數的起源與發展

數的起源與發展

摘 要：

數，從我們懂事開始，就天天和我們打交道的對象，但是你知道數是

怎樣產生，又是如何發展成為今天這個模樣的嗎？數是人類文明的偉大創造，人

類在長期的實踐中，由于生活的需要產生了數。在人類幾千年的發展歷程中，人

類對數的認識一步步深入，到現在數已經涉及到社會的各個領域，本文旨在介紹

數的起源，數的發展的幾個階段，以及數的衍生。

關鍵詞：

數 起源 發展 遠古時期 羅馬時期 籌算 0的引進

阿拉伯數字

正 文：

（一）數的起源

數是一個神秘的領域，人類最初對數并沒有概念.但是，生活方面的需要，

讓人類腦海中逐漸有了“數量”的影子。

數究竟產生于何時，由于其年代久遠，我們已經無從考證。不過可以肯定的

一點是數的概念和計數的方法在文字記載之前就已經發展起來了。根據考古學家

提供的證據,人類早在5000多年前就已經采用了某種計數方法。

1。數的概念的產生

原始時代的人類，為了維持生活他們必須每天外出狩獵和采集果實.有時他

們滿載而歸，有時卻一無所獲；帶回的食物有時有富余,有時卻不足果腹。生活

中這種數與量上的變化，使人類逐漸產生了數的意識。在那個時候，他們開始了

解有與無，多與少的差別，進而知道了一和多的區別.然后又從多到二、三等單

個數目概念的形成,是一個不小的飛躍。隨著社會的進一步進步和發展，簡單的

計數就是必須的了，一個部落集體必須知道它有多少成員或有多少敵人，一個人

也必須知道他的羊群里的羊是不是少了.這樣，人類的祖先在與大自然的艱難搏

斗中，在漫長的生活實踐中，由于記事和分配生活用品等方面的需要，逐漸產生

了數的概念。

數的產生，標志著人類的思維逐步由事件的直觀思維走向形式或抽象思維.

但當代科學界多稱為數量的形式思維，標志著人們的思維由樸素的“低級”思維

向“高級"思維發展.無疑，由此就形成了認識的差別性。實際上，形式思維在于

籠統性，事件的直觀思維在于事件的具體性。顯然，“低級、高級"的區分，是將

“事件的具體性”深層次性貶低的錯誤認識.因為任何將物質或事件的深層次性

揭示清楚的分析，無疑具有本質性;而形式的籠統性，只能停留在表面的一般性。

所以，將形式的數量分析稱為“高級”性，是來自畢達哥拉斯學派的認識觀，爾

后流行的“量化可比性是科學的唯一標準”的由來.無疑，“數或數量”來自物質

或事件的計量，爾后擴展為計時、編序或丈量土地面積、計算財富等日常生產和

生活的需要。正如英國哲學家伯特蘭?羅素所說：“當人們發現一對雛雞和兩天之

間有某種共同的東西（數字2）時，數學就誕生了。”最早發明的數是自然數。

但也局限于分辨一、二等數量的增多.當人們用自己的十個手指記數不敷應用時，

便開始采用“石頭記數"、“結繩記數”和“刻痕記數"等記數方法.

2.計數方法

考古證據表明，雖然地區和民族之間存在差異,但在采用計數方法時,都不約

而同地使用過“一一對應"的方法.關于這個方法，在我國還有一則流傳已久的笑

話：從前，有個目不識丁的大財主,請了一位教書先生來教他兒子識字.第一天，

先生在紙上畫了一橫，說,這是“一".第二天，先生在紙上畫了兩橫，說:，這是

‘二’。第三天，先生在紙上畫了三橫，說,這是‘三'。財主的兒子學到這兒,便

把筆一扔，跑過去對他爹說:“識字真是太容易了，我已經全學會了"。財主自然

十分高興，便把先生辭退了。過了幾天，財主要請一位姓萬的親戚到家里做客，

就讓兒子寫一份請帖.誰知財主左等右等，從早上一直等到晌午,還不見請帖送來，

他只好親自上房去催。兒子看見父親來了,便埋怨地說“天下姓氏那么多,偏偏揀

個姓‘萬’的.從早上到現在，我才畫了五百多劃，離一萬還遠著呢……。”這雖

然是一則笑話，但這種畫杠的方法曾經被多個民族所采用。關于這個一一對應的

方法，可以舉出許多別的例證,如一些美洲的印第安人通過收集每個被獵殺者的

頭皮來計數他們殺敵的數目；一些非洲的原始獵人通過積累野豬的牙齒來計數他

們所捕野豬的數目；居住在乞力馬扎羅山山坡上的馬薩伊游牧部落的少女,習慣

在頸上佩戴銅環，其個數等于自己的年齡。幾乎所有的人都常常扳著指頭計數較

小的數目.1937年，人們在捷克斯洛伐克發現了一根大約三萬年前的狼橈骨，上

面刻有許多橫劃。在我國北京郊區周口店的山頂洞人遺址中,考古學家發掘出了

四根帶有磨刻痕跡的骨管，發現它們已有一萬多年的歷史了。結繩記數(或記事）

的方法，也曾經被許多民族所使用。比如,南美印加人的結繩辦法就是在一條較

粗的繩子上,拴住很多顏色各異的細繩，再在細繩上打不同的結，根據繩的顏色，

結的大小和位置，來代表不同事物的數目。在記數史上，繼結繩和刻畫之后,人

們開始用語言來表述一定的數目。最初，這些數目都是和一定的具體對象聯系的，

沒有一定的次序。南美的卡馬尤拉部落人把中指一詞作為數詞三，所以他們也把

三天說成中指天.在馬來亞語和阿茲特克語中數詞一、二、三在字面上指的是一

塊石頭、兩塊石頭、三塊石頭；在南太平洋紐埃島人的語言中，這三個數詞在字

面上的意思是一個果子、兩個果子、三個果子;而爪哇語中這三個詞的意思則是

一顆谷粒、兩顆谷粒、三顆谷粒。也許是因為人的手和腳都各有五個指（趾)頭

的緣故吧，人們常常把手或腳與數字五聯系起來。新幾內亞東南部的巴希亞部落

人，把99說成四個人死去了，兩只手廢棄了，一只腳壞掉了，你能試著解釋上

面的這段話嗎?

（二）數的發展歷程

數的發展總體可以分為遠古時期、羅馬時期、籌算、0的引進和阿拉伯數字

這五個階段。

1。第一階段----— 遠古時期：

遠古時期的人類在生活中遇到了許多無法解決的困難:如何表示一棵樹、兩

只羊等等。而在當時并沒有符號或數字表示具體的數量，所以他們主要以結繩記

事或在石頭上刻痕跡的方法計數.

原始人是小禽獸的狩獵者和果實和根莖的收集者.歷史學家們為了方便，把

人類從誕生時起到公元前3000年冶金的城市文明出現在中東、印度和中國為止

的這一時期稱之為石器時代.像所有的歷史時代一樣，石器時代不是靜止的。社

會和文明在時間的長河中變化，以適應變化著的世界。歷史學家們又將石器時

代細分為舊石器時代、中石器時代和新石器時代三個時期來刻畫這種變化.

舊石器時代（大約公元前5000000-10000年)時，智人從動物進化而來，并

且發展了石器時代的基本的社會經濟結構。在中石器時代（大約公元前

10000-7000年）石器時代的狩獵者（收集者）經濟典型化了。在新石器時代（大

約公元前7000—3000年），石器時代開始向銅器和鐵器時代轉變，那時人們開

始把狩獵者(收集者)的社會轉變為最古老形式的農業和畜牧業的社會.舊石器

時代是從人類存在以前的世界向狩獵者社會的過渡。新石器時代則是從狩獵者

社會向農業社會的過渡.

石器時代這個時期,科學和智力的進展很有限。這并不是因為像有些人說的

石器時代的人腦子笨.在公元前20000年,大草原的狩獵者們在發展包括工具制

造、語言、宗教、藝術、音樂和商業在內的文明上費了不少的功夫。數學和科

學的進步，無論如何都曾受到那時候的社會和經濟結構的制約。因為在石器時

代從事狩獵比從事農業的人多.他們不得不依據獸類的流動和自然成長的果實

和硬果的季節可利用性在季節變化時遷徙。他們只能把小的、易于運輸的工具、

衣服和其它個人的東西帶走。在狩獵者（收集者）的社會里，沒有放冶金用的

大設備和大量藏書的房子；因此,石器時代的人不發展金屬工具和書寫語言.沒

有城市，因為在大草原上,每一百平方英里只能為四十人左右提供可以充饑的食

物。在一個常很短暫的狩獵者的生命中，總是忙忙碌碌，沒有空暇去思考哲學

或科學的問題。確實，有些很基本的科學成就是石器時代取得的。石器的人彼

此交易，并且他們需要記載在狩獵中得到的那份；這兩種活動都需要計算和初

步的科學思考。有些石器時代的人，像北美印第安人就曾用繪畫文字歷法記錄

了幾十年的歷史。他們只有最原始的記數制，直到大規模的農業發展起來了,

才需要復雜得多的算術.

石器時代的人們生活是艱辛的，那時候的人太忙了，不可能停下來發展科

學.在公元前3000年以后，人口密集的農業公社出現在非洲的尼羅河,中東的底

格里斯河和幼發拉底河,以及中國的黃河的兩岸。這些公社發展文明,科學和數

學在這里才得以開始發展。

2.第二階段--——羅馬數字

大約在兩千五百年前，羅馬人還處在文化發展的初期，當時他們用手指作為

計算工具。為了表示一、二、三、四個物體，就分別伸出一、二、三、四個手指；

表示五個物體就伸出一只手;表示十個物體就伸出兩只手。這種習慣人類一直沿

用到今天。人們在交談中，往往就是運用這樣的手勢來表示數字的。當時，羅馬

人為了記錄這些數字,便在羊皮上畫出Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ來代替手指的數；要表示一只

手時,就寫成“Ⅴ"形,表示大指與食指張開的形狀;表示兩只手時，就畫成“ⅤⅤ”

形,后來又寫成一只手向上,一只手向下的“Ⅹ",這就是羅馬數字的雛形。

后來為了表示較大的數，羅馬人用符號C表示一百.C是拉丁字“century”

的頭一個字母,century就是一百的意思.用符號M表示一千.M是拉丁字“mille"

的頭一個字母，mille就是一千的意思。取字母C的一半，成為符號L，表示五

十。用字母D表示五百。若在數的上面畫一橫線，這個數就擴大一千倍.這樣,羅

馬數字就有下面七個基本符號：Ⅰ（1）、Ⅴ（5）、Ⅹ(10）、L（50)、C（100）、

D(500）、M（1000）。

羅馬數字與十進位數字的意義不同,它沒有表示零的數字,與進位制無關。羅

馬數字因書寫繁難，所以后人很少采用，但現在有的鐘表的表面仍然用它來表示

時刻數。此外，在書稿章節及科學分類時也有采用羅馬數字的.在中文出版物中，

羅馬數字主要用于某些代碼,如產品型號等。計算機 ASCⅡ碼收錄有合體的羅馬

數字1～12。

3.第三階段-—--籌算

籌算是中國古代使用算籌進行十進位制計算的程序.算籌和籌算屬于不同范

疇，前者是計算器具，后者是計算算術程序。

籌算具體出現時間和數的產生一樣已然不可考，但根據典籍記錄和考古發

現，至少在戰國初年籌算已經開始出現.它使用的是中國商代發明的十進位制計

數，可以很方便地進行四則運算以及乘方,開方等較復雜運算,并可以對零、負數

和分數作出表示與計算.從戰國時期一直到明朝被珠算取代之前，籌算不但是中

國古代進行日常計算的方法,更是中國古代數學家研究數學時常用的計算器具,是

中國古代各種重要數學發明的基礎，開創了中國古代以計算為中心的機械化數學

體系，與古希臘以邏輯推理為中心的數學體系有所不同；機械化的數學體系是一

千多年世界數學的主流。

籌算在公元6世紀由中國傳入朝鮮半島和日本。七世紀的印度數學，分數中

的分子在上，分母在下,與中國同分數的乘除法也和《九章算術》相同。古印度

的學絕大部分來源于中國.后來籌算的乘除法傳入印度，成為土盤算法。9世紀初

至10世紀，又經印度傳入阿拉伯，這時期的阿拉伯闡述印度數學的數學著作,

諸如《印度算術原理》,其土盤算式雖然用阿拉伯數字表示，但其十進位制概念，

分數的表示法，以及加、減、乘、除四則運算的計算方法，和中國的籌算雷同，

有的還用空格“0”表示“0”，和籌算一模一樣.有學者認為,中國古代的籌算，通

過絲綢之路傳入印度、阿拉伯,促成印度－阿拉伯數字體系。

算籌數系是世界上唯一只用一個符號的方向和位置的組合，表示任何十進位

數字或分數的系統.單位數字：將籌棍豎排一根棍表示1，兩根棍表示2,5根棍表

示5如圖上。但從6至9數字的表示，不是并排6至9根籌棍，而是采用同位五

進制，即用一根籌棍代表數碼5，橫放在籌數1至4的上方如圖.這已蘊含算盤雛

形。上排是籌算中1至9的豎碼，下排是相應數字的橫碼。大于9的數字，則用

十進制表示，在個位數的位置左邊，放置一個籌數，代表這個籌數的十倍，在十

位數值左的位置，代表百位數,如此類推。如圖所示數二百三十一（231）的表示

法,在個位放置一根籌碼，表示1，在十位放置籌數3，代表30,在百位放置籌數2，

代表200，總數即二百三十一（231）.《孫子算經》云：凡算之法：先識其位，

一從十橫，百立千僵,千十相望，萬百相當。

籌算板一般是桌面或地面，通常沒有格子。如果籌碼2,3，1并排排列，有

可能被誤讀為51或24；為了避免鄰位誤讀，先民發明了每隔一位交替使用豎碼

橫碼，即個位豎碼,十位用橫碼，百位用豎碼，千位用橫碼，如此類推，就可以

完全避免誤讀了。

4。第四個階段—-——0的引進

如果你細心觀察的話，會發現羅馬數字中沒有“0”。其實在公元5世紀時，

“0"已經傳入羅馬.大約1500年前，歐洲的數學家們是不知道用“0”這個數字

的。這時，羅馬有一位學者從印度計數法中發現了“0”這個符號。他發現，有

了“0”,進行數學運算非常方便。他非常高興,還把印度人使用“0”的方法向大

家做了介紹。這件事不久就被羅馬教皇知道了。當時，教會的勢力非常大，而且

遠遠超過皇帝。教皇非常憤怒，他斥責說,神圣的數是上帝創造的，在上帝創造

的數里沒有“0"這個怪物.如今誰要使用它，誰就是褻瀆上帝！于是,他下令，把

那位學者抓了起來，并對他施加了酷刑，使他再也不能握筆寫字。就這樣，“0”

被那個教皇命令禁止了。盡管羅馬皇帝禁止“0”的出現,但“0”的出現，誰也

阻擋不住。后來,“0”在歐洲被廣泛使用，而羅馬數字卻逐漸被淘汰了.

籌算數碼中開始沒有“零”，遇到“零”就空位。比如“6708”就可以表示

為“┴ ╥ ”。數字中沒有“零”，是很容易發生錯誤的.所以后來有人把銅錢擺

在空位上，以免弄錯，這或許與“零”的出現有關。不過多數人認為，“0”這一

數學符號的發明應歸功于公元6世紀的印度人.他們最早用黑點（·)表示零，后

來逐漸變成了“0”。

說起“0”的出現，應該指出，我國古代文字中，“零”字出現很早.不過那

時它不表示“空無所有”，而只表示“零碎”、“不多”的意思.如“零頭”、“零星”、

“零丁”。“一百零五”的意思是：在一百之外，還有一個零頭五。隨著阿拉數字

的引進。“105”恰恰讀作“一百零五”，“零"字與“0"恰好對應，“零”也就具有

了“0”的含義。

0是極為重要的數字，0的發現被稱為人類偉大的發現之一。0在我國古代

叫做金元數字，(意即極為珍貴的數字）。0這個數據說是由印度人在約公元5世

紀時發明,在1202年時，一個商人寫了一本算盤之書，在東方中由于數學是以運

算為主（西方當時以幾何并在開頭寫了“印度人的9個數字，加上阿拉伯人發明

的0符號便可以寫出所有數字……"由于一些原因,在初引入0這個符號到西方

時，曾經引起西方人的困惑， 因當時西方認為所有數都是正數，而且0這個數

字會使很多算式、邏輯不能成立（如除以0),甚至認為是魔鬼數字,而被禁用.直至

約公元15，16世紀0和負數才逐漸給西方人所認同,才使西方數學有快速發展。

關于0的出現還有另一個歷史：0的發現始于印度。公元左右，印度最古老

的文獻《吠陀》已有“0”這個符號的應用，當時的0在印度表示無（空)的位置。

約在6世紀初，印度開始使用命位記數法。7世紀初印度大數學家葛拉夫。瑪格

蒲達首先說明了0的0是0，任何數加上0或減去0得任何數.遺憾的是，他并沒

有提到以命位記數法來進行計算的實例.也有的學者認為,0的概念之所以在印度

產生并得以發展，是因為印度佛教中存在著“絕對無”這一哲學思想.公元733

年,印度一位天文學家在訪問現伊拉克首都巴格達期間，將印度的這種記數法介

紹給了阿拉伯人，因為這種方法簡便易行，不久就取代了在此之前的阿拉伯數字。

這套記數法后來又傳入西歐.

5、第五個階段————阿拉伯數字

阿拉伯數字就是現今國際通用的數字。阿拉伯數其實字應該稱為印度數字，

公元3世紀，印度的一位科學家巴格達發明了阿拉伯數字。最古的計數目大概至

多到3，為了要設想“4”這個數字，就必須把2和2加起來,5是2加2加1，3

這個數字是2加1得來的，大概較晚才出現了用手寫的五指表示5這個數字和用

雙手的十指表示10這個數字。這個原則實際也是數學計算的基礎。羅馬的計數

只有到Ⅴ(即5）的數字,Ⅹ（即10）以內的數字則由Ⅴ（5）和其它數字組合起來。

Ⅹ是兩個Ⅴ的組合,同一數字符號根據它與其他數字符號位置關系而具有不同的

量。這樣就開始有了數字位置的概念，在數學上這個重要的貢獻應歸于兩河流域

的古代居民，后來古鳊人在這個基礎上加以改進，并發明了表達數字的1,2，3，

4,5，6，7，8,9，0十個符號，這就成為今天記數的基礎。八世紀印度出現了有

零的符號的最老的刻版記錄,當時稱零為首那。

公元500年前后,隨著經濟、文化以及佛教的興起和發展，印度次大陸西

北部的旁遮普地區的數學一直處于領先地位。天文學家阿葉彼海特在簡化數字方

面有了新的突破：他把數字記在一個個格子里，如果第一格里有一個符號，比如

是一個代表1的圓點，那么第二格里的同樣圓點就表示十，而第三格里的圓點就

代表一百.這樣,不僅是數字符號本身，而且是它們所在的位置次序也同樣擁有了

重要意義。以后,印度的學者又引出了作為零的符號.可以這么說,這些符號和表示

方法是今天阿拉伯數字的老祖先了.

兩百年后,團結在伊斯蘭教下的阿拉伯人征服了周圍的民族,建立了東起印度,

西從非洲到西班牙的阿拉伯帝國。后來,這個伊斯蘭大帝國分裂成東、西兩個國

家.由于這兩個國家的各代君王都獎勵文化和藝術，所以兩國的首都都非常繁榮，

而其中特別繁華的是東都—-巴格達，西來的希臘文化，東來的印度文化都匯集

到這里來了.阿拉伯人將兩種文化理解消化,從而創造了獨特的阿拉伯文化。

大約700年前后，阿拉伯人征服了旁遮普地區,他們吃驚地發現：被征服地區

的數學比他們先進。于是設法吸收這些數字。771年,印度北部的數學家被抓到了

阿拉伯的巴格達，被迫給當地人傳授新的數學符號和體系，以及印度式的計算方

法(即現在用的計算法).由于印度數字和印度計數法既簡單又方便，其優點遠遠超

過了其他的計算法，阿拉伯的學者們很愿意學習這些先進知識，商人們也樂于采

用這種方法去做生意。 后來，阿拉伯人把這種數字傳入西班牙。公元10

世紀，又由教皇熱爾貝·奧里亞克傳到歐洲其他國家。公元1200年左右,歐洲的

學者正式采用了這些符號和體系。至13世紀，在意大利比薩的數學家費婆拿契

的倡導下，普通歐洲人也開始采用阿拉伯數字，15世紀時這種現象已相當普遍.

那時的阿拉伯數字的形狀與現代的阿拉伯數字尚不完全相同,只是比較接近而

已，為使它們變成今天的1、2、3、4、5、6、7、8、9、0的書寫方式，又有許

多數學家花費了不少心血。

阿拉伯數字起源于印度，但卻是經由阿拉伯人傳向四方的，這就是后來人們

誤解阿拉伯數字是阿拉伯人發明的原因。正因阿拉伯人的傳播，成為該種數字最

終被國際通用的關鍵節點,所以人們稱其為“阿拉伯數字"。阿拉伯數字由0，1，

2,3，4，5，6，7,8，9共10個計數符號組成.由于它們書寫方便,一直被沿用至今.

(三）數的衍生

發展到阿拉伯數字為止，我們發現這些數全都是自然數.但隨著生產、生活的

需要，人們發現，僅僅能表示自然數是遠遠不行的。如果分配獵獲物時,5個人分

4件東西，每個人人該得多少呢？于是分數就產生了。中國對分數的研究比歐洲

早1400多年,自然數、分數和零，通稱為算術數。自然數也稱為正整數。

隨著社會的發展，人們又發現很多數量具有相反的意義，比如增加和減少、

前進和后退、上升和下降、向東和向西。為了表示這樣的量，又產生了負數。正

整數、負整數和零，統稱為整數。如果再加上正分數和負分數,就統稱為有理數。

后來，又有學者發現了一些無法用有理數表示的數。有這樣一個故事：一個

叫希帕索斯的學生畫了一個邊長為1的正方形。設對角線為x，根據勾股定理

x^2=1^2+1^2=2,可見對角線是存在的，可它是多事呢？又該怎樣表示它呢? 希帕

索斯等人百思不得其解，最后認定這是一個從未見過的新數.寢室,這就是后來人

們發現的“無理數”，這些數無法用準確的數字表示出來，它們是無限不循環小

數,所以用根號“”來表示.無理數和有理數統稱為實數。除了實數以外,后來

人們又發現了虛數和復數，數這個大家庭在不斷地擴大。

參考文獻：

《人文數學導引》 蕭昌建 編著 西南交通大學出版社 2006年04

月第1版

《“格數”與數量公理:數量與數理定律的形式比》 吳勇著 2009

《享受數學 數學珍惜聞趣題選粹》 唐國慶 編著 2004

《人文數學引導》 蕭昌建 編著 2006

《中外數學拾零》 姬小龍 劉夫孔 編著 2004