0的認識

人們對0的認識經歷了相當漫長的過程！

0這個數字現在我們看他和其他數字1,2,3,4,5,6,7,8,9好像沒有什么不同，它

一樣可以參與運算，也是組成數字系統不可缺少的一個元素。然而，你知道嗎？

在數學史上，人們對0的認識卻經歷了相當漫長的過程！

有很長一段時間，大約是幾百年，人們對0意義和作用的認識是有些模糊的。

其實這也很好理解，因為0的意義不像其他的數學那么直觀。設想在古時候，如

打獵達到一頭野豬，兩只兔子和三只山雞，這個數量都是可以一個一個數出來的，

人們就是借助實際的物體的數量來認識這些數字的。當時人們并沒有考慮用什么

東西代表“沒有”這種情況。到后來在數量增大到一定程度的四級報名費多少 時候，有了“進位”

問題的時候，人們才用一個圓形圈或方形的口的符號來代表空位，但他只是被當

做一個特殊的對象來看待，它并不能參與運算，所以在一個相當長的時間里，人

們都沒有給0一個合法的數字身份。

今天人們能過很容易的理解“有幾個”與“一個都沒有”只是在數量的多少上

有區別，還有再除法運算中0不能做分母，除此之外，它與棋他就個數字地位是

一樣的，一樣可以參與數學的運算。盡管古希臘畢達哥拉斯學派的數學家很早就

對“數”性質和關系有很多的研究，如奇數，偶數，完美數，親和數等，但是他

們沒有給予0太多的關注。希臘哲學家亞里士多德認為，“0”是非法的，它破壞

了一致性，把0當做一個普通的數會導致不可理解的結果。他當時可能是沒有辦

法來解決，0作為分母時，怎么解釋它的意義和定義它的結果。這樣對一個現代

人是微醫學術語 不足道的問題，然而在古代有好幾百年都一直無法取得突破。

恩格斯曾經說過；“0是任何一個確定的量的否定，素以不是沒有內容的。相

反地，0是具有非常確定的內容的。0不只是一個確定的數，而且他本身比其他

一切被它所限定的數都更重要，事實上，0比其他一切數都有更豐富的內容。”

在數學發展過程中，0在不同的情況下有多種含義。

1，表示空位的0，在位值制記數法中，0作為填補空位的符號。單獨一

個空位0不具有任何數量意義，必須依附于另一個非0數碼，才能表

達數量。早期巴比倫鍥行文書和宋元以前的中國籌算計數法，都留出

空位表示0，只是沒有符號。

2，表示“沒有“的0——數量0（或絕對0，“整數0”），0在任何計量單

位中表示“沒有”，“無”。

3，分析學家嚴重的極限0，就像惠施說的；“一尺之錘，日取其半，萬世

不竭。”的含義。華羅庚說：“當n大時，雖小，但并不是0，這就是

萬年不竭的道理。”實際上，分析學家運用求極限的方法得到的0是

一個無窮小量。

0作為計數法中的“空位“，在位值制記數方式的文明中不可缺少，只不過

各種文明采取不同的方計算機2級 式，大部分文明沒有引入數碼而用空位表示。公元前3

世紀，巴比倫人曾引進專門記號表示空位，宋元以前的中國籌碼計數等，印度人

和亞瑪人采用了符號，雅瑪20進制中的0有用像眼鏡或貝殼的符號表示。但他

們的表示方法并不完善。

0最初是用空格表示，然后用點表示，而用圓圈符號“0”表示“零”也是印

度人的一項偉大發明，他最早出現于9世紀，人們在一個叫“瓜繆爾”的地方的

一塊石碑上發現了他。

事實上，人們在對于0的意義和作用的認識花了更長的時間，因此遲到的0，

并非是0的概念和意義不存在，而是對他一直沒有完整和清晰的認識。

下面我們來看人們是經歷一個怎樣漫長的過程才認識0的。

公元前3000年，巴比倫人就已經懂得使用另來避免混淆。

公元前2500年左右，印度最古老的文獻《吠陀》已有“0”這個符號的應用親情作文素材 ，

它當時表示空的位置。

公元前七八世紀，印度人就普遍使用十進位制計數法，婆羅密文字中出現過九

個數碼，梵文中都出現過，一種流行的觀點是認為印度人以零表示“無”概念與

佛教的“空”（梵文）有關，但這種說法沒有明確的根據，只不過這種意義的確

是較早地出現于因地文明中。

據史料記載，托勒密在公元一百三十年左右時使用巴比倫人的六十進制系統

連同表示空白位置的符號0.這個期間托勒密在數字間及數字末端使用這個符號。

這時把零看作空位的思想基本上是確立了。在這個時候，人們看到的0就代表的

是空位。

事實上有證據顯示在公元二百年的印度就有位置數字系統的空白位置表示符

號的使用了，但是一些歷史家將他們是為偽造而不去注意到他們。

到公元前三世紀，印度出現了整套的數字，但在各地區的寫法并不完全一致，

其中最有代表性的是婆羅門式：這一組數字在當時是比較常用的。它的特點是從

“1”到“9”每個數都有專字，現代數字就是有這一數字演化而來。在這一數字

中，還沒有出現“0”的符號。

關于公元前二世紀至公元后三世紀的印度數學，可考證的資料非常少，但值得

慶幸的是1881年在今天的巴基斯坦西北地區發現了這一時期的書寫在樺樹皮上

的所謂“巴克沙利手稿”。特別值得注意的是該書使用了一些小零食簡筆畫 數學符號，出現了

十個完整的十進制數碼，用點表示0.

“0”這個數字是到了笈多王朝（公元320-550）時期才出現的。在公元四世紀

完成的數學著作《太陽手冊》中，已使用“0”的符號，當時只是實心小圓點。

這樣一套從“0”到“9”的數字就趨于完善了。這是古代印度人民對世界文化的

巨大貢獻。

公元550年印度天文學家瓦拉哈密西拉論述了加減運算。

公元628年婆羅摩笈多在《宇宙開端》中寫道：“負數減去零是負數，正數減

去零是正數，零減去零什么也不是。”但是一樣沒有把零當作與其他數字一樣看

待。

可以確定的是在公元650年左右，印度的數學家就把零當做一個數字了。

公元773年，印度一位天文學家在訪問現伊拉克首都巴格達期間，將印度的這

種計數法介紹給了阿拉伯人，這樣就將印度的數字傳入了阿拉伯，后來又傳入歐

洲。歐洲人接受了他，由于是從阿拉伯傳入歐洲的，所以稱之為阿拉伯數字，成

為國際通用的數字系統。

用圓圈符號“0”表示“零”也是印度人的一項偉大發明，目前掌握的最早的

證據是公元876年，“0”出現在一個叫瓜繆爾的地方的一塊石碑上。

大約在11世紀，又是個完整數字的印度數字系統趨于成熟。印度人不僅把“0”

看做是數字法中的空位，而且也把它看成是可參與運算的數，大約是經過了幾百

年，跨出這一步是多麼的艱難。

印度人的概念延伸到了中國，在公元1247年中國數學家秦九韶所寫的數學專

論中就是用了盧卡雷利 0這個符號來代表零。

公元1202年裴波那在《算盤書》中，正式介紹，“這是印度的九個數碼，

987654321，加上阿拉伯稱之為“零”的符號“0”，任何數都能夠表示出來。”

斐波那契是最早將數字系統的新觀念帶進歐洲的重要人物，但是斐波那契并不

能勇敢地把零看成是其他九個數字一樣的數，證據是他只把“零”讀作“符號”

零，卻不是叫做數字”零“。因此盡管將印度數字介紹給歐洲人是斐波那契為數

學發展作出的最重要的貢獻，但是他對零的認識還沒有達到印度數學家和阿拉伯

數學家們那樣清晰的程度，特別是對零是數字這個事實，他還是有些猶豫的。

如果你細心觀察的話，就會發現羅馬數字中沒有”零“。其實在公元5世紀時，

“0”已經傳入游泳安全 羅馬。但是羅馬教皇兇殘而且保守，他不允許任何使用“0”。有

一位羅馬學者在筆記中記載了關于使用“0”的一些好處和說明，就被教皇招去，

實行了酷刑，使他再也不能握筆寫字。

事實上，用“零”代表“沒有”和“零”的概念一直存在著，同時用“零”表

示空位的方法也是長期一直都在使用，但是把“沒有”，“空，占位”和無窮小量

等多個意義集成在一起，賦予零一個比較完整的意義，這是一直到公元1600年

前后才實現的，人們到那時才對零有比較清晰的認識，我們看到認識零的時間大

約經歷了數千年時間。

大家都知道數學具有抽象性的特點，而從人們認識零的過程，你會發現其實完

成零這個概念的抽象，其實經過多磨漫長的過程，并不像想象中那么簡單。我們

現在無法想象沒有零的時候，對許多的數學研究有多么不方便。卡丹在沒有使用

到零的情況下，解決了三次機四次的方程式。如果他那個時候就有零的情況下，

他會比較容易的發現和解決這些問題。

回過頭來看，我們可以說，首先把“零“看成是一個數字，而不是一個特殊符

號，是他能夠參與運算，就是一個非常重大的進步；其次，”零”與負數以及無

窮小量的思想引入，在數學史上都是非常重大的思想突破。

法國著名數學家拉普拉斯曾經寫道：“用十個記號來表示一切的數，每個記號

不但有絕對的值，而且有位置的值，這種巧妙的方法出自印度。”

專門研究數論的數學家大師哈代有一次到印度去領一個獎，他被邀請在會上發

表演說，她等上臺第一句話說：“印度對人類的貢獻是“零”。”這時全場鴉雀無

聲，人們在愣了三秒種后才反應過來，然后全場哄堂大笑。數學大師用最簡潔的

一句話將“印度人對數學所做的巨大貢獻”高度概括出來，真是讓人佩服和傾倒。

陳之籓先生盛贊哈代說：“這是幾百年才可能培養出來的花朵。”

“零”這個數字真的是印度人對數學的一個大貢獻。沒有“零”，不僅是數字

系統的不完整，還有許多數學概念的發展就會遇到很大110指揮中心 困難，知識系統的形成就

會有很大的不同。“零”這個概念實在是太重要了，因此人們對“零”有比較清

楚的認識被看作是在數學發展史上取得的重要進展。在我國古代“零”叫做金元

數字，意即為極為珍貴數字。

關于零的歷史有兩本書《從零開始》和《零的故事》是專門講述這個專題的，

從巴比倫開始，經過希臘、印度、阿拉伯、中世紀、科學時代，一直到二十世紀，

里面有許許多多關于零的有趣的故事。