厄米多項式

橢圓厄米-高斯光束通過含有硬邊光闌的分數傅立葉變換

馮小芳;張廷蓉;陳森會

【摘要】將硬邊光闌展開為復高斯函數,利用高斯光闌的ABCD矩陣形式來描述復

高斯函數,推導出橢圓厄米-高斯光束通過硬邊光闌分數傅立葉變換系統的光強分布

近似解析公式.利用該公式對橢圓厄米-高斯光束光強進行了數值計算,研究分數傅立

葉變換階數、厄米多項式模數以及光闌尺寸對光強的影響.

【期刊名稱】《四川師范大學學報（自然科學版）》

【年(卷),期】2010(033)006

【總頁數】5頁(P793-797)

【關鍵詞】橢圓厄米-高斯光束;分數傅立葉;復高斯函數;硬邊光闌

【作者】馮小芳;張廷蓉;陳森會

【作者單位】四川師范大學,物理與電子工程學院,四川,成都,610066;四川師范大學,

物理與電子工程學院,四川,成都,610066;四川師范大學,物理與電子工程學院,四川,

成都,610066

【正文語種】中文

【中圖分類】O438.2

分數階傅立葉變換(FRFT)于1993年由vic等［1－2］引入光學.分數傅

立葉變換是傳統傅立葉變換在分數域上的推廣，它與傳統傅立葉變換和菲涅耳變換

有著緊密的聯系，同時又有許多新的特性，國內外對分數傅立葉變換的性質、光學

實現和應用進行了廣泛的研究［2－9］.高斯光束和橢圓高斯光束是描述激光束的

一種常見模型，對其通過光學系統的傳輸變換進行較深入的探討有重要的實際意義.

近年來，這方面已引起國內外一些學者的廣泛關注，由于實際上方形孔徑共焦腔激

光器或大功率陣列型器件必須采用高階高斯光束模型，因而需要對橢圓厄米－高斯

光束經過光學系統的傳輸變換做進一步研究.本文推導出橢圓厄米－高斯光束通過

含有硬邊光闌的分數傅立葉變換的近似解析表達式，并以此式研究了橢圓厄米－高

斯光束與厄米多項式模數的關系，以及隨分數傅立葉變換階數變化的規律.使用的

方法可應用于一般光束通過含有硬邊光闌的分數傅立葉變換特性研究，所得結果對

光束的整形有應用價值.

n［10］指出由如圖1所示的LohmannⅠ和LohmannⅡ光學系統

可實現光束的p階分數傅立葉變換.圖1中為分數傅立葉變換的階數，f1為標準焦

距，P1為輸入面，P2為輸出面，其結構參數如圖所示.對于LohamnnⅠ型分數傅

立葉變換系統，本文把光束傳輸過程分為兩個部分:第一部分從P1到透鏡為一個自

由空間的傳輸過程;第二部分為從透鏡到P2為一個傳輸過程，在透鏡前放了一個矩

形光闌，設光闌與透鏡緊挨，模型如圖2所示.

在z=0處，橢圓厄米－高斯光束的場分布［11］可表示為

式中，w0x、w0y是橢圓厄米－高斯光束在x和y方向上束腰半徑，Hm為厄米

多項式.第一部分的變換矩陣可表示為，Collins根據公式可得到光束由P1傳輸到

透鏡處場的表達式

第二部分的變換矩陣可表示為

根據Collins公式可得到光束從透鏡到輸出面P2處場的表達式

硬邊光闌的窗口函數可表示為二維矩形函數

將(3)式改寫為

為了得到光束通過硬邊光闌的變換解析式，使用等［12］的方法將矩形

函數展開為有限級次的復高斯函數疊加

式中，Fj、Gj、Fn、Gn分別為展開系數和高斯系數，它們的取值可從文獻［12］

查到，本文中取J=N=10.

將(6)式代入(5)式得

用高斯光闌的矩陣形式來表示復高斯函數，其矩陣的表達式為再與A2B2C2D2作

為一個系統，此時式中的A2、B2、C2、D2用矩陣元Aj、Bj、Cj、Dj、An、Bn、

Cn、Dn代替，它們由下式［13］決定

再將(6)式整理成

采用分離參數的方法，可將(10)式改寫為

在這里，將求有光闌限制的光束傳輸問題轉化成無光闌限制的問題，只是前面多了

系數.利用光學系統的整體變換矩陣等于各個單元變換矩陣的乘積，所以x方向的

總矩陣表示為Mx=×M1，y方向的總矩陣表示為My=×M1.

則(11)式中的E(x，z)和E(y，z)由下面兩式決定

利用積分公式

經過積分運算可得射場E(x，z)、E(y，z)的分布

所以總的出射場分布為

其中

利用(20)式，光強分布函數可表示為

用上面得到的輸出光場分布解析式研究橢圓－厄米高斯光束通過硬邊光闌的分數傅

立葉變換規律，可以得到光強隨分數傅立葉變換階數p、厄米多項式函數的模數

m、以及光闌尺寸a和b的變化關系，通過解析式可以直觀的看出光強隨各個參

數的變化規律.

利用上述結果進行數值計算并用matlab軟件繪圖.圖3表示模數m時橢圓厄米－

高斯光束歸一化光強分布的影響.其中，參數束腰寬度w0x=1mm，w0y=1.5

mm，光闌半徑a=1mm，b=1.5mm，f1=1m，分數傅立葉變換階數p=0.1.從

圖3可以看出模數為奇數時，衍射較強;模數偶數時，衍射相對的較弱.

圖4是軸上光強隨分數傅立葉變換階數的變化.其中參數為m=2，其余參數和圖3

相同.從圖4可以看出分數傅里葉變換階數p對橢圓厄米－高斯光束的光強有很大

的影響，光強的分布隨分數傅立葉變換階數p周期性變化，變換周期T=4.當分數

傅立葉變換階數p=4k+2時，軸上光強達到最小值;當分數傅立葉變換階數

p=4k+2.24時，軸上光強達到最大，在每個周期中還存在一個次級大.圖5為

m=0時，光闌孔徑a、b遠遠大于束腰寬度時，光強的等值線分布為橢圓.結果與

文獻［4］一致.

圖6為軸上的光強隨光闌尺寸的變化.取p=0.1，m=2.圖6(a)為b=1mm時，光

強隨a的變化情況，當a大于1mm時，a的變化對歸一化的軸上光強沒有太大

的影響;圖6(b)為a=1mm時，光強隨b的變化情況，當b大于1mm時，b的

變化對歸一化的軸上光強影響不大.

本文利用高斯光闌的ABCD矩陣形式，來描述復高斯函數，將復雜光學系統的衍

射積分與高斯光闌ABCD矩陣聯系起來，推導出橢圓厄米－高斯光束通過硬邊光

闌分數傅立葉變換光學系統后光強分布的解析公式.并利用Matlab進行了數值計

算，得出光強與分數傅立葉變換面上模數m的關系，軸上光強與分數傅立葉變換

階數p的關系，以及光強隨光闌尺寸的變化情況.計算結果顯示，軸上光強隨分數

傅立葉變換階數呈周期性變化，變換周期為4;當光闌尺寸增大到一定的程度時，

光闌對軸上光強分布沒有影響.從(1)式可以看出，當m=0時，入射光為橢圓高斯

光束，(20)式即為橢圓高斯光束通過硬邊光闌的分數傅立葉變換的傳輸公式;當

y=0時，入射光束為厄米－高斯光束，(20)式為厄米高斯光束通過硬邊光闌的分數

傅立葉變換傳輸近似解析表達式.由此可見，(20)式可以表示橢圓高斯光束、厄米

－高斯光束、橢圓厄米－高斯光束通過含有硬邊光闌的分數傅立葉變換傳輸近似解

析表達式.本文的分析方法可作為研究多種光束的一般方法.本方法有一定的計算誤

差，主要是由于復高斯函數不可能完全準確描述硬邊光闌的窗口函數引起的.實際

上，硬邊光闌在一定程度上被“軟化”，降低了計算精度，可以通過對窗口函數的

更好擬合來提高計算精度.

【相關文獻】

［1］OzaktasHM，onalFouriertransformandtheiropticalimplement

［J］.JOptSocAm，1993，10(12):2552－2531.

［2］OzaktasHM，onalFourieroptics［J］.OptCommun，1995，

12(4):743－751.

［3］陳天祿，吳平.雙曲余弦高斯光束的分數傅里葉變換特性研究［J］.中國激光，2005，

32(7):908－912.

［4］吳平，胡向峰，陳天祿.Besl－Gaussian光束在分數傅里葉變換面上的光強分布［J］.激光

技術，2005，29(4):437－439.

［5］張廷蓉，呂百達.含介質的單透鏡和雙透鏡分數傅里葉變換光學系統［J］.光子學報，2009，

38(1):74－77.

［6］于永江，陳建農，王德法，等.光闌約束和離軸失調Lohmann系統的分數傅里葉變換［J］.

激光技術，2008，32(1):109－113.

［7］LiuHong－jie，ZhaoDao－mu，MaoHai－dan，sofbeampropagation

characteristicsonaperturedfractionalFouriertransformingsystems［J］.ChinOptLett，

2004，2(4):206－209.

［8］蔣成安，陳海峰，何忠.厄米高斯光束在帶硬邊光闌分數傅里葉變換光學系統中的傳輸［J］.

湖北民族學院學報:自然科學版，2008，26(2):183－186.

［9］陳寶信，李明，張愛菊.光束分數傅里葉變換幾何特性的相空間束矩陣分析方法［J］.物理學

報，2007，56(8):4535－4541.

［10］otation，wignerrotation，andthefractionalfourier

transform［J］.JOptSocAm，1993，10(10):2181－2186.

［11］黃偉，曾曉東，安毓英.離軸橢圓厄米高斯光束通過一階光學系統的變換特性［J］.光子學報，

2004，33(2):140－142.

［12］WenJJ，actionbeamfieldexpresdasthesuperpositionof

Gaussianbeams［J］.AcoustSocAm，1988，83(5):1752－1756.

［13］陶向陽，周南潤，呂百達.用傅立葉級數展開法研究受光闌限制的超高斯光束的傳輸特性

［J］.江西師范大學學報:自然科學版，2002，26(1):64－66.

［14］陳天祿，吳平.橢圓高斯光束的分數傅里葉變換［J］.激光雜志，2004，25(6):26－28.

［15］吳平，呂百達，陳天祿.光束分數傅里葉變換的Wigner分布函數分析方法［J］.物理學報，

2005，54(2):658－664.