統計與概率

高中數學統計與概率知識點（文）

第一部分:統計

一、什么是眾數。

一組數據中出現次數最多的那個數據，叫做這組數據的眾數。

眾數的特點。

①眾數在一組數據中出現的次數最多；②眾數反映了一組數據的集中趨勢，當眾數出現

的次數越多，它就越能代表這組數據的整體狀況，并且它能比較直觀地了解到一組數據的

大致情況。但是，當一組數據大小不同，差異又很大時，就很難判斷眾數的準確值了。此

外，當一組數據的那個眾數出現的次數不具明顯優勢時，用它來反映一組數據的典型水平

是不大可靠的。

3.眾數與平均數的區別。

眾數表示一組數據中出現次數最多的那個數據；平均數是一組數據中表示平均每份的數

量。

二、.中位數的概念。

一組數據按大小順序排列，位于最中間的一個數據(當有偶數個數據時，為最中間兩

個數據的平均數)叫做這組數據的中位數。

三.眾數、中位數及平均數的求法。

①眾數由所給數據可直接求出;②求中位數時，首先要先排序(從小到大或從大到小)，然

后根據數據的個數，當數據為奇數個時，最中間的一個數就是中位數;當數據為偶數個時，

最中間兩個數的平均數就是中位數。③求平均數時，就用各數據的總和除以數據的個數，

得數就是這組數據的平均數。

四、中位數與眾數的特點。

⑴中位數是一組數據中唯一的，可能是這組數據中的數據，也可能不是這組數據中的數

據；

⑵求中位數時，先將數據有小到大順序排列，若這組數據是奇數個，則中間的數據是中

位數；若這組數據是偶數個時，則中間的兩個數據的平均數是中位數；

⑶中位數的單位與數據的單位相同；

⑷眾數考察的是一組數據中出現的頻數；

⑸眾數的大小只與這組數的個別數據有關，它一定是一組數據中的某個數據，其單位與

數據的單位相同；

（6）眾數可能是一個或多個甚至沒有；

（7）平均數、眾數和中位數都是描述一組數據集中趨勢的量。

五.平均數、中位數與眾數的異同：

⑴平均數、眾數和中位數都是描述一組數據集中趨勢的量；

⑵平均數、眾數和中位數都有單位；

⑶平均數反映一組數據的平均水平，與這組數據中的每個數都有關系，所以最為重要，

應用最廣；

⑷中位數不受個別偏大或偏小數據的影響；

⑸眾數與各組數據出現的頻數有關，不受個別數據的影響，有時是我們最為關心的數據。

六、對于樣本數據x1，x2，…，xn，設想通過各數據到其平均數的平均距離來反映樣本數

據的分散程度，那么這個平均距離如何計算？

思考4：反映樣本數據的分散程度的大小，最常用的統計量是標準差，一般用s表示.假設

樣本數據x1，x2，…，xn的平均數為x，則標準差的計算公式是：

七、簡單隨即抽樣的含義

一般地,設一個總體有N個個體,從中逐個不放回地抽取n個個體作為樣本（n≤N）,如

果每次抽取時總體內的各個個體被抽到的機會都相等,則這種抽樣方法叫做簡單隨機抽

樣.

八、根據你的理解，簡單隨機抽樣有哪些主要特點？

（1）總體的個體數有限；

（2）樣本的抽取是逐個進行的，每次只抽取一個個體；

（3）抽取的樣本不放回，樣本中無重復個體；

（4）每個個體被抽到的機會都相等，抽樣具有公平性.

九、抽簽法的操作步驟？

第一步，將總體中的所有個體編號，并把號碼寫在形狀、大小相同的號簽上.

第二步，將號簽放在一個容器中，并攪拌均勻

第三步，每次從中抽取一個號簽，連續抽取n次，就得到一個容量為n的樣本.

12

||||||

n

xxxxxx

n

222

12

()()()

n

xxxxxx

s

n

十一、抽簽法有哪些優點和缺點？

優點：簡單易行，當總體個數不多的時候攪拌均勻很容易，個體有均等的機會被抽中，

從而能保證樣本的代表性.

缺點：當總體個數較多時很難攪拌均勻，產生的樣本代表性差的可能性很大.

十一、利用隨機數表法從含有N個個體的總體中抽取一個容量為n的樣本，其抽樣步驟

如何？

第一步，將總體中的所有個體編號.

第二步，在隨機數表中任選一個數作為起始數.

第三步，從選定的數開始依次向右（向左、向上、向下）讀，將編號范圍內的數取出，

編號范圍外的數去掉，直到取滿n個號碼為止，就得到一個容量為n的樣本.

簡單隨機抽樣一般采用兩種方法：抽簽法和隨機數表法。

思考：如果從100個個體中抽取一個容量為10的樣本，你認為對這100個個體進行怎樣

編號為宜？

解法1：（抽簽法）將100件軸編號為1，2，…，100，并做好大小、形狀相同的號簽，

分別寫上這100個數，將這些號簽放在一起，進行均勻攪拌，接著連續抽取10個號簽，

然后測量這個10個號簽對應的軸的直徑。

解法2：（隨機數表法）將100件軸編號為00，01，…99，在隨機數表中選定一個起始位

置，如取第21行第1個數開始，選取10個為68，34，30，13，70，55，74，77，40，

44，這10件即為所要抽取的樣本。

小結、

簡單隨機抽樣是一種最簡單、最基本的抽樣方法，簡單隨機抽樣有兩種選取個體

的方法：放回和不放回，我們在抽樣調查中用的是不放回抽樣，常用的簡單隨機抽樣方

法有抽簽法和隨機數法.

抽簽法的優點是簡單易行，缺點是當總體的容量非常大時，費時、費力，又不方便，

如果標號的簽攪拌得不均勻，會導致抽樣不公平，隨機數表法的優點與抽簽法相同，缺

點上當總體容量較大時，仍然不是很方便，但是比抽簽法公平，因此這兩種方法只適合

總體容量較少的抽樣類型.

簡單隨機抽樣每個個體入樣的可能性都相等，均為n/N，但是這里一定要將每個個

體入樣的可能性、第n次每個個體入樣的可能性、特定的個體在第n次被抽到的可能性

這三種情況區分開來，避免在解題中出現錯誤.

解題應用

如果從600件產品中抽取60件進行質量檢查，按照上述思路抽樣應如何操作？

第一步，將這600件產品編號為1，2，3，…，600.

第二步，將總體平均分成60部分，每一部分含10個個體.

第三步，在第1部分中用簡單隨機抽樣抽取一個號碼（如8號）.

第四步，從該號碼起，每隔10個號碼取一個號碼，就得到一個容量為60的樣本.（如8，

18，28，…，598）

十二、系統抽樣的定義：

一般地，要從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本，可將總體分成均衡的若干部分，

然后按照預先制定的規則，從每一部分抽取一個個體，得到所需要的樣本，這種抽樣的方

法叫做系統抽樣.

由系統抽樣的定義可知系統抽樣有以下特征：

（1）當總體容量N較大時，采用系統抽樣。

（2）將總體分成均衡的若干部分指的是將總體分段，分段的間隔要求相等，因此系

統抽樣又稱等距抽樣，這時間隔一般為k＝[

n

N

].

（3）預先制定的規則指的是：在第1段內采用簡單隨機抽樣確定一個起始編號，在此

編號的基礎上加上分段間隔的整倍數即為抽樣編號.

思考.下列抽樣中不是系統抽樣的是（C）

A、從標有1~15號的15號的15個小球中任選3個作為樣本，按從小號到大號排序，

隨機確定起點i,以后為i+5,i+10(超過15則從1再數起)號入樣

B工廠生產的產品，用傳關帶將產品送入包裝車間前，檢驗人員從傳送帶上每隔五分

鐘抽一件產品檢驗

C、搞某一市場調查，規定在商場門口隨機抽一個人進行詢問，直到調查到事先規定的

調查人數為止

D、電影院調查觀眾的某一指標，通知每排（每排人數相等）座位號為14的觀眾留下

來座談

十三、系統抽樣的一般步驟

用系統抽樣從總體中抽取樣本時，首先要做的工作是什么？將總體中的所有個體編號.

如果用系統抽樣從605件產品中抽取60件進行質量檢查，由于605件產品不能均衡分成

60部分，應先從總體中隨機剔除5個個體，再均衡分成60部分.

一般地，用系統抽樣從含有N個個體的總體中抽取一個容量為n的樣本，其操作步驟如何？

第一步，將總體的N個個體編號.

第二步，確定分段間隔k，對編號進行分段.

第三步，在第1段用簡單隨機抽樣確定起始個體編號l.

第四步，按照一定的規則抽取樣本.

十四：分層抽樣的定義:

若總體由差異明顯的幾部分組成，抽樣時，先將總體分成互不交叉的層，然后按照一定

的比例，從各層獨立地抽取一定數量的個體，再將各層取出的個體合在一起作為樣本.

分層抽樣又稱類型抽樣

十五.應用分層抽樣應遵循以下要求及具體步驟：

(1)分層：將相似的個體歸入一類，即為一層，分層要求每層的各個個體互不交叉，即

遵循不重復、不遺漏的原則。

（2）分層抽樣為保證每個個體等可能入樣，需遵循在各層中進行簡單隨機抽樣，每層樣本

數量與每層個體數量的比與這層個體數量與總體容量的比相等。

一般地，分層抽樣的操作步驟如何？

第一步，計算樣本容量與總體的個體數之比.

第二步，將總體分成互不交叉的層，按比例確定各層要抽取的個體數.

第三步，用簡單隨機抽樣或系統抽樣在各層中抽取相應數量的個體.

第四步，將各層抽取的個體合在一起，就得到所取樣本.

十六、簡單隨機抽樣、系統抽樣和分層抽樣三種抽樣的類比學習

簡單隨機抽樣、系統抽樣和分層抽樣既有其共性，又有其個性，根據下表，你能對三種抽

樣方法作一個比較嗎？

共同方法

適應范圍相互聯系抽樣特征

特點類別

簡單隨

機抽樣

系統

抽樣

分層

抽樣

抽樣過

程中每

個個體

被抽取

的概率

相等

將總體分成

均衡幾部

分，按規則

關聯抽取

將總體分

成幾層，

按比例分

層抽取

用簡單隨

機抽樣抽

取起始號

碼

總體中

的個體

數較少

總體中

的個體

數較多

總體由

差異明

顯的幾

部分組

成

從總體中

逐個不放

回抽取

用簡單隨

機抽樣或

系統抽樣

對各層抽

樣

對樣本數據進行分組，組距的確定沒有固定的標準，組數太多或太少，都會影響我們了解

數據的分布情況.數據分組的組數與樣本容量有關，一般樣本容量越大，所分組數越多.

十七列頻率直分布表的步驟

列出一組樣本數據的頻率分布表可以分哪幾個步驟進行？

第一步，求極差.

第二步，決定組距與組數.

第三步，確定分點，將數據分組.

第四步，列頻率分布表.

十八、繪制頻率分布直方圖的步驟

頻率分布直方圖中?小長方形的高

組距

頻率

樣本數據的頻率分布直方圖是根據頻率分布表畫出來的，一般地，頻率分布

直方圖的作圖步驟如何？

第一步，畫平面直角坐標系.

第二步，在橫軸上均勻標出各組分點，在縱軸上標出單位長度.

第三步，以組距為寬，各組的頻率與組距的商為高，分別畫出各組對應的小長方形.

小結

1.頻率分布是指一個樣本數據在各個小范圍內所占比例的大小，總體分布是指總體取值的

頻率分布規律.我們通常用樣本的頻率分布表或頻率分布直方圖去估計總體的分布.

2.頻率分布表和頻率分布直方圖，是對相同數據的兩種不同表達方式.用緊湊的表格改變

數據的排列方式和構成形式，可展示數據的分布情況.通過作圖既可以從數據中提取信

息，又可以利用圖形傳遞信息.

3.樣本數據的頻率分布表和頻率分布直方圖，是通過各小組數據在樣本容量中所占比例大

小來表示數據的分布規律，它可以讓我們更清楚的看到整個樣本數據的頻率分布情況，

并由此估計總體的分布情況.

十九、如何根據樣本頻率分布直方圖，分別估計總體的眾數、中位數和平均數？

(1)眾數：最高矩形下端中點的橫坐標.

月均用水量/t

頻率

組距

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.511.522.533.544.5O

(2)中位數：直方圖面積平分線與橫軸交點的橫坐標.

(3)平均數：每個小矩形的面積與小矩形底邊中點的橫坐標的乘積之和.

二十：什么是莖葉圖

莖葉圖又稱“枝葉圖”，它的思路是將數組中的數按位數進行比較，將數的大小基本

不變或變化不大的位作為一個主干（莖），將變化大的位的數作為分枝（葉），列在主干的

后面，這樣就可以清楚地看到每個主干后面的幾個數，每個數具體是多少。

第二部分：概率

一、隨機事件的概率及概率的意義

1、基本概念：

（1）必然事件：在條件S下，一定會發生的事件，叫相對于條件S的必然事件；

（2）不可能事件：在條件S下，一定不會發生的事件，叫相對于條件S的不可能事件；

（3）確定事件：必然事件和不可能事件統稱為相對于條件S的確定事件；

（4）隨機事件：在條件S下可能發生也可能不發生的事件，叫相對于條件S的隨機事件；

（5）頻數與頻率：在相同的條件S下重復n次試驗，觀察某一事件A是否出現，稱n次試

驗中事件A出現的次數nA為事件A出現的頻數；稱事件A出現的比例

fn(A)=

n

n

A

為事件A出現的概率：對于給定的隨機事件A，如果隨著試驗次數

的增加，事件A發生的頻率fn(A)穩定在某個常數上，把這個常數記作P（A），

稱為事件A的概率。

（6）頻率與概率的區別與聯系：隨機事件的頻率，指此事件發生的次數nA與試驗總次數

n的比值

n

n

A

，它具有一定的穩定性，總在某個常數附近擺動，且隨著試驗次

數的不斷增多，這種擺動幅度越來越小。我們把這個常數叫做隨機事件的概

率，概率從數量上反映了隨機事件發生的可能性的大小。頻率在大量重復試

驗的前提下可以近似地作為這個事件的概率

二、概率的基本性質

1、基本概念：

（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件

（2）若A∩B為不可能事件，即A∩B=ф，那么稱事件A與事件B互斥；

（3）若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件；

（4）當事件A與B互斥時，滿足加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)；若事件A與B為對立

事件，則A∪B為必然事件，所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1，于是有P(A)=1

—P(B)

2、概率的基本性質：

1）必然事件概率為1，不可能事件概率為0，因此0≤P(A)≤1；

2）當事件A與B互斥時，滿足加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)；

3）若事件A與B為對立事件，則A∪B為必然事件，所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1，于

是有P(A)=1—P(B)；

4）互斥事件與對立事件的區別與聯系，互斥事件是指事件A與事件B在一次試驗中不

會同時發生，其具體包括三種不同的情形：（1）事件A發生且事件B不發生；（2）事件

A不發生且事件B發生；（3）事件A與事件B同時不發生，而對立事件是指事件A與

事件B有且僅有一個發生，其包括兩種情形；（1）事件A發生B不發生；（2）事件B發

生事件A不發生，對立事件互斥事件的特殊情形。

三、古典概型及隨機數的產生

1、（1）古典概型的使用條件：試驗結果的有限性和所有結果的等可能性。

（2）古典概型的解題步驟；

①求出總的基本事件數；

②求出事件A所包含的基本事件數，然后利用公式P（A）=

總的基本事件個數

包含的基本事件數A

四、幾何概型及均勻隨機數的產生

1、基本概念：

（1）幾何概率模型：如果每個事件發生的概率只與構成該事件區域的長度（面積或體

積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型；

（2）幾何概型的概率公式：

P（A）=

積）的區域長度（面積或體試驗的全部結果所構成

積）的區域長度（面積或體構成事件A

；

（1）幾何概型的特點：1）試驗中所有可能出現的結果（基本事件）有無限多個；2）每

個基本事件出現的可能性相等．

第三部分:統計案例

1．線性回歸方程

①變量之間的兩類關系：函數關系與相關關系；

②制作散點圖，判斷線性相關關系

③線性回歸方程：

abxy??

?

（最小二乘法）

1

2

2

1

n

ii

i

n

i

i

xynxy

b

xnx

aybx

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

??

?

?

?

?注意：線性回歸直線經過定點),(yx。

2．相關系數（判定兩個變量線性相關性）：

??

?

??

?

??

??

?

n

i

n

i

ii

n

i

ii

yyxx

yyxx

r

11

22

1

)()(

))((

注：⑴r>0時，變量yx,正相關；r<0時，變量yx,負相關；

（2）||r越接近于1，兩個變量的線性相關性越強；||r接近于0時，兩個變量之

間幾乎不存在線性相關關系。

3．回歸分析中回歸效果的判定：

⑴總偏差平方和：?

?

?

n

i

i

yy

1

2)(⑵殘差：

??

??

iii

yye；⑶殘差平方和：2

1

)(?

?

?

?

n

i

yiyi；

⑷回歸平方和：?

?

?

n

i

i

yy

1

2)(－2

1

)(?

?

?

?

n

i

yiyi；⑸相關指數

?

?

?

?

?

?

?

??

n

i

ii

n

i

ii

yy

yy

R

1

2

1

2

2

)(

)(

1。

注：①2R得知越大，說明殘差平方和越小，則模型擬合效果越好；

②2R越接近于1，，則回歸效果越好。

4．獨立性檢驗（分類變量關系）：

隨機變量2K越大，說明兩個分類變量，關系越強，反之，越弱。

22列聯表

y1y2總計

x1aba+b

x2cdc+d

總計a+cb+da+b+c+d

K2=