三次數學危機

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《校園百家講壇》演講稿

數學史上的三次危機及對數學發展的影響

主講盧伯友

一引言

“校園百家講壇”很早就邀請我，要我給同學們講點什么，因為這個講壇的神圣性和嚴

肅性，我一直沒有敢答應下來。今天，站在這個講壇上，我仍然感到誠惶誠恐的。講什么呢？

從哪兒開始呢?我一直思考著這個問題。

國學大師王國維在《人間詞話》中說過：“詩人對宇宙人生，須入乎其內，又須出乎其

外。入乎其內，故能寫之。出乎其外，故能觀之。入乎其內，故有生氣。出乎其外，故有高

致?！?/p>

同學們平時聽課、讀書、做習題是入乎其內，今天聽講座是出乎其外，兩者相互相成。

只知入乎其內，那是見木不見林，常常會迷失方向。所以，還要輔助以出乎其外，站出來作

高瞻遠矚。正所謂“風聲、雨聲、讀書聲、聲聲入耳；家事、國事、天下事，事事關心！”

整個人類文明的歷史就像長江的波浪一樣，一浪高過一浪，滾滾向前，科學巨人們站

在時代的潮頭，以他們的勇氣、智慧和勤勞把人類的文明從一個高潮推向另一個高潮。我們

認為，整個人類文明可以分為三個層次：(1)以鋤頭為代表的農耕文明；(2)以大機器流水

線作業為代表的工業文明;(3)以計算機為代表的信息文明。數學在這三個文明中都是深層

次的動力，其作用一次比一次明顯。

基于此原因，我今天演講的題目是：數學史上的三次危機及對數學發展的影響

古人講，欲窮千里目，更上一層樓。今天，我們站在歷史的角度，剖析歷史上發生的

三次數學危機及其對數學發展的重要影響，讓同學們不僅從數學自身的思想方法和應用的角

度，而且從文化和歷史的高度審視數學的全貌和美麗。贊美數學思想的博大精深，贊美由數

學文化引出的理性精神，以及在理性精神的指導下，人類文明的蓬勃發展。

二數學史上的三次危機及對數學發展的影響

1畢達哥拉斯與第一次數學危機

1.1第一次數學危機的內容

畢達哥拉斯是公元前五世紀古希臘的著名數學家與哲學家。他曾創立了一個合政治、學

術、宗教三位一體的神秘主義派別：畢達哥拉斯學派。由畢達哥拉斯提出的著名命題“萬物

皆數”是該學派的哲學基石。而“一切數均可表成整數或整數之比”則是這一學派的數學信

仰。然而，具有戲劇性的是由畢達哥拉斯建立的畢達哥拉斯定理卻成了畢達哥拉斯學派數學

信仰的“掘墓人”。畢達哥拉斯定理提出后，其學派中的一個成員希帕索斯考慮了一個問題：

邊長為1的正方形其對角線長度是多少呢？他發現這一長度既不能用整數，也不能用分數表

示，而只能用一個新數來表示。希帕索斯的發現導致了數學史上第一個無理數2的誕生。

小小2的出現，卻在當時的數學界掀起了一場巨大風暴。它直接動搖了畢達哥拉斯學派的

數學信仰，使畢達哥拉斯學派為之大為恐慌。實際上，這一偉大發現不但是對畢達哥拉斯學

派的致命打擊。對于當時所有古希臘人的觀念這都是一個極大的沖擊。這一結論的悖論性表

現在它與常識的沖突上：任何量，在任何精確度的范圍內都可以表示成有理數。這不但在希

臘當時是人們普遍接受的信仰，就是在今天，測量技術已經高度發展時，這個斷言也毫無例

外是正確的！可是為我們的經驗所確信的，完全符合常識的論斷居然被小小的2的存在而

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推翻了！這應該是多么違反常識，多么荒謬的事！它簡直把以前所知道的事情根本推翻了。

更糟糕的是，面對這一荒謬人們竟然毫無辦法。這就在當時直接導致了人們認識上的危機，

從而導致了西方數學史上一場大的風波，這場風波，對畢達哥拉斯學派產生了沉重的打擊，

“數即萬物”的世界觀被極大的動搖了,有理數的尊崇地位也受到了挑戰，因此也影響到了

整個數學的基礎，使數學界產生了極度的思想混亂。這場危機，歷史上稱之為第一次數學危

機。

1.2第一次數學危機對數學發展的影響

第一次數學危機對數學發展的影響是巨大的，它極大的推動了數學及其相關學科的發

展。

首先，第一次數學危機讓人們第一次認識到了無理數的存在，無理數從此誕生了，之后，

許多數學家正式研究了無理數，給出了無理數的嚴格定義，提出了一個含有有理數和無理數

的新的數類——實數，并建立了完整的實數理論[5]，為數學分析的發展奠定了基礎。

其次，第一次數學危機表明，當時希臘的數學已經發展到這樣的階段：證明進入了數學，

數學已經由經驗科學變為演繹科學，并由此建立了幾何公理體系。歐氏幾何就是人們為了消

除矛盾，解除危機，在這時候應運而生的。

歐幾里得的《幾何原本》（公元前330-前275）的出現是數學史上的一個偉大的里程碑。

這本書是世界上最著名、最完整而且流傳最廣的數學著作。兩千多年來一直是全世界人民學

習數學的主要教材?！稁缀卧尽饭灿?3條定義、5條公設、5條公理、467個命題，在西

方世界，除了《圣經》以外沒有其它著作的作用、研究、印行之廣泛能與《幾何原本》相比。

自1482年第一個印刷本出版后，至今已有一千多個版本。《幾何原本》在明朝末年（1607

年）被引入我國，它是由我國科學家徐光啟和意大利傳教士利瑪竇合作翻譯的，是我國翻譯

的第一部西方數學著作。徐光啟曾對這部著作給以高度評價。他說：“此書有四不必：不必

疑，不必揣；不必試，不必改。有四不可得：欲脫之不可得，欲駁之不可得，欲減之不可得，

欲前后更之不可得。有三至三能：似至晦，實至明，故能以其簡簡他物之至繁；似至難，實

至易，故能以其易易他物之至難；易生于簡，簡生于明，綜其妙在明而已?！?/p>

第一次數學危機極大地促進了幾何學的發展,使幾何學在此后兩千年間成為幾乎是全部

嚴密數學的基礎，這不能不說是數學思想史上的一次巨大革命。

1.3第一次數學危機給人類文明留下的珍貴遺產

第一次數學危機，誕生了歐幾里得幾何。歐幾里得幾何的影響超過了任何別的書，它一

方面是現代科學技術的理論基礎之一，另一方面它給予人們一套科學的幾何思想。我們來舉

幾個典型的例子．

阿基米德不是通過用重物作實驗，而是按歐幾里得的方式，從“相等的生物在離支點相

等距離處處于平衡”這一公設出發證明了杠桿定律．

牛頓稱著名的三定律為“公理或運動定律”．從三定律和萬有引力定律出發，建立了他

的力學體系．他的《自然哲學的數學原理》具有歐幾里得式的結構．

在馬爾薩斯1789年的《人口論》中，我們可以找到另一個例子．馬爾薩斯接受了歐幾

里得的演繹模型．他把下面兩個公設作為他的人口學的出發點：人需要食品；人需要繁衍后

代．他接著從對人口增長和食品供求增長的分析中建立了他的數學模型．這個模型簡潔，有

說服力，對各國的人口政策有巨大影響．

令人驚奇的是，歐幾里得的模式還推廣到了政治學．美國的《獨立宣言》是一個著名的

例子．獨立宣言是為了證明反抗大英帝國的完全合理性而撰寫的．美國第三任總統杰斐遜

(1743一1826)是這個宣言的主要起草人．他試圖借助歐幾里得的模型使人們對宣言的公正

性和合理性深信不疑．“我們認為這些真理是不證自明的…”不僅所有的直角都相等，而且

“所有的人生來都平等”．這些自明的真理包括，如果任何一屆政府不服從這些先決條件，

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那么“人民就有權更換或廢除它”．宣言主要部分的開頭講，英國國王喬治的政府沒有滿足

上述條件．”因此，…我們宣布，這些聯合起來的殖民地是，而且按正當權力應該是，自由

的和獨立的國家．”我們順便指出，杰斐遜愛好文學、數學、自然科學和建筑藝術．

相對論的誕生是另一個光輝的例子．相對論的公理只有兩條：1)相對性原理，任何自然

定律對于一切直線運動的觀測系統都有相同的形式；2)光速不變原理，對于一切慣性系，光

在真空中都以確定的速度傳播．愛因斯坦就是在這兩條公理的基礎上建立了他的相對論．

關于建立一個理論體系，愛因斯坦認為科學家的工作可以分為兩步．第一步是發現公理，

第二步是從公理推出結論．哪一步更難呢?他認為，如果研究人員在學校里已經得到很好的

基本理論、推理和數學的訓練，那么他在第二步時，只要“相當勤奮和聰明，就一定能成功”．至

于第一步，即找出所需要的公理，則具有完全不同的性質，這里沒有一般的方法．愛因斯坦

說：“科學家必須在龐雜的經驗事實中間抓住某些可用精密公式來表示的普遍特性，由此探

求自然界的普遍原理．”

第一，它留給我們一個堅強的信念：自然數是萬物之母，即宇宙規律的核心是數學．這

個信念鼓舞人們將宇宙間一切現象的終極原因找出來，并將它數量化．

第二，它孕育了一種理性精神，這種精神現在已經滲透到人類知識的一切領域．

第三，它給出一個樣板一歐幾里得幾何．這個樣板的光輝照亮了人類文化的每個角落．

但是，令人痛惜的是，羅馬士兵一刀殺死了阿基米德這個科學巨人，這就宣布了一個光

輝時代的結束．懷特海對此評論道：“阿基米德死于羅馬士兵之手是世界巨變的象征．務實

的羅馬人取代了愛好理論的希臘人，領導了歐洲．…羅馬人是一個偉大的民族．但是受到了

這樣的批評：講求實效，而無建樹．他們沒有改進祖先的知識，他們的進步只限于工程上的

技術細節．他們沒有夢想，得不出新觀點，因而不能對自然的力量得到新的控制．”

此后是千余年的停滯．

2貝克萊與第二次數學危機

2.1第二次數學危機的內容

公元17世紀，牛頓和萊布尼茲創立了微積分，微積分能提示和解釋許多自然現象，它

在自然科學的理論研究和實際應用中的重要作用引起了人們高度的重視。然而，因為微積分

才剛剛建立起來，這時的微積分只有方法，沒有嚴密的理論作為基礎，許多地方存在漏洞，

還不能自圓其說。

例如牛頓當時是這樣求函數y＝xn的導數的：（x＋△x）n＝xn＋n·xn-1·△x＋[n（n+1）

/2]·xn-2·(△x)2＋……＋（△x）n，然后用自變量的增量△x除以函數的增量△y，△y/

△x＝[（x＋△x）n－xn]/△x＝n·xn-1＋[n（n-1）/2]·xn-2·△x＋……＋n·x·（△x）n-2

＋（△x）n-1，最后，扔掉其中含有無窮小量△x的項，即得函數y=xn的導數為y′=nxn-1。

對于牛頓對導數求導過程的論述，哲學家貝克萊很快發現了其中的問題，他一針見血的

指出：先用△x為除數除以△y，說明△x不等于零，而后又扔掉含有△x的項，則又說明△

x等于零，這豈不是自相矛盾嗎？因此貝克萊嘲弄無窮小是“逝去的量的鬼魂”，他認為微

積分是依靠雙重的錯誤得到了正確的結果，說微積分的推導是“分明的詭辯”。

確實，這種在同一問題的討論中，將所謂的無窮小量有時作為0，有時又異于0的做法，

不得不讓人懷疑。無窮小量究竟是不是零？無窮小及其分析是否合理？貝克萊悖論的出現危

及到了微積分的基礎，引起了數學界長達兩個多世紀的論戰，從而形成了數學發展史中的第

二次危機。

2.2第二次數學危機的影響

第二次數學危機的出現，迫使數學家們不得不認真對待無窮小量△x，為了克服由此引

起思維上的混亂，解決這一危機，無數人投入大量的勞動。在初期，經過歐拉、拉格朗日等

人的努力,微積分取得了一些進展；從19世紀開始為徹底解決微積分的基礎問題，柯西、外

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爾斯特拉斯等人進行了微積分理論的嚴格化工作。微積分內在的根本矛盾，就是怎樣用數學

的和邏輯的方法來表現無窮小，從而表現與無窮小緊密相關的微積分的本質。在解決使無窮

小數學化的問題上，出現了羅比達公理：一個量增加或減少與之相比是無窮小的另一個量，

則可認為它保持不變。而柯西采用的ε－δ方法刻畫無窮小，把無窮小定義為以0為極限的

變量，沿用到今，無窮小被極限代替了。后來外爾斯特拉斯又把它明確化，給出了極限的嚴

格定義，建立了極限理論，這樣就使微積分建立在極限基礎之上了。極限的ε－δ定義就是

用靜態的ε－δ刻畫動態極限，用有限量來描述無限性過程，它是從有限到無限的橋梁和路

標，它表現了有限與無限的關系，使微積分朝科學化、數學化前進了一大步。極限理論的建

立加速了微積分的發展，它不僅在數學上，而且在認識論上也有重大的意義。后來在考查極

限理論的基礎中，經過代德金、康托爾、海涅、外爾斯特拉斯和巴門赫等人的努力，產生了

實數理論；在考查實數理論的基礎時，康托爾又創立了集合論。這樣有了極限理論、實數理

論和集合論三大理論后，微積分才算建立在比較穩固和完美的基礎之上了，從而結束了二百

多年的紛亂爭論局面，進而開辟了下一個世紀的函數論的發展道路。

2.3第二次數學危機給人類文明留下的珍貴遺產

微積分誕生之前，人類基本上還處在農耕文明時期．解析幾何的誕生是新時代到來的序

曲，但還不是新時代的開端．它對舊數學作了總結，使代數和幾何融為一體，并引出變量的

概念．變量，這是一個全新的概念，它為研究運動提供了基礎．恩格斯說：“數學中的轉折

點是笛卡兒的變數．有了變數，運動進入了數學，有了變數，辯證法進入了數學，有了變數，

微分和積分也就立刻成為必要的了”．

推導出大量的宇宙定律必須等待這樣時代的到來，準備好這方面的思想，產生像牛頓、

萊布尼茲、拉普拉斯這樣一批能夠開創未來，為科學活動提供方法，指出方向的領袖．但也

必須等待創立一個必不可少的工具一微積分，沒有微積分，推導宇宙定律是不可能的．在

17世紀的天才們開發的所有知識寶庫中，這一領域是最豐富的，微積分為創立許多新的學

科提供了源泉．

微積分是人類智慧的偉大結晶．它給出一整套的科學方法，開創了科學的新紀元，并因

此加強與加深了數學的作用．恩格斯說：“在一切理論成就中，未必再有什么像17世紀下半

葉微積分的發現那樣被看作人類精神的最高勝利了．如果在某個地方我們看到人類精神的純

粹的和唯一的功績，那就正是在這里．”有了微積分，人類才有能力把握運動和過程．有了

微積分，就有了工業革命，有了大工業生產，也就有了現代化的社會．航天飛機，宇宙飛船

等現代化交通工具都是微積分的直接后果．數學一下子走到了前臺．數學在人類社會的第二

次浪潮中的作用比第一次浪潮要明顯多了．1642年1月8日，伽利略在宗教的迫害下，默

默辭世．同年12月25日，一個孱弱的沒有了父親的早產兒誕生了，他就是牛頓．牛頓接過

伽利略的事業繼續前進．當初伽利略用數學化的語言描述自然界時，總是將運動限制在地球

表面或附近．他的同時代人開卜勒得到了關于天體運動的三個數學定律．在微積分的幫助下，

萬有引力定律發現了，牛頓用同一個公式來描述太陽對行星的作用，以及地球對它附近物體

的作用．這就是說，伽利略和牛頓建立的這些定律描述了從最小的塵埃到最遙遠的天體的運

動行為．宇宙中沒有哪一個角落不在這些定律所包含的范圍內．這是人類認識史上的一次空

前飛躍，不僅具有偉大的科學意義，而且具有深遠的社會影響．它強有力地證明了宇宙的數

學設計，摧毀了籠罩在天體上的神秘主義、迷信和神學．

在伽利略規劃的指導下，借助微積分的工具在尋求自然規律方面所取得的成功遠遠超出

了天文學的領域．人們把聲音當作空氣分子的運動而進行研究，獲得了著名的數學定律．胡

克研究了物體的振動．波意耳、馬略特、伽利略、托里拆利和帕斯卡測出了液體、氣體的壓

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力和密度．范．海爾蒙特利用天平測量物質，邁出了近代化學中重要的一步．黑爾斯開始用

定量的方法研究生理學．哈維利用定量的方法證明了流出心臟的血液在回到心臟前將在全身

周流．定量研究也推廣到了植物學．所有這些僅僅是一場空前巨大的、席卷近代世界的科學

運動的開端．

到18世紀中葉，伽利略和牛頓研究自然的定量方法的無限優越性，已經完全確立了．著

名哲學家康德說，自然科學的發展取決于其方法與內容和數學結合的程度，數學成為打開知

識大門的金鑰匙，成為科學的皇后．

1)理性精神是獲取真理的最高源泉；

2)數學推理是一切思維中最純粹、最深刻、最有效的手段；

3)每一個領域都應該探求相應的自然和數學規律．特別是哲學、宗教、政治經濟、倫理

和美學中的概念和結論都要重新定義，否則它們將與那個領域里的規律不相符合．

3羅素與第三次數學危機

3.1第三次數學危機的內容

在前兩次數學危機解決后不到30年即19世紀70年代,德國數學家康托爾創立了集合論,

集合論是數學上最具革命性的理論,初衷是為整個數學大廈奠定堅實的基礎。1900年，在巴

黎召開的國際數學家會議上，法國大數學家龐加萊興奮的宣布：“我們可以說，現在數學已

經達到了絕對的嚴格?！比欢?，正當人們為集合論的誕生而歡欣鼓舞之時,一串串數學悖論卻

冒了出來，又攪得數學家心里忐忑不安,其中英國數學家羅素1902年提出的悖論影響最大,

“羅素悖論”的內容是這樣的：設集合B是一切不以自身為元素的集合所組成的集合，問：

B是否屬于B？若B屬于B，則B是B的元素，于是B不屬于自身，即B不屬于B；反之，若

B不屬于B，則B不是B的元素，于是B屬于自己，即B屬于B。這樣，利用集合的概念，

羅素導出了——集合B不屬于B當且僅當集合B屬于B時成立的悖論。之后，羅素本人還提

出了羅素悖論的通俗版本，即理發師悖論。理發師宣布了這樣一條原則：他只為村子里不給

自己刮胡子的人刮胡子。那么現在的問題是，理發師的胡子應該由誰來刮？。如果他自己給

自己刮胡子，那么他就是村子里給自己刮胡子的人，根據他的原則，他就不應給自己刮胡子；

如果他不給自己刮胡子，那么他就是村子里不給自己刮胡子的人，那么又按他的原則他就該

為自己刮胡子。同樣有產生了這樣的悖論：理發師給自己刮胡子當且僅當理發師不給自己刮

胡子。這就是歷史上著名的羅素悖論。羅素悖論的出現，動搖了數學的基礎，震撼了整個數

學界，導致了第三次數學危機。

3.2第三次數學危機的影響

羅素悖論的出現，動搖了本來作為整個數學大廈的基礎——集合論，自然引起人們對數

學基本結構有效性的懷疑。羅素悖論的高明之處，還在于它只是用了集合的概念本身，而并

不涉及其它概念而得出來的，使人們更是無從下手解決。羅素悖論導致的第三次數學危機，

使數學家們面臨著極大的困難。

數學家弗雷格在他剛要出版的《論數學基礎》卷二末尾就寫道：“對一位科學家來說，

沒有一件比下列事實更令人掃興：當他工作剛剛完成的時候，它的一塊基石崩塌下來了。在

本書的印刷快要完成時，羅素先生給我的一封信就使我陷入這種境地。”可見第三次數學危

機使人們面臨多么尷尬的境地。然而科學面前沒有人會回避，數學家們立即投入到了消除悖

論的工作中，值得慶幸的是，產生羅素悖論的根源很快被找到了，原來康托爾提出集合論時

對“集合”的概念沒有做必要的限制，以至于可以構造“一切集合的集體”這種過大的集合

而產生了悖論。

為了從根本上消除集合論中出現的各種悖論，特別是羅素悖論，許多數學家進行了不懈

的努力。如以羅素為主要代表的邏輯主義學派，提出了類型論以及后來的曲折理論、限制大

小理論、非類理論和分支理論，這些理論都對消除悖論起到了一定的作用；而最重要的是德

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國數學家策梅羅提出的集合論的公理化，策梅羅認為，適當的公理體系可以限制集合的概念，

從邏輯上保證集合的純粹性，他從“集合”、“屬于”兩個基本概念出發，引入了八條公理：

（1）外延公理：兩個集合相等的充要條件是它們含有相同的元素。（2）空集公理：存在不

含任何元素的集合；這是一條絕對存在公理，它指出空集是絕對存在的。（3）無序公理：已

知兩個集合，則存在僅以這兩個集合為元素的集合；（4）并集公理：一個集合的元素的元素

構成一個集合。（5）冪集公理：一個集合的所有子集構成一個集合。（6）無窮公理：歸納集

合石存在的。（7）分離公理：任何一個集合A和一個公式?，則A中所有滿足公式?的元

素構成一個集合。（8）選擇公理：在有限或無窮個兩兩不相交的非空集合中，可以各自選一

個元素構成一個集合。從上述公理出發，策梅羅重新建立起康托爾的基數理論。并且他還證

明了，在上述系統中羅素悖論能夠排除。這是因為，根據上述公理，所有的集合不構成集合。

至此，由“集合”和“屬于”兩個原始概念和上述公理組成了一個完整的集合論公理系統。

為了紀念策梅羅等科學家在建立這一系統的貢獻，人們稱這個系統為ZFC系統，在ZFC系統

中，“集合”和“屬于”是兩個不加定義的原始概念，另外還有十條公理。ZFC系統的建立，

使各種矛盾得到回避，從而消除了羅素悖論為代表的一系列集合悖論，第三次數學危機也隨

之銷聲匿跡了。

3.2第三次數學危機給人類文明留下的珍貴遺產

第三次數學危機推動了數學家們從邏輯和哲學的角度深入研究數學基礎問題。數理邏輯

得到了大發展，證明論、模型論和遞歸論相繼誕生，出現了數學基礎理論、類型論和多值邏

輯等。可以說第三次數學危機大大促進了數學基礎研究及數理邏輯的現代性，而且也因此直

接造成了數學哲學研究的“黃金時代”。

4結語

歷史上的三次數學危機，給人們帶來了極大的麻煩，危機的產生使人們認識到了現有理

論的缺陷，科學中悖論的產生常常預示著人類的認識將進入一個新階段，所以悖論是科

泉之一。第一次數學危機使人們發現無理數，建立了完整的實數理論，歐氏幾何也應運而生

并建立了幾何公理體系；第二次數學危機的出現，直接導致了極限理論、實數理論和集合論

三大理論的產生和完善，使微積分建立在穩固且完美的基礎之上；第三次數學危機，使集合

論成為一個完整的集合論公理體系（ZFC系統），促進了數學基礎研究及數理邏輯的現代性。

數學發展的歷史表明對數學基礎的深入研究、悖論的出現和危機的相對解決有著十分密

切的關系，每一次危機的消除都會給數學帶來許多新內容、新認識，甚至是革命性的變化，

使數學體系達到新的和諧，數學理論得到進一步深化和發展。悖論的存在反映了數學概念、

原理在一定歷史階段會存在很多矛盾，導致人們的懷疑，產生危機感，然而事物就是在不斷

產生矛盾和解決矛盾中逐漸發展完善起來的，舊的矛盾解決了,新的矛盾還會產生，而就是

在其過程中，人們便不斷積累了新的認識、新的知識，發展了新的理論。這是一個無窮反復

的過程，這個過程不斷推動著數學的發展，使數學——這個自然科學的皇后更加嫵媚多姿，

風情萬種??????