旋轉的性質

-

.z.

旋轉知識點歸納

知識點1:旋轉的定義及其有關概念

在平面，將一個圖形繞一個定點O沿*個方向轉動一個角

度，這樣的圖形運動稱為旋轉，定點O稱為旋轉中心，轉動

的角稱為旋轉角;如果圖形上的點P經過旋轉到點

P

?,則這兩個

點叫做這個旋轉的對應點.如圖1,線段AB繞點O順時針轉動

090

得到

BA

??,這就是旋轉,點O就是旋轉中心,

AAOBBO

?

?

?

?,

都是旋轉角.

說明:旋轉的圍是在平面旋轉，否則有可能旋轉為立體圖形，因此“在平面〞這一條件

不可忽略.決定旋轉的因素有三個:一是旋轉中心;二是旋轉角;三是旋轉方向.

知識點2:旋轉的性質

由旋轉的定義可知，旋轉不改變圖形的大小和形狀，這說明旋轉前后的兩個圖形是全等

的.由此得到如下性質：

⑴經過旋轉，圖形上的每一點都繞旋轉中心沿一樣方向轉動了一樣的角度，對應點的排

列次序一樣.

⑵任意一對對應點與旋轉中心的連線所成的角都是旋轉角.

⑶對應點到旋轉中心的距離相等.

⑷對應線段相等，對應角相等.

例1、如圖2，D是等腰Rt△ABC一點，BC是斜邊，如果

將△ADB繞點A逆時針方向旋轉到△

CDA

?的位置，則ADD

?

?

的度數是〔〕Ｄ

Ａ．25Ｂ．30Ｃ．35Ｄ．45

分析:抓住旋轉前后兩個三角形的對應邊相等、對應角相等等

性質，此題就很容易解決.由△

CDA

?是由△ADB旋轉所得,可知

△ADB≌△

CDA

?,∴AD=

DA

?,∠DAB=∠

ACD

?,∵∠DAB+∠DAC=090

,

∴∠

ACD

?+∠DAC=090

,∴∠045?

?

DAD

,應選Ｄ．

評注:旋轉不改變圖形的大小與形狀,旋轉前后的兩個圖形是全等的,緊緊抓住旋轉前后圖

形之間的全等關系,是解決與旋轉有關問題的關鍵.

知識點3:旋轉作圖

O

B

?

A

?

B

A

圖1

C

D

?

A

D

B

圖2

-

.z.

1.明確作圖的條件:(1)旋轉中心;(2)旋轉方向與旋轉角.

2.理解作圖的依據:(1)旋轉的定義:在平面，將一個圖形繞一個定點O沿*個方向轉動一個

角度的圖形變換叫做旋轉;(2)旋轉的性質:經過旋轉,圖形上的每一點都繞旋轉中心沿一樣的

方向轉動了一樣的角度,任意一對對應點與旋轉中心的連線所組成的角都是旋轉角,對應點到

旋轉中心的距離相等.

3.掌握作圖的步驟:(1)分析題目要求,找出旋轉中心、旋轉角；〔2〕分析圖形，找出構成圖

形的關鍵點；〔3〕沿一定的方向，按一定的角度，通過截取線段的方法，找出各個關鍵點；

〔4〕連接作出的各個關鍵點，并標上字母；〔5〕寫出結論.

例2如圖3，小明將△ABC繞O點旋轉得到△

CBA

???，其中點

CBA

???

、、

分別是A、B、

C的對應點.隨即又將△ABC的邊AC、BC及旋轉中心O擦去(不留痕跡),他說他還能把旋轉

中心O及△ABC的位置找到,你認為可以嗎"假設可以,試確定旋轉中心及的位置;如不可以,

請說明理由.

分析:此題的關鍵是要學生先確定旋轉中心的位置.根據“對應點到旋轉中心的距離相

等〞這一特征，可推斷出旋轉中心是對應點連線〔

AA

?和

BB

?〕的垂直平分線的交點.這樣旋

轉中心就可以確定了，從而△ABC的位置也就可以確定了.

解：連接

AA

?，

BB

?,分別作

AA

?，

BB

?的垂直平分線，相交于O點，則O點即為旋轉中

心.再作

C

?關于點的對應點,連接,則的位置就確定了.如圖4所示.

評注:旋轉角相等及對應點到旋轉中心的距離相等是解決這類問題的關鍵.

考點4:鐘表的旋轉問題

鐘表的時針與分針每時每刻都以

軸心為旋轉中心作旋轉運動,其中時針

12小時旋轉一周,則每小時旋轉

,30

12

360

0

0

?這樣時針每分鐘旋轉

;5.00分針每小時旋轉一周,則每分鐘旋轉.6

60

360

0

0

?

例3從1點到1點25分,分針轉了多少度角"時針轉了多少度角"1點25分時時針與分針

的夾角是多少度"

分析:從1點到1點25分,分針與時針都轉了25分鐘,所以分針旋轉的角度為,15025600??

時針旋轉的角度為;5.12255.000??1點整的時候，分針與時針的夾角為030

,分針與時針分別

C

?

B

?

A

?

圖4

C

B

A

O

圖3

C

?

B

?

A

?

-

.z.

同時旋轉0150

與05.12

后,分針與時針的夾角為

.5.1075.???

解:分針旋轉的角度為;15025600??時針旋轉的角度為;5.12255.000??

分針與時針的夾角為

.5.1075.???

評注:(1)時針每分鐘旋轉05.0;(2)分針每分鐘旋轉.60這兩個條件是旋轉問題中的隱含條

件,也是解決此類問題的突破口

解讀生活中的旋轉

一.旋轉及其根本性質

1.旋轉的概念

在平面,將一個圖形繞一個定點沿著*個方向轉動一個角度,這樣的圖形運動稱為旋轉,這

個定點稱為旋轉中心,轉動的角稱為旋轉角.

2.旋轉的根本性質

(1)旋轉前后兩個圖形的對應點到旋轉中心的距離相等;

(2)對應點與旋轉中心的連線所成的角彼此相等.

3.理解旋轉中的不變量

圖形旋轉的主要因素是旋轉的方向和旋轉的角度,圖形在旋轉過程中,圖形中的每一點都

按同樣的方向旋轉了一樣的角度.圖形在旋轉后點的位置改變,但線段的長度不變,對應點到

旋轉中心的距離不變,每對對應點與旋轉中心連線所成的角都相等.

總結:旋轉過程中,每一個點都繞旋轉中心沿一樣的方向旋轉了一樣的角度,任意一對對應

點與旋轉中心的連線所成的角都是旋轉角,對應點到旋轉中心的距離相等.

二.旋轉前后兩個圖形的比擬

圖形是由點組成的,圖形中的主要元素有線段和角,也有一些其他可度量的元素,所以從這

兩個方面加以分析.旋轉的特點有以下幾個方面:

(1)旋轉前后兩個圖形的形狀和大小沒有發生改變,位置發生了改變;

(2)對應線段相等，對應角相等;

(3)每對對應點與旋轉中心連線所成的角都是相等的，它們都是旋轉角.

三.旋轉作圖

1.旋轉作圖的依據是:圖形上的每一點都繞旋轉中心沿一樣方向轉動了一樣的角度,對應

點到旋轉中心的距離相等.

2.旋轉作圖的條件

-

.z.

(1)圖形原來所在的位置;(2)旋轉中心;(3)圖形旋轉的方向;(4)圖形的旋轉角度.

3.旋轉作圖的具體步驟為:

(1)分析題目的要求,找出旋轉中心、旋轉角；

(2)分析所作的圖形，找出構造圖形的關鍵點；

(3)沿一定的方向，按一定的角度，通過攫取線段的方法，旋轉各個關鍵點。

①連：即連圖形中的每一個關鍵點與旋轉中心；

②轉：即把連線按要求繞旋轉中心轉過一定角度；

③截：即在角的另一邊上截取關鍵點到旋轉中心的距離，得到各點的對應點；為了防止

作圖時的混亂，每個點獨立完成后，再進展下一個點的旋轉；

(4)連接所作的各個關鍵點，并標上相應的字母；

(5)寫出結論〔方格紙作圖可以略寫結論〕.

四.旋轉作圖的考察形式

(1)原圖、旋轉中心和一對對應點，求作旋轉后的圖形；

(2)原圖、旋轉中心和一對對應線段，求作旋轉后的圖形；

(3)原圖、旋轉中心和旋轉角，求作旋轉后的圖形.

五.典例剖析

例1如圖1，D是等腰RtABC△一點，BC是斜邊，如果將ABD△繞點A逆時針方

向旋轉到ACD

?

△的位置，則ADD

?

?的度數是〔Ｄ〕

Ａ．25Ｂ．30

Ｃ．35Ｄ．45

解析：根據旋轉性質可知△ABD≌△DAC

?

，

∴∠BAD=∠DCA

?

，AD=DA

?

，

∵∠BAD+∠CAD=090，

∴∠DCA

?

+∠CAD=090，

∴ADD

?

?=??

2

1

??，故應選Ｄ．

評注：此題應用旋轉性質得到兩三角形全等，然后根據全等三角形的性質和三角形角和

定理求解即可.

例2如圖2，該圖形圍繞自己的旋轉中心，按以下角度旋轉后，

C

D

?

A

D

B

圖1

圖2

-

.z.

不能

．．

與其自身重合的是〔〕

Ａ．72Ｂ．108Ｃ．144Ｄ．216

解析：整個圖形可以看作是圖形的五分之一繞中心位置，按照同一方向連續旋轉

72、144、216、0288、0360和原來圖形共同組成的，所以此題應選Ｂ。

評注：解決此題的關鍵是通過動手操作和動腦分析，找到“根本圖案〞，并分析得到旋

轉角，對此題來說，只要找到了“根本圖案〞，所有的旋轉角一定都是72的倍數.

例3在如圖3的方格紙中，每個小方格都是邊長為1個單位的正方形，ABC△的三個

頂點都在格點上〔每個小方格的頂點叫格點〕．

〔1〕畫出ABC△向平移4個單位后的

111

ABC△；

〔2〕畫出ABC△繞點O順時針旋轉90后的

222

ABC△，并求點A旋轉到

2

A所經過的

路線長．

分析:在作圖的時候要找到關鍵

點的位置,此題有兩步作圖,第一步

是平移,第二步是旋轉,按照平移和

旋轉的作圖步驟容易得到最后的圖

形.

點A旋轉到

2

A所經過的路線長為以OA為半徑,圓心角為90的弧長.

解：〔1〕畫出

111

ABC△．〔2〕畫出△

222

ABC．

連結OA，

2

OA，222313OA???

．

點A旋轉到

2

A所經過的路線長為.

2

13

180

1390

?

?

?

?

?l

評注:在方格紙上作簡單的旋轉圖形,旋轉角度通常是90,這樣旋轉前后圖形的對應點與

旋轉中心的連線互相垂直,實際上就是在方格紙上找垂線,再根據旋轉的性質找線段相等，從

而確定每個對應點.

學好旋轉的三個要點

旋轉在實際生活中隨處可見．因此，學好旋轉的知識有利于我們解決實際問題，學

習時應注意把握好以下幾點：

圖4

圖3

-

.z.

一、正確理解旋轉的概念

在平面，將一個圖形繞一個定點沿*個方向轉動一個角度，這樣的圖形運動稱為旋轉，

這個定點叫做旋轉中心．旋轉不改變圖形的形狀和大小．

理解這個概念應注意以下兩點：

1．旋轉和平移一樣，是圖形的一種根本變換；

2．圖形旋轉的決定因素是旋轉中心和旋轉的角

度．

例如圖1，ABC△是等腰直角三角形，

90ABACBAC???，∠

，D是BC上一點，ACD△經過旋轉后到達ABE△的位置．

〔1〕旋轉中心是哪一點.

〔2〕旋轉了多少度.

〔3〕假設P是AC的中點，則經過上述旋轉后，點P旋轉到了什么位置.

解：〔1〕點A是旋轉中心；

〔2〕順時針旋轉了90?；

〔3〕點P旋轉到了AB的中點．

二、掌握旋轉的特征

圖形中每一點都繞著旋轉中心旋轉了同樣大小的角度；對應點到旋轉中心的距離相

等，對應線段、對應角都相等；旋轉前后圖形的大小、形狀都不發生變化．

例2如圖2所示，是國際奧林匹克運動會會旗〔五環旗〕的

標志圖案，它是由五個半徑一樣的圓組成的，它象征著五的體育健

兒，為開展奧林匹克精神而團結起來，攜手拼搏．觀察此圖案，結

合我們所學習的圖形變換知識，完成以下題目：

〔1〕整個圖案可以看做是什么圖形.

〔2〕此圖案可以看做是把一個圓經過屢次什么變換運動得到的.

解：〔1〕這個圖案是軸對稱圖形．

〔2〕既可以看做是由一個圓經過4次平移得到的，又可以看做是一個圓經過4次旋

轉得到的〔你能分析嗎，提示：旋轉中心可以不在圖案上〕．

三、會尋找旋轉中心

知道了旋轉中心及旋轉角，可以作出一個圖形旋轉后的圖形．則知道一個圖形及其

A

C

D

B

E

P

圖1

圖2

-

.z.

旋轉后的圖形時，如何確定旋轉中心呢.

確定旋轉中心的關鍵是確定兩個圖形上的兩組對應點構成的對應線段的旋轉中心，

由旋轉特征可知，這兩組對應點的旋轉中心就是整個圖形的旋轉中心．

由旋轉特征可知，如果圖形上點A關于旋轉中心O的對應點是A

?

，則有OAOA

?

?，

所以點O必在線段AA

?

的垂直平分線上；如果圖形上點B關于旋轉中心O的對應點是B

?

，

則OBOB

?

?，所以點O必在線段BB

?

的垂直平分線上．這樣兩個對應點A和A

?

以及B和B

?

連線的垂直平分線的交點就是旋轉中心．

例3如圖3所示，四邊形ABCD繞*點旋轉后到四邊形ABCD

????

，你能確定旋轉中

心嗎"試一試．

分析：我們可以用待定位置法．假定點O就是旋轉中心，由于對應點到旋轉中心的

距離相等，則有

OAOAOBOB

??

??，

，從而O一定是線段AA

?

和線段BB

?

的垂直平分線的交

點上．

解：如圖3所示，連結

AABB

??

，

．

分別作

AABB

??

，

的垂直平分線，兩直線交于點O．則點O就是旋轉中心．

例2如圖4，ABC△是等邊三角形，點

DG，

分別是

ABAC，

的中點，四邊形BDEF

和四邊形AGHK都是正方形．

〔1〕試確定正方形AGHK繞*點旋轉得正方形EFBD的旋轉中心．

〔2〕正方形BDEF旋轉多少度時可以與正方形AGHK重合.

分析：因為四邊形AGHK和四邊形BDEF都是正方形，所以情況較多，我們只選擇

其中一個講解，其它情況請同學們自己探索，歡送你把自己的探索成果告訴我們．

解：〔1〕選擇BD和GH作為對應線段〔點B對應點G，點D的對應點為點H〕．

連接

DGDHBG，，

，則易知DBDGGH??，連接點D與線段BG的中點M并延長，

連接點G與線段DH的中點并延長，兩直線相交于點O，則有GO垂直平分

DHDO，

垂直

平分BG，則點O就是旋轉中心．BOG∠為旋轉角．

〔2〕150DGHDGAAGH????∠∠∠，

1

75

2

NGHDGH???∠∠

，

75MGONGH???∠∠〔對頂角〕．

又90GMO??∠，所以15MOG??∠．

所以旋轉角230BOGMOG???∠∠．

圖1

圖4

-

.z.

所以當正方形BDEF繞點O順時針旋轉30?時，可與正方形GHKA重合．

旋轉坐標新意多

求旋轉后點的坐標的問題是學習旋轉是常見的問題。這類問題新意頗多，下面舉例說明，

供同學們學習時參考

1、求旋轉90°后點的坐標

例1、如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為(1，4)，將線段OA繞點O順時針旋

轉90°得到線段OA′，則點A′的坐標是．

分析：在平面直角坐標系中，先做出OA繞點O順時針旋轉90°后得到的線段OA′，

然后根據點A′的特征求出點A′的坐標

解：如下圖，做出OA繞點O順時針旋轉90°后得到的線段OA′，則A′的坐標為(4，

－1)

規律總結：點A的坐標為()ab，，O為坐標原點，連結OA，將線段OA繞點O按順時

針方向旋轉90°得

1

OA，則點

1

A的坐標為()ba?，，將線段OA繞點O按逆時針方向旋轉

90°得

2

A，則點

2

A的坐標為()ba?，，

2、求旋轉180°后點的坐標

例2、在平面直角坐標系xOy中，點A(2，3)，假設將OA繞原點O逆時針旋轉180°得

到0A′，則點A′在平面直角坐標系中的位置是在

A第一象限B第二象限c第三象限D第四象限

分析：將OA繞原點O逆時針旋轉180°得到0A′，則點A′與點A關于原點成中心對

稱，根據點A的坐標即可求出點A′的坐標，從而確定A′在平面直角坐標系中的位置

解：因為OA繞原點O逆時針旋轉180°得到0A′，所以點A′與點A關于原點成中心

對稱，又因為點A得坐標為(2，3)，所以點A′的坐標為〔-2，-3〕，所以點A′在第三象限，

選C

規律總結：點A的坐標為()ab，，O為坐標原點，連結OA，將線段OA繞點O按順時

針方向〔或逆時針方向〕旋轉180°得

1

OA，則點

1

A的坐標為,)ab??（，

3、求旋轉135°后點的坐標

例3、點A的坐標為〔2，0〕，把點A繞著坐標原點順時針旋轉135o到點B，則點B

-

.z.

的坐標是_________．

分析：如下圖，在平面直角坐標系中，小格點正方形的邊長為1，在圖中先通過旋轉作

圖確定點B的位置，然后再求出它的坐標

解：點A的坐標為〔2，0〕，則點A在*軸的正半軸上，把點A繞著坐標原點順時針

旋轉135o到點B，則點B在第三象限且在第三象限的角平分線上，由于OB=OA=2，所

以點B就在邊長為1的格點正方形的頂點上，則點B的坐標為〔-1，1〕

4、求屢次旋轉后點的坐標

例4、如圖，在直角坐標系中，點

)0,3(?A

，

)4,0(B

，對△OAB連續作旋轉變換，依次得

到三角形①、②、③、④…，則三角形⑩的直角頂點的坐標為________

析解：認真觀察圖形可知，連續作旋轉變換依次得到三角形①的直角頂點的坐標為〔0，

0〕，三角形②的直角頂點的坐標未知，三角形③的直角頂點的坐標為〔12，0〕，三角形④的

直角頂點的坐標為〔12，0〕，…，由此可見其中的規律：三角形的直角頂點的縱坐標總是0，

二橫坐標每經過三次變換增加12，依此類推三角形⑩的直角頂點的坐標為〔36，0〕

點評：解決此題的關鍵是找出△OAB連續作旋轉變換中三角形的直角頂點的坐標的變化

規律，要求同學們具有一定的探索和想象能力。

旋轉常見錯解剖析

一、分析旋轉作圖時語言表達不準確

例1分析圖1的旋轉現象.

錯解：此題是由圖案的

1

4

繞圖案中心分別旋轉

四次，每次旋轉90°形成的.

剖析：分析旋轉圖案的方法：〔1〕找準旋轉圖案

的根本圖案，此題取圖案的

1

4

或

1

2

；〔2〕找出旋圖1

轉中心；〔3〕算準旋轉的角度.

正解：是由一個梯形繞圖案中心依次旋轉90°，180°，270°而形成的，也可以看

做是由兩個相鄰的梯形繞圖案的中心旋轉180°而形成的.

二、弄錯圖形的旋轉方向

例2如圖2，將網格中的△ABC繞C逆時針旋轉90°，畫出旋轉后的圖形.

-

.z.

錯解：作∠ACD=∠BCE=90°并截取CA/=CA，CB/=CB；連結CB/、B/A/、CA/就

得到了旋轉后的圖形△CB/A/.

剖析：這種作法顯然沒有注意到是逆時針方向旋轉，同學們可以按照逆時針方向作

一下，看看是不是與圖3所示一樣.

三、無視分類討論

例3在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，將△ABC繞點A旋轉30°后與△AB

1

C

1

重合，求∠BAC

1

的度數.

錯解：如圖4，因為在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，所以∠BAC=75°.所以

∠BAC

1

=∠BAC+∠CAC

1

=75°+30°=105°.

AA

C

1

B

1

C

BCC

1

B

1

B

圖4圖5

剖析：此題將△ABC繞點A旋轉30°，并未指明旋轉方向，故應分兩種情況，錯解

只考慮了一種情況.

正解：當△ABC繞點A逆時針方向旋轉30°時，作法同錯解；當△ABC繞點A順

時針方向旋轉30°時，如圖9，∠BAC

1

=∠BBAC－∠CAC

1

=75°－30°=45°.

四、對旋轉角的概念理解不準確

例4如圖6，P等邊△BDE是由等邊△ABC經過旋轉得到的.試判斷旋轉中心和旋

轉角及旋轉方向.

錯解：等邊△BDE是由等邊△ABC繞旋轉中心B

按逆時針方向旋轉∠ABE的度數形成的.

剖析：錯誤的原因在于沒有正確找出對應線段，

從而把旋轉的角度弄錯了.

正解：△BDE是由等邊△ABC繞旋轉中心B按逆

時針方向，旋轉∠DBA的度數形式的.

五、旋轉作圖中，找不準關鍵點，錯用旋轉的性質

AA

A/

A/BB

B/

B/C

CE

D

圖2圖3

B

E

A

C

D

圖6

-

.z.

例5如圖7所示，請將方格紙中的圖形以點O為旋轉中心，順時針旋轉90°，再

向左平移兩格，你能作出相應的圖形嗎.

錯解：如圖8所示.

剖析：未找準關鍵點關于旋轉中心的對稱點.

正解：如圖9所示.

OO

O

圖7圖8圖9