數學建模論文

數學建模大賽論文范文

一、問題重述

在約10,000米高空的某邊長160公里的正方形區域內，經常有若干架飛機作水平飛

行。區域內每架飛機的位置和速度向量均由計算機記錄其數據，以便進行飛行管理。當一

架欲進入該區域的飛機到達區域邊緣時，記錄其數據后，要立即計算并判斷是否會與區域

內的其它飛機小學五年級數學應用題 發生相撞。如果發生相撞，則應計算如何調整各架（包括新進入的）飛機的

飛行方向角，以避免碰撞。現假設條件如下：

(1)不相撞的標準為任意兩架飛機的距離大于8公里；(2)飛機飛行方向角調整的

幅度不應超過30度；(3)所有飛機的飛行速度均為每小時800公里；

(4)進入該區域的飛機在到達區域邊緣時，與區域內飛機的距離應在60公里以上；

(5)最多需考慮6架飛機；

(6)不必考慮飛機離開此區域后的情況。

請你對這個避免碰撞的飛行管理問題建立數學模型，列出計算步驟，對以下數據進行

計算（方向角誤差不超過0.0打醋買布 1度），要求飛機飛行方向角調整的幅度盡量小。

設該區域4個頂點的坐標為（0，0），（160，0），（160，160），（0，160）。記

錄數據為：

注：方向角指飛行方向與x軸正向的夾角。

二、問題分析

此問題很容易想到以飛機調整的飛行租房協議怎么寫 角度平方和作為目標函數，而以每兩架飛機之間

的最小距離不超過8km，各飛機飛行角度調整的值不超過30為約束條件。如此得出的是

一個非線性模型，在計算上可能會復雜些，但一目了然。

三、符號說明

t表示表示時間；

；xi,yi分別表示第i架飛機的橫縱坐標（問題中已給出）；i表示第i架飛機

的飛行方向角（問題中已給出）

dij(t)表示t時刻第i架飛機與第j架飛機間的距離；

。v表示飛機的飛行高度（v800）

四、模型的建立

由題意可知，目標函數是

6

fi2

i1

約束條件為

Dijmindij264和i

t0

6

,i,j1,2,,6,ij

其中

dij(t)(xixjvt(cos(ii)cos(jj)))

2

2

(yiyjvt(sin(ii)sin(jj)))2

利用微積分的知識可求出Dij，由

2d(dij)

dt

這里

a

0t

b

a(xixj)(cos(ii)cos(jj))

(yiyj)(sin(ii)sin(jj))

bv[(cos(ii)cos(jj))2

(sini(i

2

))])sin(jj

將t代入即可求出Dij。于是本問題的一個數學模型為

minf

ts..

引入記號：

Diji

i1

6

2

i

64

6

i,j1,,6,ij

1,,6，g(g1,,g15)T，（g是由64Dij按

i,j1,2,,6,ij構

成的向量，在下面的程序中計算），則模型變為

T

minfT

tg0s..vlbvub

TT

其中vlb1,1,1,1,1,1，vub1,1,1,1,1,1。

66

五、模型的求解

調用Matlab命令fminco水的故事 n求解，先寫兩個M函數airfun.m和airfunco.m如下：

M函數airfun.m

functionf=airfun(delta)f=delta*delta';

M函數airfunco.m

function[c,ceq]=airfunco(delta)

x0=[150];y0=psy [140,85,155,50,150,0];alpha0=[243236220.5

15923052]*pi/180;v=800;co=cos(alpha0+d赴宴者 elta);si=sin(alpha0+delta);fori=2:6

forj=1:i-1

t(i,jensuing )=(x0(i)-x0(j))*(co(i)-co(j));t(i,j)=t(i,j)+(y0(i)-y0(j))*(si(i)-

si(j));t(i,j)=-t(i,j)/v;

t(i,j)=t(i,j)/((co(i)-co(j))^2+(si(i)-si(j))^2);ift(i,j)

d(i,j)=(x0(i)-x0(j)+v*t(i,j)*(co(i)-co(j)))^2;d(i,j)=d(i,j)+(y0(i)-

y0(數學日記三年級 懷孕可以吃秋葵嗎 j)+v*t(i,j)*(si(i)-si(j)))^2;endendend

c=64-[d(2,1),d(3,1:2),d(4,1:3),d(5,1:4),d(6,1:5)];ceq=[];

在Matlab命令窗口計算如下：>>deltaini=zeros(1,6);

>>vlb=-pi*ones(1,6)/6;vub=pi*ones(1,6)/6;>>

options=optimt('LargeScale','off');

>>

[dt,fval]=fmincon(@airfun,deltaini,[],[],[],[],vlb,vub,@airfunco,options);>>

d1=dt*180/pi,fval=d1*d1'd1=

0.00000.00002.0683-0.4896-0.00551.5611

fval=

6.9547

六、模型的檢驗及推廣（略）