華羅庚學校數學教材(五年級下)第10講 邏輯推理(一)

2023年12月3日發(作者：天涯石)

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本系列共15講第十講邏輯推理（一）.文檔貢獻者：與你的緣由于數學學科的特點，通過數學的學習來培養少年兒童的邏輯推理能力是一種極好的途徑。為了使同學們在思考問題時更嚴密更合理，會有根有據地想問題，而不是憑空猜想，這里我們專門討論一些有關邏輯推理的問題。解答這類問題，首先要從所給的條件中理清各部分之間的關系，然后進行分析推理，排除一些不可能的情況，逐步歸納，找到正確的答案。例1公路上按一路縱隊排列著五輛大客車，每輛車的后面都貼上了該車的目的地的標志。每個司機都知道這五輛車有兩輛開往A市，有三輛開往B市；并且他們都只能看見在自己前面的車的標志。調度員聽說這幾位司機都很聰明，沒有直接告訴他們的車是開往何處的，而讓他們根據已知的情況進行判斷。他先讓第三個司機猜猜自己的車是開往哪里的。這個司機看看前兩輛車的標志，想了想說“不知道”。第二輛車的司機看了看第一輛車的標志，又根據第三個司機的“不知道”，想了想，也說不知道。第一個司機也很聰明，他根據第二、三個司機的“不知道”，作出了正確的判斷，說出了自己的目的地。請同學們想一想，第一個司機的車是開往哪兒去的？他又是怎樣分析出來的？解：根據第三輛車司機的“不知道”，且已知條件只有兩輛車開往A市，說明第一、二輛車不可能都開往A市（否則，如果第一、二輛車都開往A市，那么第三輛車的司機立即可以斷定他的車一定開往B市）。再根據第二輛車司機的“不知道”，則第一輛車一定不是開往A市的（否則，如果第一輛車開往A市，則第二輛車即可推斷他一定開往B市）。運用以上分析推理，第一輛車的司機可以判斷，他一定開往B市。例2李明、王寧、張虎三個男同學都各有一個妹妹，六個人在一起打羽毛球，舉行混合雙打比賽。事先規定，兄妹二人不許搭伴。第一盤：李明和小華對張虎和小紅；第二盤：張虎和小林對李明和王寧的妹妹；請你判斷：小華、小紅和小林各是誰的妹妹？解：因為張虎和小紅、小林都搭伴比賽，根據已知條件，兄妹二人不許搭伴，所以張虎的妹妹不是小紅和小林，那么只能是小華。剩下就只有兩種可能了。第一種可能是：李明的妹妹是小紅，王寧的妹妹是小林；第二種可能是：李明的妹妹是小林，王寧的妹妹是小紅。對于第一種可能，第二盤比賽是張虎和小林對李明和王寧的妹妹，王寧的妹妹是小林，這樣就是張虎、李明和小林三人打混合雙打，不符合實際，所以第一可能是不成立的，只有第二種可能是合理的。所以判斷結果是：張虎的妹妹是小華；李明的妹妹是小林；王寧的妹妹是小紅。例3“迎春杯”數學競賽后，甲、乙、丙、丁四名同學猜測他們之中誰能獲獎。甲說：“如果我能獲獎，那么乙也能獲獎。”乙說：“如果我能獲獎，那么丙也能獲獎。”丙說：“如果丁沒獲獎，那么我也不能獲獎。”實際上，他們之中只有一個人沒有獲獎，并且甲、乙、丙說的話都是正確的。那么沒能獲獎的同學是______。解：首先根據丙說的話可以推知，丁必能獲獎，否則，假設丁沒獲獎，那么丙也沒獲獎，這與“他們之中只有一個人沒有獲獎”矛盾。其次考慮甲是否獲獎。假設甲能獲獎，那么根據甲說的話可以推知：乙也能獲獎；再根據乙說的話又可以推知丙也能獲獎，這樣就得出四個人全都能獲獎，不可能。因此，只有甲沒有獲獎。例4數學競賽后，小明、小華、小強各獲得一枚獎牌，其中一人得金牌，一人得銀牌，一人得銅牌。王老師猜測：“小明得金牌；小華不得金牌；小強不得銅牌。”結果王老師只猜對了一個。那么小明得______牌，小華得______牌，小強得______牌。分析邏輯問題通常直接采用正確的推理，逐一分析，討論所有可能出現的情況，舍棄不合理的情形，最后得到問題的解答。這里以小明所得獎牌進行分析。解：（1）若“小明得金牌”時，小華一定“不得金牌”，這與“王老師只猜對了一個”相矛盾，不合題意。（2）若“小明得銀牌”時，再以小華得獎情況分別討論。如果小華得金牌，小強得銅牌，那么王老師沒有猜對一個，不合題意；如果小華得銅牌，小強得金牌，那么王老師猜對了兩個，也不合題意。（3）若“小明得銅牌”時，仍以小華得獎情況分別討論。如果小華得金牌，小強得銀牌，那么王老師只猜對小強得獎牌的名次，符合題意；如果小華得銀牌，小強得金牌，那么王老師猜對了兩個，不合題意。綜上所述，小明、小華、小強分別獲銅牌、金牌、銀牌，符合題意。例5有三只盒子，甲盒裝了兩個1克的砝碼，乙盒裝了兩個2克的砝碼，丙盒裝了一個1克、一個2克的砝碼。每只盒子外面所貼的標明砝碼重量的標簽都是錯的。聰明的小明只從一只盒子里取出一個砝碼，放到天平上稱了一下，就把所有標簽都改正過來了。你知道這是為什么嗎？分析解決本題的關鍵是確定打開哪只盒子：若打開標有“兩個1克砝碼”的盒子，則該盒的真實內容是“兩個2克砝碼”或“一個1克砝碼，一個2克砝碼”，當取出的是2克砝碼時，就無法對其內容作出準確判斷。同樣，打開標有“兩個2克砝碼”的盒子時，也會出現類似的情況。所以，應打開標有“一個1克砝碼，一個2克砝碼”的盒子。而它的真實內容應該是“兩個1克砝碼”或“兩個2克砝碼”。（1）若取出的是1克砝碼，則該盒一定裝有兩個1克砝碼，從而標有“兩個2克砝碼”的盒子里，不可能是兩個2克或兩個1克的砝碼，而只能是一個1克，一個2克的砝碼了；標有“兩個1克砝碼”的盒子自然裝有兩個2克砝碼。（2）若取出的是2克砝碼，同理可知，此盒裝有兩個2克砝碼；標有“兩個1克砝碼”的盒子里實際上是一個1克和一個2克的砝碼；標有“兩個2克砝碼”的盒子里實際上是兩個1克砝碼。按以上的推理結果，小明就將全部標簽改正過來了。例6四人打橋牌，某人手中有13張牌，四種花色樣樣有；四種花色的張數互不相同。紅桃和方塊共5張；紅桃與黑桃共6張；有兩張將牌（主牌）。試問這付牌以什么花色的牌為主？解：（1）假設紅桃為主，那么紅桃有2張，方塊有3張，黑桃有4張。因為共13張牌，所以草花有4張。這樣，黑桃與草花張數相同，與已知條件“四種花色的張數互不相同”矛盾，即紅桃不是主牌。（2）假設方塊為主牌，那么方塊有2張，紅桃有3張，則黑桃也有3張，亦與已知矛盾。（3）假設草花為主牌，那么草花有2張，并且推得紅桃＋方塊＋黑桃共有11張牌。而已知“紅桃和方塊共5張，紅桃與黑桃共6張”，即得紅桃＋方塊＋紅桃＋黑桃共11張牌。由此得到紅桃的張數應為零，與已知條件“四種花色樣樣有”相矛盾，說明草花不是主牌。由以上推理得知，黑桃必為主牌，即黑桃有2張，紅桃有4張，方塊有1張，那么草花有6張。例7S、B、J、R四人分別獲數學、英語、語文和邏輯學四個學科的獎學金，但他們都不知自己獲得的是哪一門獎學金。他們相互猜測：S：“R得邏輯學獎”；B：“J得英語獎”；J：“S得不到數學獎”；R：“B得語文獎”。最后發現，數學和邏輯學的獲獎者所作的猜測是正確的，其他兩人都猜錯了。那么他們各得哪門學科的獎學金？分析假設S猜對，即R得邏輯學獎。由已知條件“邏輯學獲獎者所作的猜測是正確的”，則R猜對，那么B得語文獎，并且J、B均猜錯。而由B猜錯，可知J得數學獎，S只好得英語獎，這又說明J猜“S得不到數學獎”是正確的，與前面的推理（J猜錯）矛盾。所以S的猜測是錯誤的。解：S猜錯，即R得不到邏輯學獎，S不得數學獎且不得邏輯學獎。由此可知，J的猜測是正確的。則J得數學或邏輯學獎。于是推得，B猜錯，故R猜對，即B得語文獎，S得英語獎，所以R得數學獎，J得邏輯學獎。例8A、B、C三人進行小口徑步槍射擊比賽，每個人射擊6次，并且都得了71分，三人共18次的得分情況，從小到大排列為：1，1，1，2，2，3，3，5，5，10，10，10，20，20，20，25，25，50。已知A首先射擊兩次，共得22分；C第一次射擊只得3分。請根據條件判斷，是誰擊中了靶心（擊中靶心得50分）？解：我們先來判斷A六次射擊的情況。已知前兩次得22分，六次共得71分，從而71－22=49分可知，擊中靶心的決不會是A。另一方面，在上面18個數中，兩數之和等于22的只可能是20和2。再來推算一下四個數之和等于49的可能性。首先，在這四個數中，如果沒有25，是絕不可能組成49的。其次，由于49－25=24，則如果沒有20，任意三個數也不能組成24。而24－20=4，剩下的兩個數顯然只能是1和3了。所以A射擊六次的得分（不考慮得分順序）應該是：20，2，25，20，3，1（可在前面18個數中，劃去上述6個數）再來推斷擊中靶心的人六次得分的情況。從71－50=21可知，要在前面12個未被劃去的數中，取5個數，使其和是21，可以斷定，這5個數中，必須包括一個10，一個5，一個3，一個2，一個1。即六次得分情況為：50，10，5，3，2，1。在前面12個未被劃去的數中，劃去上面這六個數。剩下的六個數中沒有3，而C第一次得了3分，可知這六個數是B射擊的得分數。因此C是擊中靶心的人。例9在一俱樂部里，有老實人和騙子兩類成員，老實人永遠說真話，騙子永遠說假話。一次我們和俱樂部的四個成員談天，我們便問他們：“你們是什么人，是老實人？還是騙子？”這四人的回答如下：第一個人說：“我們四個人全都是騙子。”第二個人說：“我們當中只有一個人是騙子。”第三個人說：“我們四個人當中有兩個人是騙子。”第四個人說：“我是老實人。”請判斷一下，第四個人是老實人嗎？解：（1）四個人當中一定有老實人。因為如果四個人都是騙子，則誰也不會說“我們四個人全都是騙子”。所以第一個人為騙子。（2）第二個人為騙子。因為如果他是老實人，說實話，由于我們已經判斷了第一個人是騙子，則第二、第三、第四個人都是老實人。但第三個人的回答與他矛盾，兩人不可能是同類的，故第二個人說的是假話，他是騙子。下面再看第三個人的回答：如果第三個人是騙子，則由（1）可知，第四個人一定是老實人；若第三個人是老實人，那么由他的話知他和第四個人是老實人。因而無論第三個人是騙子還是老實人，都可以推出第四個人是老實人。所以，第四個人是老實人。例10某醫院內科病房，A、B、C、D、E、F、G七名護士每周輪流安排一個夜班。已經知：A的夜班比C的夜班晚一天，D的夜班比E的夜班的前一天晚三天，B的夜班比G的夜班早三天；F的夜班在B和C的夜班的正中間，而且是在星期四。問每個護士分別在星期幾值夜班？解：除F外，可將已知條件歸納如下：CA，E__D，B__這里的橫線表示空位。可見CA不能排在B____G中間，否則F就無法排在BC的正中間了。又F必排在三個空之一，因此還有兩個空位必定是E__D和B__G交叉填空，于是可排出：EBD__FG或BFEGD兩種情況。而CA只能加在任何一端，那么就有CAEBDFG，EBDFGCA，CABFEGD和BFEGDCA四種排位。其中只有排位EBDFGCA才能滿足已知條件“F__G。在BC的正中間”。所以七名護士值班排序是：E星期一值班，B是星期二值班，D星期三值班，F星期四值班，G星期五值班，C星期六值班，A星期日值班。習題十1，有一個珠寶店發生了一起盜竊案，被盜走了許多珍貴的珠寶。經過幾個月的偵破，查作案的人肯定是A、B、C、D中的一個，把這四個人當作重大嫌疑犯進行審訊，這四個人有這樣的口供：A：“珠寶店被盜那天，我在別的城市，所以我是不可能作案的。”B：“D是罪犯。”C：“B是盜竊犯，他曾在黑市上賣珠寶。”D：“B與我有仇，陷害我。”因為口供不一致，無法判斷誰是罪犯，經過進一步調查知道，這四個人只有一個說的是真話。你知道罪犯是誰嗎？2，甲、乙、丙、丁四位同學的運動衫上印有不同的號碼。趙說：“甲是2號，乙是3號。”錢說：“丙是4號，乙是2號。”孫說：“丁是2號，丙是3號。”李說：“丁是4號，甲是1號。”又知道趙、錢、孫、李每人都只說對了一半，那么丙的號碼是幾？3，對某班同學進行了調查，知道如下情況：（1）有哥哥的人沒有姐姐；（2）沒有哥哥的人有弟弟；（3）有弟弟的人有妹妹。試問：（1）有姐姐的人一定沒有哥哥，對嗎？（2）有弟弟的人一定沒有哥哥，對嗎？（3）沒有哥哥的人一定有妹妹，對嗎？4，某校辦數學競賽，A、B、C、D、E五位同學得了前五名。發獎前，老師讓他們猜一猜各人的名次排列情況。A說：“B第三名，C第五名。”B說：“E第四名，D第五名。”C說：“A第一名，E第四名。”D說：“C第一名，B第二名。”E說：“A第三名，B第四名。”老師說，每個名次都有人猜對。那么，這五名同學的名次是怎樣排列的？

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