不等式公式

-

不等式的證明規律及重要公式總結

重

要

公

式

1、222)

2

(,2

ba

ababba

?

???〔可直接用〕cabcabcba??????222

2、

),(

11

2

22

22

??

?

??

?

?

?

Rba

ba

ab

baba

〔要會證明〕

3、0(3333??????cbaabccba即可〕

4、33abccba????，3)

3

(

cba

abc

??

?；),,(??Rcba

5、||||||||||bababa?????，),,(Rcba?

證明方法

方法一：作差比擬法：

：1???cba，求證：

3

1

222???cba

。

證：左－右=)1333(

3

1

222???cba])(333[

3

1

2222

1

cbacba?????????

的代換

0])()()[(

3

1

222???????accbba

方法二：作上比擬法，設a、b、c??R，且cba??，求證：baaccbcbacbacba????222

證：accbbabcacabcbcaba

baaccb

cba

a

c

c

b

b

a

ccbbaa

cba

cba

?????????

???

?????)()()(

222

右

左

當a>b>0時1)(0,1???????ba

b

a

ba

b

a

當0

b

a

ba

b

a

∴不管a>b還是a

b

a

，同理可證，1)(??cb

c

b

，1)(??ac

a

c

，……

方法三：公式法：設a>0,b>0，且a+b=1，求證：

①

8

1

44??ba②

2

25

)

1

()

1

(22????

b

b

a

a

證①由公式：2

2222

)

2

(

222

BABABABA?

?

?

?

?

?

?

得：

8

1

16

1

])

2

[()

2

(

2

44222

2244

????

?

?

?

?

?

ba

bababa

-

證②由

2

)(

)

2

(

2

2

222

22BA

BA

BABA?

???

?

?

?

∴左222)

1

1(

2

1

][

2

1

)]

1

()

1

[(

2

1

abab

ba

ba

b

b

a

a??

?

???????〔*〕

∵4

1

4

1

)

2

(2???

?

?

ab

ba

ab

∴(*)

2

25

)41(

2

1

2???

方法四：放縮法：)1(loglog)2(

)1(

)1(???

?

?nn

n

n

n

∵n>1，∴0log)1(??n

n

∴只要證：1loglog)2(

)1()1(

???

??

n

n

n

n

即可

左<2)2(

)1(

2)2(

11

]log

2

1

[)]log(log

2

1

[?

?

?

??

??nn

n

n

n

n

n

<1]log

2

1

[](log

2

1

[2)1(

)1(

2)12(

1

22???

?

??

?

n

n

nn

n

方法五：分析法：設a1，a2，b1，b2

??R，求證：

21212211

))((bbaababa????(自證)

方法六：歸納猜測、數學歸納法：設0,0??ba，求證：

2

)

2

(

nn

n

baba?

?

?

〔自證〕

高考數學百大經典例題——不等式性質

概念、方法、題型、易誤點及應試技巧總結

不等式

一．不等式的性質：

1．同向不等式可以相加；異向不等式可以相減：假設,abcd??，則

acbd???〔假設,abcd??，則acbd???〕，但異向不等式不可以相加；同

向不等式不可以相減；

2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；異向不等式可

以相除，但不能相乘：假設0,0abcd????，則acbd?〔假設0,0abcd????，

則

ab

cd

?

〕；

3．左右同正不等式：兩邊可以同時乘方或開方：假設0ab??，則nnab?或

nnab?；

-

4．假設

0ab?

，

ab?

，則

11

ab

?

；假設

0ab?

，

ab?

，則

11

ab

?

。如

〔1〕對于實數

cba,,

中，給出以下命題：

①22,bcacba??則若；②babcac??則若,22；

③22,0bababa????則若；④

ba

ba

11

,0???則若

；

⑤

b

a

a

b

ba???則若,0

；⑥baba???則若,0；

⑦

bc

b

ac

a

bac

?

?

?

???則若,0

；⑧

11

,ab

ab

??若

，則

0,0ab??

。

其中正確的命題是______

〔答：②③⑥⑦⑧〕；

〔2〕

11xy????

，

13xy???

，則

3xy?

的取值圍是______

〔答：

137xy???

〕；

〔3〕cba??，且

,0???cba

則

a

c

的取值圍是______

〔答：

1

2,

2

??

??

??

??

〕

二．不等式大小比擬的常用方法：

1．作差：作差后通過分解因式、配方等手段判斷差的符號得出結果；

2．作商〔常用于分數指數冪的代數式〕；

3．分析法；

4．平方法；

5．分子〔或分母〕有理化；

6．利用函數的單調性；

7．尋找中間量或放縮法；

8．圖象法。其中比擬法〔作差、作商〕是最根本的方法。如

〔1〕設0,10???taa且，比擬

2

1

loglog

2

1?t

t

aa

和

的大小

〔答：當1a?時，

11

loglog

22aa

t

t

?

?

〔1t?時取等號〕；當01a??時，

11

loglog

22aa

t

t

?

?

〔

1t?

時取等號〕〕；

〔2〕設

2a?

，

1

2

pa

a

??

?

，2422????aaq，試比擬qp,的大小

〔答：pq?〕；

〔3〕比擬1+3log

x

與)10(2log2??xx

x

且的大小

〔答：當01x??或

4

3

x?

時，1+3log

x

＞2log2

x

；當

4

1

3

x??

時，1+3log

x

＜

2log2

x

；當

4

3

x?

時，1+3log

x

＝2log2

x

〕

三．利用重要不等式求函數最值時，你是否注意到："一正二定三相等，和定積

最大，積定和最小〞這17字方針。如

-

〔1〕以下命題中正確的選項是

A、

1

yx

x

??

的最小值是2

B、

2

2

3

2

x

y

x

?

?

?

的最小值是2

C、

4

23(0)yxx

x

????

的最大值是243?

D、

4

23(0)yxx

x

????

的最小值是243?

〔答：C〕；

〔2〕假設

21xy??

，則

24xy?

的最小值是______

〔答：22〕；

〔3〕正數,xy滿足

21xy??

，則

yx

11

?的最小值為______

〔答：322?〕；

4.常用不等式有：〔1〕

222

2211

abab

ab

ab

??

???

?

(根據目標不等式左右

的運算構造選用)；〔2〕a、b、c?R，222abcabbcca?????〔當且僅當abc??

時，取等號〕；〔3〕假設

0,0abm???

，則

bbm

aam

?

?

?

〔糖水的濃度問題〕。如

如果正數a、b滿足3???baab，則ab的取值圍是_________

〔答：??9,??〕

五．證明不等式的方法：比擬法、分析法、綜合法和放縮法(比擬法的步驟是：

作差〔商〕后通過分解因式、配方、通分等手段變形判斷符號或與1的大小，

然后作出結論。).

常用的放縮技巧有：

2

1111111

1(1)(1)1nnnnnnnnn

??????

????

如〔1〕

cba??

，求證：222222cabcabaccbba?????；

(2)

Rcba?,,

，求證：)(222222cbaabcaccbba?????；

〔3〕,,,abxyR??，且

11

,xy

ab

??

，求證：

xy

xayb

?

??

；

(4)假設a、b、c是不全相等的正數，求證：

lglglglglglg

222

abbcca

abc

???

?????

；

〔5〕Rcba?,,，求證：2222abbc?22()caabcabc????；

(6)假設*nN?，求證：2(1)1(1)nn?????21nn??；

(7)||||ab?，求證：

||||||||

||||

abab

abab

??

?

??

；

〔8〕求證：

222

111

12

23n

?????。

六．簡單的一元高次不等式的解法：標根法：其步驟是：〔1〕分解成假設干個一

-

次因式的積，并使每一個因式中最高次項的系數為正；〔2〕將每一個一次因

式的根標在數軸上，從最大根的右上方依次通過每一點畫曲線；并注意奇穿

過偶彈回；〔3〕根據曲線顯現

()fx

的符號變化規律，寫出不等式的解集。

如

〔1〕解不等式2(1)(2)0xx???。

〔答：

{|1xx?

或

2}x??

〕；

〔2〕不等式2(2)230xxx????

的解集是____

〔答：

{|3xx?

或

1}x??

〕；

〔3〕設函數

()fx

、

()gx

的定義域都是R，且

()0fx?

的解集為

{|12}xx??

，

()0gx?

的解集為

?

，則不等式

()()0fxgx?

的解集為______

〔答：

(,1)[2,)????

〕；

〔4〕要使滿足關于x的不等式0922???axx〔解集非空〕的每一個x的值

至少滿足不等式08603422??????xxxx和中的一個，則實數a的取值圍是

______.

〔答：

81

[7,)

8

〕

七．分式不等式的解法：分式不等式的一般解題思路是先移項使右邊為0，再通

分并將分子分母分解因式，并使每一個因式中最高次項的系數為正，最后用

標根法求解。解分式不等式時，一般不能去分母，但分母恒為正或恒為負時

可去分母。如

〔1〕解不等式

2

5

1

23

x

xx

?

??

??

〔答：

(1,1)(2,3)?

〕；

〔2〕關于x的不等式0??bax的解集為

),1(??

，則關于x的不等式

0

2

?

?

?

x

bax

的解集為____________

〔答：

),2()1,(??????

〕.

八．絕對值不等式的解法：

1．分段討論法〔最后結果應取各段的并集〕：如解不等式

|

2

1

|2|

4

3

2|????xx

〔答：

xR?

〕；

〔2〕利用絕對值的定義；

〔3〕數形結合；如解不等式

|||1|3xx???

〔答：

(,1)(2,)?????

〕

〔4〕兩邊平方：如

假設不等式|32||2|xxa???對xR?恒成立，則實數a的取值圍為______。

〔答：

4

{}

3

〕

九．含參不等式的解法：求解的通法是"定義域為前提，函數增減性為根底，分

類討論是關鍵．〞注意解完之后要寫上："綜上，原不等式的解集是…〞。注意：

按參數討論，最后應按參數取值分別說明其解集；但假設按未知數討論，最后應

求并集.如

-

〔1〕假設

2

log1

3a

?

，則a的取值圍是__________

〔答：

1a?

或

2

0

3

a??

〕；

〔2〕解不等式

2

()

1

ax

xaR

ax

??

?

〔答：

0a?

時，

{|x0}x?

；

0a?

時，

1

{|xx

a

?

或

0}x?

；

0a?

時，

1

{|0}xx

a

??

或

0}x?

〕

提醒：〔1〕解不等式是求不等式的解集，最后務必有集合的形式表示；〔2〕

不等式解集的端點值往往是不等式對應方程的根或不等式有意義圍的端點值。如

關于x的不等式

0??bax

的解集為

)1,(??

，則不等式

0

2

?

?

?

bax

x

的解集為

__________〔答：〔－1,2〕〕

十一．含絕對值不等式的性質：

ab、

同號或有

0?||||||abab????||||||||abab???

；

ab、

異號或有

0?||||||abab????||||||||abab???

.

如設2()13fxxx???，實數a滿足

||1xa??

，求證：

|()()|2(||1)fxfaa???

十二．不等式的恒成立,能成立,恰成立等問題：不等式恒成立問題的常規處理方

式？〔常應用函數方程思想和"別離變量法〞轉化為最值問題，也可抓住

所給不等式的構造特征，利用數形結合法〕

1).恒成立問題

假設不等式??Axf?在區間D上恒成立,則等價于在區間D上??

min

fxA?

假設不等式??Bxf?在區間D上恒成立,則等價于在區間D上??

max

fxB?

如〔1〕設實數,xy滿足22(1)1xy???，當

0xyc???

時，c的取值圍是______

〔答：?21,

?

???

?

〕；

〔2〕不等式axx????34對一切實數x恒成立，數a的取值圍_____

〔答：1a?〕；

〔3〕假設不等式)1(122???xmx對滿足2?m的所有m都成立，則x的取

值圍_____

〔答：〔

71

2

?

,

31

2

?

〕〕；

〔4〕假設不等式

n

a

n

n

1)1(

2)1(

??

???

對于任意正整數n恒成立，則實數a的

取值圍是_____

〔答：

3

[2,)

2

?〕；

〔5〕假設不等式22210xmxm????對01x??的所有實數x都成立，求m

的取值圍.

〔答：

1

2

m??〕

2).能成立問題

-

假設在區間D上存在實數

x

使不等式??Axf?成立,則等價于在區間D上

??

max

fxA?；

假設在區間D上存在實數

x

使不等式??Bxf?成立,則等價于在區間D上的

??

min

fxB?.如

不等式axx????34在實數集R上的解集不是空集，數a的取值圍____

〔答：

1a?

〕

3).恰成立問題

假設不等式??Axf?在區間D上恰成立,則等價于不等式??Axf?的解集

為D；

假設不等式??Bxf?在區間D上恰成立,則等價于不等式??Bxf?的解集

為D.