七年級數學教案

七上數學教案

第一章有理數

教學目標

1．知識與技能

①通過生活實例，了解學習有理數的必要性．

②理解并掌握數軸、相反數、絕對值、有理數等有關概念．

③通過本章的學習，掌握有理數的加、減、乘、除、乘方及簡單

的混合運算．

2．過程與方法

通過本章的學習，培養學生應用數學知識解決實際問題的能力．

3．情感、態度與價值觀

結合生活實例引入新課，通過師生共同參與的教學活動，激勵學

生學習數學的興趣，讓學生真正體驗到數學知識來源于生活并服務于

生活．

教學重點、難點

重點：有理數的運算.這一章的主要學習目標都可以歸結到有理

數的運算上，比如有理數的有關概念---數軸、相反數、絕對值,運算

法則,運算律,近似數等內容的學習，直接目標都是落實到有理數的運

算上．

難點：負數概念的建立，絕對值意義,有理數法則的理解.

課時分配

內容課時

1．1正數和負數1

1．2有理數4

1．3有理數的加減法5

1．4有理數的乘除法4

1．5有理數的乘方4

單元復習與驗收2

教學建議

教師在教學過程中注意從實際問題（即聯系實際生活的典型例子）

引入，讓學生參與數學活動，在教師的引導和學生大膽嘗試的過程中，

使學生自覺地發現問題，分析問題和解決問題，從而使學生自得知識，

自覓規律．

1．在進行有理數的有關概念的教學時：

（1）注意從實際問題引入，使學生知道數學知識來源于生活．?

如：從溫度與海拔高度引入負數，從而得出有理數的概念；借助溫度

引出數軸，建立數（有理數）與形（數軸上的點）之間的聯系．

（2）注意借助數軸的直觀性講述相反數、絕對值，體會用字母

表示數的優越性，體現代數的特點,?使學生對概念的認識能更深一步，

并為今后學習整式、方程打下基礎．

2．講解有理數運算時，有理數加法及乘法法則的導出借助數軸

會更直觀更形象更易于學生理解，法則要著重強調符號的確定,在此

基礎上注意絕對值的運算，提高學生計算準確率．

1．1正數和負數

教學目標

1．知識與技能

①了解正數與負數的引入是實際生活的需要．

②會判斷一個數是正數還是負數．

③會用正負數表示互為相反意義的量．

2．過程與方法

通過正負數的學習，培養學生應用數學知識的意識,訓練學生運

用新知識解決實際問題的能力．

3．情感、態度與價值觀

通過師生共同的教學活動，激發學生學習數學的興趣，讓學生體

驗到數學知識來源于生活并為生活服務．

教學重點難點

重點：會判斷一個數是正數還是負數，會運用正負數表示具有相

反意義的量，理解0?的含義．

難點：負數的引入和理解．

教與學互動設計

（一）創設情境，導入新課

課件展示珠穆朗瑪峰和吐魯番盆地，由同學感受高于水平面和

低于水平面的不同情況．

（二）合作交流，解讀探究

1．舉出一些生活中常遇到的具有相反意義的量，如溫度是零上

7℃和零下5℃，買進90張課桌與賣出80張課桌，汽車向東50米和

向西120米等．

想一想以上都是一些具有相反意義的量，你能用小學算術中的

數來表示出每一對量嗎？你能再舉一些日常生活中具有相反意義的

量嗎？該如何表示它們呢？

2．為了用數表示具有相反意義的量，我們把其中一種意義的量，

如零上溫度，前進、收入、上升、高出等規定為正的，而把與它相反

的量，如零下溫度、后退、支出、下降、低于等規定為負的，正的量

用算述里學過的數表示，負的量用學過的數前面加上“－”（讀作負）

號來表示（零除外）．

活動每組同學之間相互合作交流，一位同學任意說出具有相反

意義的兩個量，由其他同學用正負數表示．

討論什么樣的數是負數？什么樣的數是正數？0是正數還是負

數？?

【總結】正數是大于0的數，負數是在正數前面加“－”號的數，

0既不是正數，也不是負數，是正數與負數的分界．

（三）應用遷移，鞏固提高

例1舉出幾對具有相反意義的量，并分別用正、負數表示．

【提示】具有相反意義的量有“上升”與“下降”，“前”與“后”、

“高于”與“低于”、“得到”與“失去”、“收入”與“支出”等．

【點評】這是一道開放性試題，旨在考查學生用正負數表示具

有相反意義量的能力．

例2在某次乒乓球檢測中，一只乒乓球超過標準質量0.02克

記作＋0.02克，?那么－0.03克表示什么？

【答案】表示比標準質量低0.03克．

例32001年美國的商品進出口總額比上年減少6.4%可記為

-6.4%，中國增長7.5%可記為＋7.5%．

備選例題

（2004·山東淄博）某項科學研究以45分鐘為1個時間單位，?

并記為每天上午10時為0，10時以前記為負，10時以后記為正．例

如，9:15記為-1，10:45記為1等等．依此類推，上升7:45應記為（）

A.3B.-3C.-2.5D.-7.45

【點撥】讀懂題意是解決本題的關鍵．7:45與10相差135分

鐘．

【答案】B

（四）總結反思，拓展升華

為了表示現實生活中具有相反意義的量引進了負數．正數就是我

們過去學過（除零外）的數，在正數前加上“－”號就是負數，不能

說“有正號的數是正數，有負號的數是負數”．另外，0既不是正數

也不是負數．

1．填空-1，2，-3，4，-5，6，-7，-8…第81個數是–

81，第2005個數是–2005．

【提示】通過觀察可見，數字絕對值的排列是按由小到大的順序，

符號是負正相間，第奇數個數為負，第偶數個數為正．

【點評】本題屬于找規律問題,從絕對值和符號兩方面考慮．

2．表1-1-1是小張同學一周中簡記儲蓄罐中錢的進出情況表（存

入記為“＋”）：

表1-1-1

星期日一二三四五六

（元）＋16+5.0-1.2-2.1-0.9+10-2.6

（1）本周小張一共用掉了多少錢？存進了多少錢？

【答案】6.8元，31元．

（2）儲蓄罐中的錢與原來多了還是少了？

【答案】多了．

（3）如果不用正、負數的方法記賬，你還可以怎樣記賬？比較

各種記賬的優劣．

【答案】用文字說明，但前者更簡潔．

3．數學游戲：4個同學站成一排，從左到右每個人編上號：1，

2，3，4．用“＋”表示“站”，“－”（負號）表示“蹲”．

（1）由一個同學大聲喊：+1，-2，-3，+4，則第1、第4個同

學站，第2、第3個同學蹲，并保持這個姿勢，然后再大聲喊：-1，

-2，+3，+4，如果第2、第4個同學中有改變姿勢的，則表示輸了，

作小小的“懲罰”；

（2）增加游戲難度，把4個同學順序調整一下，但每個人記作

自己原來的編號，再重復1．的游戲；

（3）這不僅僅是游戲喲！在電腦中，?所有“命令”或“數據”

都是用有理數（特別是二進制數）表示的．例如，沒有特別的“翻譯”

程序，電腦就不明白你給屏幕上的卡通人下的是“站”還是“蹲”的

命令，這時，就可輸入正負數以區別不同的姿勢．

（五）課堂跟蹤反饋

夯實基礎

1．填空題

（1）如果節約用水30噸記為+30噸，那么浪費20噸記為－

20噸．

（2）如果4年后記作＋4，那么8年前記作-8．

（3）如果運出貨物7噸記作－7噸，那么＋100噸表示運進貨

物100噸．

（4）一年內，小亮體重增加了3kg，記作＋3，小陽體重減少了

2kg，則小陽增長了2kg．

2．中午12時，水位低于標準水位0.5米，記作－0.5米，下午

1時，?水位上漲了1米，下午5時，水位又上漲了0.5米．

（1）用正數或負數記錄下午1時和下午5時的水位；

（2）下午5時的水位比中午12時水位高多少？

【答案】（1）下午1時，水位0.5米；下午5時，水位－1

米（2）0.5+1=1.5（米）

提升能力

3．糧食每袋標準重量是50公斤，現測得甲、乙、丙三袋糧食重

量如下：52公斤，49公斤，49.8公斤．如果超重部分用正數表示，

請用正數和負數記錄甲、乙、丙三袋糧食的超重數和不足數．

【答案】+2，-1，-0.2．

4．有沒有這樣的有理數，它既不是正數，也不是負數？

【答案】有，是0．

5．下列各數中哪些是正數？哪些是負數？

－15，-0.02，

6

7

，-

1

71

，4，-2

1

3

，1.3，0，3.14，?

【答案】正數：

6

7

，4，1.3，3.14，?；負數：－15，0.02，

-

1

71

，-2

1

3

開放探究

6．同學聚會，約定在中午12點到會，早到的記為正，遲到的記

為負，結果最早到的同學記為＋3點，最遲到的同學記為-1.5點，?

你知道他們分別是什么時候到的嗎？最早到的同學比最遲到的同學

早多少小時？

【答案】最早的同學上午9點到，最遲的是下午1點半到，最

早的比最遲的早到4.5個小時．

7．新中考題

（2004·玉林）冷庫Ａ的溫度是－5℃，冷庫Ｂ的溫度是－15℃，

?則溫度高的是冷庫Ａ．

教學反思：

本節課是學生進入初中的第一節數學課,也是非常重要的一節課

-----負數的引入.課堂上我主要采用了體驗探究的教學方式，為學生

提供了大量親自操作的機會，使學生直接參與教學活動，學生在動手

操作中對抽象的數學知識獲取感性的認識，進而通過教師的引導加工

總結上升為理性認識，從而獲得新知，使學生的學習過程變為一個再

創造的過程，同時讓學生體會到獲取知識的方法，感受在解決問題的

過程中與他人合作的重要性，為學生今后獲取新知以及探索和發現新

知打下基礎.

1．2有理數

1．2．1有理數

教學目標

1．知識與技能

①理解有理數的意義．

②能把有理數按要求分類．

③了解0在有理數分類的作用．

2．過程與方法

經歷本節的學習，培養學生分類討論的意識和能正確地進行分類

的能力．

教學重點難點

重點：會把已知各數填入相應的數集圖里．

難點：掌握有理數的兩種分類．

教與學互動設計

（一）創設情境，導入新課

討論交流通過上節課的學習同學們已經知道,我們認識的數除

了小學里所學的之外，還有另一類數，即負數．大家討論一下，到目

前為止，你已經認識了哪些類型的數．

（二）合作交流，解讀探究

學生列舉：3，5.7，-7，-9，-10，0，

1

3

，

2

5

，-3

5

6

，-7.4，5.2…

議一議你能說說這些數的特點嗎？

學生回答，并相互補充：有小學學過的整數、0、分數，也有負

整數、負分數．

說明：我們把所有的這些數統稱為有理數．

試一試你能對以上各種類型的數作出一張分類表嗎？

有理數

說明：以上分類，若學生思考有困難，可加以引導：因為整數和分數

統稱為有理數，所以有理數可分為整數和分數兩大類，那么整數又包

含那些數？分數呢？

做一做以上按整數和分數來分，那可不可以按數的性質（正數、

負數）來分呢，試一試．

有理數

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

正整數

正有理數

正分數

零

負整數

負有理數

負分數

正分數

分數

整數

負分數

負整數

零

正整

數

（3）數的集合

把所有正數組成的集合，叫做正數集合．

試一試試著歸納總結，什么是負數集合、整數集合、分數集合、

有理數集合．

（三）應用遷移，鞏固提高

例1把下列各數填入相應的集合內：

12

7

，3.1416，0，2004，-

8

5

，-0.23456，10%，10.l，0.67，-89

正數集合負數集合整數集合分數集合

【答案】

例2以下是兩位同學的分類方法，你認為他們分類的結果正確

嗎？為什么？

正數集合

22

7

,2004,10%,

10.1,0.67,...

負數集合

-3.1416,-

8

5

,

-0.23456,-89,...

整數集合

0,2004,-89,...

分數集合

12

7

,-3.1416,-

8

5

,

-0.23456,10%,10.1,

0.67,...

…………

有理數

?

?

?

?

??

?

?

?

?

?

?

?

正整數

正有理數

正分數

負整數

負有理數

負分數

有理數

?

?

?

?

?

?

?

?

?

正數

整數

分數

負數

零

【答案】兩者都錯，前者丟掉了零，后者把正負數、整數、分

數混為一談,分類標準不清楚.

【點評】以上是對各類有理數的特點及有理數的分類進行的訓

練，基礎性強，需要重視

例3以下結論中正確的有（Ｂ）

①0是最小的正整數②0是最小的有理數

③0不是負數④0既是非正數，也是非負數

A.1個B.2個C.3個D.4個

例4如果用字母表示一個數，那a可能是什么樣的數，一定為

正數嗎？與你的伙伴交流一下你的看法．

【答案】不一定，a可能是正數，可能是負數，也可能是0．

【點評】此題開放性較強．要求學生能用分類的思想對a全面

認識,體會用字母表示數的意義.

備選例題

（2004·浙江溫州）觀察下列數，按某種規律在橫線上填入適當

的數，并說明你的理由．

2

3

，

3

4

，

4

5

，________，

6

7

，…你的理解是

_________．

【點撥】找出各項數的特點是本題關鍵所在，第一個數為

2

3

，

后一個數是前一個數的分子，分母都加1所得的數．

【答案】

5

6

（四）總結反思，拓展升華

提問：今天你獲得了哪些知識？

由學生自己小結，然后教師總結：今天我們學習了有理數的定義

和有理數的兩種分類方法．我們要能正確地判斷一個數屬于哪一類，

要特別注意“0”的含義．

1．請你在圖1-2-1的圈中填上適合的數，使得圈內的數依次

為整數集、?有理數集、正數集、分數集、負數集．

【答案】答案不唯一，如圖1-2-2所示．

2．有理數按正、負可分為

?

?

?

?

?

正有理數

零

負有理數

-

12

5

0.4

81

3

0

按整數分，可分為

?

?

?

整數

分數

（1）你能自己再制定一個標準，對有理數進行另一種分類嗎？

（2）生活中，我們也常常對事物進行分類，請你舉例說明．

【答案】（1）如將有理數分成大于1的數，小于1的數，等于

1的數．

（2）例如對人按年齡可分為：嬰兒、幼兒、兒童、少年、青年、

中年、老年．

3．下面兩個圈分別表示負數集和分數集，你能說出兩個圖的重

疊部分表示什么數的集合呢？

答案負分數

（五）課堂跟蹤反饋

夯實基礎

1．把下列各數填入相應的大括號內：

-7，0.125，

1

2

，-3

1

2

，3，0，50%，-0.3

（1）整數集合{-7，3，0}

（2）分數集合{0.125，

1

2

，-3

1

2

，50%，-0.3}

（3）負分數集合{-3

1

2

，-0.3}

（4）非負數集合{0.125，

1

2

，3，0，50%}

分數集合

負數集合

（5）有理數集合{-7，0.125，

1

2

，-3

1

2

，3，0，50%，-0.3}

2．下列說法正確的是（Ｄ）

Ａ．整數就是自然數Ｂ．0不是自然數

Ｃ．正數和負數統稱為有理數Ｄ．0是整數而不是正數

3．某商店出售的三種規格的面粉袋上寫著（25±0.1）千克，（25

±0.2?千克），（25±0.3）千克的字樣，從中任意兩袋，它們質量相

差最大的是0.6千克．

提升能力

4．字母a可以表示數，在我們現在所學的范圍內，你能否試著

說明a可以表示什么樣的數？

【答案】a可以表示正整數，正分數，0，負整數或負分數．

5．某校對初一新生的男生進行了引體向上的測試，以能做5個

為標準，?超過的次數記為正數，不足的次數記為負數，其中10名男

生的測試成績如下：

－2-12-130-1-210

（1）這10名男生有百分之幾達標（即達標率）？

（2）這10名男生共做了多少個引體向上？

【答案】（1）50%；（2）5×10-1=49（個）

開放探究

6．應用創新題

若向東8米記作＋8米，如果一個人從Ａ地出發先走＋12米，再

走－15米，又走＋18米，最后走－20米，你能判斷這個人此時在何

處嗎？

【答案】在Ａ地西邊5米處．

7．新中考題

（2004·內蒙古赤峰）我市2004年元月某一天的天氣預報中，

寧城縣的最低溫度是－22℃，克旗的最低溫度是－26℃，這一天寧城

縣的最低氣溫比克旗的最低氣溫高（Ａ）

A．4℃B．-4℃C．8℃D．-8℃

（六）資料采擷

原始的計算工具

計算是人類的一種思維活動，人類初期的計算主要是計數．最早

用來幫助計數的工具是人類的四肢（手、腳、手指、腳趾）或身邊的

小石頭、貝殼、繩子等．中國有句古話叫“屈指可數”，說明人們常

用手指來計算簡單的數．

在美國紐約的博物館里，珍藏著一件從秘魯出土的古代文物，名

叫“基普”，意即打了繩結的繩子．基普是古人用來計數和記事的．傳

說公元前6世紀，?波斯國王在一次征戰中曾命令一支部隊守橋，他

把一條打了結的皮帶交給留守將士，要他們每守一天解開一個結，一

直守到皮帶上的結全部解完了才準撤退．

在沒有文字的我國古代，人們用在繩子上打結的方法來計數和記

事．一件事打一個結，大事打個大結，小事打個小結，辦完了一件事

就解掉一個結．

古人不僅用繩結計數，而且還使用小石子等其他工具來計數．例

如，他們飼養的羊，早晨放牧到草地里，晚上必須圈到柵欄里．這樣，

早晨從柵欄里放出來的時候，出來一只就往罐子里扔一塊小石子；傍

晚羊進柵欄時，進去一只就從罐子里拿出一塊小石子．如果石子全部

拿光了，就說明羊全部進圈了；如果罐子里還剩下石子，說明有羊丟

失了，必須立刻尋找．

教學反思：

這節課的教學，我主要采用了探究式的教學方式，為學生提供合

作交流的機會，引導學生在已有知識、經驗、方法的基礎上去思考問

題,探尋結果.學生直接參與教學活動，學習積極性高,課堂氣氛活躍,

通過學生的討論,抽象的問題簡單化.另外教師也可以從學生的回答

中受到啟發,有方法型的,有技巧型的.教師參與學生的討論可以增加

學生的學習興趣和動力,學生在討論的過程中可以相互學習,取長補

短,深刻體會到與他人合作的重要性.

1．2．2數軸

教學目標

1．知識與技能

①掌握數軸三要素，能正確畫出數軸．

②能將已知數在數軸上表示出來，能說出數軸上已知點所表示的

數．

2．過程與方法

①使學生受到把實際問題抽象成數學問題的訓練，逐步形成應用

數學的意識．

②結合本節內容，對學生滲透數形結合的重要思想方法．

3．情感、態度與價值觀

使學生進一步形成數學來源于實踐，反過來又服務于實踐的辯證

唯物主義觀點．

教學重點難點

重點：數軸的概念．

難點：從直觀認識到理性認識，從而建立數軸概念．

教與學互動設計

（一）創設情境，導入新課

課件展示在一條東西方向的馬路上，有一個學校，學校東50m

和西150m?處分別有一個書店和一個超市，學校西100m和160m處分

別有一個郵局和醫院，分別用A、B、C、D表示書店、超市、郵局、

醫院，你會畫圖表示這一情境嗎？（學生畫圖）

（二）合作交流，解讀探究

師：對照大家畫的圖，為了使表達更清楚，我們把0?左右兩邊

的數分別用正數和負數來表示，即用一直線上的點把正數、負數、0

都表示出來．?也就是本節內容──數軸．

點撥（1）引導學生學會畫數軸．

第一步：畫直線定原點

第二步：規定從原點向右的方向為正（左邊為負方向）

第三步：選擇適當的長度為單位長度（據情況而定）

第四步：拿出教學溫度計，由學生觀察溫度計的結構和數軸的結

構是否有共同之處．

對比思考：原點相當于什么；正方向與什么一致；單位長度又是

什么？

（2）有了以上基礎，我們可以來試著定義數軸：

規定了原點、正方向和單位長度的直線叫數軸．

做一做學生自己練習畫出數軸．

試一試：你能利用你自己畫的數軸上的點來表示數4，1.5，-3，

-

7

2

，0嗎？

討論若a是一個正數，則數軸上表示數a的點在原點的什么位

置上？與原點相距多少個單位長度；表示－a的點在原點的什么位置

上？?與原點又相距了多少個長度單位？

小結整數能在數軸上都找到點嗎？分數呢？

可見，所有的__________都可以用數軸上的點表示___________?

都在原點的左邊，______________都在原點的右邊．

（三）應用遷移，鞏固提高

例1下列所畫數軸對不對？如果不對，指出錯在哪里．

①

4

5231

②

-102

3

1

③

-1

-2

021

④

0

⑤

-1

0

1

⑥

-1-2

0

-3

21

【答案】①錯．沒有原點②錯．沒有正方向③正確④

錯．沒有單位長度⑤錯．單位長度不統一⑥正確⑦錯．正方向

標錯

例2試一試：用你畫的數軸上的點表示4，1.5，-3，-

7

3

，0

【答案】

圖中Ａ點表示4，Ｂ點表示1.5，Ｃ點表示-3，Ｄ點表示－

7

3

，

Ｅ點表示0．

例3如果a是一個正數，則數軸上表示數a的點在原點的什么

位置上？?表示－a的點在原點的什么位置上呢？

【提示】由數軸上數的特點不準得到，正數都在原點的右邊，

負數都在原點左邊．

【答案】所有的有理數都可以在數軸上找個點與它對應，原點

右邊的點表示正數，原點左邊的點表示負數．

【點評】數與數軸上的點結合，這是一種重要的數學思想，數

形結合．

例4下列語句：①數軸上的點又能表示整數；②數軸是一條直

線；?③數軸上的一個點只能表示一個數；④數軸上找不到既不表示

正數，又不表示負數的點；⑤數軸上的點所表示的數都是有理數．正

確的說法有（Ｂ）

⑦

-1-2

0

21

-1

-2-5

-4

0-3

5

42

3

1

ED

CBA

A.1個B.2個C.3個D.4個

【提示】題中，結合數軸上的點與有理數的特點，可見①中錯

誤的；②、③是正確的；④中可以含有0，?⑤中應該是所有的有理

數都可以在數軸上找出對應的點，但并不是數軸上的點都表示有理數．

例5（1）與原點的距離為2.5個單位的點有兩個，它們

分別表示有理數2.5?和-2.5．

（2）一個蝸牛從原點開始，先向左爬了4個單位，再向右爬了

7?個單位到達終點，那么終點表示的數是+3．

例6在數軸上表示－2

1

2

和1

2

3

，并根據數軸指出所有大于-2

1

2

而

小于1

2

3

的整數．

【答案】-2，-1，0，1

【點評】本題反映了數形結合的思想方法．

例7數軸上表示整數的點稱為整點，某數軸的單位長度是1cm，

若這個數軸上隨意畫出一條長2000cm的線段AB，則線段AB蓋住的

整點是（C）

A．1998或1999B．1999或2000

C．2000或2001D．2001或2002

【提示】分兩種情況分析：（1）當線段AB的起點是整點時，?

終點也落在整點上，那就蓋住2001個整點；（2）是當線段AB的起點

不是整點時，?終點也不落在整點上，那么線段AB蓋住了2000個整

點．

【點評】本題體現了新課程標準的探索和實踐能力．

備選例題

（2004·新疆生產建設兵團）在數軸上，離原點距離等于3的數

是________．

【點撥】不要忽視在原點的左右兩邊．

【答案】±3

（四）總結反思，拓展升華

數軸是非常重要的工具，它使數和直線上的點建立了對立關

系．它揭示了數和形的內在聯系，為我們今后進一步研究問題提供了

新方法和新思想．大家要掌握數軸的三要素，正確畫出數軸．提醒大

家，所有的有理數都可以用數軸上的相關點來表示，但反過來并不成

立，即數軸上的點并不都表示有理數．

一條直線的流水線上，依次有5個卡通人，?它們站立的位置在

數軸上依次用點M1、M2、M3、M4、M5表示，如圖：

（1）點M4和M2所表示的有理數是什么？

（2）點M3和M5兩點間的距離為多少？

（3）怎樣將點M3移動，使它先達到M2，再達到M5，請用文字說

明；

（4）若原點是一休息游樂所，那5個卡通人到游樂所休息的總

路程為多少？

【答案】（1）M4表示2，M2表示3；（2）相距7個單位長度；

（3）先向左移動1個單位，再向右移動8個單位長度；（4）17個單

M

5M

4

M

3

M

2

M

1

-1

-2-5

-4

0-3

5

42

3

1

位長度．

（五）課堂跟蹤反饋

夯實基礎

1．規定了原點、正方向、單位長度的直線叫數軸，

所有的有理數都可從用數軸上的點來表示．

2．P從數軸上原點開始，向右移動2個單位，再向左移5個單

位長度，此時P點所表示的數是-3．

3．把數軸上表示2的點移動5個單位后，所得的對應點表示的

數是（C）

A．7B．-3C．7或-3D．不能確定

4．在數軸上，原點及原點左邊的點所表示的數是（D）

A．正數B．負數C．不是負數D．不是正數

5．數軸上表示5和-5的點離開原點的距離是5，但它們分

別在原點的兩邊．

提升能力

6．1是最小的正整數，0是最小的非負數，0是最大

的非正數．

7．與原點距離為3.5個單位長度的點有2個，它們分別是

3.5和-3.5．

8．畫一條數軸，并把下列數表示在數軸上：+2，-3，0.5，0，

-4.5，4，3

1

3

【答案】略

開放探究

9．在數軸上與-1相距3個單位長度的點有2個，為-4或

2；長為3個單位長度的木條放在數軸上，最多能覆蓋4個整數

點．

10．新中考題

（2004·南京）下列四個數中，在-2到0之間的數是（Ａ）

A．-1B．1C．-3D．3

教學反思：

這節課的學習，我主要采用了體驗探究的教學方式，為學生提供

了親自操作的機會，引導學生運用已有經驗、知識、方法去探索與發

現等式的性質，使學生直接參與教學活動，學生在動手操作中對抽象

的數學定理獲取感性的認識，進而通過教師的引導加工上升為理性認

識，從而獲得新知，使學生的學習變為一個再創造的過程，同時讓學

生學到獲取知識的思想和方法，體會在解決問題的過程中與他人合作

的重要性，為學生今后獲取知識以及探索和發現打下基礎。

1．2．3相反數

教學目標

1．知識與技能

①借助數軸了解相反數的概念，知道互為相反數的位置關系．

②給一個數，能求出它的相反數．

2．過程與方法

①訓練學生利用數軸應用數形結合的方法解決問題．

②培養學生自己歸納總結規律的能力．

3．情感、態度與價值觀

①通過相反數的學習，滲透數形結合的思想．

②感受事物之間對立、統一聯系的辯證思想．

教學重點難點

重點：理解相反數的意義．

難點：理解和掌握雙重符號簡化的規律．

教與學互動設計

（一）創設情境，導入新課

活動請一個學生到講臺前面對大家，向前走5步，向后走5步．

交流如果向前走為正，那向前走5步與向后走5步分別記作什

么？

（二）合作交流，解讀探究

１．觀察下列數：6和-6，2

2

3

和－2

2

3

，7和－7，

5

7

和－

5

7

，并把

它們在數軸上標出．

想一想（1）上述各對數之間有什么特點？

（2）表示這兩對數的點在數軸上有什么特點？

（3）你能夠寫出具有上述特點的數嗎？

觀察像這樣只有符號不同的兩個數叫相反數．

兩個互為相反數的數，在數軸上的對應點（0除外），是在原點

兩旁，?并且距離原點相等的兩個點．即：互為相反數的兩個數在數

軸上的對應點關于原點對稱．我們把a的相反數記為－a，并且規定

0的相反數就是零．

【總結】在正數前面添上一個“－”號，就得到這個正數的相

反數，是一個負數；把負數前的“－”號去掉，就得到這個負數的相

反數，是一個正數．

２．在任意一個數前面添上“－”號，新的數就是原數的相反數．如

-（+5）=?-5，表示+5的相反數為-5；-（-5）=5，表示-5的相反數

是5；-0=0，表示0?的相反數是0．

（三）應用遷移，鞏固提高

例1填空

（1）-5.8是5.8的相反數，3的相反數是－（+3），a的

相反數是–a，a-b的相反數是-（a-b），0的相反數是0．

（2）正數的相反數是負數，負數的相反數是正數，0

的相反數是它本身．

例2下列判斷不正確的有（C）

①互為相反數的兩個數一定不相等；②互為相反數的數在數軸上

的點一定在原點的兩邊；③所有的有理數都有相反數；④相反數是符

號相反的兩個點．

A.1個B.2個C.3個D.4個

例3化簡下列各符號：

（1）-[-（-2）]（2）+{-[-（+5）]}

（3）-{-{-…-（-6）}…}（共n個負號）

【答案】（1）-2（2）5（3）當n為偶數時，為6；當n

為奇數時，為-6．

【提示】化簡的規律是：有偶數個負號，結果為正；有奇數個

負號，結果為負．

例4數軸上A點表示+4，B、C兩點所表示的數是互為相反數，

且C到A?的距離為2，點B和點C各對應什么數？

【答案】C點表示2或6，則相應的B點應表示-2或-6．

【提示】畫出數軸，結合數軸的特點來分析．

【點評】經歷觀察數學活動，發展自己的指導能力．

備選例題

（2004·江西）如圖所示，數軸上的點A所表示的是實數a，則

點A到原點的距離是___________．

【點撥】由數軸上的位置，不難知道a是一個負數，這是解決

本題的前提．

【答案】-a

（四）總結反思，拓展升華

歸納①相反數的概念及表示方法．

②相反數的代數意義和幾何意義．

③符號的化簡．

1．（1）王亮說：“一個數總比它的相反數大”．你認為正確嗎？

為什么？

a0

A

（2）若數軸上表示一對相反數的兩點之間的距離為26.8，求這

兩個數．

【答案】（1）不正確，如0的相反數還是0，負數的相反數

是正數．

（2）其中的一個數到原點的距離為13.4，所以這兩個數是＋13.4

和－13.4．

2．你若a是不小于－1又不大于3的數，那么a的相反數是什

么樣的數呢？

【提示】結合數軸進行觀察比較．

解：由題意知-1≤a≤，而-1，a，3的相反數分別是1，-a，-3．

∴-a在1和-3之間

故-3≤a≤1

∴a的相反數是不小于-3又不大于1的數．

【點評】在解決問題中，能進行簡單的、有條理的思考．

（五）課堂跟蹤反饋

夯實基礎

1．判斷題

（1）-3是相反數（×）

（2）-7和7是相反數（∨）

（3）-a的相反數是a，它們互為相反數（∨）

（4）符號不同的兩個數互為相反數（×）

2．分別寫出下列各數的相反數，并把它們在數軸上表示出來．

1，-2，0，4.5，-2.5，3

【答案】相反數分別為：-1，2，0，-4.5，2.5，-3，數軸表

示略．

3．若一個數的相反數不是正數，則這個數一定是（Ｂ）

A．正數B．正數或0C．負數D．負數或0

4．一個數比它的相反數小，這個數是（Ｂ）

A．正數B．負數C．非負數D．非正數

5．數軸上表示互為相反數的兩個點之間的距離為4

2

3

，則這兩個

數是±

7

3

．

6．比-6的相反數大7的數是13．

提升能力

7．若a與a-2互為相反數，則a的相反數是–1．

8．（1）-（-8）的相反數是–8，

（2）+（-6）是6的相反數．

（3）1-a的相反數是a-1．

（4）若-x=9，則x=-9．

9．已知有理數m、-3、n在數軸上位置如圖所示，將m、-3、n?

的相反數在數軸上表示，并將這6個數用“<”連接起來．

【答案】-3<-n

開放探究

M0

-3

10．如圖是一個正方體紙盒的展開圖，請把-11，12，11，-2，-12，

2?分別填入六個正方形，使得按虛線折成的正方體后，對面上的兩個

數互為相反數．

11．試討論-a的正負．

【答案】當a<0時，-a>0，當a>0時，-a〈0，當a=0時，－

a=0．

12．新中考題

（2004·河南）－

3

4

的相反數是（Ａ）

A．

3

4

B．－

3

4

C．

4

3

D．－

4

3

教學反思：

這節課的學習，我主要采用了體驗探究的教學方式，為學生提供

了親自操作的機會，引導學生運用已有經驗、知識、方法去探索與發

現等式的性質，使學生直接參與教學活動，學生在動手操作中對抽象

的數學定理獲取感性的認識，進而通過教師的引導加工上升為理性認

識，從而獲得新知，使學生的學習變為一個再創造的過程，同時讓學

生學到獲取知識的思想和方法，體會在解決問題的過程中與他人合作

的重要性，為學生今后獲取知識以及探索和發現打下基礎。

1．2．4絕對值（第一課時）

-2

2

-11

-1211

12

教學目標

1．知識與技能

①能根據一個數的絕對值表示“距離”，初步理解絕對值的概念，

能求一個數的絕對值．

②通過應用絕對值解決實際問題，體會絕對值的意義和作用．

2．過程與方法

經歷絕對值的代數定義轉化成數學式子的過程中，培養學生運用

數學轉化思想指導思維活動的能力．

3．情感、態度與價值觀

①通過解釋絕對值的幾何意義，滲透數形結合的思想．

②體驗運用直觀知識解決數學問題的成功．

教學重點難點

重點：給出一個數，會求它的絕對值．

難點：絕對值的幾何意義、代數定義的導出．

教與學互動設計

（一）創設情境，導入新課

活動請兩同學到講臺前，分別向左、向右行3米．

交流①他們所走的路線相同嗎？②若向右為正，分別可怎樣

表示他們的位置？③他們所走的路程的遠近是多少？

（二）合作交流，解讀探究

觀察出示一組數6與-6，3.5與-3.5，1和-1，它們是一對互

為________，?它們的__________不同，__________相同．

【總結】例如6和-6兩個數在數軸上的兩點雖然分布在原點

的兩邊，?但它們到原點的距離相等，如果我們不考慮兩點在原點的

哪一邊，只考慮它們離開原點的距離，這個距離都是6，我們就把這

個距離叫做6和－6的絕對值．

絕對值：在數軸上表示數a的點與原點的距離叫做a的絕對值，

記作│a│．

想一想（1）-3的絕對值是什么？

（2）+2

3

7

的絕對值是多少？

（3）-12的絕對值呢？

（4）a的絕對值呢？

答案略．

交流同桌間合作交流，每位同學任說五個數，由同桌指出它們

的絕對值．

思考例1求8，-8，3，-3，

1

4

，－

1

4

的絕對值．（出示膠片）

由此，你想到什么規律？

總結互為相反數的兩個數的絕對值相同．

求+2.3，-1.6，9，0，-7，+3的絕對值．（出示膠片）

由此，你想到什么規律？

討論交流正數的絕對值是它本身，負數的絕對值是它的相反數，

0?的絕對值是零．

總結正數的絕對值是它本身．

負數的絕對值是它的相反數．

零的絕對值是零．

討論字母a可以代表任意的數，那么表示什么數？這時a的絕

對值分別是多少？

學生活動：分組討論，教師加入討論，學生相反補充回答．

歸納若a>0，則│a│=a

若a<0，則│a│=-a

若a=0，則│a│=0

（三）應用遷移，鞏固提高

例題填空：

（1）絕對值等于4的數有2個，它們是±4．

（2）絕對值等于-3的數有0個．

（3）絕對值等于本身的數有無數個，它們是0和正數（非

負數）．

（4）①若│a│=2，則a=±2．

②若│-a│=3，則a=±3．

（5）絕對值不大于2的整數是0，±1，±2．

（6）根據絕對值的意義，思考：

①如果=1，那么a>0；

②如果=-1，那么a<0；

③如果a<0，那么－│a│=a．

【點評】去絕對值符號，首先要判斷絕對值里的正負情況，由

此發展自身的合情推理能力．

備選例題

（2004·四川資陽）絕對值為4的數是（）

A．±4B．4C．-4D．2

【點撥】要注意到一個正數的絕對值等于它本身，負數的絕對

值等于它的相反數．

【答案】A

（四）總結反思，拓展升華

本節課，我們學習認識了絕對值，要注意掌握以下兩點：①一個

數的絕對值是在數軸上表示這個數的點到原點的距離；②求一個數的

絕對值必須先判斷是正數還是負數．

1．閱讀與理解：

點A、B在數軸上分別表示有理數a、b，A、B兩點之間的距離表

示為│AB│．

當AB兩點中有一點在原點時，不妨設點A在原點，如圖（1）所

示，│AB│=│OB│=│b│=│a-b│；

當A、B兩點都不在原點時：

①如圖（2）所示，點都在原點的右邊，

│AB│=│OB│-│OA│=│b│-│a│=?b-a=│a-b│；

②如圖（3）所示，點都在原點的左邊，

│AB=│OB│-│OA│=│b│-│a│=-b-?（-a）=│a-b│；

③如圖（4）所示，點都在原點的兩邊，

│AB│=│OA│+│OB│=│a│+│b│=?-a+b=│a-b│；

綜上，數軸上A、B兩點之間的距離│AB│=│a-b│．

2．回答下列問題：

（1）數軸上表示2和5的兩點之間的距離是3，數軸上表示

-2和－5?的兩點之間的距離是3，數軸上表示1和-3的兩點之間

的距離是4；

（2）數軸上表示x和-1的兩點之間的距離是│x+1│，如

果│AB│=2，那么x?為1或是-3；

（3）當代數式│x+1│+│x-2│取最小值時，相應的x的取值范

圍是-1≤x≤2．

（五）課堂跟蹤反饋

夯實基礎

1．填空題

（1）-│-3│=-3，+│-0.27│=0.27，

-│+26│=-26，-（+24）=-24．

（2）-4的絕對值是4，絕對值等于4的數是±4．

（3）若│x│=2，則x=±2，若│-x│=2，則x=±2．若

│-x│=3，則x不存在．

（4）│3.14-?｜=?-3.14．

（5）絕對值小于3的所有整數有±2，±1，0．

2．選擇題

(1)

O(A)

b

a

B

O

(2)

b

a

BA

O

(3)

b

a

BAO

(4)

b

a

BA

（1）則│a│≥0，那么（D）

A．a>0B．a<0C．a≠0D．a為任意數

（2）若│a│=│b│，則a、b的關系是（C）

A．a=bB．a=-bC．a+b=0或a-b=0D．a=0且b=0

（3）下列說法不正確的是（B）

A．如果a的絕對值比它本身大，則a一定是負數

B．如果兩個數相等，那么它們的絕對值也必不相等

C．兩個負有理數，絕對值大的離原點遠

D．兩個負有理數，大的離原點近

（4）若│x│+x=0，則x一定是（C）

A．負數B．0C．非正數D．非負數

（5）已知│a+b│+│a-b│-2b=0，在數軸上給出關于a、b的四

種位置關系，?則可能成立的有（B）

A．1種B．2種C．3種D．4種

提升能力

3．若實數a、b滿足│3a-1│+│b-2│=0，求a+b的值．

【答案】a=

1

3

，b=2，a+b=2

1

3

開放探究

4．正式排球比賽，對所使用的排球的重量是嚴重規定的，檢查

5個排球的重量，超過規定重量的克數記為正數，不足規定重量的克

數記作負數，檢查結果如下表：

b

a0b

a0b

a

0b

a

0

+15-10+30-20-40

指出哪個排球的質量好一些（即重量最接近規定重量）？你怎樣

用學過的絕對值知識來說明這個問題？

【答案】第2個球更好一些，因為它的絕對值最小，說明接近

規定的重量．

5．新中考題

（2004·長沙）-2的絕對值是2．

教學反思：

這節課的學習，我主要采用了體驗探究的教學方式，為學生提供

了親自操作的機會，引導學生運用已有經驗、知識、方法去探索與發

現等式的性質，使學生直接參與教學活動，學生在動手操作中對抽象

的數學定理獲取感性的認識，進而通過教師的引導加工上升為理性認

識，從而獲得新知，使學生的學習變為一個再創造的過程，同時讓學

生學到獲取知識的思想和方法，體會在解決問題的過程中與他人合作

的重要性，為學生今后獲取知識以及探索和發現打下基礎。

1．2．4絕對值（第二課時）

教學目標

1．知識與技能

會利用絕對值比較兩個負數的大小．

2．過程與方法

利用絕對值概念比較有理數的大小，培養學生的邏輯思維能力．

3．情感、態度與價值觀

敢于面對數學活動中的困難，有學好數學的自信心．

教學重點難點

重點：利用絕對值比較兩個負數的大小．

難點：利用絕對值比較兩個異分母負分數的大小．

教與學互動設計

（一）創設情境，導入新課

投影你能比較下列各組數的大小嗎？

（1）│-3│與│-8│（2）4與-5（3）0與3

（4）-7和0（5）0.9和1.2

（二）合作交流，解讀探究

討論交流由以上各組數的大小比較可見：正數都大于0，0都

大于負數，正數都大于負數．

思考若任取兩個負數，該如何比較它的大小呢？

點撥若-7表示－7℃，-1表示－1℃，則兩個溫度誰高誰低？

【總結】兩個負數，絕對值大的反而小，或說，兩個負數絕對

值小的反而大．

注意①比較兩個負數的大小又多了一種方法，即：兩個負數，

絕對值大的反而小．

②異號的兩數比較大小，要考慮它們的正負；同號兩數比較大小，

要考慮先比較它們的絕對值．

③在數軸上表示有理數，它們從左到右的順序也就是從小到大的

順序，即：左邊的數總比右邊的數要小．即：利用數軸來比較有理數

的大小．

（三）應用遷移，鞏固提高

例1比較下列各組數的大小

（1）－

5

6

和－2.7

（2）－

5

7

和－

3

4

解：（1）∵｜－

5

6

｜＝

5

6

│-2.7│=2.7，而

5

6

＜2.7

∴－

5

6

>-2.7

（2）∵｜－

5

7

｜=

5

7

＝

20

28

，｜－

3

4

｜＝

3

4

＝

21

28

，而

20

28

＜

21

28

∴－

5

7

＞－

3

4

例2按從大到小的順序，用“〈”號把下列數連接起來．

-4

1

2

，-（-

2

3

），│-0.6│，-0.6，-│4.2│

解：∵-（-

2

3

）=

2

3

，│-0.6│=0.6，-│4.2│=-4.2

而|-4

1

2

|=4

1

2

，│-0.6│=0.6，│-4.2│=4.2

且4

1

2

>4.2>0.6，0.6<

2

3

∴-4

1

2

<-│4.2│<-0.6<│-0.6│<-（-

2

3

）

例3自己任寫三個數，使它大于-

5

7

而小于-

1

8

．

【點評】此題是一個開放型問題，培養學生發散性思維．

例4已知│a│=4，│b│=3，且a>b，求a、b的值．

【答案】a=4，b=±3

備選例題

（2004．江蘇南通）如圖1-2-11所示，在所給數軸上畫出數-3，

-1，│-2│的點．把這組數從小到大用“〈”號連接起來．

【提示】把它們分別在數軸上點出相關位置，并比較大小．

【答案】略

（四）總結反思，拓展升華

1．本節課所學的有理數的大小比較你能掌握兩種方法嗎？

（1）利用數軸，在數軸上把這些數表示出來，?然后根據“數軸

上左邊的數總比右邊的數大”來比較；

（2）利用比較法則：“正數大于零，負數小于零，兩個負數，?

絕對值大的反而小”來進行．

2．（1）閱讀下列比較－a與－

2

3

a的大小的解題過程：

解：∵│-a│=a，│-

2

3

a│=

2

3

a

又∵a>

2

3

a∴-a<-

2

3

a

你認為上述解答過程正確嗎？與同學們研究，并發表你的看法．

（2）要比較有理數a和

1

3

a的大小時，因為a的正、負不能確定．所

以要分a>0，a=0，a<0三種情況討論：

當a>0時，a>

1

3

a．

當a=0時，a=

1

3

a．

當a<0時，a<

1

3

a．

利用以上結論解題：

①計算│a│+a=_________．

②比較3a+a的值．

0

1

【點評】（1）錯，-a與-

2

3

a并不一定是負數，?不可以用比

較絕對值方法加以比較，可以用比差法，也可以分類．

（2）①當a>0時，2a；當a≤0時，0

②a>0時，3a>a；a=0時，3a=a；a<0時，3a

（五）課堂跟蹤反饋

夯實基礎

1．填空題

（1）絕對值小于3的負整數有-1，-2，絕對值不小于2且

不大于5的非負整數有2、3、4、5．

（2）若│x│=-x，則x≤0，若＝1，則a>0．

（3）用“〉”、“＝”、“〈”填空：

①-7<-5②-0.1<-0.01

③-│-3.2│<-（-3.2）④-│-

10

3

│>-3.34

⑤-

8

9

>－

8

7

⑥-（-

1

4

）>0.025

⑦-?<-3.14⑧-

22

23

>－

202

203

（4）若│x+3│=5，則x=2或－8．

2．選擇題

（1）下列判斷正確的是（Ｄ）

A．a>-aB．2a>aC．a>-

1

a

D．│a│≥a

（2）下列分數中，大于－

1

3

而小于－

1

4

的數是（B）

A．－

11

20

B．－

4

13

C．－

3

16

D．－

6

17

（3）│m│與－5m的大小關系是（D）

A．│m│>-5mB．│m│<-5m

C．│m│=-5mD．以上都有可能

（4）m≠0，則

|a|

a

＝（C）

A．1B．-1C．±1D．無法判斷

提升能力

3．解答題

（1）比較－

7

8

和－

6

7

的大小，并寫出比較過程．

【答案】－

7

8

＜－

6

7

，過程略

（2）求同時滿足：①│a│=6，②-a>0這兩個條件的有理數a．

【答案】a=-6

（3）將有理數：-（-4），0，-│-3

1

2

│，-│+2│，-│-（+1.5）

│，-（-3），│-（+2

1

2

）│表示到數軸上，并用“〈”把它們連接起

來．

【答案】略

（4）甲、乙、丙、丁四個有理數討論大小問題．甲說：我是正

整數中最小的．?乙說：我是絕對值最小的．丙說：我與甲的一半相

反．丁說：我是丙的倒數．你能寫出它們分別是多少嗎？然后按從小

到大的順序排列．

【答案】甲乙丙丁分別是1，0，-

1

2

，-2，丁〈丙〈乙〈甲

（5）若a<0，b>0，且│a│<│b│，試用“〈”號連接a、b、-a、

-b．

【答案】-b

開放探究

4．開放題

已知數軸上有A和B兩點，它們之間的距離為1，點A和原點的

距離為2，?那么所有滿足條件的點B對應的數有哪些？

【答案】-3、-1、1、3

5．新中考題

（2004·山東泰安）若│a│=1，│b│=4，且ab<0，則a+b＝3

或-3．

（六）資料采擷

“數形結合”的思想方法

數學是研究數和形的學科，代數研究數的問題，幾何研究圖形的

性質．在數學里數和形是密切聯系的，我們常常用代數的方法來處理

幾何問題；反過來，也借助幾何圖形來理解代數概念，尋找解題思路，

處理代數問題．這種數和形之間的相互應用，是一種重要的數學思想，

叫做數形結合思想．

數軸的引入，使我們能用直觀的圖形來理解數的有關概念，這就

是“數”與“形”的結合．利用數軸可以比較幾個有理數的大小；利

用數軸可以更好地理解相反數、絕對值的概念；利用數軸可以直觀地

研究有理數的加法運算等．也就是說，在后面將充分利用數軸這個工

具，從數形結合的觀點出發，學習一系列新知識．

教學反思：

這節課的學習，我主要采用了體驗探究的教學方式，為學生提供

了親自操作的機會，引導學生運用已有經驗、知識、方法去探索與發

現等式的性質，使學生直接參與教學活動，學生在動手操作中對抽象

的數學定理獲取感性的認識，進而通過教師的引導加工上升為理性認

識，從而獲得新知，使學生的學習變為一個再創造的過程，同時讓學

生學到獲取知識的思想和方法，體會在解決問題的過程中與他人合作

的重要性，為學生今后獲取知識以及探索和發現打下基礎。

1．3有理數的加減法

1．3．1有理數的加法（第一課時）

教學目標

1．知識與技能

經歷探索有理數的加法法則，理解有理數加法的意義，初步掌握

有理數加法法則，并能準確地進行有理數的加法運算．

2．過程與方法

①有理數加法法則的導出及運用過程中，訓練學生獨立分析問題

的能力及口頭表達能力．

②滲透數形結合的思想，培養學生運用數形結合的方法解決問題

的能力．

3．情感、態度與價值觀

①通過觀察、歸納、推斷得到數學猜想，體驗數學充滿探索性和

創造性．

②運用知識解決問題的成功體驗．

教學重點難點

重點：有理數的加法法則的理解和運用．

難點：異號兩數相加．

教與學互動設計

（一）創設情境，導入新課

課件展示下午放學時，小新的車子壞了，他去修車，不能按時

回家，怕媽媽擔心，打電話告訴媽媽，可媽媽堅持要去接他，問他在

什么地方修車，他說在我們學校門前的東西方向的路上，你先走20

米，再走30米，就能看到我了．于是媽媽來到校園門口．

（二）合作交流，解讀探究

討論媽媽能找到他嗎？

討論交流若規定向東為正，向西為負．

（1）若兩次都向東，很顯然，一共向東走了50米．

算式是：20+30=50

即這位同學位于學校門口東方50米．

這一運算可用數軸表示為

（2）若兩次都向西，則他現在位于原來位置的西50米處．

算式是：（-20）+（-30）=-50

這一算式在數軸上可表示成：

203040

20

30

50

-100

10

O

-20

-10-30-50

-4030

20

10

（3）若第一次向東20米，第二次向西走30米．?則利用數軸可

以看到這位同學位于原位置的西方10米處．

算式是：+20+（-30）=-10（學生試畫數軸以下同）

（4）若第一次向西走20米，第二次向東走30米．?利用數軸可

以看到這位同學位于原位置的什么地方？如何用算式表示？

算式是：（-20）+（+30）=+10

對以下兩種情形，你能表示嗎？

（5）第一次向西走了20米，第二次向東走了20米，?那這位同

學位于原位置的什么地方？

這位同學回到了原位置．即：-（20）+（+20）=0．

（6）如果第一次向西走了20米，第二次沒有走，那如何呢？

-20+0=-20

思考根據以上6個算式，你能總結出有理數相加的符號如何確

定？?和的絕對值如何確定？互為相反數相加，一個有理數和0相加，

和分別為多少？

學生活動小組討論、試看分類、歸納

觀察（1）式，兩個加數都為正，和的符號也是正，?和的絕對值

正好是兩個加數絕對值的和．

觀察（2）式，兩個加數都為負，和的符號也是負，?和的絕對值

是兩個加數絕對值的和．

由（1）（2）歸納：同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值

相加．

如：（-7）+（-8）=-15，16+17=+33，（-4）+（-9）=-13

觀察（3）式、（4）式可見：兩個加數的符號不同，和的符號有

的是“＋”號，有的是“－”號，為了更清楚總結規律．可引導學生

再舉幾個類似的例子，從而可總結得到：

絕對值不相等的異號兩數相加，取絕對值較大的加數的符號，并

用較大的絕對值減去較小的絕對值．

觀察（5）可知：互為相反的兩個數和為0．

觀察（6）可知：一個數和零相加，仍然得這個數．

【總結】有理數加法法則：

（1）同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加．

（2）絕對值不相等的異號兩數相加，取絕對值較大的加數的符

號，?并用較大的絕對值減去較小的絕對值，互為相反數的兩個數相

加得0．

（3）一個數同0相加，仍得這個數．

（三）應用遷移，鞏固提高

例1計算

（1）（-4）+（-6）=-10

（2）（+15）+（-17）=-2

（3）（-39）+（-21）=-60

（4）（-6）+│-10│+（-4）=0

（5）（-37）+22=-15

（6）-3+（3）=0

例2某足球隊在一場比賽中上半場負5球，下半場勝4球，?

那么全場比賽該隊凈勝－1球．

例3絕對值小于2005的所有整數和為0．

例4一個數是11，另一個數比11的相反數大2，那么這兩個

數的和為（C）

A．24B．-24C．2D．-2

例5下面結論正確的有（B）

①兩個有理數相加，和一定大于每一個加數．

②一個正數與一個負數相加得正數．

③兩個負數和的絕對值一定等于它們絕對值的和．

④兩個正數相加，和為正數．

⑤兩個負數相加，絕對值相減．

⑥正數加負數，其和一定等于0．

A．0個B．1個C．2個D．3個

例6根據有理數加法法則，分別根據下列條件，利用│a│與

│b│表示a?與b的和：

（1）a>0，b>0，則a+b=│a│+│b│

（2）a<0，b<0，則a+b=-（│a│+│b│）

（3）a>0，b<0，│a│>│b│，則a+b=│a│-│b│

（4）a>0，b<0，│a│<│b│，則a+b=-（│b│-│a│）

例7如果a>0，b<0，且a+b<0，比較a、+a、b、－b的大小．

【提示】由a>0，b<0，且a+b<0，根據加法法則來確定a、b

的絕對值的大小再利用數軸來比較大小．

【答案】b<-a

【點評】數形結合的思想是解決問題的關鍵．

備選例題

（2004·南京）在1，－1，-2這三個數中，任意兩數之和的最

大值是（）

A.1B.0C.-1D.3

【點撥】只有找出最大的兩個數，才會出現最大的和．

【答案】B

（四）總結反思，拓展升華

1．有理數的加法法則指出進行有理數加法運算，首先應先判斷

類型，?然后確定和的符號，最后計算和的絕對值．特別是絕對值不

等的異號兩數相加，和的符號與絕對值較大的加數符號相同，并把絕

對值相減，因為正負互為抵消了一部分．

2．活動

（1）請你在順序給出的數字2、3、4、5、6、7、8、9?前面添

加“＋”或“－”號，使它們的和為10；

（2）把你的答案與同學的答案對一下，有什么不一樣？?不同的

填寫方法共有幾種？

（3）若允許出現一位數和兩位數（不改變給出的數字的次序，?

在某些數字前面不添加“＋”或“－”號，此時把連續的兩個數字示

為兩位數），還能得到10嗎？回答是肯定的．例如：2+34+56+7-89，

請你試一試，寫出幾個式子：

（4）請你另外約定某個規則，并按規則寫出一些式子來．

【答案】（1）-2-3-4+5+6+7-8+9；-2-3+4-5+6-7+8+9；

-2+3-4-5-6+7+8+9；-2+3+4+5-6+7+8-9；

-2+3+4+5+6-7-8+9；2-3+4-5+6+7+8-9；

2-3+4+5-6+7-8+9；2+3-4-5+6+7-8+9；

2+3-4+5-6-7+8+9；2+3+4+5+6+7-8-9（提示：使得負數之和為

17）．

（2）共10種（3）如23+4+5+67-89等

（4）在順次給出的數字2，3，4，5，6，7，8，9前面增加“＋”

或“－”號，使它們的和為0．如2+3+4-5+6+7-8-9等．（提示：使

得負數和為22）

（五）課堂跟蹤反饋

夯實基礎

1．填空題

（1）絕對值不小于3且小于5的所有整數的和為0．

（2）已知兩數5

1

2

和－6

1

2

，這兩個數的相反數的和是1，

兩數和的相反數是1，兩數絕對值的和是12，兩數和的絕對

值是1．

（3）①若a>0，b>0，則a+b>0．

②若a<0，b<0，且a+b<0．

③若a>0，b<0，且│a│>│b│，則a+b>0．

④若a>0，b<0，且│a│<│b│，則a+b<0．

（4）若│a│=3，│b│=5，則│a+b│=2或8，a+b=±2

或±8．

（5）若a<0，b>0，且a+b<0，則│a│>│b│（填“>”或

“<”）

2．計算題

（1）（-15）+27=12

（2）（-3.2）+（+3.2）=-0.9

（3）5.2+（-2.8）=2.4

（4）（-2）+（+1）=－１

1

6

（5）-8+│-5│=-3

（6）-（-7）+（-2）=5

提升能力

3．列式計算

（1）求3

1

3

的相反數與-2

2

3

的絕對值的和．

（2）某市一天上午的氣溫是10℃，上午上升2℃，半夜又下降

15℃，則半夜的氣溫是多少．

【答案】（1）-3

1

3

+│-2

2

3

│=－

2

3

（2）10+2+（-15）=-3（℃）

4.若a<0，b>0，且a+b<0，試比較a、b、-a、-b的大小，?并用

“〈”把它們連接起來．

【答案】利用加法法則和數軸結合a<-b

開放探究

5．在－44，-43，-42，…，2001，2002，2003，2004，2005?

這一串的整數中，?求前100個連續整數的和．

【答案】550

6．舉例說明當m、n為任意有理數時，│m+n│與│m│+│n│的

大小關系，?并與同學們共同討論：

（1）你所列舉的大小關系是否全面．

（2）運用有理數加法法則加以解釋．

【答案】（1）│m+n│≤│m│+│n│（2）略

7．新中考題

（2004·吉林）填空題：某天早晨的氣溫是－7℃，中午上升了

11℃，?則中午的氣溫是4℃．

教學反思：

這節課的學習，我主要采用了體驗探究的教學方式，為學生提供

了親自操作的機會，引導學生運用已有經驗、知識、方法去探索與發

現等式的性質，使學生直接參與教學活動，學生在動手操作中對抽象

的數學定理獲取感性的認識，進而通過教師的引導加工上升為理性認

識，從而獲得新知，使學生的學習變為一個再創造的過程，同時讓學

生學到獲取知識的思想和方法，體會在解決問題的過程中與他人合作

的重要性，為學生今后獲取知識以及探索和發現打下基礎。

1．3．1有理數的加法（第二課時）

教學目標

1．知識與技能

①能運用加法運算律簡化加法運算．

②理解加法運算律在加法運算中的作用，適當進行推理訓練．

2．過程與方法

①培養學生的觀察能力和思維能力．

②經歷對有理數的運算，領悟解決問題應選擇適當的方法．

3．情感、態度與價值觀

在數學學習中獲得成功的體驗．

教學重點難點

重點：如何運用加法運算律簡化運算．

難點：靈活運用加法運算律．

教與學互動設計

（一）情境創設，導入新課

思考在小學里，我們學過的加法運算有哪些運算律？它們的內

容是什么？能否舉一兩個例子來？

那這些加法運算律還適于有理數范圍嗎？今天，我們一起來探究

這個問題．

（二）合作交流，解讀探究

體驗1．自己任舉兩個數（至少有一種是負數），分別填入下列

□和○中，?并比較它們的運算結果，你發現了什么？

□＋○和○＋□

發現：對任選擇的數，都有□＋○＝○＋□，即小學里學過的加

法交換律在有理數范圍內仍是成立的．

體驗2．任選三個有理數（至少有一個是負數），分別填入下列

□，○，?◇內，并比較它們的運算結果．

（□＋○）＋◇和□＋（○＋◇）

發現都有（□＋○）＋◇＝□＋（○＋◇），這就是說，小學的

加法結合律，在有理數范圍內都是成立的．

小結有理數的加法仍滿足交換律和結合律．

加法交換律：兩個數相加，交換加數的位置，和不變．用式子表

示成a+b=a+b．

加法結合律：三個數相加，先把前兩個數相加，或者先把后兩個

數相加，和不變，用式子表示成（a+b）+c=a+（b+c）

（三）應用過移，鞏固提高

例1說出下列每一步運算的依據

（-0.125）+（+5）+（-7）+（+

1

8

）+（+2）

=（-0.125）+（+

1

8

）+（+5）+（+2）+（-7）（加法交換律）

=[（-0.125）+（+

1

8

）]+[（+5）+（+2）]+（-7）（加法結合律）

=0+（+7）+（-7）（有理數的加法法則）

=0（有理數的加法法則）

例2利用有理數的加法運算律計算，使運算簡便．

（1）（+9）+（-7）+（+10）+（-3）+（-9）

（2）（+0.36）+（-7.4）+（+0.03）+（-0.6）+（+0.64）

（3）（+1）+（-2）+（+3）+（-4）+…+（+2003）+（-2004）

【答案】（1）0（2）-6.7（3）-1002

例3某出租司機某天下午營運全是在東西走向的人民大道進行

的，?如果規定向東為正，向西為負，他這天下午行車里程如下（單

位：千米）

+15，+14，-3，-11，+10，-12，+4，-15，+16，-18

（1）他將最后一名乘客送到目的地，該司機距下午出發點的距

離是多少千米？

（2）若汽車耗油量為a公升/千米，這天下午汽車共耗油多少公

升？

解：（1）+15+（+14）+（-3）+（-11）+（+10）+（-12）+4+（-15）

+16+（-18）

=[15+（-15）]+（14+10+4+16）+[（-3）+（-11）+（-12）+

（-18）]

=0

（2）（│+15│+│+14│+│-3│+│-11│+│+10│+│-12│+│4

│+│-15│+?│16│+│-18│）·a

=118a

【答案】（1）將最后一名乘客送到目的地，該司機仍在其出

發點．

（2）共耗油118a公升．

例4若│2x-3│與│y+3│互為相反數，求x+y的相反數．

【提示】兩個非負數互為相反數，只有都為０．

解：根據題意，有2x-3=0，y+3=0

則x=

3

2

，y=-3

x+y=

3

2

+（-3）=－

3

2

．

所以x+y的相反數是

3

2

．

備選例題

（2004·蕪湖）小王上周在股市以收盤價/（收市時的價格）每

股25?元買進某公司股票1000股，在接下來的一周交易日內，小王

記下該股票每日收盤價格相比前一天的漲跌情況：（單位：元）

星期一二三四五

每股漲跌（元）+2-0.5+1.5-1.8+0.8

根據上表回答問題：

（1）星期二收盤時，該股票每股多少元？

（2）周內該股票收盤時的最高價、最低價分別是多少？

（3）已知買入股票與賣出股票均需支付成交金額的千分之五的

交易費．?若小王在本周五以收盤價將全部股票賣出，他的收益情況

如何？

【答案】（1）星期二收盤價為25+2-0.5=26.5（元／股）

（2）收盤最高價為25+2-0.5+1.5=28（元/股）

收盤最低價為25+2-0.5+1.5-1.8=26.2（元/股）

（3）小王的收益為：27×1000（1-5‰）-25×1000（1+5‰）

=27000-135-25000-125

=1740（元）

∴小王的本次收益為1740元．

（五）總結反思，拓展升華

本節課我們探索了有理數的加法交換律和結合律．靈活運用加法

的運算律使運算簡便．一般情況下，我們將互相為相反數的相結合，

同分母的分數相結合，能湊整數的數相結合，正數負數分別相加，從

而使計算簡便．

1．計算

?

1

12

＋

23?

1

＋

34?

1

＋…＋

20032004?

1

2．如果│a│=3，│b│=2，且a

3．取-56，從該數起，逐次加1，得到一列數．-56，-55，-54，

-53，-52，…問：

（1）第10個整數是多少？第56個呢？第100個呢？

（2）依次求出這列數前10個、前56個、前100個整數的和分

別是多少？

（3）這列數字前n個數的和是否隨著n的增大而增大？請說明

理由．

【答案】1．

2004

2003

2．5或1．

3．（1）-47，-1，43

（2）-515，-1596，-650

（3）不是，當加到第58個數（為1）時，前n個數的和才開始

遞增．

（六）課堂跟蹤反饋

夯實基礎

1．運用加法的運算律計算（+6

3

1

）+（-18）+（+4

3

2

）+（-6.8）

+18+（-3.2）最適當的是（D）

A．[（+6

3

1

）+（4

3

2

）+18]+[（-18）+（-6.8）+（-3.2）]

B．[（+6

3

1

）+（-6.8）+（4

3

2

）]+[（-18）+18+（-3.2）]

C．[（+6

3

1

）+（-18）]+[（+4

3

2

）+（-6.8）]+[18+（-3.2）]

D．[（+6

3

1

）+（+4

3

2

）]+[（-18）+18）]+[（-3.2）+（-6.8）]

2．已知│x│=4，│y│=5，則│x+y│的值為（C）

A．1B．9C．9或1D．±9或±1

3．有理數中，所有整數的和等于0．

4．（-2）+4+（-6）+8+…+（-98）+100=50．

5．一個加數是絕對值等于

8

1

的負有理數，另一個加數是－

2

1

的相

反數，?這兩個數的和等于

8

3

．

6．計算題

（1）-16

3

1

+29

6

1

（2）（+0.65）+（-1.9）+（-1.1）+（-

20

13

）+（+5

3

2

）+（-2

3

1

）

（3）1

4

3

+（-6.5）+3

8

3

+（-1.75）+2

8

5

（4）（+6

5

3

）+（-5

3

2

）+（4

5

2

）+（+2

7

1

）+（-1）+（-1

7

1

）

【答案】（1）12

6

5

（2）

3

1

（3）-0.5（4）5

提升能力

7．小李到銀行共辦理了四筆業務，第一筆存入120元，第二筆

支取了85元，第三筆取出70元，第四筆存入130元．如果將這四筆

業務合并為一筆，?請你替他策劃一下這一筆業務該怎樣做．

【答案】＋120+（-85）+（-70）+（+130）=95（元），所以一

次存入95元．

8．某檢修小組乘汽車沿公路檢修線路，約定前進為正，后退為

負．?某天自Ａ地出發到收工時所走路線（單位：千米）為：+10，-3，

+4，+2，-8，+13，-2，+12，+8，?+5．

（1）問收工時距Ａ地多遠？

（2）若每千米路程耗油0.2升，問從Ａ地出發到收工共耗油多

少升？

【答案】（1）距Ａ41千米（2）13.4升

開放探究

把-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3這些數填入下圖的圓圈中，

?使得每條直線上數字之和都為0．

【答案】

9．新中考題

3

-1

-5

-4

-3

-2

2

1

0

（2004·重慶萬州區）計算：-3+│-1│=-2．

教學反思：

這節課的學習，我主要采用了體驗探究的教學方式，為學生提供

了親自操作的機會，引導學生運用已有經驗、知識、方法去探索與發

現等式的性質，使學生直接參與教學活動，學生在動手操作中對抽象

的數學定理獲取感性的認識，進而通過教師的引導加工上升為理性認

識，從而獲得新知，使學生的學習變為一個再創造的過程，同時讓學

生學到獲取知識的思想和方法，體會在解決問題的過程中與他人合作

的重要性，為學生今后獲取知識以及探索和發現打下基礎。

1．3．2有理數的減法（第一課時）

教學目標

1．知識與技能

①經歷探索有理數減法法則的過程，理解有理數減法法則．

②會熟練進行有理數減法運算．

2．過程與方法

①體驗把減法運算轉化為加法運算，滲透轉化思想．

②經歷探索有理數減法法則的過程，發展學生的邏輯思維能力．

3．情感、態度與價值觀

在數學學習中獲得成功的體驗，尊重并充分理解他人的見解．

教學重點難點

重點：有理數減法法則和運算．

難點：有理數減法法則的推導．

教與學互動設計

（一）創設情境，導入新課

搶答游戲（1）-7+______=+5，（2）______+（-3）=12，（3）

（-72）+______=-30

投影2．大家看這幅畫面，由實物投影儀顯示課本第１頁引言

中的畫面，?這是北京2003年11月某天的溫度為-3～3℃，它確切的

含義是什么？?這一天的最高溫差是多少？

觀察、討論

表明最高溫度差為3℃，最低溫度為-3℃，這天最高溫差為6℃．

思考能不能列計算式？

生：3-（-3）

（二）合作交流，解讀探究

鼓勵學生充分探索，提示減法是加法的逆運算，思考該如何轉化．

觀察下列兩式：（？）+（-3）=4

根據有理數加法法則，有（+7）+（-3）=4

因而為：4-（-3）=7

觀察總結比較下列兩式：

4-（-3）=74+3=7

因而有：4-（-3）=4+3

你能發現什么嗎？

再舉一組數：計算（-5）-（+3）=-5+_____

學生活動3+（？）=-5

因為3+（-8）=-5

所以（-5）-（+3）=-8

又-5+（-3）=-8

總結歸納：減去一個數，等于加上這個數的相反數，字母表示為：

a-b=a+（-b）

（三）應用遷移，鞏固提高

例1計算題

（1）（－

3

2

）-（+

12

1

）-（-

4

1

）

（2）（-0.1）-（-8

3

1

）+（-11

3

2

）-（-

10

1

）

（3）（-1.5）-（-1.4）-（-3.6）+（-4.3）-（+5.2）

（4）（5-6）-（7-9）

【答案】（1）－

2

1

（2）-3

3

1

（3）-6（4）1

例2根據題意列出式子計算

（1）一個加數是1.8，和是－0.81，求另一個加數．

（2）－

3

1

的絕對值的相反數與

3

2

的相反數的差．

解：（1）另一個數為-0.81-1.8=-2.61

（2）-｜-

3

1

|-（-

3

2

）=-

3

1

例3若│a│=8，│b│=3，且a

解：由題知a=±8，b=±3，且a

a-b=-8-3=-11或a-b=-8-（-3）=-5，即：a-b=-11或-5．

所以:(-5)-(+3)=(-5)+(-3)=-8

例4若a<0，b>0，則

（1）│a-b│=b-a

（2）若│a+b│+│a-b│=-2a，則應添加什么條件．

【提示】去絕對值首先必須考慮絕對值的正負，在（2）中，

要使結果為-2a，即前一個絕對值為－a-b，后一個絕對值為b-a，即

a+b必須為負，?從而確定成立的條件．

【答案】a+b<0

【點評】由結論反過來推導條件，根據結論的特征作推斷．

備選例題（2004·浙江紹興）比-1小1的數是（D）

A．-1B．0C．1D．-2

【提示】即-1-1=－2

【答案】D

（四）總結反思，拓展升華

總括：有理數減法法則是一個轉化法則，減數變為它的相反數，

從而減法轉化為加法．可見，引進負數后對加法和減法，可以用統一

的加法來解決．

不論是正數、負數或是零，都符合有理數減法法則，在使用法則

時，注意減號變加號的同時把減數變成它的相反數，而被減數不變．

1．已知a<0，b<0，│a│>│b│，試判斷a-b的符號．

【答案】負

（2）a、b是兩個有理數，試比較a-b與a的大小．

【答案】當b>0時，a-ba．

3．已知有理數a、b在數軸上對應的位置如圖所示：

（1）比較a-b與a+b的大小．

（2）化簡│b-a│+│a+b│

【答案】（1）a-b>a+b（2）-2b

4．下圖是一家飯店樓層的示意圖．其中有6層是客房，底樓是

接待處，?地下3層是停車場．

7

客

戶

6

5

4

3

2

1接待處

-1

停車場-2

-3

（1）客房5樓與停車場2樓相差幾層？

（2）一服務員把汽車停在停車場1樓，進入該層電梯，往上7

層，又下3層，再下3層，最后上7層，你知道最后他在哪里？

（3）某日，電梯停電，該服務員在停車場1樓停好汽車后，只

-1b

a

1

0

能走樓梯，他先去客房，依次到了5樓、1樓、4樓，然后去接待處，

最后回到停到場1樓，他共走了幾層樓梯？

【答案】（1）7層（2）客房7層（3）16層

（五）課堂跟蹤反饋

夯實基礎

1．填空題

（1）0℃比－10℃高多少度？列算式為0-（-10），轉化為

加法是0+10，?運算結果為10．

（2）減法法則為減去一個數，等于加上這個數的相反數，

即把減法轉為加法．

（3）比-18小5的數是–23，比-18小-5的數是–13．

（4）A、B兩地海拔高度為100米、-20米，B地比A地低120

米．

2．下列說法正確的是（C）

A．正數與正數的差是正數B．負數與負數的差是正數

C．正數減去負數差為正數D．0減去正數差為正數

3．下列說法正確的個數是（A）

①減去一個數等于加上這個數;②零減去一個數，仍得這個數

③兩個相反數相減得零;④有理數減法中，被減數不一定比減

數或差大

⑤減去一個負數，差一定大于被減數;⑥減去一個正數，差不

一定小于被減數

A．2個B．3個C．4個D．5個

4．計算題

（1）（-7）-（-4）-（+5）;（2）（-9）-[（-10）-（-2）]

（3）（-4

4

1

）-（+5

3

1

）-（-4

4

1

）;（4）-8.2-9.2-1.6-（-5）

【答案】（1）-8，（2）-1，（3）-5

3

1

，（4）-14

提升能力

5．若│a│=5，│b│=7，且│a+b│=-（a+b），求a-b的值．

【答案】12或2

6．全班學生分為五個組進行游戲，每組的基本分為100分，答

對一題加50分，答錯一題扣50分，游戲結束時，各組的分數如下：

第1組第2組第3組第4組第5組

100150-400350-100

（1）第一名超出第二名多少分？

（2）第一名超出第五名多少分？

【答案】（1）200，（2）750

開放探究

7．設A是-4的相反數與-12的絕對值的差，B是比－6大5的數．

求：（1）A-B（2）B-A（3）從（1）、（2）的計算結果，你能

知道A-B與B-A?之間有什么關系？

【答案】A=-8，B=-1（1）-7（2）7（3）互為相反數關

系

8．若a>0，b<0，試比較－a，-b，-（a+b），-（a-b）的大小關

系．

【答案】-（a-b）<-a<（-（a+b）<-b

9．新中考題

（2004·重慶）計算2-（3）的結果為（B）

A．-5B．5C．1D．-1

教學反思：

這節課的學習，我主要采用了體驗探究的教學方式，為學生提供

了親自操作的機會，引導學生運用已有經驗、知識、方法去探索與發

現等式的性質，使學生直接參與教學活動，學生在動手操作中對抽象

的數學定理獲取感性的認識，進而通過教師的引導加工上升為理性認

識，從而獲得新知，使學生的學習變為一個再創造的過程，同時讓學

生學到獲取知識的思想和方法，體會在解決問題的過程中與他人合作

的重要性，為學生今后獲取知識以及探索和發現打下基礎。

1．3．2有理數的減法（第二課時）

教學目標

1．知識與技能

使學生理解加減法統一成加法的意義，能熟練地進行有理數加減

法的混合運算．

2．過程與方法

通過加減法的相互轉化，培養學生的應變能力，口頭表達能力及

計算能力．

3．情感、態度與價值觀

敢于面對數學活動中的困難，并有獨立克服困難和運用知識解決

問題的成功體驗．

教學重點難點

重點：把加減混合運算理解為加法算式．

難點：把省略括號的和的形式直接按有理數加法進行計算．

教與學互動設計

（一）創設情境，導入新課

競賽活動比一比，看誰算得快

（-20）+（+3）-（-5）-（+7）

（-7）+（+5）+（-4）-（-10）

（二）合作交流，解讀探究

師：對比上式①，你首先想到將原式如何變形？

生：根據有理數的減法法則把減號統一成加號，即原式變為：

-20+（+3）+（+5）+（-7）

師：很好，可見在引入相反數后，加減混合運算可以統一為加法

運算．用字母可表示成：

a+b-c=a+b+（-c）．

下面：請大家一起來練習計算以上兩道題．

學生作業練習

師針對學生做的方法評析，作以下說明．

1．式③表示的是-20，+3，+5，-7的和，為了書寫簡單，可以

省略式中的括號，?從而有-20+3+5-7．

大家要注意到，雖然加號和括號都省略了，但-20+3+5-7仍表示

-20，+3，+5，-?7的和所以這個算式可以讀作“負20，正3，正5，

負7的和”．當然，?按運算意義也可讀作“負20加3加5減7”．

學生嘗試用兩種讀法讀．同桌間互相出式，并讀出兩種讀法．

2．剛才在大家練習的過程中，我們看到有兩種典型的處理方法，

?一是將原式按次序計算；二是將原式換成（-20-7）+（3+5）．大家

觀察比較一下，?你看哪種方法更好，為什么？

生：第二種過程更簡便、合理．因為它運用了有理數加法的交換

律、結合律．

師：太棒了，在有理數的加法運算中，通常應用加法運算律，可

使計算簡化，根據剛才過程可見，在有理數加減混合運算統一成加法

后，一般應注意運算的合理性，適當運用運算律．大家一起看下面問

題：

（三）應用遷移，鞏固提高

例1把（+

3

2

）+（－

5

4

）-（+

5

1

）-（-

3

1

）-（+1）寫成省略加

號的和的形式，并計算．

解：（+

3

2

）+（－

5

4

）-（+

5

1

）-（-

3

1

）-（+1）

=（+

3

2

）+（－

5

4

）-（-

5

1

）-（+

3

1

）-（+1）

=

3

2

－

5

4

-

5

1

+

3

1

-1

=

3

2

+

3

1

-

5

4

-

5

1

-1

=1-1-1

=-1

說明：解題過程由學生口述、教師板演，同時提問每步的根據和

目的，并強調書寫的規范化．

師：縱觀這道題的解答過程，你能總結得到什么？小組同學可作

交流．

學生小組交流，并總結．

【總結】有理數的加減混合運算的計算有如下幾個步驟：

1．將減法轉化成加法運算：

2．省略加號和括號；

3．運用加法交換律和結合律，將同號兩數相加；

4．按有理數加法法則計算．

例2比誰算得對，算得快

（1）（+

7

2

）+（-

9

4

）-（+

9

5

）-（-

5

7

）-（+1）

（2）-7-（-8）-（-7

1

2

）-（+9）+（-10）+11

1

2

（3）-99+100-97+98-95+96+…+2

（4）-1-2-3-…-100

【點撥】按照正確的運算法則進行運算．

【答案】（1）-1，（2）1，（3）50，（4）-5050

例3銀行儲蓄所辦理了8件工作業務，取出950元，存進500

元，取出800元，?存進1200元，存進了2500元，取出1025元，取

出200元，存進400元，這時，銀行現款是增加了，還是減少了？增

加或減少了多少元？

【點撥】根據題意把取出記為“－”，存進記為“＋”，列出算

式進行運算．

解：每次存款數記為-950，＋500，-800，+1200，+2500，-1025，

-200，+400．

則總額為：

－950+500+（-800）+1200+2500+（-1025）+（-200）+400

=1625（元）

答：增加了1625元．

備選例題（2003·桂林）計算1-3+5-7+9-11+…+97-99

【點撥】抓住算式的結構規律，可以考慮兩兩結合．

解：原式＝（1-3）+（5-7）+（9-11）+…+（97-99）=-50

（五）總結反思，拓展升華

回顧一下本節課所學內容，你學會了什么？

說明：在學生思考回答的過程中將本節的重點知識納入知識系統．

1．若x<0，則│x-（-x）│等于（D）

A.-xB.0C.2xD.-2x

2．“*”表示一種運算，規則是

3*6=3-4+5-6

0*6=0-1+2-3+4-5+6

-3*6=-3-（-2）+（-1）-0+1-2+3-4+5-6

3*（-6）=3-2+1-0+（-1）-（-2）+（-3）-（-4）+（-5）-

（-6）

0*（-6）=0-（-1）+（-2）-（-3）+（-4）-（-5）+（-6）

（-3）*（-6）=（-3）-（-4）+（-5）-（-6）

（1）試根據以上的運算規則，填寫下列各式的運算過程和結果：

①（-4）*4=-4-（-3）+（-2）-（-1）+0-1+2-3+4=0；

②1*10=1-2+3-4+5-6+7-8+9-10=-5；

③（-5）*（-11）=（-5）-（-6）+（-7）-（-8）+（-9）

-（-10）+（-11）

=-8；

④0*（-4）=0-（-1）+（-2）-（-3）+（-4）=-2；

⑤4*（-5）=4-3+2-1+0-（-1）+（-2）-（-3）+（-4）-

（-5）=5；

（2）根據以上的運算規則，填寫結果：

①1*100=-50；

②（-100）*（-1）=-50；

③若（-1）*n=2，則n為C；（在下列答案中選：A.5B.-4

C.-4或5D.無法確定）

④若n*（-3）=-2，則n=-1或6；若n*（-1）=-2，則

n=-3或－4．

（六）課堂跟蹤反饋

1．填空題

（1）式子-6-8+10+6-5讀作負6，負8，正10，正6與負5的

和，或讀作負6?減8?加10加6減5．

（2）把－a+（+b）-（-c）+（-d）寫成省略加號的和的形式為

-a+b＋c-d．

（3）若│x-1│+│y+1│=0，則x-y=2．

（4）運用交換律填空：-8+4-7+6=-8–7+4+6

2．選擇題

（1）已知m是6的相反數，n比m的相反數小2，則m+n等于（D）

A．4B．8C．-10D．-2

（2）使等式│-5-x│=│-5│+│x│成立的x是（D）

A．任意一個數B．任意一個正數

C．任意一個負數D．任意一個非負數

（3）-a+b-c由交換律可得（B）

A．-b+a-cB．b-a-cC．a-+c-bD．-b+a+c

（4）a、b兩數在數軸上位置如圖，設M=a+b，N=-a+b，H=a-b，

G=-a-b，?則下列各式中正確的是（B）

A.M>N>H>GB.H>M>G>NC.H>M>N>G

D.G>H>M>N

提升能力

3．計算題

（1）0-（+5）-（-3.6）+（-4）+（-3）-（-7.4）

（2）（+3

3

4

）-（-1

1

2

）+（-

1

6

）-（-

5

8

）-（+4

2

3

）

-1b

a

1

0

（3）2-（-5

5

6

）-（+4

3

7

）+（-2

1

6

）-（+6

11

21

）

（4）1-2+3-4+5…+2003-2004

【答案】（1）-1（2）

25

24

（3）-5

2

7

（4）-1002

4．某醫院的急診病房收治了一位非典病人，護士每隔2個小時

為這位病人量一次體溫（單位為℃）（正常人的體溫37℃）．

（1）完成下表：

時刻8點10點12點14點16點18

點

體溫

與正常人的正常體溫

差值

（2）這一天的8點18點之間，這位急診病人哪個時刻體溫最高？

哪個時刻的體溫低？

（3）這位病人的這一天的平均體溫是多少？

【答案】（1）略（2）14點最高（3）38.6℃

開放探究

5．股票交易是市場經濟中的一種金融活動，它可以促進投資和

資金流通．?南京某證券交易所的一種股票第一天最高價比開盤價高

0.2元，?最低價比開盤價低0.3元，第二天的最高價比開盤價高0.3

元，最低價比開盤價低0.1元，第三天的最高價等于開盤價，最低價

比開盤價低0.2元．一天中最高價與最低價的差，?叫做這天股票的

漲幅．計算這三天的平均漲幅．

【答案】0.4

6．新中考題

（2004·呼和浩特）選擇題：計算9-（-3）=（D）

A．-12B．6C．-6D．12

教學反思：

這節課的學習，我主要采用了體驗探究的教學方式，為學生提供

了親自操作的機會，引導學生運用已有經驗、知識、方法去探索與發

現等式的性質，使學生直接參與教學活動，學生在動手操作中對抽象

的數學定理獲取感性的認識，進而通過教師的引導加工上升為理性認

識，從而獲得新知，使學生的學習變為一個再創造的過程，同時讓學

生學到獲取知識的思想和方法，體會在解決問題的過程中與他人合作

的重要性，為學生今后獲取知識以及探索和發現打下基礎。

1.3.2有理數的減法（第三課時）

教學目標

1．知識與技能

使學生會使用計算器進行有理數的加減運算．

2．過程與方法

嘗試從不同角度尋求解決問題的方法，并能有效地解決問題．

3．情感、態度與價值觀

有克服困難和運用知識解決問題的成功體驗．

教學重點難點

重點：記清計算器中常用功能鍵的用法，多進行實際操作，逐步

熟悉計算器的用法．

難點：準確地用計算器進行加減運算．

教與學互動設計

（一）創設情境，導入新課

觀察體驗大家看這樣一個算式：-15.13+4.85+（-7.69）-

（-13.38）要計算出它的值，你能有什么方法嗎？

引導使用計算器、電子計算器，簡稱計算器，具有運算快，操

作簡便，體積小，功能多等特點，既可幫助我們進行各種復雜的數學

計算，還可以幫助我們理解數學概念，有時計算器還可以編程序或繪

制各種圖形．在信息高速發展的時代，它已成為人們廣泛使用的計算

工具．

本節課我們來學習計算器的簡單使用方法．

（二）合作交流，解讀探究

自主探索我們平時用的是帶符號鍵（一）的計算器或帶符號鍵

+/-?的計算器．下面，我們就這兩種類型的計算器將上式計算一下．

首先閱讀課本第30頁，并對照計算器操作，再練習計算

-15.13+4.85+（-7.69）-（-13.38）

學生活動：閱讀、對照課本實際操作．

學生演示（一）-15.13+4.85+（-7.69）-（13.38）

=-15.13+4.85-7.69+13.38

按鍵順序

（一）15.13+4.85-7.69+13.38=顯示-4.59

演示（二）

15.13+-+4.85-7.69+13.18=顯示-4.59

總結：-15.13+4.85+（-7.69）-（-13.38）=-4.59

（三）應用遷移，鞏固提高

例1用計算器計算

（1）（-417）+509+（-371）+（-137）

（2）（-18.65）+（-6.23）+18.41+6.53-（-12.64）

（3）81.26-（+293.08）-（-8.74）-（-111.29）

（4）-26.18+（-12.93）+16.77-（-78.81）

【答案】（1）-416（2）12.7（3）-91.79（4）56.47

例2課本練習．

備選例題（2004·湖北荊門）計算機利用的二進制數，它共有

兩個數碼0，?1，將一個十進制數轉化為二進制數，只需把該數寫成

若干個2n數的和，?依次寫出成0即可．如19（+）

=16+2+1=1×24+0×23+0×22+1×21+1×20=10011（二）為二進制下的

5?位數，則十進制數2004是二進制下的（）

A.10位數B.11位數C.12位數D.13位數

【提示】根據二進制數的定義來將2004改寫為二進制形式．

2004=1×210+1×29+1×28+1×27+1×26+1×25+1×24+1×23+1×22

可見，?二進制下2004是11位．

【答案】B

（四）總結反思，拓展升華

1．使用計算器，能使我們從繁雜的計算中解放出來．使用時，?

要記清計算器中常用的功能鍵的用法，多進行實際操作，操作時還需

注意以下幾點：（1）?計算器？要平穩放置；（2）計算開始時按ON，

停止使用按OFF；（3）按下數學鍵時，?應看其是否正確．

2．用計算器計算

（1）

2222

121

?

??

=____________.

（2）

333333

12321

?

????

=___________.

（3）

44444444

1234321

?

??????

=_______________.

由此，你可以猜想出哪些類似等式

_________________________________.

【點評】借助計算器解決問題，通過觀察、操作、歸納、推斷

等教學活動，體驗數學問題的創造性，感受數學思考的嚴謹性．

【答案】（1）121（2）12321（3）1234321

5555555555

123454321

?

????????

=123454321

（五）課堂跟蹤反饋

夯實基礎

1．用計算器求－3.525-（-0.743）-4.511，按鍵順序是3.525

+-+0.743?-?4.511或（一）3.525+0.743-4.511

提升能力

2．用計算器計算：

（1）-729+361-（-438）-（-266）

（2）71.89-（-61.03）+（-38.88）-（+63.74）

（3）688-319+（-263）-（-399）

（4）-4.71-（-8.92）+（-13.83）-（+21.76）

（5）81.26-293.08+8.74+111.23

【答案】（1）336（2）30.3（3）505（4）-12、14（5）

-91.85

開放探究

3．你能在－5和35之間插入三個數，使這5?個數中相鄰兩個數

之間的距離相等嗎？

【答案】5、15、25

4．新中考題

（2004·紹興）用計算器探索：按一定規律排列的一組數：

1

10

，

1

11

，

1

12

，…

1

19

，

1

20

．如果從中選出若干個數，使它們的和大于0.5，

那么至少要選________個數．

【解析】本題主要考查學生計算器的運用能力，可將這些數按

從大到小的順序輸入相加，可以發現，

1

10

+

1

11

+

1

12

+

1

13

+

1

14

+

1

15

+

1

16

≈

0.5517>0.5，故至少要選7個數．

【答案】7

（六）資料采擷

＋，＋，×或·，÷的由來

加減乘除（＋，－，×或·，÷）等數學符號都是經過長期發展

而形成的，到了17世紀，才得到廣泛使用．

加法符號，開始使用的是英文plus（加）的字頭p．在德國，?

使用了相當于英語“and”（和）的詞“et”．隨著歐洲商業繁榮，寫

“et”也嫌慢了，?為了加快速度，把兩個字母連著寫，因此“et”

慢慢地變成了“＋”．

減法也是一樣，使用英文minus（減少）的字頭m，為了便于速

寫，逐漸變成了“－”．

在“＋”號出現了100年左右后，?英國的奧特雷德首先使用了

“×”作為乘號．后來，萊布尼茲認為“×”容易與x相混淆，建議

用“·”作為乘號，這樣，?“·”也得到了承認．

除法的符號“÷”是英國的瓦里斯最初使用的，后來在英國得到

推廣．除的本意是，符號“÷”的中間的橫線把上、下兩部分分開，

形象地表示了“分”．

教學反思：

這節課的學習，我主要采用了體驗探究的教學方式，為學生提供

了親自操作的機會，引導學生運用已有經驗、知識、方法去探索與發

現等式的性質，使學生直接參與教學活動，學生在動手操作中對抽象

的數學定理獲取感性的認識，進而通過教師的引導加工上升為理性認

識，從而獲得新知，使學生的學習變為一個再創造的過程，同時讓學

生學到獲取知識的思想和方法，體會在解決問題的過程中與他人合作

的重要性，為學生今后獲取知識以及探索和發現打下基礎。

1.4有理數的乘除法

1.4.1有理數的乘法（第一課時）

教學目標

1．知識與技能

①經歷探索有理數乘法法則的過程，發展觀察、歸納、猜想、驗

證的能力．

②會進行有理數的乘法運算．

2．過程與方法

通過對問題的變式探索，培養觀察、分析、抽象的能力．

3．情感、態度與價值觀

通過觀察、歸納、類比、推斷獲得數學猜想，體驗數學活動中的

探索性和創造性．

教學重點難點

重點：能按有理數乘法法則進行有理數乘法運算．

難點：含有負因數的乘法．

教與學互動設計

（一）創設情境，導入新課

做一做出示一組算式，請同學們用計算器計算并找出它們的規

律．

例1（1）（+5）×（+3）=_______;（2）（+5）×（-3）=________

（3）（-5）×（+3）=________;（4）（-5）×（-3）=________

例2（1）（+6）×（+4）=________;（2）（+6）×（-4）=________

（3）（-6）×（+4）=________;（4）（-6）×（-4）=________

（二）合作交流，解讀探究

想一想你們發現積的符號與因數的符號之間的關系如何？

學生活動：計算、討論

總結一正一負的兩個數的乘積為負；兩正或兩負的乘積是正數．

兩數相乘，同號得正，異號得負．

想一想兩數相乘，積的絕對值是怎么得到的呢？

學生：是兩因數的絕對值的積．

引導此結論能否用現實來驗證呢？請同學們閱讀教科書第36

頁，討論協作完成問題的解釋．

探究交流閱讀課本，小組討論、總結．

學生甲解釋：課本上說蝸牛沿一條直線的跑道，以每分鐘2cm?

的速度向右爬行了3分鐘．那么它現在在什么位置？（即它位于原來

位置的哪個方向，?與原位置相距多少米？）

式子（+2）×（+3）=+6

（+2）表示向右爬行，（+3）表示爬行了3分鐘．即小蟲位于原

位置右邊6米．

學生乙解釋：（-2）×（+3）=-6表示蝸牛向左從每分鐘2m的速

度爬行了3?分鐘后離開原位置的左邊6m的距離．

師：引導學生可否把（-2）看成是蝸牛的速度為每分鐘-2m爬行

了3分鐘．

學生答．

師：你們能否試著把這一情境用數軸來表示呢？

學生代表到黑板作圖，運用數軸把剛才的說法結合數軸來講解．

師：下面問題，涉及到時間為負的情況．這該如何來領會．

學生活動：小組討論．

學生代表：-3是指蝸牛3分鐘前從起點爬到現在的位置的時間，

?積的負號是指3分鐘前的位置在現在位置的左邊表示“－”，6是蝸

牛3分鐘前與現在的距離．

師：能否用數軸來展現其過程嗎？

學生試著畫數軸，并請一位同學到黑板演示過程．

師：用負數表示現在之前的一段時間，這是一個創意．在你們的

討論過程中，現在可否作出（-2）×（-3）=+6的解釋呢？并用數軸

來表示，試一試．

學生回答問題．

課件展示把剛才的情境設計成多媒體課件，讓學生感受形成過

程．

師：大家再思考，如果3×0或-3×0，那積為多少？從而可得到

什么結論？

生：任何數和0相乘都得零．

學生活動：一同學任說一數，由另一同學說出它的倒數．

小結正數的倒數是正數，負數的倒數還是負數，0沒有倒數．

（三）應用遷移，鞏固提高

例1判斷題

（1）兩數相乘，若積為正數，則這兩個因數都是正數．（×）

（2）兩數相乘，若積為負數，則這兩個數異號．（∨）

（3）兩個數的積為0，則兩個數都是0．（×）

（4）互為相反的數之積一定是負數．（×）

（5）正數的倒數是正數，負數的倒數是負數．（∨）

【點撥】根據有理數和乘法運算法則來作出判斷．

例2填空題

（1）（-1

1

4

）×（-

4

5

）=1，（2）（+3）×（-2）=-6，

（3）0×（-4）=0，（4）1

2

3

×（-1

1

5

）=-2，

（5）（-15）×（-

1

3

）=5，（6）-│-3│×（-2）=6，

（7）輸入值a=-4，b=

3

4

，輸出結果：①ab=-3，②-a·b=

3，③a·a=16，④b·（-b）=－

9

16

【點評】乘號“×”也可用“·”代替，或省略不寫，但要以

不引起誤會為原則，如a×b可表示成a·b或ab，而（+2）×（-5）

可表示成（-2）（-5）或（-2）·（-5），凡數字相乘，如果不用括號，

用“×”為好，例如2×5不宜寫成2·5或25．

例3用正、負數表示氣溫的變化量：上升為正、下降為負．?

某登山隊攀登一座山峰，每登高1km，氣溫的變化量為-6℃．攀登5km

后，氣溫有什么變化？

【答案】（-6）×5=-30，即下降了30℃．

例4在整數-5，-3，-1，2，4，6中任取三個數相乘，所得的

積的最大值是多少？?任取兩個數相加，所得的和的最小值又是多

少？

【答案】（-5）×（-3）×6=90，為最大的積；-5+（-3）=-8，

是最小的兩數之和．

【提示】每次銷售價的改變都是在改變前的價格的基礎上進行

的．

6．課本練習

備選例題（2004·江蘇南通）以下是一個簡單的數值運算程序：

輸入x?→×（-3）→-2→輸出．當輸入的x值為－1時，則輸出的

數值為1．

【點撥】程序運算式是有理數運算的新型形式，該程序所反映

的運算過程是-3x-2．當輸入x為-1時，運算式為（-3）×（-1）-2=1．

（四）總結反思，拓展升華

引導學生從三個方面理解本節課所學內容：1．有理數的乘法法

則；2．多個不為0的因數相乘時，積的符號的確定；3．幾個相乘的

因數中，只要有一個0因數，?則積的確定．

1．自己操作實踐、如何應用計算器來計算有理數的乘法、閱讀

課本P41．并練習用計算器來計算：

（1）74×59=4366;（2）（-98）×（-63）=6174

（3）（-49）×（+204）=-9996;（4）37×（-73）=-2701

2．“⊙”表示一種新運算，它的規則是：a⊙b=-a×b-（a+b）

（1）求3⊙5=-23;（2）求（3⊙4）⊙5=109

（3）請你定義一種新運算“○

×

”，使其中含有乘法運算，且2○

×

（-3）=1

【答案】a○

×

b=-a×b+（-a+b）

（五）課堂跟蹤反饋

夯實基礎

1．填空題

（1）若ab>0，則表示a、b的關系是a、b同號．若ab=0，

則表示a、b的關系是a、b中至少有一個為0．若ab<0，則表示

a、b的關系是a、b異號．

（2）（-2）×（-3）=6，（-

2

3

）·（-1

1

2

）=1，2001×

（-2002）×2003×（-2004）×0=0．

2．選擇題

（1）若ab>0，則必有（D）

A．a>0，b>0B．a<0，b<0C．a>0，b<0C．同

號

（2）若ab=0，則必有（C）

A．a=b=0B．a=0

C．a、b中至少有一個為0D．a、b中最多有一個為0

（3）一個有理數和它的相反數的積（C）

A．符號必為正B．符號必為負C．一定不大于

0D．一定大于0

（4）有奇數個負因數相乘，其積為（B）

A．正B．負C．非正數D．非負數

3．計算題

（1）（-3

1

2

）×（-4）（2）（-2）×（-3）×（-5）

（3）（-7

2

3

）×3×（－

1

23

）（4）（-9.89）×（-6.2）×（-26）

×（-30.7）×0

【答案】（1）14（2）-30（3）1（4）0

提升能力

4．現定義兩種運算“○

＋

”和“○

·

”對于任意兩個整數a、b，有

a○

＋

b=a+b-1，a○

·

b=ab-1，求4○

·

[（6○

＋

8）○

＋

（3○

·

5）]的值．

【答案】103

開放探究

5．（2004·云南）觀察按下列順序排列的等式．

9×0+1=1

9×1+2=11

9×2+3=21

9×3+4=31

9×4+5=41

……

猜想，第n個等式（n為正整數）用n表示，可以表示成9（n-1）

+n=10（n-1）+1．

（六）資料采擷

“相反數”和“倒數”

絕對值相等、符號相反的兩個數，稱為互為相反數，要強調“互

為”的含義．a的相反數記為－a．初學代數，見到字母，學生往往

只想到它代表正數，而沒想到字母也可能是負數或0．這些都應使學

生明確其真正意義．?相反數等于本身的數是0．

倒數早在小學就學過了．如果兩個數的乘積是1，這兩個數就互

為倒數，?這里也強調“互為”的含義．并且還應使學生注意：0沒

有倒數，?互為倒數的兩個數同號，倒數等于本身的數是±1．

“反”和“倒”的意思比較相近，容易搞錯．其實它們是完全不

同的兩個概念．一般地，相反數是指一對數，它們的絕對值相等，符

號相反；倒數也是指一對數，它們的絕對值不等，符號相同．

教學反思：

這節課的學習，我主要采用了體驗探究的教學方式，為學生提供

了親自操作的機會，引導學生運用已有經驗、知識、方法去探索與發

現等式的性質，使學生直接參與教學活動，學生在動手操作中對抽象

的數學定理獲取感性的認識，進而通過教師的引導加工上升為理性認

識，從而獲得新知，使學生的學習變為一個再創造的過程，同時讓學

生學到獲取知識的思想和方法，體會在解決問題的過程中與他人合作

的重要性，為學生今后獲取知識以及探索和發現打下基礎。

1.4.1有理數的乘法（第二課時）

教學目標

1．知識與技能

使學生經歷探索有理數乘法的交換律、結合律和分配律，并能靈

活運用乘法運算律進行有理數的乘法運算，使之計算簡便．

2．過程與方法

通過對問題的探索，培養觀察、分析和概括的能力．

3．情感、態度與價值觀

能面對數學活動中的困難，有學好數學的自信心．

教學重點難點

重點：熟練運用運算律進行計算．

難點：靈活運用運算律．

教與學互動設計

（一）創設情境，導入新課

想一想上一節課大家一起學習了有理數的乘法運算法則，掌握

得較好．那在學習過程中，大家有沒有思考多個有理數相乘該如何來

計算？

做一做（出示膠片）你能運算嗎？

（1）2×3×4×（-5）

（2）2×3×（-4）×（-5）

（3）2×（-3）×（-4）×（-5）

（4）（-2）×（-3）×（-4）×（-5）

（5）-1×302×（-2004）×0

由此我們可總結得到什么？

（二）合作交流，解讀探究

交流討論不難得到結論：幾個不為0的數乘，?積的符號由負

因數這個數決定．當負因數的個數是偶數時，積為正；負因數的個數

是奇數時，積為負，并把絕對值相乘．

注意只要有一個因數為0，則積為0．

（三）應用遷移，鞏固提高

例1計算（-3）×

5

6

×（－

9

5

）×（－

1

4

）×（-8）×（-1）

【提示】先找出其中負因數的個數為5個，故積的符號為負，再

將絕對值相乘．

＝（-3）×

5

6

×（－

9

5

）×（－

1

4

）×（-8）×（-1）

＝-3×

5

6

×

9

5

×

1

4

×8×1

=-9

例2計算（-1999）×（-2000）×（-2001）×（-2002）×2003

×（-2004）×0

【提示】不管數字有多么復雜，只要其中有一個為0，則積為

0．

數學游戲學生活動：按下列要求探索：

（1）任選兩個有理數（至少有一個為負），分別填入□和○內，

?并比較兩個結果：

□×○＝_________和○×□________

（2）任選三個有理數（至少有一個為負），分別填入□、?○和

◇中，并比較計算結果：

（□·○）·◇＝_________和□·（○·◇）=__________

（3）任選三個有理數（至少有一個為負），分別填入□、○和◇

中，?并比較計算結果：

◇·（□＋○）＝________和◇·□和◇·○＝________

【總結】有理數的乘法仍滿足交換律，結合律和分配律．

乘法交換律：兩個數相乘，交換因數的位置，積不變，用式子表

示為a·b=b·a

乘法結合律：三個數相乘，先把前兩個數相乘，或者先把后兩個

數相乘，積不變．用式子表示成（a·b）·c=a·（b·c）

乘法分配律：一個數同兩個數的和相乘，等于把這個數分別同這

兩個數相乘．

用字母表示成：a（b+c）=a·b+a·c

例3（投影）計算:（1）-

3

4

×（8-

4

3

-

14

15

）

（2）19

18

19

×（-15）

【分析】①利用乘法分配律

②將19

18

19

換成20-

1

19

，再用分配律計算．

學生板演、練習．

備選例題（2004·江蘇泰州）-1

1

2

的倒數是（）

A．

2

3

B．

3

2

C．-

2

3

D．-

3

2

【提示】-1

1

2

化為假分數-

3

2

，它的倒數為-

2

3

【答案】C

（四）總結反思，拓展延伸

本節課我們的成果是探究出有理數的乘法運算律并進行了應

用．可見，運算律的運用十分靈活，各種運算律常常是混合應用的．這

就要求我們要有較好的掌握運算律進行計算的能力，要尋找最佳解題

途徑，不斷總結經驗，使自己的能力得到提高．

一列數a1，a2，a3，…an．

若a=100+（-6）×1，

a=100+（-6）×2，

a=100+（-6）×3，

…

則an=100-6n；當an=-2002時，n=351．

在這列數a1，a2，a3，…，an中最小的正數＝4，最大的負數

＝-2．

（五）課堂跟蹤反饋

夯實基礎

（1）兩個整數的積為8，它們的和等于±9或±6．

（2）“a、b同號”用不等式表示為ab>0．“a、b異號”用不

等式表示為ab<0．

（3）3.1416×7.5944+3.1416×（-5.5944）=6.2832.

（4）（

1

2

-3-

5

9

+

5

6

-

7

12

）×（-36）=101.

（5）（-8）×（-12）×（-0.125）×（-

1

3

）×（-0.001）=-0.004.

（6）（-14

13

14

）×（+4）=（-15+

1

14

）×4=-15×4+

1

14

×4

=-59

5

7

（7）已知a>0，b<0，則│ab│＋b│a│=0．

（8）若a+b<0，ab>0，則a<0，b<0．

2．計算題

（1）（-

1

12

）×

8

15

×（-

2

3

）×（-2

1

4

）=-

1

15

（2）6.878×（-15）+6.878×（-12）-6.878×（-37）=68.78

（3）

1

4

×-16×（-

4

5

）×（-1

1

4

）×8×（-0.25）=8

（4）（-

1

6

-

3

20

+

4

5

-

11

12

×（-5）×12=26

（5）（-99

88

89

）×36=-3599

53

89

提升能力

3．若a、b、c為有理數，且│a+1│＋│b＋2│＋│c+3│＝0．求

（a-1）（b+2）（c-3）

4．已知x、y為有理數，如果規定一種新運算※，定義x※y=xy+1．?

根據運算符號的意義完成下列各題．

（1）2※4=9（2）求1※4※0=1

（3）任意選取兩個有理數（至少一個為負數）分別填入下例□

與○內，?并比較兩個運算結果，你能發現什么？

□※○與○※□

（4）根據以上方法，設a、b、c為有理數．請與其他同學交流

a※（b+c）與a※b+?a※c的關系，并用式子把它們表達出來．

【答案】（3）相等（4）a※（b+c）+1=a※b+a※c

開放探究

5．趣味題

以前有一個農民，他有17只羊，臨終前，他囑咐把羊分給三個

兒子，他說：“大兒子分一半，二兒子分

1

3

，小兒子分

1

4

，但是不允

許把羊殺死或者賣掉”．三個兒子感到很為難，不知怎么分，你能他

們分嗎？

【答案】借一只羊就會有18只，他們分別分得9只，6只和2

只后，?還剩一只羊，再還給人家．

6．新中考題

（2004·山東淄博）觀察下列數表

1234…第一行

2345…第二行

3456…第三行

4567…第四行

┋┋┋┋

第第第第

一二三四

列列列列

根據數表所反映的規律，第n行第n列交叉點上的數應為（A）

A．2n-1B．2n+1C．n2-1D．n2

教學反思：

這節課的學習，我主要采用了體驗探究的教學方式，為學生提供

了親自操作的機會，引導學生運用已有經驗、知識、方法去探索與發

現等式的性質，使學生直接參與教學活動，學生在動手操作中對抽象

的數學定理獲取感性的認識，進而通過教師的引導加工上升為理性認

識，從而獲得新知，使學生的學習變為一個再創造的過程，同時讓學

生學到獲取知識的思想和方法，體會在解決問題的過程中與他人合作

的重要性，為學生今后獲取知識以及探索和發現打下基礎。

1．4．2有理數的除法（第一課時）

教學目標

1．知識與技能

①了解有理數除法的定義．

②經歷有理數除法法則的過程，會進行有理數的除法運算．

③會化簡分數．

2．過程與方法

①通過有理數除法法則的導出及運用，讓學生體會轉化思想．

②培養學生運用數學思想指導數學思維活動的能力．

3．情感、態度與價值觀

在獨立思考的基礎上，積極參與對數學問題的討論，能從交流中

獲益．

教學重點難點

重點：正確應用法則進行有理數的除法運算．

難點：怎樣根據不同的情況來選取適當的方法求商．

教與學互動設計

（一）創設情境，導入新課

我們在前幾節課和大家一起學習了有理數的乘法．并且還由乘法

而認識了有理數的倒數問題．那大家知道乘法的逆運算是什么？該如

何計算和應用．這就是本節課我們學習的內容．

（二）合作交流，解讀探究

試一試（-10）÷2=？

交流因為除法是乘法的逆運算，也就是求一個數“？”，使（?）

×2=-10

顯然有（-5）×2=-10，所以（-10）÷2=-5

我們還知道：（-10）×

1

2

=-5

由上式表明除法可轉為乘法．即：（-10）÷2=（-10）×

1

2

再試一試：（-12）÷（-3）=？

【總結】除以一個數，等于乘以這個數的倒數（除數不能為0）．?

用字母表示成a÷b=a×

1

b

，（b≠0）．

（三）應用遷移，鞏固提高

例1計算：（1）（-36）÷9（2）（-63）÷（-9）（3）

（－

12

25

）÷

3

5

（4）0÷3（5）1÷（-7）（6）（-6.5）÷0.13

（7）（－

4

5

）÷（－

2

5

）（8）0÷（-5）

提出問題：在大家的計算過程中，應用除法法則的同時，有沒有

新的發現？

學生活動：分組討論．

【總結】兩數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除．0?

除以任何一個不等于0的數，都得0．

【點撥】這個運算方法的得出為計算有理數除法又添了一種方

法．我們要根據具體情況靈活選用方法．大家試來比較一下，以上各

題分別用哪種運算法則更簡便．

【討論】（1）、（2）、（5）、（6）用確定符號，并把絕對值相除．

（3）、（7）用除以一個數，等于乘以這個數的倒數．

【引導】小學里我們都知道，除號與分數線可相互轉換．如

-12

3

=-12÷3．?利用這個關系，我們可以將分數進行化簡．

例2化簡下列分數

（1）

-45

-15

（2）

12

-36

（3）

-7

-14

（4）

0

-8

學生活動：口答．

備選例題（2004·福建南平）

a

|a|

＋

b

|b|

（ab≠0）的所有可能

的值有（C）

A．1個B．2個C．3個D．4個

【點撥】本題含有絕對值符號，故要考慮a、b的正負情況．當

a>0時，

a

|a|

＝1；當a<0時，

a

|a|

＝－1．

【答案】C

例3試著用計算器計算

（1）-0.056÷1.4=-0.04;（2）1.252÷（-4.4）

=-0.285

（3）（-3.561）÷（-1.96）=1.817

【說明】讓學生練習用計算器進行有理數的除法計算．通過自

己的親身的探索、操作而增強學生的獨立意識和動手能力．

（四）總結反思，拓展延伸

本節課大家一起學習了有理數除法法則．有理數的除法有2種方

法，?一是根據除以一個數等于乘以這個數的倒數，二是根據“兩數

相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除”．一般能整除時用第

二種．

1．（1）m為負整數，它的倒數

1

m

，它的相反數為-m，試比較m，

1

m

和－m的大小．

（2）m為正整數，結論又怎樣？

（3）m為非零有理數，討論m，

1

m

和－m的大小．

【答案】（1）-m>

1

m

≥m（2）m≥

1

m

>-m（3）①-1

－m>m>

1

m

，②m≤-1時，-?m>

1

m

≥m，③當0

1

m

>m>-m，④m≥

1時，m≥

1

m

>-m．

（六）課堂跟蹤反饋

夯實基礎

1．選擇題

（1）如果一個數除以它的倒數，商是1，那么這個數是（D）

A．1B．2C．-1D．±1

（2）若兩個有理數的商是負數，那么這兩個數一定是（D）

A．都是正數B．都是負數C．符號相同D．符號

不同

（3）

|a|

a

=-1，則a為（B）

A．正數B．負數C．非正數D．非負數

（4）若a+b<0，

b

a

>0，則下列成立的是（B）

A．a>0，b>0B．a<0，b<0C．a>0，b<0D．a<0，

b>0

2．計算題

（1）（-2

1

7

）÷（－

5

14

）=6（2）3.5÷

7

8

÷（-1

1

7

）=

－

7

2

（3）－

3

2

÷（-7）÷（-

5

14

）=-

3

5

（4）（-1）÷（+

3

5

）÷（-

3

7

）=

35

9

提升能力

3．填空題

（1）若a、b是互為倒數，則3ab=3．

（2）相反數是它本身的數有0，絕對值等于它本身的數是

非負數，倒數等于它本身的數是1，-1．

（3）若<0，且yz<0，那么x>0．（填“）”、“〈”〉

（4）當x=2時，代數式沒有意義．

（5）±1的倒數等于本身，0的相反數等于本身，非

負數的絕對值等于本身，?一個數除以1等于本身，一個數除以

–1等于這個數的相反數．

開放探究

4．一家公司為了開發某種產品，需要每年向銀行存款或取款，

到今年，?存取款結果正好為零．如果把向銀行的存款數（萬元）記

為正數，那么向銀行的取款數（萬元）就應當記為負數；如果把現在

起向后的時間（年）記為正數，那么把現在起向前的時間（年）記為

負數，在這個問題中，

（1）（-100）÷4的實際意義是___________；

（2）（-100）÷（-4）的實際意義是_____________．

仿照上題，請你舉一個實例，使問題的數量為：

（1）16÷（-2）（2）（-10）÷（-2）

【答案】略

5．新中考題

（2004·北京）－

1

3

的倒數是（B）

A．3B．-3C．

1

3

D．－

1

3

（七）資料采擷

大數學家維納的故事

維納（1894─1964）是最早在美洲數學界贏得國際榮譽的大數學

家，關于他的軼事多極了．

維納早期在英國，后來赴美國麻省理工學院任職，長達25年．他

是校園中大名鼎鼎的人物，人人都想與他套近乎．有一次一個學生問

維納怎樣求解一個具體問題，維納思考片刻就寫出了答案．實際上這

位學生并不想知道答案，只是問他“方法”．維納說：“可是，就沒有

別的方法了嗎？”思考片刻，他微笑著隨即寫出了另一種解法．維納

最有名的故事是有關搬家的事．一次維納喬遷，妻子熟悉維納的個性，

搬家前一天晚上再三提醒他．她還找了一張便條，上面寫著新居的地