三角形的定義

定義

由三條邊首尾相接組成的內角和為180（一定是180,這個是個準確的數!）的封閉圖

形叫做三角形

三角形的內角和

三角形的內角和為180度；三角形的一個外角等于另外圣誕老人圖片大全 兩個內角的和；

三角形的一個外角大于其他兩內角中的任一個角。

三角形分類

(1)按角度分

a.銳角三角形：三個角都小于90度。并不是有一個銳角的三角形，

而是三個角都為銳角，比如等邊三角形也是銳角三角形。

b.直角三角形（簡稱Rt三角形）：

⑴直角三角形兩個銳角互余；

⑵直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；

⑶在直角三角形中，如果有一個銳角等于30，那么它所對的直角邊

等于斜邊的一半.；

⑷在直角三角形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直

角邊所對的銳角等于30（和⑶相反）；

c.鈍角三角形：有一個角大于90度(銳角三角形，鈍角三角形統稱斜

三角形)。

d.證明全等時可用HL方法

（2）按角分

a.銳角三角形：三個角都小于90度。

b.直角三角形：有一個角等于90度。

c.鈍角三角形：有一個角大于90度。

（銳角三角形和鈍角三角形可統稱為斜三角形）

（3）按邊分

不等腰三角形；等腰三角形（含等邊三角形）。

解直角三角形（斜三角形特殊情況）：

勾股定理，只適用于直角三角形（外國叫“畢達哥拉斯定理”）

a^2+b^2=c^2高音怎么練 ,其中a和b分別為直角三角形兩直角邊，c為斜邊。

勾股弦數是指一組能使勾股定理關系成立的三個正整數。比如：3，4，

5。他們分別是3，4和5的倍數。

常見的勾股弦數有：3，4，5；6，8，10；5,12,13;10,24,26;等

等

三角形的性質

1.三角形的任何兩邊的和一定大于第三邊，由此亦可證明得三角形的

任意兩邊的差一定小于第三邊。

2.三角形內角和等于180度

3.等腰三角形的頂角平分線，底邊的中線，底邊的高重合，即三線合

一。

4.直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方--勾股定理。直

角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半。

5.三角形的外角（三角形內角的一邊與其另一邊的延長線所組成的角）

等于與其不相鄰的兩個內角之和。

6.一個三角形最少有2個銳角。

7.三角形的角平分線:三角形一個角的平分線與這個角的對邊相交，這

個角的頂點和交點之間的線段。

8.等腰三角形中，等腰三角形頂角的平分線平分底邊并垂直于底邊。

9.勾股定理逆定理：如果三角形的三邊長a,b,c有下面關系

（a^2+b^2=c^2。）

那么這個三角形就一定是直角三角形。

10.三角形的外角和是360。

11.等底等高的三角形面積相等。

12.底相等的三角形的面積之比等于其高之比，高如何注冊支付寶 相等的三角形的面積

之比等于其底之比。

**13.三角形三條中線的長度的平方和等于它的三邊的長度平方和的

3/4。

**14.在△ABC中恒滿足tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC。

15.三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內角。

16.全等三角形對應邊相等，對應角相等。

17.三角形的重心在三條中線的交點上。

**18在三角形中至少有一個角大于等于60度，也至少有一個角小于等

于60度。

（包括等邊三角形）三角形的邊角之間的關系

（1）三角形三內角和等于180（在球面上，三角形內角之和大于

180）；

（2）三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角之和；

（3）三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角；

（4）三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；

（5）在同一個三角形內，大邊對大角，大角對大邊.

（6）三角形中的四條特殊的線段：角平分線，中線，高，中位線.

（注①：等腰三角形中，頂角平分線，中線，高三線互相重疊

②：三角形的中位線是兩邊中點的連線，它平行于第三邊且等于第三

邊的一半)

**（7）三角形的角平分線的交點叫做三角形的內心，它是三角形內切

圓的圓心，它到各邊的距離相等.

**（8）三角形的外接圓圓心，即外心，是三角形三邊的垂直平分線的

交點，它到三個頂點的距離相等.

**（9）三角形的三條中線的交點叫三角形的重心，它到每個頂點的距

離等于它到對邊中點的距離的2倍。

（10）三角形的三條高的交點叫做三角形的垂心。

（11）三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的1/2。

（12）三角形的一邊與另一邊延長線的夾角叫做三角形的外角。特殊

三角形

1.相似三角形

（1）形狀相同但大小不同的兩個三角形叫做相似三角形

（2）相似三角形性質

相似三角形對應邊成比例，對應角相等

相似三角形對應邊的比叫做相似比

相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方

相似三角形對應線段（角平分線、中線、高）之比等于相似比

若a、b、b、c成比例，即a:b=b:c，則稱b是a和c的比例中項

（3）相似三角形的判定

【1】三邊對應成比例則這兩個三角形相似

【2】兩邊對應成比例及其夾角相等，則兩三角形相似

【3】兩角不足反義詞 對應相等則兩三角形相似

2.全等三角形

（四）、全等三角形

（1）能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形.

（2）全等三角形的性質。

全等三角形對應角（邊）相等。

全等三角形的對應線段（角平分線、中線、高）相等、周長相等、面

積相等。

（3）全等三角形的判定

①SAS②ASA③AAS④SSS⑤HL(RT三角形)】

尋找全等三角形的對應角、對應邊常用方法：

3.等腰三角形

等腰三角形的性質：

（1）兩底角相等；

(2)兩條腰相等；

（3）頂角的角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合；

等腰三角形的判定：

（1）等角對等邊；

（2）兩底角相等；

4.等邊三角形

等邊三角形的性質：

（1）頂角的角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合；

（2）等邊三角形的各角都相等，并且都等于60。

等邊三角形的判定：

（1）三個內角或三個對應位置的外角都相等的三角形是等邊三角形；

（2）有一個角等于60的等腰三角形是等邊三角形.

三角形的面積公式

(1)S△=1/2ah（a是三角形的底，h是底所對應的高）

(2)S△=1/2acsinB＝1/2bcsinApurpo ＝1/2absinC（三個角為∠A∠B∠C，

對邊分別為a,b,c，參見三角函數）

(3)S△=√［p(p-a)(p-b)(p-c)］［p=1/2(a+b+c)］（海倫—秦九韶

公式）

(4)S△=abc/(4R)(R是外接圓半徑)

(5)S△=1/2(a+b+c)r(r是內切圓半徑)

(6)...........|ab1|

S△=1/2|cd1|

............|ef1|

［|ab1|....|cd1|....|ef1|為三階行列式,此三角形

ABC在平面直角坐標系內A(a,b),B(c,d),C(e,f),這里ABC選區取最好按

逆時針順序從右上角開始取，因為這樣取得出的結果一般都為正值，如果

不按這個規則取，可能會得到負值，但只要取絕對值就可以了，不會影響

三角形面積的大小］

(7)S△=c^2sinAsinB/2sin(A+B)

(8)S正△=[（√3）/4]a^2(正三角形面積公式，a是三角形的邊長)

[海倫公式(3)特殊情況]

三角形重要定理

勾股定理（畢達哥拉斯定理）

內容：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于

斜邊長的平方。

幾何語言：若△ABC滿足∠ABC=90，則AB²+BC²=AC²

勾股定理的逆定理也成立，即兩條邊長的平方之和等于第三邊長的平

方，則這個三角形是直角三角形

幾何語言：若△ABC滿足，則∠ABC=90。

[3]

正弦定理

內容：在任何一個三角形中，每個角的正弦與對邊之比等于三角形面

積的兩倍與三邊邊長和的乘積之比

幾何語言：在△ABC中，sinA/a=sinB/b=sinC/c=2S三角形/abc

結合三角形面積公式，可以變形為a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R是外

接圓半徑）

余弦定理

內容：在任何一個三角形中，任意一邊的平方等于另外兩邊的平方和

減去這兩邊的2倍乘以它們夾角的余弦

幾何語言：在△ABC中，a²=b²+c²-2bccosA

此定理可以變形為：cosA=（b²+c²-a²）2bc

生活中的三角形物品

雨傘、帽子、彩旗、燈罩、風帆、小亭子、雪山、樓頂、切成三角形

的西瓜、火炬冰淇淋、熱帶魚的邊緣線、蝴蝶翅膀、火箭、竹筍、寶塔、

金字塔、三角內褲、機器上用的三角鐵、某些路標、長江三角洲、斜拉橋

等。

三角形全等的條件注意:只有三個角相等無法推出兩個三角形全等，

也不可以用“SSA”

（1）三邊對應相等的兩個三角形全等，簡寫為“SSS”。

（2）兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等，簡寫成“ASA”。

（3）兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等，簡寫成

“AAS”。

（4）兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等，簡寫成“SAS”。

（5）斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等，簡寫成

“HL”。

全等三角形的性質

全等三角形的對應角相等，對應邊也相等，并且全等三角形能重合。

三角形中的線段

中線：頂點與對邊中點的連線，平分三角形的面積.

高：從三角形的一個頂點（三角形任意兩條邊的交點）向其對邊所作

的垂線段（頂點至對邊垂足間的線段），叫做三角形的高。

角平分線:平分三角形的其中一個角的線段叫做三角形的角平分線,它

到兩邊距離相等。(注:一個角的平分線是射線,平分線的所在直線是這個角

的對稱軸)

中位線：任意兩邊中點的連線。

三角形相關定理

中位線定理

三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半．

三邊關系定理

三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．

勾股定理(又稱畢達哥拉斯定理）

在Rt三角形ABC中，A=90度，則

AB^2+AC^2=BC^2

****梅涅勞斯定理

梅涅勞斯（Menelaus）定理是由古希臘數學家梅涅勞斯首先證明的。

它指出：如果一條直線與△ABC的三邊AB、BC、CA或其延長線交于F、D、

E點，那么(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1。

證明：

過點A作AG∥BC交DF的延長線于G,

則AF/FB=AG/BD,BD/DC=BD/DC,CE/EA=DC/AG。

三式相乘得：AF/FBBD/DCCE/EA=AG/BDBD/DCDC/AG=1

它的逆定理也成立：若有三點F、D、E分別在的邊AB、BC、CA或其延

長線上，且滿足(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1，則F、D、E三點共線。利

用這個逆定理，可以判斷三點共線。

*****塞瓦定理

設O是△ABC內任意一點，

AO、BO、CO分別交對邊于D、E、F，則BD/DC*CE/EA*AF/FB=1

證法簡介

（Ⅰ）本題可利用梅涅勞斯定理證明：

∵△ADC被直線BOE所截，

∴CB青春個性簽名 /BD*DO/OA*AE/EC=1①

而由△ABD被直線COF所截，∴BC/CD*DO/OA*AF/BF=1②

②①:即得：BD/DC*CE/EA*AF/FB=1

（Ⅱ）也可以利用面積關系證明

∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△C

OD)=S△AOB/S△AOC③

同理CE/EA=S△BOC/S△AOB④AF/FB=S△AOC/S△BOC⑤

③④⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1

利用塞瓦定理證明三角形三條高線必交于一點:

設三邊AB、BC、AC的垂足分別為D、E、F，

根據塞瓦定理逆定理，因為(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）

/[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/

[(AE*ctgB)]=1，所以三條高CD、AE、BF交于一點。

*****莫利定理

將三角形的三個內角三等分，靠近某邊的兩條三分角線相交得到一個

交點，則這樣的三個交點可以構成一個正三角形。這個三角形常被稱作莫

利正三角形。

三角函數

三角函數（Trigonometric）是數學微信電腦版登錄 中屬于初等函數中的超越函數的一

類函數。它們的本質是任意角的集合與一個比值的集合的變量之間的映射。

通常的三角函數是在平面直角坐標系中定義的，其定義域為整個實數域。

另一種定義是在直角三角形中，但并不完全。現代數學把它們描述成無窮

數列的極限和微分方程的解，將其定義擴展到復數系。它由于三角函數影視賞析 的

周期性，它并不具有單值函數意義上的反函數、但具有特殊的反三角函數

(如：arcsin)，三角函數在復數中有較為重要的應用。在物理學中，三角

函數也是常用的工具。

三角函數種類

包含六種基本函數：正弦(sin)、余弦(cos)、正切(tan)、余切(cot)、

正割(c)、余割(csc)。