shù)，也不是負數(shù).

為了突出數(shù)的符號，可以在正數(shù)前面加“＋”號，一般地“＋”號往往省略不寫，但負數(shù)前面的“－”號不能省略.

對于正數(shù)和負數(shù)的概念，不能簡單的理解為：帶“＋”號的數(shù)是正數(shù)，帶“－”號的數(shù)是負數(shù).

2、有理數(shù)的概念及分類

整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)：正數(shù)、負數(shù)和零也統(tǒng)稱為有理數(shù)．整數(shù)包括正整數(shù)、零和負整數(shù)、分數(shù)包括正分數(shù)和負

分數(shù)；正數(shù)包括正整數(shù)和正分數(shù)；負數(shù)包括負整數(shù)和負分數(shù)．

到目前為止，我們學(xué)過的數(shù)細分有五類：正整數(shù)、正分數(shù)、零、負整數(shù)、負分數(shù)，因為有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)可

以化為分數(shù)，所以把有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都看作分數(shù)．有時為了研究的需要，整數(shù)也可以看作是分母為1的分數(shù)，

但本章中的分數(shù)是指不包括分母是1的分數(shù).

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通常把正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負數(shù)；負數(shù)和零統(tǒng)稱為非正數(shù)；正整數(shù)和零統(tǒng)稱為非負整數(shù)，即為自然數(shù)；負整數(shù)和零統(tǒng)

稱為非正整數(shù).

3、數(shù)軸的概念及畫法

規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸.

數(shù)軸的概念中包含有三層含義：一是說數(shù)軸是一條直線，可以向兩端無限延伸；二是說數(shù)軸具有原點，正方向和單

位長度三要素，三者缺一不可；三是說數(shù)軸原點的選定，正方向的取向、單位長度大小的確定，是根據(jù)實際需要規(guī)定的.

畫數(shù)軸的步驟：

（1）畫一條直線，一般畫成水平的直線；

（2）在直線上選取一點為原點，用實心點表示，在原點下邊標上0；

（3）用箭頭表示正方向，一般規(guī)定向右為正；

（4）選取適當?shù)拈L度為單位長度，用細短線畫出，并在下邊標上對應(yīng)的數(shù).

4、相反數(shù)的概念

如果兩個數(shù)只有符號不同，那么稱其中一個數(shù)為另一個數(shù)的相反數(shù)，也稱這兩個數(shù)互為相反數(shù)，特別地，0的相反數(shù)

是0.

在數(shù)軸上，表示互為相反數(shù)的兩個點，位于原點的兩側(cè)，且與原點的距離相等，這就是相反數(shù)的幾何意義.

一般地，數(shù)a的相反數(shù)是－a，這里a表示任意一個數(shù)，可以是正數(shù)、負數(shù)或零，還可以代表任意一個代數(shù)式，表

示或求一個數(shù)的相反數(shù)，只要在這個數(shù)的前面添上一個“－”號就可以了.

相反數(shù)是成對出現(xiàn)的，不能單獨存在，單獨的一個數(shù)不能說是相反數(shù)；不能理解為只要符號不同的兩個數(shù)就互為相

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反數(shù)，只有符號不同的兩個數(shù)是說除了符號不同以外完全相同.

5、絕對值的概念

在數(shù)軸上，一個數(shù)所對應(yīng)的點與原點的距離叫做這個數(shù)的絕對值，數(shù)a的絕對值記作“|a|”.

正數(shù)的絕對值是它本身；負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0，這就是絕對值的代數(shù)意義，也可表示為：

6、絕對值的有關(guān)性質(zhì)

（1）對任意有理數(shù)a，都有|a|≥0；

（2）若|a|=0，則a=0；

（3）若|a|=|b|，則a=b或a=－b；

（4）若|a|=b（b>0），則a=±b；

（5）若|a|＋|b|=0，則a=0且b=0；

（6）對任意有理數(shù)a，都有|a|=|－a|.

7、有理數(shù)大小的比較法則

在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大；

正數(shù)都大于0，負數(shù)都小于0，正數(shù)大于一切負數(shù)；

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兩個負數(shù)，絕對值大的反而小.

三、難點知識剖析

1、負數(shù)的產(chǎn)生及其意義

隨著社會的發(fā)展，小學(xué)學(xué)過的自然數(shù)、分數(shù)和小數(shù)已不能滿足實際的需要，為了滿足實際需要，引入了負數(shù)，負數(shù)

是由于實際需要產(chǎn)生的，負數(shù)也是客觀存在的數(shù).

正數(shù)和負數(shù)通常表示具有相反意義的量，若正數(shù)表示某種意義的量，則負數(shù)就表示其相反意義的量，反之亦然.

2、數(shù)集的概念

把一些數(shù)放在一起，就組成一個數(shù)的集合，簡稱數(shù)集．所有的有理數(shù)組成的數(shù)集叫做有理數(shù)集，類似地，所有整數(shù)

組成的數(shù)集叫做整數(shù)集，所有正數(shù)組成的數(shù)集叫做正數(shù)集，所有負數(shù)組成的數(shù)集叫做負數(shù)集，等等.

3、多重符號的化簡規(guī)律

單獨一個有理數(shù)前面的“＋”號和“－”號，一般都是性質(zhì)符號，讀作“正”號或“負”號.

括號前是“＋”號時，去掉括號和“＋”號后，括號內(nèi)的數(shù)不變，括號前是“－”號時，去掉括號和“－”號后，

括號內(nèi)的數(shù)就變成它的相反數(shù).

在一個數(shù)的前面添加一個“＋”號，仍然與原數(shù)相同；在一個數(shù)的前面添加一個“－”號，就成為原數(shù)的相反數(shù).

4、兩個負有理數(shù)的大小比較

兩個負有理數(shù)的大小比較與其它數(shù)一樣，可以利用數(shù)軸找準兩個負有理數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點，右邊的數(shù)總比左邊的

數(shù)大.

兩個負有理數(shù)的大小比較，還可以利用絕對值，求這兩個數(shù)的絕對值，比較兩個數(shù)絕對值的大小，絕對值大的反而

小.

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5、有關(guān)絕對值的計算及化簡

靈活正確運用絕對值的代數(shù)意義及有關(guān)性質(zhì).

四、典型例題解析

例1、一個物體沿著南北兩個相反方向運動，如果把向南的方向規(guī)定為正，那么走6km，走－4.5km，走0km的意義各

是什么？

例2、某老師把某一小組五名同學(xué)的成績簡記為：＋10、－5、0、＋8、－3，又知記為0的實際成績表示90分，正數(shù)表

示超過90分，則這五位同學(xué)的平均成績?yōu)槎嗌俜郑?/p>

例3、如圖所示的數(shù)軸上，A、B、C、D、E各點分別表示什么數(shù)？

例4、在數(shù)軸上畫出表示下列各數(shù)的點，并用“<”連接起來；

例5、化簡下列各數(shù)的符號：

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例6、利用絕對值比較下列有理數(shù)的大小.

（1）－0.6，－60（2）

例7、已知|a|=5，求a.

例8、已知|a＋2|＋|b－3|=0，求a和b的值.

例9、已知有理數(shù)a、b、c如圖所示，試比較a，－a，b，－b，c，－c，0的大小，并用符號“<”連接起來.

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1、“甲比乙大－3歲”表示的意義是（）

A．甲比乙小3歲B．甲比乙大3歲C．乙比甲大－3歲D．乙比甲小3歲

2、正整數(shù)集合與負整數(shù)集合合并在一起組成的集合是（）

A．整數(shù)集合B．有理數(shù)集合C．自然數(shù)集合D．以上說法都不對

3、下列說法中正確的個數(shù)有（）

（1）0是整數(shù)；（2）－1是負分數(shù)；（3）3.2不是正數(shù)；（4）自然數(shù)一定是正數(shù)；（5）負分數(shù)一定是負有理數(shù).

A．1個B．2個C．3個D．4個

4、文具店、書店和玩具店依次坐落在一條南北走向的大街上，文具店在書店北邊20m處，玩具店位于書店南邊100m處，

小明從書店沿街向南走了40m，接著又向南走了－60m，則此時小明的位置在（）

A．玩具店B．文具店C．文具店北邊40mD．玩具店南邊－60m

5、下列各對數(shù)中，互為相反數(shù)的有（）

（1）（－1）與＋（－1）；（2）＋（＋1）與－1；（3）－（－2）與＋（－2）；

（4）－（－）與＋（＋）；（5）＋[－（＋1）]與－[＋（－1）]；（6）－（＋2）與－（－2）.

A．6對B．5對C．4對D．3對

6、一個數(shù)的相反數(shù)小于它本身，這個數(shù)是（）

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A．任意有理數(shù)B．零C．負有理數(shù)D．正有理數(shù)

7、絕對值等于4的數(shù)是（）

A．4B．－4C．±4D．以上都不對

8、絕對值大于2而小于5的所有正整數(shù)之和為（）

A．7B．8C．9D．10

9、下列各式中，正確的是（）

A．－|－16|>0B．|0.2|>|－0.2|C．D．|－6|<0

10、若有理數(shù)a、b在數(shù)軸上的對應(yīng)點如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是（）

A．a(chǎn)>bB．|a||b|D．a(chǎn)>|b|

11、下列各數(shù)：－2，5，－，0.63，0，8，－0.05，－6，9，，1，其中正數(shù)有____________個，負數(shù)有____________

個，正分數(shù)有____________個，負分數(shù)有____________個，自然數(shù)有____________個，整數(shù)有____________個.

12、如果將點B向左移動3個單位長度，再向右移動5個單位長度，這時點B表示的數(shù)是0，那么點B原來表示的數(shù)是

____________.

13、在數(shù)軸上，點A表示的數(shù)是－2，點B表示的數(shù)是＋4，則線段AB的中點所表示的數(shù)是____________.

14、如果|a|＋|b|=5，且a=－1，則b=____________.

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【鞏固練習(xí)】

1、課桌的高度比標準高度高2毫米記作＋2毫米，那么比標準高度低3毫米記作什么？現(xiàn)有5張課桌，量得它們的尺寸比

標準尺寸高＋1毫米，－1毫米，0毫米，＋3毫米，－1.5毫米，若規(guī)定課桌的高度比標準高度最高不超過2毫米，最低不

能少于2毫米就算合格，問上述5張課桌中有幾張合格？

2、畫出數(shù)軸，把下列各組數(shù)分別表示在數(shù)軸上，并按由小到大的順序排列，用“<”連接起來．

（1）－1，0，－2，4，－4，1

（2）－1，－3，0，2，1，4，－5

3、化簡下列各數(shù)的符號，并分別歸納符號化簡規(guī)律

（1）－（＋7）；（2）－（－5）；（3）－[＋（－）]；

（4）－[－（－4）]；（5）＋{－[＋（－3）]}；（6）－{－[－（－1.5）]}.

4、比較下列各組數(shù)的大?。?/p>

4、若|a|=3，|b|=4，且a、b同號，求|a＋b|的值.

5、若|x－3|＋|y－2|=0，求x－y的值.