指數函數運算法則

高中數學標準教材

學校：______________________

班級：______________________

科目：______________________

教師：______________________

高一數學：指數函數(教學設

計)

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數學教案

第1頁

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高一數學：指數函數(教學設計)

教學目標

1.使學生掌握的概念,圖象和性質.

(1)能根據定義判斷形如什么樣的函數是,了解對底數的限制條

件的合理性,明確的定義域.

(2)能在基本性質的指導下,用列表描點法畫出的圖象,能從數

形兩方面認識的性質.

(3)能利用的性質比較某些冪形數的大小,會利用的圖象畫出

形如的圖象.

2.通過對的概念圖象性質的學習,培養學生觀察,分析歸納的

能力,進一步體會數形結合的思想方法.

教材簡介:數學不僅是一門科學，而且是一種普遍適用的技術。它是科學的大門和鑰匙，

學數學是令自己變的理性的一個很重要的措施，數學本身也有自身的樂趣，本教學設計

資料適用于高中高一數學科目,教案學習有利于教學目的、教學過程、教學評價一致進

行，配合教案教學可以讓學生更容易學習到教材里的內容，下載后可以打印或者用于電

子教學。

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第2頁

3.通過對的研究,讓學生認識到數學的應用價值,激發學生學習

數學的興趣.使學生善于從現實生活中數學的發現問題,解決問題.

教學建議

教材分析

(1)是在學生系統學習了函數概念,基本掌握了函數的性質的

基礎上進行研究的,它是重要的基本初等函數之一,作為常見函數,

它既是函數概念及性質的第一次應用,也是今后學習對數函數的基

礎,同時在生活及生產實際中有著廣泛的應用,所以應重點研究.

(2)本節的教學重點是在理解定義的基礎上掌握的圖象和性質.

難點是對底數在和時,函數值變化情況的區分.

(3)是學生完全陌生的一類函數,對于這樣的函數應怎樣進行較

為系統的理論研究是學生面臨的重要問題,所以從的研究過程中得

到相應的結論固然重要,但更為重要的是要了解系統研究一類函數

的方法,所以在教學中要特別讓學生去體會研究的方法,以便能將其

遷移到其他函數的研究.

教法建議

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第3頁

(1)關于的定義按照課本上說法它是一種形式定義即解析式的

特征必須是的樣子,不能有一點差異,諸如,等都不是.

(2)對底數的限制條件的理解與認識也是認識的重要內容.如

果有可能盡量讓學生自己去研究對底數,指數都有什么限制要求,教

師再給予補充或用具體例子加以說明,因為對這個條件的認識不僅

關系到對的認識及性質的分類討論,還關系到后面學習對數函數中

底數的認識,所以一定要真正了解它的由來.

關于圖象的繪制,雖然是用列表描點法,但在具體教學中應避免

描點前的盲目列表計算,也應避免盲目的連點成線,要把表列在關鍵

之處,要把點連在恰當之處,所以應在列表描點前先把函數的性質作

一些簡單的討論,取得對要畫圖象的存在范圍,大致特征,變化趨勢

的大概認識后,以此為指導再列表計算,描點得圖象.

教學設計示例課題

教學目標

1.理解的定義,初步掌握的圖象,性質及其簡單應用.

2.通過的圖象和性質的學習,培養學生觀察,分析,歸納的能力,

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第4頁

進一步體會數形結合的思想方法.

3.通過對的研究,使學生能把握函數研究的基本方法,激發學

生的學習興趣.

教學重點和難點

重點是理解的定義,把握圖象和性質.

難點是認識底數對函數值影響的認識.

教學用具

投影儀

教學方法

啟發討論研究式

教學過程

一.引入新課

我們前面學習了指數運算,在此基礎上,今天我們要來研究一類

新的常見函數-------.

1.6.(板書)

這類函數之所以重點介紹的原因就是它是實際生活中的一種需

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第5頁

要.比如我們看下面的問題:

問題1:某種細胞分裂時,由1個分裂成2個,2個分裂成4

個,……一個這樣的細胞分裂次后,得到的細胞分裂的個數與

之間,構成一個函數關系,能寫出與之間的函數關系式嗎?

由學生回答:與之間的關系式,可以表示為.

問題2:有一根1米長的繩子,第一次剪去繩長一半,第二次再剪

去剩余繩子的一半,……剪了次后繩子剩余的長度為米,試寫出

與之間的函數關系.

由學生回答:.

在以上兩個實例中我們可以看到這兩個函數與我們前面研究的

函數有所區別,從形式上冪的形式,且自變量均在指數的位置上,

那么就把形如這樣的函數稱為.

一.的概念(板書)

1.定義:形如的函數稱為.(板書)

教師在給出定義之后再對定義作幾點說明.

2.幾點說明(板書)

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第6頁

(1)關于對的規定:

教師首先提出問題:為什么要規定底數大于0且不等于1呢?(若

學生感到有困難,可將問題分解為若會有什么問題?如,此時,

等在實數范圍內相應的函數值不存在.

若對于都無意義,若則無論取何值,它總是1,對它

沒有研究的必要.為了避免上述各種情況的發生,所以規定且.

(2)關于的定義域(板書)

教師引導學生回顧指數范圍,發現指數可以取有理數.此時教師

可指出,其實當指數為無理數時,也是一個確定的實數,對于無理

指數冪,學過的有理指數冪的性質和運算法則它都適用,所以將指數

范圍擴充為實數范圍,所以的定義域為.擴充的另一個原因是因為

使她它更具代表更有應用價值.

(3)關于是否是的判斷(板書)

剛才分別認識了中底數,指數的要求,下面我們從整體的角度來

認識一下,根據定義我們知道什么樣的函數是,請看下面函數是否是.

(1),(2),(3)

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第7頁

(4),(5).

學生回答并說明理由,教師根據情況作點評,指出只有(1)和(3)

是,其中(3)可以寫成,也是指數圖象.

最后提醒學生的定義是形式定義,就必須在形式上一摸一樣才

行,然后把問題引向深入,有了定義域和初步研究的函數的性質,此

時研究的關鍵在于畫出它的圖象,再細致歸納性質.

3.歸納性質

作圖的用什么方法.用列表描點發現,教師準備明確性質,再由

學生回答.函數

1.定義域:

2.值域:

3.奇偶性:既不是奇函數也不是偶函數

4.截距:在軸上沒有,在軸上為1.

對于性質1和2可以兩條合在一起說,并追問起什么作用.(確定

圖象存在的大致位置)對第3條還應會證明.對于單調性,我建議找一

些特殊點.,先看一看,再下定論.對最后一條也是指導函數圖象畫圖

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第8頁

的依據.(圖象位于軸上方,且與軸不相交.)

在此基礎上,教師可指導學生列表,描點了.取點時還要提醒學

生由于不具備對稱性,故的值應有正有負,且由于單調性不清,所

取點的個數不能太少.

此處教師可利用計算機列表描點,給出十組數據,而學生自己列

表描點,至少六組數據.連點成線時,一定提醒學生圖象的變化趨勢

(當越小,圖象越靠近軸,越大,圖象上升的越快),并連出光滑

曲線.

二.圖象與性質(板書)

1.圖象的畫法:性質指導下的列表描點法.

2.草圖:

當畫完第一個圖象之后,可問學生是否需要再畫第二個?它是否

具有代表性?(教師可提示底數的條件是且,取值可分為兩段)讓

學生明白需再畫第二個,不妨取為例.

此時畫它的圖象的方法應讓學生來選擇,應讓學生意識到列表

描點不是唯一的方法,而圖象變換的方法更為簡單.即=與圖

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第9頁

象之間關于軸對稱,而此時的圖象已經有了,具備了變換的條件.

讓學生自己做對稱,教師借助計算機畫圖,在同一坐標系下得到的

圖象.

最后問學生是否需要再畫.(可能有兩種可能性,若學生認為無

需再畫,則追問其原因并要求其說出性質,若認為還需畫,則教師可

利用計算機再畫出如的圖象一起比較,再找共性)

由于圖象是形的特征,所以先從幾何角度看它們有什么特征.教

師可列一個表,如下:

以上內容學生說不齊的,教師可適當提出觀察角度讓學生去描

述,然后再讓學生將幾何的特征,翻譯為函數的性質,即從代數角度

的描述,將表中另一部分填滿.

填好后,讓學生仿照此例再列一個的表,將相應的內容填好.

為進一步整理性質,教師可提出從另一個角度來分類,整理函數的性

質.

3.性質.

(1)無論為何值,都有定義域為,值域為,都過點.

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(2)時,在定義域內為增函數,時,為減函數.

(3)時,,時,.

總結之后,特別提醒學生記住函數的圖象,有了圖,從圖中就可

以能讀出性質.

三.簡單應用(板書)

1.利用單調性比大小.(板書)

一類函數研究完它的概念,圖象和性質后,最重要的是利用它解

決一些簡單的問題.首先我們來看下面的問題.

例1.比較下列各組數的大小

(1)與;(2)與;

(3)與1.(板書)

首先讓學生觀察兩個數的特點,有什么相同?由學生指出它們底

數相同,指數不同.再追問根據這個特點,用什么方法來比較它們的

大小呢?讓學生聯想,提出構造函數的方法,即把這兩個數看作某個

函數的函數值,利用它的單調性比較大小.然后以第(1)題為例,給出

解答過程.

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第11頁

解:在上是增函數,且

1,.

解決后由教師小結比較大小的方法

(1)構造函數的方法:數的特征是同底不同指(包括可轉化為

同底的)

(2)搭橋比較法:用特殊的數1或0.

三.鞏固練習

練習:比較下列各組數的大小(板書)

(1)與(2)與;

(3)與;(4)與.解答過程略

四.小結

1.的概念

2.的圖象和性質

3.簡單應用

五.板書設計

探究活動

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第12頁

(1)對于的圖象和的圖象大家都比較熟悉也能畫出它的圖

象,現在如果將和的圖象畫在同一坐標系中,你認為它們會有

幾個交點呢?為什么?

答案：有兩個交點.

(2)A先生從今天開始每天給你10萬元,而你承擔如下任務:第

一天給A先生1元,第二天給A先生2元,,第三天給A先生4元,第

四天給A先生8元,依次下去,…,A先生要和你簽定15天的合同,你

同意嗎?又A先生要和你簽定30天的合同,你能簽這個合同嗎?

答案：15天的合同可以簽,而30天的合同不能簽.

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