菱形判定定理

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菱形的判定

菱形的判定

(1)四條邊相等的四邊形是菱形；

(2)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；

(3)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；

(2)對角線互相垂直平分的四邊形是菱形。

01基礎題

知識點1有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形

1．如圖，若要使?ABCD成為菱形，則可添加的條件是()

A．AB＝CDB．AD＝BC

C．AB＝BCD．AC＝BD

第1題圖第2題圖

2．如圖，將△ABC沿BC方向平移得到△DCE，連接AD，下列條件中能夠判定四邊形ACED為菱形的是()

A．AB＝BCB．AC＝BCC．∠B＝60D．∠ACB＝60

3．如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，求證：四邊形AEDF是菱形．

知識點2對角線互相垂直的平行四邊形是菱形

4．如圖，四邊形ABCD的對角線互相垂直，且滿足AO＝CO，請你添加一個適當的條件(答案不唯一)，

使四邊形ABCD成為菱形．(只需添加一個即可)

5．(2017岳陽)求證：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．

小紅同學根據題意畫出了圖形，并寫出了已知和求證的一部分，請你補全已知和求證，并寫出證明過程．

已知：如圖，在?ABCD中，對角線AC，BD交于點O，AC⊥BD．

2

知識點3四條邊相等的四邊形是菱形

6．(2016大慶)下列說法正確的是()

A．對角線互相垂直的四邊形是菱形B．矩形的蝦的做法 對角線互相垂直

C．一組對邊平行的四邊形是平行四邊形D．四邊相等的四邊形是菱形

7．(2017寧夏)在△ABC中，M是AC邊上的一點，連接BM.將△ABC沿AC翻折，使點B落在點D處，當DM∥AB時，

求證：四邊形ABMD是菱形．

02中檔題

8．(2017聊城)如圖，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四邊形DBFE是菱形，還需要添加的條件是()

A．AB＝ACB．AD＝BDC．BE⊥ACD．BE平分∠ABC

9．如圖，小聰在作線段AB的垂直平分線時，他是這樣操作的：分別以點A和點B為圓心，大于

1

2

AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于點C，D，則直線CD即為所求．根據他的作圖方法可知四邊形ADBC一定是()

A．矩形B．菱形C．一般的四邊形D．平行四邊形

10．(2016蘭州)如圖，矩形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，CE∥BD，DE∥AC，AD＝23，DE＝2，

則四邊形OCED的面積為()

A．23B．4

C．43D．8

11．(2016沈陽)如圖，△ABC≌△AB神話故事有哪些 D，點E在邊AB上，CE∥觸動心靈的力量 BD，連接DE.求證：

3

12．(2016聊城)如圖，在岡拼音組詞 Rt△ABC中，∠B＝90，點4的英文 E是AC的中點，AC＝2AB，∠BAC的平分線AD交BC于點D，

作AF∥BC，連接DE并延長交AF于點F，連接FC.求證：四邊形ADCF是菱形．

03綜合題

13．如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，BD＝AC.

(1)求證：AD＝BC；

(2)若E，F，G，H分別是AB，CD，AC，BD的中點，求證：線段EF與線段GH互相垂直平分．

一．選擇題

1．下列命題正確的是（）

A．鄰角相等的四邊形是decide名詞 菱形B．有一組鄰邊相等的四邊形是菱形

C．對角線互相垂直的四邊形是菱形D．對角線互相垂直平分的四邊形是菱形

2．下列命題中，正確的是（）

A．有一個角是60的平行四邊形是菱形B．有一組鄰邊相等的四邊形是菱形

C．有兩邊相等的平行四邊形是菱形D．四條邊相等的四邊形是菱形

1．已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結論中，不一定正確的是（）

A．AB=CDB．AC=BD

C．當AC⊥BD時，它是菱形D．當∠ABC=90時，它是矩形

2．下列命題不正確的是（）

A．對角線互相平分且一組鄰邊相等的四邊形是菱形;

B．兩組對邊分別平行且一組鄰邊相等的四邊形是菱形;

C．兩組對角分別相等且一組鄰邊相等的四邊形是菱形;

D．對角線互相垂直且相等的四邊形是菱形.

4

二．填空題

1．在平行四邊形ABCD中，若一條對角線平分一個內角，則四邊形ABCD為______形．

2．如圖所示，兩張等寬的紙條交叉重疊在一起，重疊部分的四邊給長輩的生日祝福 形ABCD是______形．

3．（方案設計題）小華為班級設計了一個班徽，圖中有一菱形，為了檢驗小華所畫的菱形是否準確，請你以

帶有刻度的三角尺為工具，幫小華設計一個檢驗的方案．

4．在四邊形ABCD中，已知AB∥CD，AD∥BC，請添加一個條件，使四邊形ABCD是菱形，所添加的條

件是_________．

三．解答題

1.如圖,已知平行四邊形ABCD的對角線AC的垂直平分線與邊AD、BC分別相交于E

.求證:四邊形AFCE是菱形.

5

2.如圖所示，O是矩形對角線交點，過O作EF⊥AC分別交AD，BC于E，?F，?若AB=2cm，BC=4cm，求四邊形

AECF的面積．

3.如圖所示，已知AD是△ABC的角平分線，DE∥AC交AB于點E，DF∥AB?交AC于點F，求證：AD⊥EF．

4.（2017安順）已知：如圖11所示，在ABC△中，ABACDEF?，，，

分別是ABBCAC，，邊上的中點．

（1）求證：四邊形ADEF是菱形

（2）若24AB?，求菱形ADEF的周長．

A

D

F

B

E

C

圖11

6

5.如圖所示，矩形ABCD的對角線AC的垂直平分線EF與AD，BC，AC?分別交于點E，F，O，連接AF，

EC，則四邊形AFCE是菱形嗎？為什么？

6．如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于點E，DF?∥AB?交AC于點F，試說明四邊形AEDF是菱形．

7．如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，AP∥BD，DP∥AC，AP、DP相交于點P，則四邊形AODP是什

么樣的特殊四邊形，并說明你的理由．

7

8.如圖所示，過ABCD的對角線的交點O作互相垂直的兩條直線EG，FH，?與平行四邊形各邊分別交于E，F，

G，H，求證：四邊形EFGH是菱形．

7..如圖,在Rt△ABC中，∠ACB=90，∠BAC=60，DE垂直平分BC，垂足為D，交AB于點E.又點F在DE

的延長線上，且AF=CE.求證：四邊形ACEF是菱形.

8.如圖,在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點，請添加一個條件，使四邊形EFGH

為菱形，并說明理由.

8

9．如圖所示，在矩形ABCD中，O是AC與BD的交點，過O點的直線EF與AB，?CD的延長線分別交于E，F．

（1）求證：△BOE≌△DOF；

（2）當EF與AC滿足什么條件時，四邊形AECF是菱形，并證明你的結論．

10.如圖,已知過平行四邊形ABCD的對角線交點O作互相垂直的兩條直線EG、FH與平行四邊形ABCD各邊

分別相交于點E、F、G、H.求證：四邊形EFGH是菱形.

11.（2017青島）將平行四邊形紙片ABCD按如圖方式折疊，使點C與A重合，點D落到D′處，折痕為EF．

（1）求證：△ABE≌△AD′F；

（2）連接CF，判斷四邊形AECF是什么特殊四邊形？證明你的結鼻尖長痣 論．

A

B

C

D

E

F

D′

9

12．在如圖中，若△ADE≌△CBF，點E、F分別為AB、CD的中點，BD是對角線AG//DB交CB的延長線

于G。

①求證：四邊形ABCD是平行四邊形；

②若四邊形BFDE是菱形，則四邊形AGBD是矩形；

③在②中應增加什么條件，才能判別矩形AGBD是正方形。

13．如圖，已知O是矩形ABCD對角線BD的中點，過點O作BD?的垂線交DC于F，交AB于E，說明四邊形DEBF

的形狀．

14.如圖所示，在△ABC中，AB=AC，P為BC的中點，PE⊥AB于E，PF⊥?AC于F，EM⊥AC于M，FN⊥AB

于N，EM與FN相交于點Q，那么四邊形PEQF是菱形嗎？說明你的理由．

10

15．如圖所示，在△ABC中，∠ACB=90，AD平分∠BAC交BC于D，CG⊥AB?于G，交AD于F，DE⊥AB

于E，那么四邊形CDEF是菱形嗎？說說你的理由．

16.（2015?郴州）如圖，AC是?ABCD的一條對角線，過AC中點O的直線分別交AD，BC于點E，F．

（1）求證：△AOE≌△COF；

（2）當EF與AC滿足什么條件時，四邊形AFCE是菱形？并說明理由．

17.已知邊長為10的菱形ABCD，對角線BD＝16，過線段BD上的一個動點P(不與B、D重合)分別向直

線AB、AD作垂線，垂足分別為E、F．

(1)如圖1，求證：△PBE∽△PDF；

(2)連接PC，當PE＋PF＋PC取最小值時，求PB的長；

(3)如圖2，對角線BD、AC交于點O，以PO為半徑(PO＞0)的⊙P與以DF為半徑的⊙D相切時，求

PB的長．

A

B

C

D

E

P

F

第21題圖1

O

A

B

C

D

E

P

F

第21題圖2

A

B

C

D

O

第21題備用圖2

A

B

C

D

O

第21題備用圖1

11

如圖，在四邊形ABCD中，點E，F分別是ADBC，的中點，GH，分別是BDAC，的中點，ABCD，

滿足什么條件時，四邊形EGFH是菱形？請證明你的結論．

ABC△是等邊三角形，點D是射線BC上的一個動點（點D不與點BC、重合），ADE△是以AD為邊

的等邊三角形，過點E作BC的平行線，分別交射線ABAC、于點FG、，連接BE．

（1）如圖（a）所示，當點D在線段BC上時．

①求證：AEBADC△≌△；

②探究四邊形BCGE是怎樣特殊的四邊形？并說明理由；

（2）如圖（b）所示，當點D在BC的延長線上時，直接寫出（1）中的兩個結論是否成立？

（3）在（2）的情況下，當點D運動到什么位置時，四邊形BCGE是菱形？并說明理由．

A

B

C

D

E

（第27題圖）

F

G

H

A

G

C

D

B

F

E

圖（a）

A

D

C

B

F

E

G

圖（b）

第25題圖