兩點間的距離公式

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第1頁

3.3直線的交點坐標與距離

公式

3.3.2兩點間的距離

【教材導讀】

一、情景導入

已知平面上點A（1,3），你能求出A點與

原點之間的距離嗎？若已知平面上任意兩

點的坐標，又該如何求得這兩點之間的距

離？

二、教材導讀

1.兩點間距離公式的推導

已知平面上點A（1,3），

在平面直角坐標系中建立直

角三角形，

由勾股定理可求得A點

與原點O之間的距離：

223110d???

那么已知平面上任意兩點

),(

111

yxP，),(

222

yxP，是否能用相同方

法求得

21

PP的距離呢？

閱讀教材P

104

內容，掌握應用幾何方

法推導出兩點間距離公式的過程.

2.兩點間的距離公式

平面上兩點),(

111

yxP，),(

222

yxP

間的距離公式：

2

12

2

1221

)()(yyxxPP????

由公式可知，原點)0,0(O與任一點

),(yxP的距離22yxOP??；

3.在夢繞魂牽 《平面向量》一章中我們通過向量的模

也得到了兩點間的距離公式：平面上兩點

),(

111

yxP，),(

222

yxP，則：

（1）

122121

(,)PPxxyy???

（2）22

122121

||()()PPxxyy????

注意比較兩種情形下推證方法.

4.沙爾定理:設A、B是

x

軸上任意一條有

向線段，O是原點，OA=

1

x

，OB=

2

x

，那么

有ABOBOA??：

21

(,0),ABxx??

12

(,0),BAxx??于是

21

||||ABxx??

顯然，在直角坐標系內，與坐標軸平行的

直線上的有向線段也符合沙爾定理.

由此我們理解兩點間距離公式的特例：

（1）當

21

PP?

y軸時，

21

yy?，

1221

xxPP??；

（2）當

21

PP?x

軸時，

21

xx?，

1221

yyPP??.

請完成自主評價1

【課堂點金】

一、重難點突破

1.熟悉兩點間距離公式

例1．在直線

20xy??

上求一點P，使它到

點

(5,8)M

的距離為５，并求直線PM的方

程.

【解析】利用兩點間的距離公式建立關系.

∵點P在直線

20xy??

上，

∴可設

(,2)Paa

，

根據兩點的距離公式得：

222

25)82()5(?????aaPM

即0644252???aa

解得

32

2

5

aa??或

，∴

3264

(2,4)(,)

55

P或

．

∴直線PM的方程為

8585

6432

4825

85

55

yxyx????

??

??

??

或，

即4340247640xyxy??????或

【評析】通過運算熟練掌握兩點間距離公式.

【變式1】求與A（32，10），B（42，0），

B

A

O

y

x

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第2頁

C（0，0）等距離點的坐標.

【解析】

2.兩點間距離公式的應用

例2.以點A（1，3），B（－2，8），C（7，5）

為頂點的ABC是

A．直角三角形B．銳角三角形

C．鈍角三角形D．等腰三角形

【解析】方法一（綜合法）：根據兩點的距

離公式及余弦定理可以判斷三角形的形狀.

只需判斷最大角，由余弦定理，：

∴

為鈍角.

故ABC為鈍角三角形，選C.

方法二（向量法）：由題意：

(3,5),(6,2)ABAC???,故

(3,5)(6,2)181080ABAC??????????

為鈍角,ABC為鈍角三角形，

選C.

【變式2】已知兩點??5cos,5sin,M??

??4cos,4sinN??，求的最大值.

【解析】

例3．等腰直角三角形ABC的直角頂點C

和頂點B都在直

線2x+y–6=0上，

頂點A的坐標是

(1,–1)，求邊AB,

AC所在的直線方

程.

【解析】從確定直

線AB,AC的條件入手，直線AC滿足:經過

點A且垂直于直線2x+y–6=0,直線AB滿足:

經過點A且與直線2x+y–6=0成

4

?

角，（或

|AB|等于點A到直線2x+y–6=0的距離的

2倍）

解法1（從距離入手）AC垂直于直線

2x+y–6=0，設直線AC的方程為x-2y+c=0,

把A(1,–1)代入得c=-3,故直線AC的方程為

x-2y-3=0,

10||5

5

5

||????ABAC?，設B(x,y),

則

22(1)(1)10

260

xy

xy

?

????

?

?

?

???

?

?

，

解得)2,2(B或)2,4(?B，所以直線AB的方

程為043???yx或023???yx

解法2（從角度入手）:直線AC的斜率為

2

1

，

由點斜式并化簡得，直線AC的方程為

x-2y-3=0.

考慮直線AB,AC的夾角為

4

?

，設直線AB,

AC的方向向量分別為

),1(),1,2(knm??

則

2

2

)1(5

|2|

|,cos|

2

?

?

?

???

k

k

nm，解得

B

A

P

O

y

x

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第3頁

3?k或

3

1

??k，所以直線AB的方程為

043???yx或023???yx

【評析】求直線方程的一般步驟:(1)尋找所

求直線的滿足的兩個條件；(2)將條件轉化,

使轉化后的條件更利于列出方程組；(3)列

方程組求解.

【變式3】過點P（2，1）作直線l分別交

x,y軸于A,B兩點，求|PA|||PB|取得最小值

時直線l的方程.

【解析】

【評析】設直線方程要從條件和結論兩方面

考慮，為更好表示|PA|||PB|和|OA|||OB|,本題

用點斜式設出方程或用設傾斜角的補角最

簡便.

二、教材挖掘

1.利用向量的模推導兩點間的距離公式：

若向量),(yxa?，則22yxa??.

若已知平面上兩點),(

111

yxP，),(

222

yxP，

則向量，),(

121221

yyxxPP???

2

12

2

1221

)()(yyxxPP????

即：平面上兩點),(

111

yxP，),(

222

yxP的

距離公式為

2

12

2

1221

)()(yyxxPP????.

【例3】在logo介紹 平面直角坐標系xOy中，已知點

(1,2),(2,3),(2,1)ABC????，求以線段

,ABAC為鄰邊的平行四邊形兩條對角線

的長.

【解析】方法一:

由題設知

(3,5),(1,1)ABAC???

，則

(2,6),(4,4).ABACABAC????

∴

||210,||AC????

故所求的兩條對角線的長分別為42、

210.

方法二:設該平行四邊形的第四個頂點為D，

兩條對角線的交點為E，則:

E為B、C的中點，E（0，1）

又E（0，1）為A、D的中點，

所以D（1，4）.

故所求的兩條對角線的長分別為

BC=42、AD=210.

【評析】體會向量是解決幾何問題的一種工

具，使用向量解決問題有時能使問題簡單化.

2.坐標法

教材P

105

例4巧克力曲奇餅干 揭示了解析幾何最基本的

方法——坐標法（或稱解析法），即將幾何

問題轉化為坐標平面兒兒童睡前故事 內的代數問題求解.坐

標法既是解析幾何學的基本方法，更是代數

與幾何緊密結合的橋梁.這里要注意兩點：

（1）如何根據圖形恰當建立坐標系？要注

意圖形的對稱性、是否有垂直關系或定值線

段等，恰當建系可以簡化運算.

（2）坐標法的基本步驟:

第一步：建立坐標系，用

坐標表示有關的量.

第三步：把代數運算結果

“翻譯”成幾何關系.

第二步：進行有關代數運

算.

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第4頁

例4.求證：平行四邊形的兩條扁豆炒肉 對角線的平方

和等于各邊平方的和。

【解析】這是教材P

105

例4，我們另證如下，

旨在幫助大家理解建

系方法及解析法：

證明：以平行四邊形

ABCD對角線BD所

在直線為x軸，BD中

點O為原點建立平面直角坐標系，設A（b,

c），D（a,0），則B（－a,0）

可得222||()ABabc???

∴22222||||2()ABADabc????

∴2222|||||||ABADCDBC???

??2224abc???

??

2222

222

|||4||4||

4

ACBDAOOD

abc

???

???

因此，

ACBDABADCDBC222222?????

【評析】要理解上述解決問題的基本步驟，

對每一步要細究之：

(1)常見建系方法有三：定值線段法（條件中

有定值線段）、定角法（條件中有定角）、垂

線法（條件中有垂直關系）.

（2）解析幾何的運算是數學學習的攔路虎，

需認真對待.

三、總結提升

1.本課知識結構框圖

2.拓展性知識

（1）直線上兩點間的距離公式：設

A、B是斜率為k的直線

l上的兩點，求證：

2

12

||1||ABkxx???

【解析】由直線AB的斜率為k，可設直線

AB的方程為ykxb??，由于直線經過A

和B，

故

1122

,ykxbykxb????，從而

22

1212

22

1212

||()()

()()

ABxxyy

xxkxbkxb小老鼠的漫長一夜

????

??????

222

1212

(1)()1||kxxkxx??????

【評析】（1）本題結論揭示了利用直線斜率

等元素進行刻畫直線上兩點間的距離，請大

家記住這一結論，在后續學習中大大的有

用！

（2）這一結論的幾何意義如下：如圖，斜

率為k的直線l有兩點A和B

，分別過

點A作y

軸垂線、

過B作x

軸垂線，兩垂線交于點C,設直線l的傾斜角

為

?

.在Rt△ABC中，

21

||||ACxx???

||cosAB?

或

21

||||||cos()ACxxAB??????

||cosAB???，故21

||

||

|cos|

xx

AB

?

?

?.

事實上，2211tank????

直角三角形

勾股定理

兩點間的

距離公式

用代數方法

解決幾何問題

?

?

l

O

C

B

A

y

x

?

-

?

?

l

O

C

B

A

y

x

____________________________________________________________________________________________

第5頁

222

22

2

sincossin

1

coscos

11

|cos|

cos

???

??

?

?

?

???

??

（2）兩相交直線的夾角

定義兩相交直線

12

,ll所組成的不大

于900的角

?

為直線

12

,ll所成角（也稱直

線

12

,ll的夾角）.易知?00(0,90]?.

設直線

12

,ll

的方向向量分別為,ab小品招聘 ，那么

cos|cos,|

||||

?

?

????

?

ab

ab

ab

.

我們可以利用這一關系求解兩相交

直線的夾角大小（參見例3解法2）.

3.問鼎高考

已知點P到兩個定點M（－1，0）、N（1，

0）距離的比為2，點N到直線PM的距離

為1．求直線PN的方程．

【解析】設點P的坐標為),(yx，由題設有

2?

PN

PM

，即

2222)1(2)1(yxyx??????，

整理得：

01622????xyx①

因為點N到PM的距離為1，2?MN，

所以∠PMN＝30，

直線PM的斜率為

3

3

，

直線PM的方程為

)1(

3

3

???xy②

將②式代入①式整理得0142???xx．

解得

32,32

21

????xx

．

代入②式得點P的坐標為

)31,32(??

或

)31,32(???

；

)31,32(???

或

)31,32(??

．

直線PN的方程為：

1??xy或1???xy．

【自主評價】

【自主評價1】

1．已知

(2,1),(2,5)AB??

，則|AB|等于（）

A.4B.10C.6D.213

【自主評價2】

一、選擇題

1．已知點

(2,1),(,3)ABa??

且5?AB，則

a的值為（）.

A.1B.－5C.1或－5D.－1或5

2．點A在x軸上，點B在y軸上，線段AB

的中點M的坐標是

(3,4)

，則AB的長為

（）

A.10B.5C.8D.6

3．已知

(1,2),(0,4)AB?

，點C在x軸上，

且BCAC?，則點C的坐標為（）

A.

11

(,0)

2

?

B.

11

(0,)

2

?

C.

11

(0,)

2

D.

11

(,0)

2

4．過點)1,4(aA?和)1,5(?bB的直線與直

線3??xy垂直，則AB的值為（）

A.6B.2C.2D.不能確定

5.若都在直線

3yxk??上，點(,)Tac在直線

10xy???上，則=（）

A．2()ac?B．2C．

1

2

D．

3

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第6頁

二、填空題

6．已知

(7,8),(10,4),(2,4)ABC?

，則BC邊

上的中線AM的長為.

7.已知點P的縱坐標是1，點P與點

)5,1(?N間的距離等于54，則點P的坐

標為

8.已知正△ABC的兩個頂點A（2，0），B（4，

2），則頂點C的坐標為_______________.

三、解答題

9.(1)已知點

(1,2),(3,4),(5,0)ABC

，判斷

ABC?的形狀．

(2)已知點A(2,-3),若點P在直線

07???yx上,求線段AP的最小值.

【解析】

.

10.已知：ABC?中，AO是BC邊上的中線.

用解析法證明：

??ABACAOOC22222???

.

證明：

【自主評價3】

討論直線l:y=kx－1與二次函數C:y=

x2的圖象的位置關系,并在l與C相交時,

求交點間的距離(用k表示).

【評析】l與C相交時，|AB|也可以使用《拓

展性知識》并結合韋達定理求解：

2

12

22

1212

22

42

||1||

1()4

14

34

ABkxx

kxxxx

kk

kk

???

????人教版 ?

????

???

此解法更具一般性，需仔細體會之.