young不等式

有哪些大學的定理公式概念方法等可以應用于高中解題或

幫助高中生深入理解知識？

大家都在談論方法，那我就來扯扯思想吧。

畢竟高中數學就哪些東西，技巧也很有限，硬是要把大學的

方法和技巧強加在高中解題上，確實能做到事半功倍，甚至

得心應手，可能還會有種錯覺--居然會這么簡單，以前怎么

不覺得呢？但若是把這種在大部分高中生看來純屬外掛的

技巧付諸實踐的話，很可能遭致老師的一頓痛批，你這個不

對，應該怎么怎么地......（教育體制就這樣，你就別硬出頭

了，這東西拿來在同學間裝裝逼就成了......）

數學學習絕對不該流于技法表面，更應注重對數學思想的訓

練。

很多高中生都算得上是解題能手，應對各類試題，采用題海

戰術那是鮮有失手，這也很大程度上給人一種錯覺--只要做

得多，數學就不會太差。其實這是一個很大的誤區，有事半

功倍就會有事倍功半，學生從大量刷題中參悟的東西是因人

而異的，有些人善于歸納總結，最后能舉一反三；而有些人

最終也只是簡單題量的堆積，之后碰到同類題甚至是原題，

有的只是似曾相識的感覺，具體該怎么下手則要取決于對答

案的記憶程度了，收效甚微。歸結來看，就是學生在這種解

題訓練中對「數感」的累積存在差異--「悟性」這種東西真

的很玄乎又很實在，透了也就透了，不懂始終就是不懂。這

也是學霸和學神之家無法跨越的鴻溝，有時候不是量變就一

定能引發質變的。

高中數學是適合談一談數學思想的，即便是淺層次的理解也

對解題有所助益，你應該始終堅信「數學萬變不理其宗」，

若能掌握其法門，終將立于不敗之地。

記得高中某天晚自習的時候曾經誤打誤撞用推導出了球的

體積公式，甚至還推論出球的切片體積公式。主要用的思想

就是簡單的無限分割最后取極限，當時并不知道這就是高等

數學里的積分方法，后來等我上了大學，學習《數學分析》

的時候才知道原來早就有了這么一套系統的方法存在

了......PS.那時候覺著自己為什么會這么屌，興沖沖地就跑去

向數學老師求證，還得到老師驚詫和贊許的目光，瞬間就有

種想炫燿的沖動啊，有木有！覺著也只有我這樣碾壓型的才

能和數學老師進智力上的對話了！現在想想，我只不過是把

先賢的洞見重新“發掘”了一遍，在無窮分割和極限的思想

方面有了一小點共鳴而已。

等我真正見識到了什么極座標系和球坐標系下的曲面積分，

以及之后的第一類和第二類曲線積分，才知道什么叫山外有

山，人外有人，所以說當年畢竟圖樣啊。但這件事對我今后

的數學學習影響很大，甚至很大程度上糾正了我的數學史觀

--數學并不失關于證明的精妙技法的簡單炫耀，而是證明背

后蘊含著的深刻的數學思想。如果你能滿滿參透這一點，說

明你離入門快不遠了。加油吧，少年！

舉個例子，「反證法」算是我在證明方面比較得心應手的一

種，這種逆天級的偷懶神技絕對是數學思想的真實寫照--非

此即彼，有著三兩撥千金般動人心魄的魔力。試想一下，現

在有一堆形態完全一致，重量相當的珠子，事先告訴你其中

只混雜了鐵珠和玻璃珠，讓你具體驗證（數學上慣用「證明」）

具體是那種組合--純鐵珠，純玻璃珠，還是兩者的混合（你

說什么？具體的數目配比，對不起，我們談的是數學，只管

證明，不是來算數的，那是你們工科生的活兒，謝謝~）。那

我們看怎么用「反證法」來求證這個結論。

傳統的反證法只有兩種狀態，非此即彼，所以我們一般會習

慣性開始假設其中一種狀態成立，然后通過在這種設問下尋

找到相應的矛盾，進而否定這種假設的正確性，于是在這種

「一分為二，非此即彼」的邏輯框架下佐證了另一狀態是成

立的，本質上是一種間接求證的思想。

但是現在我們的例子涉及了三種待求證的狀態，所以可以不

用拘泥于傳統的假設，直接引入一個「狀態器」，通過這個

狀態器對這堆珠子的反應來判別究竟是那種狀態成立。好

了，這個狀態器怎么選，當然是要能絕對區分兩種不同材質

的珠子了，我們可以針對「鐵鈷鎳」能被磁石吸引的這一特

性，量身為其打造這個「狀態器」。對，你沒有聽錯，就是

這么個玩意兒--吸鐵石。我們只要將這個狀態器對每個珠子

進行挨個測試，通過最后的測試結果來驗證究竟是那種狀

態。

狀態器存儲的結果是可預測的，無非只有三種情況：珠子無

一例外地都沒能被吸引全部都被吸引了部分被吸引，部分無

動于衷我們根據最終「狀態器」顯示的結果來推斷珠子的狀

態，對應的分別是純玻璃珠，純鐵珠，混合型。好了，到現

在你可能會覺得這和「反證法」聯系不大吧，你都沒事先假

設和推出矛盾。那我們把問題簡化一下，變換成所謂的傳統

版本：

事先告知你這堆珠子沒有混雜鐵珠，全部都是玻璃珠，你怎

么證明？

還是類似的思路，我們事先假定其中混雜了鐵珠（數目不

詳），那么按照這個假設，我們用「狀態器」去挨個測試的

時候，就該出現某些珠子被吸引的現象，一旦沒有達到預期

的結果，就產生了我們所說的矛盾，進而也就否定了伊始那

個存在鐵珠的假設了，于是「證畢」。所以你看，只要你能

體會這種「狀態器」的妙用--無非就是如何正確篩選出哪些

題設外的狀態，你就能理解什么是「反證法」了，而且你還

學會了更高階的情形不是么？！

//數學就是這點好，我們只證明存不存在，不管你具體有

多少，我想正是這種不拘小節的大師風范才能讓數學家們有

更多的時間和經歷去解決困擾人類智力的終極難題吧。

//什么，你居然問我萬一珠子數量很多怎么辦？我擦，我們

現在討論的是邏輯層面的可行性好么，幾秒鐘就能解決的事

兒，你跟我這談實際的可操作性，我們這群手殘黨是腦力勞

動者好么又不是干苦力的......況且珠子再多在數學上都逃不

出「可數」的范疇，所以那都不是事兒。PS.咦，怎么感覺又

自黑了一把......

//那誰，你居然說這題犯不著這么麻煩，直接根據兩種材質

的硬度和彈性來區分，往地上一摔就能見分曉，是玻璃珠指

定開裂，我擦，你過來，我保證不打死你......這么暴力，傷

著花花草草的該多不好......

聊完「反證法」，我們再來談談高中數學中涉及的「數學歸

納法」，很多高中生可能學習的時候都很難理解這種證明方

法為什么要這樣遞推--先驗證最低階情形下命題成立，然后

假定第N階時命題成立，最后去證明N1階情形下命題也成

立，于是整個命題在已知的任意情形下都成立。我教過為數

不多的幾個學生都在這點上理解吃力，他們并不清楚這樣假

設的目的究竟是什么，也不甚理解整個證明過程中各階段之

間的遞進關系。只是機械地依葫蘆畫瓢，如果題目不提示利

用歸納法解題的話很可能就“渾身法術”了......

說起「歸納法」，大學計算機編程中會涉及一種函數技巧--

「遞歸函數」，比如你要計算10的階乘，按照數學定義，你

直接用就能得到，那你需要借助計算，以此類推，最終得到

你要的計算結果為。總結說來，遞歸思想就是要建立起相鄰

兩階之間的遞推關系（由高到低方向，當然也是可逆的），

高階情形的實現依賴于低階情形的實現，只要整個遞推過程

是有限的，那么最后總能化歸為最低階的情形。現在我們類

比地來看「歸納法」究竟是個什么鬼？

數學歸納法可以認為是「遞歸」的一個逆向過程，無非就是

先驗證最低階情形下結論成立，然后構建相鄰兩階之間的遞

推關系（低階到高階方向，自然也是可逆的）并驗證結論成

立，這樣就能保證整個邏輯鏈條是開路的，也就證明了遞推

的可延展性（無限延伸）。

我們來看個簡單的證明：證明級數發散，即其值趨于簡單的

思路（貌似當年數分上就有類似的證明題）就是通過放縮來

證明，首先對級數進行拆分：注意到每個括號中的數值都大

于，所以不難歸納證明出，最后令即可證明級數發散.當然這

樣具有構造性技巧的歸納證明有一定難度，這里舉這個例子

也只是為了說明「歸納法」的運用技巧和內在涵義。

最后我們捎帶說下令無數學生神煩的「不等式」好了。貌似

用得最多的應該是均值不等式：，其變形版本為當且僅當時

等式成立。怎么證明呢？基本所有的高中不等式證明都是依

照最簡單粗暴的邏輯--左右相減，大小自現。這是一條不破

的鐵律，對于上面那個不等式證明只需左右相減得當且僅當

時等式成立。大學里有很多更高階版本的不等式：

Cauchy-Schiwarz不等式H?lder不等式0'eeimg='1'>，其證

明可以借助Young不等式：0'eeimg='1'>Minkowski不等式0'

eeimg='1'>以上不等式涉及的證明其實并非很復雜，我們以

Cauchy-Schiwarz不等式的證明為例，簡要說明下不等式背后

蘊含的等式涵義。

我高中的時候應該是借助二次函數的性質對其進行證明的：

首先構造，顯然有，等式成立當且僅當對都有，即高中所說

的對應成比例，而按照線性代數的觀點就是兩個向量共線；

一旦不共線，則會發生“漂移”，不等號就嚴格成立了。

由拆分可以得到：.以上不等式左邊可以看成是以為自變量的

一元二次函數.

該不等式都成立，一個自然的考慮就是其，即，證畢.

這個例子說明了低階版本的技巧和方法同樣能夠適用于解

決高階問題，關鍵就是在于你選擇的視角。同樣的一個問題，

從不同的角度去思考可能采用的方法決然不同。舉個簡單的

例子：現在有10張面值不盡相同的人民幣，面值分別為1020

505010。讓你統計其面值總額，顯然有兩

套方案：順次相加歸類匯總第一種我們稱為Riemann積分，

第二種則叫Lebesgue積分，這個例子是我從一個教《測度論》

的年輕老師那聽來的，當時印象特別深刻，可以說是非常精

準地捕捉了兩種積分之間的理念差異。以后你們若是有機會

接觸這類積分，或許對我說的這些還能有些印象，到時候仔

細琢磨琢磨，看看是不是這么回事兒。

不同的視角，直接導致了不同的研究方法，有時候可能是異

曲同工，但大多數時候還是會有優劣之分的，誰都想走捷徑

啊，不是么？但這種「視角」怎么實現，這還依賴于平時的

訓練和思考積累。

學得東西多了，自然就見多識廣了，拿大學的知識來虐高中

試題算不得什么厲害，頂多說明你能活學活用，善用工具罷

了。但是若能洞見問題和方法背后共通的思想，將對你思考

乃至最終解決問題都助益良多。

以上扯了這么多，無非是想說比起方法上的堆積，平時更應

該多問幾個為什么，只有你多參悟方法和技巧背后的思維方

法，才能真正打開你的思路，甚至決定你看待問題的視角。

想想身處題海中的自己怎可奢望能一覽其全貌，你眼里有的

不過是一汪無盡的海水罷了。如果哪一天你真的跳脫出來，

開了一副上帝視角，那就會發現原來曾經自己所處的位置竟

是“別有洞天”，轉身回望，當是別樣光景。

---------------------------------------------------THE

END-----------------------------------------------------------------------

-----------------------------2015/2/14更新

-----------------------------------------------