三角形中線定理（數學幾何學術語）

三角形中線定理（數學幾何學術語）

三角形中線定理 （數學幾何學術語） 次瀏覽 | 2022.07.09 18:43:15 更新 來源 ：互聯網 精選百科 本文由作者推薦 三角形中線定理數學幾何學術語

中線定理是一種數學原理，指的是三角形一條中線兩側所對的邊平方和等于底邊平方的一半與該邊中線平方的兩倍的和。

中文名

三角形中線定理

英文名

pappus定理

別稱

阿波羅尼奧斯定理

表達式

AB2+AC2=2(BI2+AI2)

提出者

阿波羅尼奧斯

學科

數學幾何

適用領域范圍

三角

中線定義

中線定理（pappus定理），又稱重心定理，是歐氏幾何的定理，表述三角形三邊和中線長度關系。?

定理內容：三角形一條中線兩側所對邊平方的和等于底邊的平方的一半加上這條中線的平方的2倍。

中線定理

中線定理（pappus定理），又稱阿波羅尼奧斯定理，是歐氏幾何的定理，表述三角形三邊和中線長度關系。

定理內容：三角形一條中線兩側所對邊平方和等于底邊的一半平方與該邊中線平方和的2倍。

即，對任意三角形△ABC，設I是線段BC的中點，AI為中線，則有如下關系：

AB2+AC2=2(BI2+AI2)

或作AB2+AC2=1/2（BC）2+2AI2

定理證明

第一種是以中點為原點，在水平和豎直方向建立坐標系，

設：A(m,n),B(-a,0),C(a,0)，

則：(AD)2+(CD)2=m2+n2+a2

(AB)2+(AC)2=(m+a)2+n2+(m-a)2+n2=2(m2+a2+n2)

∴(AB)2+(AC)2=2[(AD)2+(CD)2]

第二種是在不同三角形中，對同一個角用兩次余弦定理，比如對圖示中的∠B（或者∠C）在△ABD和△ABC（或者△ACD和△ABC）使用余弦定理，從而直接得到三角形邊長的關系，進而得證。

參考資料