漸近線公式

第1頁

雙曲線漸近線方程

百科名片

雙曲線漸近線方程

雙曲線漸近線方程，是一種幾何圖形的算法，這種主要解決實際

中建筑物在建筑的時候的一些數據的處理。雙曲線的主要特點：

無限接近，但不可以相交。分為鉛直漸近線、水平漸近線和斜漸

近線。是一種根據實際的生活需求研究出的一種算法。

漸近線特點：無限接近，但不可以相交。分為鉛直漸近

線、水平漸近線和斜漸近線。

當曲線上一點M沿曲線無限遠離原點時，如果M到一條

直線的距離無限趨近于零，那么這條直線稱為這條曲線的漸

近線。

需要注意的是：并不是所有的曲線都有漸近線，漸近線

反映了某些曲線在無線延伸時的變化情況。

根據漸近線的位置，可將漸近線分為三類：水平漸近線、

垂直漸近線、斜漸近線。

y=k/x(k≠0)是反比例函數，其圖象關于原點對稱，x=0，

y=0為其漸近線方程

當焦點在x軸上時雙曲線漸近線的方程是

y=[+(-)b/a]x

第2頁

當焦點在y軸上時雙曲線漸近線的方程是

y=[+(-)a/b]x

雙曲線的簡單幾何性質

1.雙曲線x^2/a^2-y^2/b^2＝1的簡單幾何性質

(1)范圍：｜x｜≥a,y∈R.

(2)對稱性：雙曲線的對稱性及橢圓完全相同，關于x軸、

y軸及原點中心對稱.

(3)頂點：兩個頂點A1(-a,0),A2(a,0)，兩頂點間的線段

為實軸，長為2a，虛軸長為2b，且c2＝a2+b2.及橢圓不同.

(4)漸近線：雙曲線特有的性質，方程y＝b/ax，或令

雙曲線標準方程x^2/a^2-y^2/b^2＝1中的1為零即得漸近

線方程.

(5)離心率e≥1，隨著e的增大，雙曲線張口逐漸變得開

闊.

(6)等軸雙曲線(等邊雙曲線)：x2-y2＝a2(a≠0),它的漸

近線方程為y＝b/ax,離心率e＝c/a=√2(7)共軛雙曲線：

方程-＝1及-＝-1表示的雙曲線共軛，有共同的漸近線

和相等的焦距，但需注重方程的表達形式.

注重：

1.及雙曲線-＝1共漸近線的雙曲線系方程可表示為-

＝(≠0且為待定常數)

第3頁

2.及橢圓＝1(a＞b＞0)共焦點的曲線系方程可表示為

-＝1(＜a2,其中b2-＞0時為橢圓，b2＜＜a2時為

雙曲線)

2.雙曲線的第二定義

平面內到定點F(c,0)的距離和到定直線l:x＝+(-)a2/c

的距離之比等于常數e＝c/a(c＞a＞0)的點的軌跡是雙曲

線，定點是雙曲線的焦點，定直線是雙曲線的準線，焦準距(焦

參數)p＝，及橢圓相同.

3.焦半徑(-＝1,F1(-c,0)、F2(c,0))，點p(x0,y0)在

雙曲線-＝1名英語怎么說 的右支上時，｜pF1｜＝ex0a王維世稱什么 ,｜pF2｜＝

ex0-a;

P在左支上時，則｜PF1｜=ex1+a｜PF2｜＝ex1-a.

本節學習要求：

學習雙曲線的幾何性質，可以用類比思想，即象討論橢

圓的幾何性質一樣去研究雙曲線的標準方程，從而得出雙曲

線的幾何性質，將雙曲線的兩種標準方程、圖形、幾何性質

列表對比，便于把握.

雙曲線的幾何性質及代數中的方程、平面幾何的知識聯

系密切；直線及雙曲線的交點問題、弦長間問題都離不開一

元二次方程的判別式，韋達定理等；漸近線的夾角問題及直

線的夾角公式.三角函數中的相關知識，是高考的主要內容.

第4頁

通過本節內容的學習，培養同學們良好的個性品質和科學

態度，培養同學們的良好的學習習慣和創新精神，進行辯證

唯物主義世界觀教育.

雙曲線的漸近線教案

教學目的

(1)正確理解雙曲線的漸近線的定義，能利用雙

曲線的漸近線來畫雙曲線的圖形．

(2)掌握由雙曲線求其漸近線和由漸近線語文書三年級下冊 求雙曲

線的方法，并能作初步的應用，從而提高分析問題和

解決問題的能力．

教學過程

一、揭示課題

師：給出雙曲西班牙足球隊 線的方程，我們能把雙曲線畫出來

嗎？

生(眾)：能畫出來．

師：能畫得比較精確點嗎？

(學生默然．)

第5頁

其附近的點，比較精確地畫出來．但雙曲線向何處伸

展就不很清楚了．在畫其他曲線時，也有同樣的問

題．如曲線

我們可以比較精確地畫出整個曲線．因為我們知

道，當曲線伸向遠處時，它逐漸地越

的趨向，我們是清楚的，它逐漸地在x軸負方向上越

來越接近x軸，即x軸為y＝2x的一條漸近線，但它

的另一端則不然，它伸向何處是不夠清楚的．所以雙

曲線和其他曲線一樣，當它向遠處伸展時，它的趨向

如何，是需要研究的問題．今天這堂課，我們就來討

論一下“雙曲線向何處去”這樣一個問題．

(板書課題：雙曲線的漸近線．)

二、講述定義

師：前一課我們討論了雙曲線的范圍、對稱性和

頂點，我們回憶一下，雙曲線的范圍x≤－a，x≥a

是怎樣得出來的？

直線x＝－a和x＝a的外側．我們能不能把雙曲

線的范圍再縮小一點？我們先看看雙曲線在第一象

限的情況．

第6頁

設M(x，y)是雙曲線上在第一象限內的點，則

考察一下y變化的范圍：

因為x2－a2＜x2，所以

這個不等式意味著什么？

(稍停，學生思考．)

平面區域．

之間(含x軸部分)暑假實踐報告 ．這樣，我們就進一步縮小了雙曲

線所在區域的范圍．

為此，我們考慮下列問題：

經過A2、A1作y軸的平行線x＝a，經過B2、B1

作x軸的平行線y＝b，

以看出，雙曲線

的各支向外延伸時，及這兩條直線逐漸接近．

下面，我們來證明這個事實．

雙曲線在第一象限內的方程可寫成

設M(x，y)是它上面的點，N(x，Y)是直線

第7頁

上及M有相同橫坐標的點，則

設|MQ|是點M到直線

的距離，則|MQ|＜|MN|．當x逐漸增大時，|MN|

逐漸減小，x無限增大，|MN|接近于零，|MQ|也接近

于零，就是說，雙曲線在第一象限的部分從射線ON

的下方逐漸接近于射線ON．

在其他象限內也可以證明類似的情況．我們把兩

條直線

叫做雙曲線的漸近線．

現在來看看實軸在y軸上的雙曲線的漸近線方程

是怎樣的？由于實軸在y軸上的雙曲線方程是由實軸

在x軸上的雙曲線方程，將x、y字母對調所得到，

自然，前者

這樣，我們就完滿地解決了畫雙曲線遠處趨向的

問題，從而可比較精確地畫出雙

手畫出比較精確的雙曲線．

[提出問題，解決問題，善始善終．]

三、初步練習

第8頁

(根據由雙曲線求出它的漸近線方程及由漸近線

求出相應的雙曲線方程這兩要求，出四個小題讓學生

練習．)

1．求下列雙曲線的漸近線方程(寫成直線方程的

一般式)，并畫出雙曲線：

(1)4x2－y2＝4；(2)4x2－y2＝－4．

2．已知雙曲線的漸近線方程為x2y＝0，且雙

曲線過點：

求雙曲線方程并畫出雙曲線．

(練習畢，由學生回答，教師總結．)

解題的主要步驟：

第1題：(1)把雙曲線方程化為標準方程；(2)求

得a、b；(3)根據定義寫出漸近線方程．

第2題：(1)判斷何種雙曲線，設出相應的標準

方程；(2)寫出漸近線方程，從而得到關于a、b的一

個關系式；(3)將點M代入標準方程，得到關于a、b

的另一個關系式；(4)解a、b的方程組，求得a、b，

寫出雙曲線方程．

第9頁

師：這是兩個關于雙曲線漸近線的最基本的練

習．一個是由雙曲線求漸近線，比較簡單；一個是由

漸近線求雙曲線，卻比較復雜．這是因為，一個是正

向思考和運算，另一個是逆向思考和運算，有一定的

難度．同時，因為一條雙曲線有兩條確定的漸近線，

而兩條漸近線對應有許多雙曲線，因此，求雙曲線方

程還必須具有另一個條件，兩個條件的綜合顯然比較

困難．我們要特別注意對逆向問題的分析，提高解決

逆向問題的能力．

[問題雖然簡單，但確是基礎，不僅掌握基本知

識，同時有利于正、逆兩方面思考問題的訓練．]

四、建立法則

師：仔細分析一下上述練習的結果：

雙曲線方程：4x2－y2＝4；漸近線方程：2xy＝

0．

雙曲線方程：4x2－y2＝－4；漸近線方程：2xy

＝0．

雙曲線方程：x2－4y2＝4；漸近線方程：x2y＝

0．

第10頁

雙曲線方程：x2－4y2＝－4；漸近線方程：x2y

＝0．

可以發現，雙曲線及其漸近線的方程之間似乎存

在某種規律．

(啟發學生討論、歸納．)

生甲：每項開平方，中間用正負號連結起來，常

數項改為零，就得到漸近線方程．

生乙：以各項系數絕對值的算術平方根為x、y

的系數，且用正負號連結起來等于零，就是漸近線方

程．

生丙：如果兩個雙曲線方程的二次項相同，那么

漸近線方程就相同，及常數項無關．

生丁：反過來，漸近線的方程相同，雙曲線方程

的二次項就相同，常數可以不同．

生戊：應該說二次項系數成比例．

師：大家揭示了其中的規律．但是，大家的回答，

還不夠嚴格，也不夠簡潔，是否可以歸納出一種方法，

把雙曲線方程處理一下，就得到漸近線方程？

第11頁

把雙曲線方程中常數項改成零，會怎樣呢？

點適合這個方程，適合這個方程的點在漸近線上．

就是兩漸近線的方程．實際上，兩條漸近線微信勵志網名 也可

看作二次曲線，是特殊的雙曲線．同樣，

b2x2－a2y2＝0，

即bxay＝0；

b2y2－a2x2＝0，

即byax＝0．

所以把雙曲線方程的常數項改為零，就得到其漸

近線方程．這具有一般性嗎？也就是說對任意雙曲線

A2x2－B2y2＝C(C≠0)

它的漸近線方程是不是A2x2－B2y2＝0？回答是肯

定的．

分情況證明一下：

C＞0，A2x2－B2y2＝C，

故漸近線方程為

第12頁

也可以化成AxBy＝0，

即A2x2－B2y2＝0．

其他情況，同學們可以自己去證明．反之，漸近

線方程為

AxBy＝0

的雙曲線方程是什么？可以證明是：A2x2－B2y2＝

C(C≠0)．C＞0，實軸在x軸上；C＜0，實軸在y軸

上．因此，我們得到下列法則：

(1)雙曲線A2x2－B2y2＝C(C≠0)的漸近線方程是

A2x2－B2y2＝0；

(2)漸近線方程是AxBy＝0的雙曲線方程是

A2x2－B2y2＝C

(C≠0的待定常數)．

現在誰能把上面的練習第2題再解答一下？

生：因為漸近線方程是x2y＝0，所以雙曲線方

程為

x2－4y2＝C．

第13頁

∴雙曲線方程為x2－4y2＝4．

∴雙曲線方程為x2－4y2＝－4．

[建立解題法則，既使解題比較方便，又使學生

得到解題能力的培養．]

五、鞏固應用

師：前面我們講述了雙曲線漸近線的定義和法

則，下面大家使用定義或者法則再做兩個練習．

2．證明：雙曲線上任一點到兩漸近線的距離之

積是個常數．

(練習畢，由學生回答，教師總結解題步驟．)

師：解練習1的方法有兩種．一是直接運用定義．

由雙曲線求漸近線：

由漸近線求雙曲線：

二是直接運用法則．

練習2的解法如下：

六、布置作業

第14頁

課本練習；略．

教案說明

(1)本課教材內容不難接受，但教學中如何引出

漸近線以致不感到突然，我采取了進一步縮小雙曲線

所在范圍的方法，引出了漸近線．至于課題的引出，

也是順應怎么練習普通話 認識的需要，為了對雙曲線作深入的研

究．我認為這些做法都是比較自然的．

(2)本課的基礎內容，一是定義和法則，二是雙

曲線及其漸近線的互求的方法．

本教案既注意狠抓基礎，也注意綜合提高．

(3)本教案建立了一個法則，作為定義的補充，

也是為了解題的方便，建立法則的過程，也是學生提

高觀察能力、歸納總結能力的一種訓練．