小升初數學專項訓練典型例題分析數論篇(教師版)9頁

2023年12月9日發(作者：羅穎珊)

-

小升初數學專項訓練典型例題分析數論篇(教師版)9頁

名校真題測試卷數論篇一**;

時間：15分鐘 總分值5分 姓名_________ 測試成績_________

〔13年人大附中考題〕

有____個四位數滿足以下條件：它的各位數字都是奇數；它的各位數字互不相同；它的每個數字都能整除它本身.

〔13年101中學考題〕

如果在一個兩位數的兩個數字之間添寫一個零,那么所得的三位數是原

2

來的數的9倍,問這個兩位數是＿＿.

〔13年首師附中考題〕

51+202+

05

13131313＿＿

=

2212121

21

121

21212121

〔04年人大附中考題〕

甲、乙、丙代表互不相同的 3個正整數,并且滿足：甲×甲 =乙+乙=丙

×135．那么甲最小是____.

(02年人大附中考題)

以下數不是八進制數的是 ( )

A、125B、126C、127D、1281 / 191 小升初數學專項訓練典型例題分析數論篇(教師版)9頁

【附答案】

【解】：6

【解】：設原來數為ab,這樣后來的數為a0b,把數字展開我們可得：

100a+b=9×(10a+b),所以我們可以知道 5a=4b,所以a=4,b=5,所以原

3

來的兩位數為45.

12513【解】：周期性數字,每個數約分后為+++=1

21 21 21 21

【解】：題中要求丙與135的乘積為甲的平方數,而且是個偶數〔乙

+乙〕,這樣我們分解135=5×3×3×3,所以丙最小應該是2×2×5×3,所以甲最小是：2×3×3×5=90.

【解】：八進制數是由除以8的余數得來的,不可能出現8,所以答

案是D.

小升初專項訓練 數論篇〔一〕希望考入重點中學？

奧數網是我們成就夢

想的地方！2 / 192 小升初數學專項訓練典型例題分析數論篇(教師版)9頁

一、小升初考試熱點及命題方向

數論是歷年小升初的考試難點,各學校都把數論當壓軸題處理.由于行程題的類型較多,題型多樣,變化眾多,所以對學生來說處理起來很頭

疼.數論內容包括：整數的整除性,同余,奇數與偶數,質數與合數,約數與倍數,整數的分解與分拆等.作為一個理論性比擬強的專題,數論在各種杯賽中都會占不小的比重,而且數論還和數字謎,不定方程等內容有著密切的聯系,其重要性是不言而喻的.

二、2021年考點預測

2021年的小升初考試將繼續以填空和大題形式考查數論,命題的方向可能偏向小題考察單方面的知識點,大題那么需綜合運用數的整除,質數與合

數,約數倍數以及整數的分拆等方法,希望同學們全面掌握數論的幾大知識點,能否在考試中取得高分解出數論的壓軸大題是關鍵.

三、根本公式1〕b|c,a|c, 那么[a,b]|c, 特別地,假設(a,b)=1, 那么有ab|c.3 / 193 小升初數學專項訓練典型例題分析數論篇(教師版)9頁

[解]：假設3a75b能被72整除,

2〕c|ab,(b,c)=1, c|a.

3〕唯一分解定理：任何一個大于

a=＿＿,b=＿＿.〔迎春杯〕

1的自然數n都可以寫成數的乘 ,

即

n=p1×p2×...×pk〔#)

a1a2ak其中p1

自然數,并且種表示是唯

一的.

式稱n的因子分解式.

[解]：3的自然的210,求三個數＿＿.

4〕數個數定理：自然數

n的因子分解式如〔#〕

那么n的數個數d(n)=(a1+1)(a2+1)....(ak+1)

所有數和：〔1+P1+P1+?p1〕〔1+P2+P2+?p2〕?

2a1a21+Pk+Pk+?pk〕

2ak[解]：1996不同的因數有＿＿個

,它的和是＿＿.〔1996年

小學數學奧林匹克初〕

用[a,b]表示a和b的最小公倍數,(a,b)表示a和b的最大公數,那么有ab=[a,b]×(a,b).

[解]：兩個數的2646,最小公倍數126,兩個數的和4 / 194 小升初數學專項訓練典型例題分析數論篇(教師版)9頁

為＿＿.〔迎春杯刊賽第10題〕

6〕自然數是否能被3,4,25,8,125,5,7,9,11,13等數整除的判別方法.[講解練習]：3aa1能被9整除,問a=＿＿.〔美國長島數學競賽第三試

第3題〕

7〕平方數的總結：

小生初四個考點：1：平方差A2-B2=〔A+B〕〔A-B〕,其中我們還得注意A+B,A-B同奇偶性.

[講解練習]：82-72+62-52+42-32+22-12=＿＿.

2：約數：約數個數為奇數個的是完全平方數 .

約數個數為3的是質數的平方.

[講解練習]：1～100中約數個數為奇數個的所有數和為＿＿

.

3：質因數分解：把數字分解,使他滿足積是平方數.

[講解練習]：a與45的乘積一個完全平方數,問a最小是＿＿.

平方和.

8〕十進制自然數表示法,十進制和二進制,八進制,五進制等的相互轉化.

公式需牢記

做題有信心！

9〕周期性數字：abab=ab×101

[講解練習]：2005×20062006-2006×20052005=＿＿.5 / 195 小升初數學專項訓練典型例題分析數論篇(教師版)9頁

四、典型例題解析

數的整除

【例1】〔★★★〕將4個不同的數字排在一起,可以組成24個不同的四位數〔4×3×2×1=24〕.將這24個四位數按從小到大的順序排列的話,第二個是5的倍數；按從大到小排列的話,第二個是不能被4整除的偶數；按從小到大排列的第五個與第二十個的差在3000-4000之間.請求出這24個四位數中最大的一個.

【解】：不妨設這4個數字分別是a>b>c>d

那么從小到大的第5個就是dacb,它是5的倍數,因此b=0或5,注意到b>c>d,所以b=5;

從大到小排列的第2個是abdc,它是不能被4整除的偶數；所以c是偶數,c

b=5,c=4或2

從小到大的第二十個是adbc,第五個是dacb,它們的差在3000-4000之間,所以a=d+4；

因為a>b,所以a至少是6,那么d最小是2,所以c就只能是4.而如果d=2,那么abdc的末2位是24,它是4的倍數,和條件矛盾.因此d=3,從而

a=d+4=3+4=7.

這24個四位數中最大的一個顯然是abcd,我們求得了a=7,b=5,c=4,d=3

所以這24個四位數中最大的一個是 7543.6 / 196 小升初數學專項訓練典型例題分析數論篇(教師版)9頁

【例2】〔★★★〕一個5位數,它的各個位數字和為43,且能被11整除,

求所有滿足條件的5位數？

[思路]：現在我們有兩個入手的選擇,可以選擇數字和,也可以選擇被11整除,但我們發現被11整除性質的運用要具體的數字,而現在沒有,所以我們選擇先從數字和入手

【解】：5位數數字和最大的為9×5=45,這樣43的可能性只有9,9,9,9,7或9,9,9,8,8.這樣我們接著用11的整除特征,發現符合條件的有99979,97999,98989符合條件.

【例3】〔★★★〕由1,3,4,5,7,8這六個數字所組成的六位數中,能被11整除的最大的數是多少？

【解】：各位數字和為 1+3+4+5+7+8=28

所以偶數位和奇數位上數字和均為

14

為了使得該數最大,首位必須是8,第

2位7,14-8=6那么第3位一定是5,第5位為1 是

且它能被

該數最大為875413.

[拓展]：一個三位數,它由0,1,2,7,8

組成,

的總共有幾個？除,

9整問滿足條件

7 / 197 小升初數學專項訓練典型例題分析數論篇(教師版)9頁

【例4】〔★★〕一個學校參加興趣活動的學生不到

人數超過總數的4/7,女同學的人數超過總數的

人？

【來源】：12年理工附入學測試題

100人,其中男同學

2/5.問男女生各多少

【解】：男生超過總數的4/7就是說女生少個總數的3/7,這樣女生的范圍在2/5～3/7之間,同理可得男生在4/7～3/5之間,這樣把分數擴大,我們可得女生人數在28/70～30/70之間,所以只能是29人,這樣男生為

人.

質數與合數〔分解質因數〕

【例5】〔★★★〕2005×684×375×□最后4位都是0,請問□里最小是

幾?【解】：先分析1×2×3×4××10的積的末尾共有多少個0.由于分解出28 / 198 小升初數學專項訓練典型例題分析數論篇(教師版)9頁

的個數比5多,我可以得出就看所有數字中能分解出多少

個5個因數.而能分解出5的一定是5的倍數.注意：5的倍數能分解一個5,25的倍數分解出2個5,125的倍數能分解出3個

5??最化成數 ,如5的倍數有[10/5]=2個.

2005=5×401 684=2

×2×171

375=3

×5×5×5前三個數里有2個因子2,4個因子5,要使得

乘的最后4位都是0

有4個因子2和4個因子5,差2個因子.因此□里最小

是4.

[拓展]：2005×684×375×□最后4位都是0,且是7的倍數,□里最小是

_____

【例6】〔★★★〕03年101中學招生人數是一個平方數,04年由于信息布及,04年的招生人數比03年多了101人,也是一個平方數,04年的招生人數？

【解】：看兩個平方數,跟平方差相關,我大膽的03年的A2,04年的B2,從中我04年的比03年多101人,我可以列式子B2-A2=101

此后思路要很,因看平方差只有一種方法那就是按公式展開

所以

,

, B2=〔A+B〕〔A-B〕=101,可右的數也要分成

2-A

得考同奇偶性

,但

101是個數

,所以

101只能分成

2個數的

101×1,

A+B=101,A-B=1,所以A=50,B=51,所以04年的招生人數 51×51=2601.9 / 199 小升初數學專項訓練典型例題分析數論篇(教師版)9頁

[拓展]：一個數加上10,減去10都是平方數,個數多少？〔清附

中〕

數和倍數

【例7】〔★★★〕從一2002毫米,847毫米的方形片上,剪下一個盡可能大的正方形,如果剩下的局部不是正方形,那么在剩下的片上再剪下一個盡可能大的正方形.按照上面的程不斷的重復,最后剪得的正方形的是多少毫米？

【解】：是2002和847的最大公數,可用相除法求得

2002,847〕=77

所以最后剪得的正方形的是

77毫米.

相除例如：

2002÷847=2?308求2個數的最大公數,就用大數除以小數

847÷308=2?231 用上一個式子的除數除以余數一直除到除盡止

308÷231=1?77

用上一個式子的除數除以余數一直除到除盡止

231÷77=3

最后一個除盡的式子的除數就是兩個數的最大公

數【例8】〔★★★〕一根木棍 100米,從左往右每6米畫一根,10 / 1910 小升初數學專項訓練典型例題分析數論篇(教師版)9頁

從右往左每5米作一根,所有的中有多少根距離相差

4

米？

【解】：100能被5整除,所以每5米作從左往右是從右往左都是一的.我都以從左往右作,可化成5,6的最小公倍數中的情況,畫可得有2根距離4米,所以30,60,90里各有2條,但最后96和100也是距離4米,所以共2×3+1=7.

[拓展]：在一根木棍上,有三種刻度.第一種刻度將木棍分成十等份；第二種將木棍分成十二等份；第三種將木棍分成十五等份.如果沿每條刻度將木棍斷,那么木棍共被成多少段？

【例9】〔★★★〕1、2、3、4?20212021個數的最小公倍數等與多少個2與一個奇數的？

【解】：最小公倍數就是分解因數中共有的最多因數 ,我除

2以外都是奇數因數 ,可我只要找需要多少個

2,所以只要看 1～

2021中2ˇn最大,可2ˇ10=1024,所以10個2.

【例10】〔★★★★〕有15位同學,每位同學都有號,它是1號到15

號.1號同學寫了一個自然數,2號：“個數能被2整除〞,3號“個數能被3整除〞,??,依次下去,每位同學都,個數能被他的號數整除,1號作了一一,只有號相的兩位同學得不,其余同學都,

：〔1〕得不的兩位同學 ,他的號是哪兩個自然數？〔 2〕11 / 1911 小升初數學專項訓練典型例題分析數論篇(教師版)9頁

如果告你,1號寫的數是五位數,求出個數.〔寫出解程〕

【解】：1〕首先可以斷定號是2,3,4,5,6,7號的同學的一定都.不然,其中的不的號乘以2后所有號也將得不,就與“只有號相的兩位同學的不〞不符合.因此,個數能被2,3,4,5,6,7都整除.

其次利用整除性可知,個數也能被2×5,3×4,2×7都整除,即號10,12,14的同學的也.從而可以斷定的不的號只能是8和9.

2〕個數是

的公倍數

2,3,4,5,6,7,10,11,12,13,14,15

由于上述十二個數的最小公倍數是 60060

因60060是一個五位數,而十二個數的其他公倍數均不是五位數

1號同學寫的數就是 60060.

數的合型

【例11】★★★★〕某住宅區有〔12家住,他的牌號分是 1,2,?,12.

,所以

他的號依次是

12個的六位自然數,并且每家的號都

6,并且牌能被家的牌號整除,些號的首位數字都小于

12 / 1912 小升初數學專項訓練典型例題分析數論篇(教師版)9頁

號是9

的一家的號也能被

么數？

【解】：

13整除,：一家的號是什

第一號是

x+1,第二x+2,?.第12號x+12

根據條件得x+i是i的倍數(i=1,2,?,12)因此x是1,2,?.12的公倍數

[1,2,?..12]=27720

所以x=27720m

27720m+9是13的倍數,27720除以13余數4所以4m+9是13的倍數m=1,14,27?.

第一家號是 27720m+1

m取14適宜；

因此第一家號是 27720*14+1=388081

[拓展]：寫出的11個自然數,要求第1個是2的倍數,第二個是3的

倍數?第11個是12的倍數？

【例12】〔★★★★〕有15位同學,每位同學都有號,它是1號到15

號.1號同學寫了一個自然數,2號：“個數能被2整除〞,3號“個數能被3整除〞,??,依次下去,每位同學都,個數能被他的號數整除,1號作了一一,只有號相的兩位同學得不,其余同學都,

：〔1〕得不的兩位同學

,他的號是哪兩個自然數？〔 2〕

如果告你,1號寫的數是五位數,求出個數.〔寫出解程〕13 / 1913 小升初數學專項訓練典型例題分析數論篇(教師版)9頁

【解】：1〕首先可以斷定編號是2,3,4,5,6,7號的同學說的一定都對.不然,其中說的不對的編號乘以2后所有編號也將說得不對,這樣就與“只有編號相鄰的兩位同學說的不對〞不符合.因此,這個數能被2,3,4,5,6,7

都整除.

其次利用整除性質可知 ,這個數也能被2×5,3×4,2×7都整除,即編號為

10,12,14的同學說的也對.從而可以斷定說的不對的編號只能是

2〕這個數是2,3,4,5,6,7,10,11,12,13,14,15

的公倍數

由于上述十二個數的最小公倍數是60060

因為60060是一個五位數,而十二個數的其他公倍數均不是五位數 ,所以

1號同學寫的數就是 60060.

小結

本講主要接觸到以下幾種典型題型：

1〕數的整除. 參見例1,2,3,4

2〕質數與合數〔分解質因數〕 .參見例5,6

3〕約數和倍數.參見例7,8,9,10

4〕數論的綜合題型.參見例11,1214 / 1914

8和9.

小升初數學專項訓練典型例題分析數論篇(教師版)9頁

【課外知識】

翻開另一扇心窗

很久以前,在意大利的龐貝古城里,一個普通人家出生了一個叫莉蒂雅的女孩.莉蒂雅自小雙目失明,但她并不怨天怨地,也沒有垂頭喪氣,反而熱愛生活,對生活充滿信心和希望.稍稍長大后,她像常人一樣勞動,靠賣花自食其力.不久,維蘇威火山爆發,龐貝城面臨一次大的災難,整座城市被籠罩在濃煙塵埃之中.濃密的火山灰,遮掩了太陽、月亮和星星,大地一片漆黑.黑暗中,驚慌失措的居民跌跌撞撞地根本找不到出路,人們好似生活在人間的地獄中.莉蒂雅雖然看不見,但這些年來,她走街串巷在城里賣

花,對城市的各條道路了如指掌.她就靠自己的觸覺和聽覺找到了生路,不但救了自己的家人,還救了許多市民.

后來,莉蒂雅的事跡一直被后人所傳頌,并出現在很多的文學作品中.啟迪：莉蒂雅的不幸反而成了她的大幸,她的殘疾反而成了她的財富.不要總以為自己是最倒霉的.其實,上蒼很公平.有時候,命運向你關閉這一心窗的同時,又為你開啟了另一心窗,同樣可以享受人生的快樂

作業題15 / 1915 小升初數學專項訓練典型例題分析數論篇(教師版)9頁

〔注：作--例型照表,供參考〕

1,4—型1；2,6—型3；3,5,8—型2；7—型2

1．〔★★〕在1～100 100個自然數中,所有不能被9整除的數的和是

多少？

解：1+2+??+100=5050

9+18+27+

??+99=9×(1+2+??+11)=495

隨意1-100中所有不能被9整除的數的和是 5050-495=4555

2．〔★★〕某班學生不超 60人,在一次數學中,分數不低于90分的人數占1

7

,

得80～89分的人數占1

2

,

得70～79分得人數占1,那么得70

3

分以下的有________人.

解：有1、1、1,明人數一定 7的倍數、2的倍數、3的倍數,故

7 2 3

[7、2、3]＝42的倍數；

又由于人數不超 60人,故班的人數只能 42人.

＝1從而70分以下的有：42×1

1712人1.

3

3．〔★★〕自然數N是一個兩位數,它是一個數,而且N的個位數字與十位數字都是數,的自然數有_______個.

解：枚法：23,37,53,73,,有4個16 / 1916 小升初數學專項訓練典型例題分析數論篇(教師版)9頁

〔★★★〕三個自然數,其中每一個數都不能被另外兩個數整除,而其中任意兩個數的乘積卻能被第三個數整除,那么這樣的三個自然數的和的最小值是多少？

解：這三個自然數最小是6,10,15〔分別是2×3,2×5,3×5〕和的最小值為31.

5、〔★★★〕五個連續偶數之和是完全平方數,中間三個偶數之和是立方數〔即一個整數的三次方〕,這樣一組數中的最大數的最小值是多少？解：設中間一個數為2x

那么5個數的和為10x=m^2

中間3個數的和為6x=n^3

設x=2^p×3^q×5^r

再根據一個數是完全平方數等價于它的各個質因子的冪都是偶數 ,一個

數是立方數等價于他的各個質因子的冪都是 3的倍數可以求得

p=5,q=2,r=3

X=36000

因此所求為2x+4=72004

6、〔★★〕一個數減去 100是一個平方數,減去63也是一個平方數,問這

個是多少？17 / 1917 小升初數學專項訓練典型例題分析數論篇(教師版)9頁

22解：A-B=〔A+B〕〔A-B〕=37=37×1,考慮同奇偶性,可知A=19,B=18,

這樣這個數為461.

7、〔★★★〕從左向右編號為 1至1991號的1991名同學排成一行．從

左向右1至11報數,報數為11的同學原地不動,其余同學出列；然后留下的同學再從左向右1至11報數,報數為11的同學留下,其余的同學出列；留下的同學第三次從左向右1至1l報數,報到11的同學留下,其余

同學出列．那么最后留下的同學中 ,從左邊數第一個人的最初編號是

______．

4【來源】北京市第七屆“迎春杯〞決賽第二題第

題

【解】第一次報數后留下的同學,他們最初編號都是11的倍數；第二次報數后留下的同學,他們最初編23號都是11=121的倍數；第三次報數后留下的同學,他們最初編號都是11=1331的倍數．因此,第三次報數后留下的同學中,從左邊數第一個人的最初編號是1331．

8、〔★★★〕有1997個奇數,它們的和等于它們的乘積．其中只有三個數不是l,而是三個不同的質數．那么,這樣的三個質數可以

是 、 、 ．

【解】設a、b、c為三個不同的質數,根據題意

1994+a+b+C=a·b·c．

取a=3,b=5,得1994+3+5+c=15c,解出c=143不是質數；取a=3,b=7,得1994+3+7+c=21c,解出c=5015不是整數；18 / 1918 小升初數學專項訓練典型例題分析數論篇(教師版)9頁

取a=5,b=7,得1994+5+7+c=35C,解出c=59．

故5、7、59是滿足題意的三個質數．

19 / 1919

-