投影方式

投影計算公式

投影計算公式往往表達方式不止一種，有時很難分辨誰對誰錯，我只把“墨卡

托投影”、“高斯-克呂格益智手工 投影”、“UTM投影”、“蘭勃特等角投影”(1:100萬

地形圖規范中稱作正軸等角圓錐投影，GB/T14512-93)的正反轉換公式列出，因為

我基本能保證這些公式的正確性。

“海洋地質制圖常用地圖投影系列小程序已升級，原下載者請注意下載更新版

本。

1(約定

本文中所列的轉換公式都基于橢球體

a--橢球體長半軸

b--橢球體短半軸

f--扁率

e--第一偏心率

e’--第二偏心率

N--卯酉圈曲率半徑

R--子午圈曲率半徑

B--緯度，L--經度，單位弧度(RAD)

--縱直角坐標,--橫直角坐標，單位米(M)

2(橢球體參數

我國常用的3個橢球體參數如下(源自“全球定位系統測量規范GB/T18314-

2001”):

橢球體長半軸a(米)短半軸b(米)

Krassovsky(北京54

63782456356863.0188

采用)

IAG75(西安80采用)63781406356755.2882

WGS8463781376356752.3142

需要說明的是，在“海洋地質制圖常用地圖投影系列小程序”中，程序界面上

的所謂“北京1954“西安1980”及“WGS84”在實際計算中只涉及了相應的橢球

體參數。

3(墨卡托(Mercator)投影

3.1墨卡托投影簡介

墨卡托(Mercator)投影，是一種"等角正切圓柱投影”，荷蘭地圖學家墨卡托

(Ge麻雀劇情分集介紹 rhardusMercator1512,1594)在1569年擬定,假設地球被圍在一中空的圓柱

里，其標準緯線與圓柱相切接觸，然后再假想地球中心有一盞燈，把球面上的圖形

投影到圓柱體上，再把圓柱體展開，這就是一幅選定標準緯線上的“墨卡托投影”

繪制出的地圖。

墨卡托投影沒有角度變形，由每一點向各方向的長度比相等，它的經緯線都是

平行直線，且相交成直角，經線間隔相等，緯線間隔從標準緯線向兩極逐漸增大。

墨卡托投影的地圖上長度和面積變形明顯，但標準緯線無變形，從標準緯線向兩極

變形逐漸增大，但因為它具有各個方向均等擴大的特性，保持了方向和相互位置關

系的正確。

在地圖上保持方向和角度的正確是墨卡托投影的優點，墨卡托投影地圖跟隨英語 常用書法楷書 作

航海圖和航空圖，如果循著墨卡托投影圖上兩點圍棋起源 間的直線航行，方向不變可以一直

到達目的地，因此它對船艦在航行中定位、確定航向都具有有利條件，給航海者帶

來很大方便。

“海底地形圖編繪規范”(GB/T17834-1999，海軍航保部起草)中規定1:25萬

及更小比例尺的海圖采用墨卡托投影，其中基本比例尺海底地形圖(1:5萬，

1:25萬，1:100萬)采用統一基準緯線30?，非基本比例尺圖以制圖區域中緯

為基準緯線。基準緯線取至整度或整分。

3.2墨卡托投影坐標系

取零子午線或自定義原點經線(L0)與赤道交點的投影為原點，零子午線或自定

義原點經線的投影為縱坐標X軸，赤道的投影為橫坐標Y軸，構成墨卡托平面直角

坐標系。

3.3墨卡托投影正反解公式

墨卡托投影正解公式:(B,L)?(X,Y)，標準緯度B0，原點緯度0，原點經度L0

墨卡托投影反解公式:(X,Y)?(B,L)，標準緯度B0，原點緯度0，原點經度L0

公式英文文章閱讀 中EXP為自然對數底，緯度B通過迭代計算很快就收斂了。4(高斯-克

呂格(Gauss-Kruger)投影和UTM(UniversalTransverMercator)投影

4.1高斯-克呂格投影與UTM投影異同

高斯-克呂格(Gauss-Kruger)投影與UTM投影(UniversalTransver

Mercator，通用橫軸墨卡托投影)都是橫軸墨卡托投影的變種，目前一些國外的軟

件或國外進口儀器的配套軟件往往不支持高斯-克呂格投影，但支持UTM投影，因

此常有把UTM投影當作高斯-克呂格投影的現象。從投影幾何方式看，高斯-克呂格

投影是“等角橫切圓柱投影”，投影后中央經線保持長度不變，即比例系數為

1;UTM

投影是“等角橫軸割圓柱投影”，圓柱割地球于南緯80度、北緯84度兩條等

高圈，投影后兩條割線上沒有變形，中央經線上長度比0.9996。從計算結果看，

兩者主要差別在比例因子上，高斯-克呂格投影中央經線上的比例系數為1，UTM

投影為0.9996，高斯-克呂格投影與UTM投影可近似采用X[UTM]=0.9996*X[高

斯]，Y[UTM]=0.9996*Y[高斯]，進行坐標轉換(注意:如坐標縱軸西移了500000

米，轉換時必須將Y值減去500000乘上比例因子后再加500000)。從分帶方式

看，兩者的分帶起點不同，高斯-克呂格投影自0度子午線起每隔經差6度自西向

東分帶，第1帶的中央經度為3?;UTM投影自西經180?起每隔經差6度自西向東分

帶，第1帶的中央經度為-177?，因此高斯-克呂格投影的第1帶是UTM的第31

帶。此外，兩投影的東偽偏移都是500公里，高斯-克呂格投影北偽偏移為零，UTM

北半球投影北偽偏移為零，南半球則為10000公里。4.2高斯-克呂格投影簡介

高斯-克呂格(Gauss-Kruger)投影，是一種“等角橫切圓柱投影”。德國數學

家、物理學家、天文學家高斯(CarlFriedrich,auss，1777一1855)于十九世紀

二十年代擬定，后經德國大地測量學家克呂格(JohannesKruger，1857,1928)于

1912年對投影公式加以補充，故名。設想用一個圓柱橫切于球面上投影帶的中央

經線，按照投影帶中央經線投影為直線且長度不變和赤道投影為直線的條件，將中

央經線兩側一定經差范圍內的球面正形投影于圓柱面。然后將圓柱面沿過南北極的

母線剪開展平，即獲高斯一克呂格投影平面。

高斯一克呂格投影后，除中央經線和赤道為直線外，其他經線均為對稱于中央

經線的曲線。高斯-克呂格投影沒有角度變形，在長度和面積上變形也很小，中央

經線無變形，自中央經線向投影帶邊緣，變形逐漸增加，變形最大處在投影帶內赤

道的兩端。由于其投影精度高，變形小，而且計算簡便(各投影帶坐標一致，只要

算出一個帶的數據，其他各帶都能應用)，因此在大比例尺地形圖中應用，可以滿

足軍事上各種需要，并能在圖上進行精確的量測計算。

按一定經差將地球橢球面劃分成若干投影帶,這是高斯投影中限制長度變形的

最有效方法。分帶時既要控制長度變形使其不大于測圖誤差，又要使帶數不致過多

以減少換帶計算工作，據此原則將地球橢球面沿子午線劃分成經差相等的瓜瓣

形地帶,以便分帶投影。通常按經差6度或3度分為六度帶或三度帶。六度帶自0

度子午線起每隔經差6度自西向東分帶，帶號依次編為第1、2?60帶。三度帶是

在六度帶的基礎上分成的，它的中央子午線與六度帶的中央子午線和分帶子午線重

合，即自1.5度子午線起每隔經差3度自西向東分帶，帶號依次編為三度帶第

1、2?120帶。我國的經度范圍西起73?東至135?，可分成六度帶十一個，各帶中

央經線依次為75?、81?、87?、??、117?、123?、129?、135?，

或三度帶二十二個。

我國大于等于50萬的大中比例尺地形圖多采用六度帶高斯-克呂格投影，三度

帶高斯-克呂格投影多用于大比例尺測圖，如城建坐標多采用三度帶的高斯-克呂格

投影。

4.3UTM投影簡介

UTM投影全稱為“通用橫軸墨卡托投影”，是一種“等角橫軸割圓柱投影”，

橢圓柱割地球于南緯80度、北緯84度兩條等高圈，投影后兩條相割的經線上沒有

變形，而中央經線上長度比0關于春節的傳說故事 .9996。UTM投影是為了全球戰爭需要創建的，美國于

1948年完成這種通用投影系統的計算。與高斯-克呂格投影相似，該投影角度沒有

變形，中央經線為直線，且為投影的對稱軸，中央經線的比例因子取0.9996是為

了保證離中央經線左右約330km處有兩條不失真的標準經線。UTM投影分帶方法

與高斯-克呂格投影相似，是自西經180?起每隔經差6度自西向東分帶，將地球劃

分為60個投影帶。

我國的衛星影像資料常采用UTM投影。

4.4高斯-克呂格投影與UTM投影坐標系

高斯-克呂格投影與UTM投影是按分帶方法各自進行投影，故各帶坐標成獨立

系統。以中央經依法治國的主體 線(L0)投影為縱軸X,赤道投影為橫軸Y，兩軸交點即為各帶的坐

標原點。為了避免橫坐標出現負值，高斯-克呂格投影與UTM北半球投影中規定將

坐標縱軸西移500公里當作起始軸，而UTM南半球投影除了將縱軸西移500公里

外，橫軸南移10000公里。由于高斯-克呂格投影與UTM投影每一個投

影帶的坐標都是對本帶坐標原點的相對值，所以各帶的坐標完全相同，為了區

別某一坐標系統屬于哪一帶，通常在橫軸坐標前加上帶號，如

(4231898m,21655933m)，其中21即為帶號。

4.5高斯-克呂格投影與UTM投影正反解公式

高斯-克呂格投影和UTM投影公式從目前公開出版的教材、文獻及網上我看到

好幾種版本，可歸結為下列兩組，我把原來教科書及國內文獻上常見的一套公式列

作高斯-克呂格投影公式，POSC(國際石油技術軟件開放公司)及國外文獻上見到的

另一套公式列作UTM投影公式。常常能看到兩套投影公式混用的文獻資料，文中談

論的是UTM投影，但列出的公式卻是國內教材上的高斯-克呂格投影公式，讓我很

困惑。為此，我設定比例因子都為1，用下列兩組公式分別進行了同點的投影計

算，計算結果在中高緯度時兩套公式差異很小，小數后6位都是一致的;在低緯度

時，投影結果差異拉大，橫軸在小數第三位開始出現差異。假如精確到厘米級，上

述試驗說明兩套公式混用應該沒問題。不過，有可能會有其它極端的情況，畢竟是

不同的投影公式。

高斯-克呂格投影正解公式:(B,L)?(X,Y)，原點緯度0，中央經度L0

上面公式中東緯偏移FE=500000米+帶號*1000000;

高斯-克呂格投影比例因子k0=1

UTM投影正解公式:(B,L)?(X,Y)，原點緯度0，中央經度L0

上面公式中東緯偏移FE=500000米;北緯偏移FN北半球=0，FN南半球=

10000000米;

UTM投影比例因子k0=0.9996，其它參數同高斯-克呂格投影正解公式

高斯-克呂格投影反解公式:(X,Y)?(B,L)，原點緯度0，中央經度L0

UTM投影反解公式:(X,Y)?(B,L)，原點緯度0，中央經度L0

式中參數同高斯-克呂格投影反解公式

5(蘭勃特等角投影(LambertConformalConic);

5.1蘭勃特等角投影簡介

蘭勃特等角投影，在雙標準緯線下是一“等角正軸割圓錐投影”，由德國數學

家蘭勃特(t)在1772年擬定。設想用一個正圓錐割于球面兩標準緯線，

應用等角條件將地球面投影到圓錐面上，然后沿一母線展開，即為蘭勃特投影平

面。蘭勃特等角投影后緯線為同心圓弧，經線為同心圓半徑。前面已經介紹的墨卡

托(Mercator)投影是它的一個極端特例。

蘭勃特投影采用雙標準緯線相割，與采用單標準緯線相切比較，其投影變形小

而均勻，蘭勃托投影的變形分布規律是:a)角度沒有變形;b)兩條標準緯線上沒有

任何變形;c)等變形線和緯線一致，即同一條緯線上的變形處處相等;d)在同一

經線上，兩標準緯線外側為正變形(長度比大于1)，而兩標準緯線之間為負變形

(長度比小于1)。變形比較均勻，變形絕對值也比較小;e)同一緯線上等經差的線

段五大戰區劃分圖 長度相等，兩條緯線間的經緯線長度處處相等。蘭勃特投影常用于小比例尺地

形圖。“1:1000000地形圖編繪規范及圖式GB/T14515-93”中規定1:100萬地形

圖采用正軸等角圓錐投影(蘭勃特等角投影)，并采用了國際地理學會規定的全球統

一使用的國際百萬分之一地圖的分幅原則，按緯差4?從赤道向北、經差6?從-180?

向東分幅，每個投影分幅單獨計算坐標，每幅兩條標準緯線，第一標準緯線為圖幅

南端緯度加30′的緯線，第二標準緯線為圖幅北端緯度減30′的緯線。由于是緯

差4?分帶投影的，所以當沿著緯線方向拼接地圖時，不論多少圖幅，均不會產生

裂隙;但是，當沿著經線方向拼接時，因拼接線分別處于上下不同的投影帶，投影

后的曲率不同，致使拼接時會產生裂隙。

5.2蘭勃特等角投影坐標系

以圖幅的原點經線(一般是中央經線L0)作縱坐標X軸，原點經線與原點緯線

(一般是最南端緯線)的交點作為原點，過此點的切線作為橫坐標Y軸，構成蘭勃特

平面直角坐標系

5.3蘭勃特等角投影正反解公式

蘭勃特等角投影正解公式:

(B,L)?(X,Y)，原點緯度B0，原點經度L0，第一標準緯線B1，第二標準緯線

B2:

蘭勃特等角投影反解公式:

(X,Y)?(B,L)，原點緯度B0，原點經度L0，第一標準緯線B1，第二標準緯線

B2:

式中參數同蘭勃特等角投影正解公式

B通過迭代獲取

導入論壇收藏分享給好友管理舉報

TAG:

引用刪除smm_gis/2009-03-0823:27:53

哥們

青島戴老師的東西請寫明轉處嘛.

另外我補充下

最近在寫蘭勃特等角投影正反解公式的時候遇到問題

蘭勃特投影又叫等角割圓錐投影

圓錐投影的基本公式是

X=Ps-P*cos(thita)

Y=P*sin(thita)

在正算的過程中

t和n是錯誤的

正確的寫法

t=tan(PI/4+B/2)/(后面的一樣);

n=(log(mb1/mb2))/(log(tB2/tB1));

具體參見楊啟和的地圖投影算法與應用

最近在寫投影變換東西驗證出來的問題

所以請大家寫的時候注意