高等數學公式
1/12
高等數學公式
導數公式：
基本積分表：
三角函數的有理式積分：
22
2
21
2
2
1
1
cos
1
2
sin
u
du
dx
x
tgu
u
u
x
u
u
x
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?， ， ，
ax
x
aaa
ctgxxx
tgxxx
xctgx
xtgx
a
xx
ln
1
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ln)(
csc)(csc
c)(c
csc)(
c)(
2
2
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2
2
2
2
1
1
)(
1
1
)(
1
1
)(arccos
1
1
)(arcsin
x
arcctgx
x
arctgx
x
x
x
x
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C
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Cxctgxdxx
Cxdxtgxx
Cctgxxdx
x
dx
Ctgxxdx
x
dx
x
x
)ln(
ln
csccsc
cc
csc
sin
c
cos
22
22
2
2
2
2
C
a
x
xa
dx
C
xa
xa
axa
dx
C
ax
ax
aax
dx
C
a
x
arctg
axa
dx
Cctgxxxdx
Ctgxxxdx
Cxctgxdx
Cxtgxdx
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arcsin
ln
2
1
ln
2
1
1
csclncsc
clnc
sinln
cosln
22
22
22
22
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C
a
xa
xa
x
dxxa
Caxx
a
ax
x
dxax
Caxx
a
ax
x
dxax
I
n
n
xdxxdxI
n
nn
n
arcsin
22
ln
22
)ln(
22
1
cossin
2
2222
22
2
2222
22
2
2222
2
2
0
2
0
??
高等數學公式
2/12
一些初等函數：兩個重要極限：
三角函數公式：
·誘導公式：
函數
角A
sincostgctg
-α-sinαcosα-tgα-ctgα
90°-αcosαsinαctgαtgα
90°+αcosα-sinα-ctgα-tgα
180°-αsinα-cosα-tgα-ctgα
180°+α-sinα-cosαtgαctgα
270°-α-cosα-sinαctgαtgα
270°+α-cosαsinα-ctgα-tgα
360°-α-sinαcosα-tgα-ctgα
360°+αsinαcosαtgαctgα
·和差角公式：·和差化積公式：
2
sin
2
sin2coscos
2
cos
2
cos2coscos
2
sin
2
cos2sinsin
2
cos
2
sin2sinsin
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ctgctg
ctgctg
ctg
tgtg
tgtg
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1
)(
1
)(
sinsincoscos)cos(
sincoscossin)sin(
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x
x
arthx
xxarchx
xxarshx
ee
ee
chx
shx
thx
ee
chx
ee
shx
xx
xx
xx
xx
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1
1
ln
2
1
)1ln(
1ln(
:
2
:
2
:
2
2）
雙曲正切
雙曲余弦
雙曲正弦
...594.2)
1
1(lim
1
sin
lim
0
???
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e
x
x
x
x
x
x
高等數學公式
3/12
·倍角公式：
·半角公式：
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cos1
sin
sin
cos1
cos1
cos1
2cos1
sin
sin
cos1
cos1
cos1
2
2
cos1
2
cos
2
cos1
2
sin
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ctgtg
·正弦定理：R
C
c
B
b
A
a
2
sinsinsin
???·余弦定理：Cabbaccos2222???
·反三角函數性質：arcctgxarctgxxx????
2
arccos
2
arcsin
??
高階導數公式——萊布尼茲（Leibniz）公式：
)()()()2()1()(
0
)()()(
!
)1()1(
!2
)1(
)(
nkknnnn
n
k
kknk
n
n
uvvu
k
knnn
vu
nn
vnuvu
vuCuv
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中值定理與導數應用：
拉格朗日中值定理。時，柯西中值定理就是當
柯西中值定理：
拉格朗日中值定理：
xx
F
f
aFbF
afbf
abfafbf
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)(F
)(
)(
)()(
)()(
))(()()(
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曲率：
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1
;0
.
)1(
limM
sMM:.
,1
32
0
2
a
Ka
K
y
y
ds
d
s
K
MM
s
K
tgydxyds
s
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的圓：半徑為
直線：
點的曲率：
弧長。：化量；點，切線斜率的傾角變點到從平均曲率：
其中弧微分公式：
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2
3
3
3
31
3
3
cos3cos43cos
sin4sin33sin
tg
tgtg
tg
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2
2
2222
1
2
2
2
1
2
sincossin211cos22cos
cossin22sin
tg
tg
tg
ctg
ctg
ctg
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高等數學公式
4/12
定積分的近似計算：
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b
a
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b
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n
ab
xf
yyyy
n
ab
xf
yyy
n
ab
xf
)](4)(2)[(
3
)(
])(
2
1
[)(
)()(
1312420
110
110
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拋物線法：
梯形法：
矩形法：
定積分應用相關公式：
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b
a
b
a
dttf
ab
dxxf
ab
y
k
r
mm
kF
ApF
sFW
)(
1
)(
1
,
2
2
21
均方根：
函數的平均值：
為引力系數引力：
水壓力：
功：
空間解析幾何和向量代數：
。代表平行六面體的體積
為銳角時，向量的混合積：
例：線速度：
兩向量之間的夾角：
是一個數量
軸的夾角。與是向量在軸上的投影：
點的距離：空間
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,cos)(][
..sin,
cos
,,cos
PrPr)(Pr
,cosPr
)()()(2
222222
2121
2
12
2
12
2
1221
cba
ccc
bbb
aaa
cbacba
rwvbac
bbb
aaa
kji
bac
bbbaaa
bababa
bababababa
ajajaaj
uABABABj
zzyyxxMMd
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyxzyx
zzyyxx
zzyyxx
u
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高等數學公式
5/12
（馬鞍面）雙葉雙曲面：
單葉雙曲面：
、雙曲面：
同號）（、拋物面：
、橢球面：
二次曲面：
參數方程：其中空間直線的方程：
面的距離：平面外任意一點到該平
、截距世方程：
、一般方程：
，其中、點法式：
平面的方程：
1
1
3
,,
22
2
11
};,,{,
13
02
),,(},,,{0)()()(1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
0
0
0
000
222
000
0000000
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p
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n
yy
m
xx
CBA
DCzByAx
d
c
z
b
y
a
x
DCzByAx
zyxMCBAnzzCyyBxxA
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多元函數微分法及應用
z
y
z
x
y
x
y
x
y
x
yx
F
F
y
z
F
F
x
z
zyxF
dx
dy
F
F
yF
F
x
dx
yd
F
F
dx
dy
yxF
dy
y
v
dx
x
v
dvdy
y
u
dx
x
u
du
yxvvyxuu
x
v
v
z
x
u
u
z
x
z
yxvyxufz
t
v
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z
t
u
u
z
dt
dz
tvtufz
yyxfxyxfdzz
dz
z
u
dy
y
u
dx
x
u
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y
z
dx
x
z
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， ， 隱函數
＋， ， 隱函數
隱函數的求導公式：
時，，當
：多元復合函數的求導法
全微分的近似計算：
全微分：
0),,(
)()(0),(
),(),(
)],(),,([
)](),([
),(),(
2
2
高等數學公式
6/12
),(
),(1
),(
),(1
),(
),(1
),(
),(1
),(
),(
0),,,(
0),,,(
yu
GF
Jy
v
vy
GF
Jy
u
xu
GF
Jx
v
vx
GF
Jx
u
GG
FF
v
G
u
G
v
F
u
F
vu
GF
J
vuyxG
vuyxF
vu
vu
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?
?
隱函數方程組：
微分法在幾何上的應用：
),,(),,(),,(
3
0))(,,())(,,())(,,(2
)},,(),,,(),,,({1
),,(0),,(
},,{,
0),,(
0),,(
0))(())(())((
)()()(
),,(
)(
)(
)(
000
0
000
0
000
0
000000000
000
000000
0
0
0
0
0
0
000
zyxF
zz
zyxF
yy
zyxF
xx
zzzyxFyyzyxFxxzyxF
zyxFzyxFzyxFn
zyxMzyxF
GG
FF
GG
FF
GG
FF
T
zyxG
zyxF
zztyytxxtM
t
zz
t
yy
t
xx
zyxM
tz
ty
tx
zyx
zyx
zyx
yx
yx
xz
xz
zy
zy
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、過此點的法線方程：
：、過此點的切平面方程
、過此點的法向量：
，則：上一點曲面
則切向量若空間曲線方程為：
處的法平面方程：在點
處的切線方程：在點空間曲線
?
?
???
???
?
?
?
方向導數與梯度：
上的投影。在是
單位向量。
方向上的，為，其中：它與方向導數的關系是
的梯度：在一點函數
的轉角。軸到方向為其中
的方向導數為：沿任一方向在一點函數
lyxf
l
f
ljieeyxf
l
f
j
y
f
i
x
f
yxfyxpyxfz
lx
y
f
x
f
l
f
lyxpyxfz
),(grad
sincos),(grad
),(grad),(),(
sincos),(),(
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多元函數的極值及其求法：
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??
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不確定時
值時， 無極
為極小值
為極大值
時，
則：
，令：設
,0
0
),(,0
),(,0
0
),(,),(,),(0),(),(
2
2
00
00
2
BAC
BAC
yxA
yxA
BAC
CyxfByxfAyxfyxfyxf
yyxyxxyx
高等數學公式
7/12
重積分及其應用：
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????
??
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z
D
y
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x
zyx
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y
D
x
D
D
y
D
x
D
DD
ayx
xdyx
faF
ayx
ydyx
fF
ayx
xdyx
fF
FFFFaaMzxoy
dyxxIydyxyIx
dyx
dyxy
M
M
y
dyx
dyxx
M
M
x
dxdy
y
z
x
z
Ayxfz
rdrdrrfdxdyyxf
2
3
222
2
3
222
2
3
222
22
D
2
2
)(
),(
)(
),(
)(
),(
},,{)0(),,0,0(
),(,),(
),(
),(
,
),(
),(
1),(
)sin,cos(),(
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????
??
??
??
??
???
， ，
，其中：的引力：軸上質點平面）對平面薄片（位于
軸 對于軸對于平面薄片的轉動慣量：
平面薄片的重心：
的面積曲面
柱面坐標和球面坐標：
?????????
????????????
?????????
??????
???
????
??
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??????
?????
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drrrFddddrdrrFdxdydzzyxf
ddrdrdrdrrddv
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dzrdrdzrFdxdydzzyxf
zz
ry
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zyx
r
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????
??????????
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???
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)()()(
1
,
1
,
1
sin),,(sin),,(),,(
sinsin
cos
sinsin
cossin
),sin,cos(),,(
,),,(),,(,sin
cos
222222
2
00
),(
0
22
2
， ， 轉動慣量：
， 其中 重心：
， 球面坐標：
其中：
柱面坐標：
曲線積分：
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)()()()](),([),(
),(,
)(
)(
),(
22
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dtttttfdsyxf
t
ty
tx
LLyxf
L
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??
?
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?
特殊情況：
則： 的參數方程為：上連續，在設
長的曲線積分）：第一類曲線積分（對弧
高等數學公式
8/12
。，通常設
的全微分，其中：才是二元函數時，＝在
：二元函數的全微分求積
注意方向相反！減去對此奇點的積分，
，應。注意奇點，如＝，且內具有一階連續偏導數在，、
是一個單連通區域；、
無關的條件：平面上曲線積分與路徑
的面積：時，得到，即：當
格林公式：格林公式：
的方向角。上積分起止點處切向量
分別為和，其中系：兩類曲線積分之間的關
，則：的參數方程為設
標的曲線積分）：第二類曲線積分（對坐
0),(),(),(
),(
·
)0,0(),(),(2
1
·
2
1
2,
)()(
)coscos(
)}()](),([)()](),([{),(),(
)(
)(
00
),(
),(
00
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G
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y
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x
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y
P
x
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QdyPdxdxdy
y
P
x
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dttttQtttPdyyxQdxyxP
ty
tx
L
yx
yx
DL
DLDL
LL
L
????
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曲面積分：
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dsRQPRdxdyQdzdxPdydz
dzdxzxzyxQdzdxzyxQ
dydzzyzyxPdydzzyxP
dxdyyxzyxRdxdyzyxR
dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP
dxdyyxzyxzyxzyxfdszyxf
zx
yz
xy
xy
D
D
D
D
yx
)coscoscos(
]),,(,[),,(
],),,([),,(
)],(,,[),,(
),,(),,(),,(
),(),(1)],(,,[),,(22
???系：兩類曲面積分之間的關
號。，取曲面的右側時取正
號；，取曲面的前側時取正
號；，取曲面的上側時取正
，其中：對坐標的曲面積分：
對面積的曲面積分：
高斯公式：
?????
??????
???????
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???
???
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dsAdvA
dsRQPdsAdsnA
z
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y
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dsRQPRdxdyQdzdxPdydzdv
z
R
y
Q
x
P
n
n
?
?
?
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div
)coscoscos(
...,0div,div
)coscoscos()(
成：因此，高斯公式又可寫
，通量：
則為消失的流體質量，若即：單位體積內所產生散度：
—通量與散度：—高斯公式的物理意義
???
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???
高等數學公式
9/12
斯托克斯公式——曲線積分與曲面積分的關系：
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dstARdzQdyPdxA
RQP
zyx
A
y
P
x
Q
x
R
z
P
z
Q
y
R
RQP
zyx
RQP
zyx
dxdydzdxdydz
RdzQdyPdxdxdy
y
P
x
Q
dzdx
x
R
z
P
dydz
z
Q
y
R
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的環流量：沿有向閉曲線向量場
旋度：
， ， 關的條件：空間曲線積分與路徑無
上式左端又可寫成：
kji
rot
coscoscos
)()()(
???
常數項級數：
是發散的調和級數：
等差數列：
等比數列：
n
nn
n
q
q
qqq
n
n
1
3
1
2
1
1
2
)1(
321
1
1
112
????
?
?????
?
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??????
?
?
?
級數審斂法：
散。存在，則收斂；否則發
、定義法：
時，不確定
時，級數發散
時，級數收斂
，則設：
、比值審斂法：
時，不確定
時，級數發散
時，級數收斂
，則設：
別法）：—根植審斂法（柯西判—、正項級數的審斂法
n
n
nn
n
n
n
n
n
n
suuus
U
U
u
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lim;
3
1
1
1
lim
2
1
1
1
lim
1
21
1
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?
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?
?
?
。的絕對值其余項，那么級數收斂且其和如果交錯級數滿足
—萊布尼茲定理：—的審斂法或交錯級數
11
1
3214321
,
0lim
)0,(
?
??
???
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?????????
nnn
n
n
nn
n
urrus
u
uu
uuuuuuuu??
絕對收斂與條件收斂：
高等數學公式
10/12
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??
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?
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?????
????
時收斂
１時發散ｐ
級數：
收斂； 級數：
收斂；發散，而調和級數：
為條件收斂級數。收斂，則稱發散，而如果
收斂級數；肯定收斂，且稱為絕對收斂，則如果
為任意實數；，其中
1
1
1
)1(1
)1()1()2(
)1()2(
)2(
)1(
2
321
21
p
n
p
n
nn
uuuu
uuuu
p
n
n
nn
??
??
冪級數：
0
0
1
0
)3(lim
)3(
1
1
1
1
1
1
1
2
210
32
????
????
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?????
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R
R
R
aa
a
a
R
Rx
Rx
Rx
R
xaxaxaa
x
x
x
xxxx
nn
n
n
n
n
n
n
時，
時，
時，
的系數，則是，，其中求收斂半徑的方法：設
稱為收斂半徑。，其中
時不定
時發散
時收斂
，使在數軸上都收斂，則必存
收斂，也不是在全，如果它不是僅在原點 對于級數
時，發散
時，收斂于
?
?
?
?
?
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??
函數展開成冪級數：
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???
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?????
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n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
n
f
x
f
xffxfx
Rxfxx
n
f
R
xx
n
xf
xx
xf
xxxfxf
!
)0(
!2
)0(
)0()0()(0
0lim)(,)(
)!1(
)(
)(
!
)(
)(
!2
)(
))(()(
)(
2
0
1
0
)1(
0
0
)(
2
0
0
00
時即為麥克勞林公式：
充要條件是：可以展開成泰勒級數的余項：
函數展開成泰勒級數：
?
一些函數展開成冪級數：
)(
)!12(
)1(
!5!3
sin
)11(
!
)1()1(
!2
)1(
1)1(
12
1
53
2
???????
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??????
????
???
??
?
????
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?x
n
xxx
xx
xx
n
nmmm
x
mm
mxx
n
n
nm
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歐拉公式：
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??
?
?
2
sin
2
cos
sincos
ixix
ixix
ix
ee
x
ee
x
xixe 或
三角級數：
高等數學公式
11/12
。上的積分＝
在任意兩個不同項的乘積正交性：
。，，，其中，
0
],[cos,sin2cos,2sin,cos,sin,1
cossin
)sincos(
2
)sin()(
00
1
0
1
0
??
???
??
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????
?????????
?
?
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??nxnxxxxx
xtAbAaaAa
nxbnxa
a
tnAAtf
nnnnnn
n
nn
n
nn
傅立葉級數：
是偶函數 ，余弦級數：
是奇函數 ，正弦級數：
（相減）
（相加）
其中
，周期
?
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?
?
?
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?????
????
?????
?????
????
????
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?
?
?
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??
??
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nxa
a
xfnnxdxxfab
nxbxfnxdxxfba
nnxdxxfb
nnxdxxfa
nxbnxa
a
xf
nnn
nnn
n
n
n
nn
cos
2
)(2,1,0cos)(
2
0
sin)(3,2,1nsin)(
2
0
12
4
1
3
1
2
1
1
6
4
1
3
1
2
1
1
24
6
1
4
1
2
1
8
5
1
3
1
1
)3,2,1(sin)(
1
)2,1,0(cos)(
1
2)sincos(
2
)(
0
0
0
2
222
2
222
2
222
2
22
1
0
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
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?
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周期為l2的周期函數的傅立葉級數：
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????
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l
l
n
l
l
n
n
nn
ndx
l
xn
xf
l
b
ndx
l
xn
xf
l
a
l
l
xn
b
l
xn
a
a
xf
)3,2,1(sin)(
1
)2,1,0(cos)(
1
2)sincos(
2
)(
1
0
?
?
其中
，周期
?
?
??
微分方程的相關概念：
即得齊次方程通解。
，代替分離變量，積分后將，，，則設
的函數，解法：，即寫成程可以寫成齊次方程：一階微分方
稱為隱式通解。 得：
的形式，解法：為：一階微分方程可以化可分離變量的微分方程
或 一階微分方程：
u
x
y
uu
du
x
dx
u
dx
du
u
dx
du
xu
dx
dy
x
y
u
x
y
yxyxf
dx
dy
CxFyGdxxfdyyg
dxxfdyyg
dyyxQdxyxPyxfy
?
???????
??
???
?
???
?
??
)(
)(
),(),(
)()()()(
)()(
0),(),(),(
?
?
?
一階線性微分方程：
)1,0()()(2
))((0)(
,0)(
)()(1
)()(
)(
???
?
?
?
??
?
??
??
??
?
nyxQyxP
dx
dy
eCdxexQyxQ
CeyxQ
xQyxP
dx
dy
n
dxxPdxxP
dxxP
，、貝努力方程：
時，為非齊次方程，當
為齊次方程，時當
、一階線性微分方程：
高等數學公式
12/12
全微分方程：
通解。應該是該全微分方程的
，，其中：
分方程，即：中左端是某函數的全微如果
Cyxu
yxQ
y
u
yxP
x
u
dyyxQdxyxPyxdu
dyyxQdxyxP
??
?
?
?
?
?
?
???
??
),(
),(),(0),(),(),(
0),(),(
二階微分方程：
時為非齊次
時為齊次
，
0)(
0)(
)()()(
2
2
?
?
???
xf
xf
xfyxQ
dx
dy
xP
dx
yd
二階常系數齊次線性微分方程及其解法：
21
22
,)(2
,,(*)0)(1
,0(*)
rr
yyyrrqprr
qpqyypy
式的兩個根、求出
的系數；式中的系數及常數項恰好是，，其中、寫出特征方程：
求解步驟：
為常數；，其中
?
???
????
??
?
?
??
式的通解：出的不同情況，按下表寫、根據(*),3
21
rr
的形式，
21
rr
(*)式的通解
兩個不相等實根)04(2??qpxrxrececy21
21
??
兩個相等實根
)04(2??qpxrexccy1)(
21
??
一對共軛復根
)04(2??qp
2
4
2
2
21
pq
p
irir
?
???
????
??
????
，
，
)sincos(
21
xcxceyx?????
0二階常系數非齊次線性微分方程
型
為常數；型，
為常數，
]sin)(cos)([)(
)()(
,)(
xxPxxPexf
xPexf
qpxfqyypy
nl
x
m
x
??
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