近世

1

近世代數(shù)模擬試題一

一、單項選擇題(本大題共5小題，每小題3分，共15分)在每小題列出的四

個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內。錯

選、多選或未選均無分。

1、設A＝B＝R(實數(shù)集)，如果A到B的映射?：x→x＋2，?x∈R，則?是從

A到B的（）

A、滿射而非單射B、單射而非滿射

C、一一映射D、既非單射也非滿射

2、設集合A中含有5個元素，集合B中含有2個元素，那么，A與B的積

集合A×B中含有（）個元素。

A、2B、5C、7D、10

3、在群G中方程ax=b，ya=b，a,b∈G都有解，這個解是（）乘法來說

A、不是唯一B、唯一的C、不一定唯一的D、相同的(兩方程解一樣)

4、當G為有限群，子群H所含元的個數(shù)與任一左陪集aH所含元的個數(shù)（）

A、不相等B、0C、相等D、不一定相等。

5、n階有限群G的子群H的階必須是n的（）

A、倍數(shù)B、次數(shù)C、約數(shù)D、指數(shù)

二、填空題(本大題共10小題，每空3分，共30分)請在每小題的空格中填上

正確答案。錯填、不填均無分。

1、設集合??1,0,1??A；??2,1?B，則有??AB---------。

2、若有元素e∈R使每a∈A，都有ae=ea=a，則e稱為環(huán)R的--------。

3、環(huán)的乘法一般不交換。如果環(huán)R的乘法交換，則稱R是一個------。

4、偶數(shù)環(huán)是---------的子環(huán)。

5、一個集合A的若干個--變換的乘法作成的群叫做A的一個--------。

6、每一個有限群都有與一個置換群--------。

7、全體不等于0的有理數(shù)對于普通乘法來說作成一個群，則這個群的單位元

2

是---，元a的逆元是-------。

8、設I和S是環(huán)R的理想且RSI??，如果I是R的最大理想，那么---------。

9、一個除環(huán)的中心是一個-------。

三、解答題（本大題共3小題，每小題10分，共30分）

1、設置換?和?分別為：

?

?

?

?

?

?

?

64173528

12345678

?，

?

?

?

?

?

?

?

23187654

12345678

?，判斷?和?的奇偶性，并

把?和?寫成對換的乘積。2、證明：任何方陣都可唯一地表示成一個對稱矩陣

與一個反對稱矩陣之和。

3、設集合)1}(,1,,2,1,0{?mmmM

m

????，定義m

M中運算“m

?”為

am

?b=(a+b)(modm),則（m

M，m

?）是不是群，為什么？

四、證明題（本大題共2小題，第1題10分，第2小題15分，共25分）

1、設G是群。證明：如果對任意的Gx?，有ex?2，則G是交換群。

2、假定R是一個有兩個以上的元的環(huán)，F(xiàn)是一個包含R的域，那么F包含R

的一個商域。

近世代數(shù)模擬試題二

一、單項選擇題

二、1、設G有6個元素的循環(huán)群，a是生成元，則G的子集（）是子群。

A、??aB、??ea,C、

??3,aeD、

??3,,aae

2、下面的代數(shù)系統(tǒng)（G，*）中，（）不是群

A、G為整數(shù)集合，*為加法B、G為偶數(shù)集合，*為加法

C、G為有理數(shù)集合，*為加法D、G為有理數(shù)集合，*為乘法

3、在自然數(shù)集N上，下列哪種運算是可結合的？（）

A、a*b=a-bB、a*b=max{a,b}C、a*b=a+2bD、a*b=|a-b|

4、設1

?、2

?、3

?是三個置換，其中1

?=（12）（23）（13），2

?=（24）（14），

3

?=（1324），則3

?=（）

A、1

2?B、1

?

2

?C、2

2?D、2

?

1

?

5、任意一個具有2個或以上元的半群，它（）。

3

A、不可能是群B、不一定是群

C、一定是群D、是交換群

二、填空題(本大題共10小題，每空3分，共30分)請在每小題的空格中填上

正確答案。錯填、不填均無分。

1、凱萊定理說：任一個子群都同一個----------同構。

2、一個有單位元的無零因子-----稱為整環(huán)。

3、已知群G中的元素a的階等于50，則4a的階等于------。

4、a的階若是一個有限整數(shù)n，那么G與-------同構。

5、A={1.2.3}B={2.5.6}那么A∩B=-----。

6、若映射?既是單射又是滿射，則稱?為-----------------。

7、?叫做域F的一個代數(shù)元，如果存在F的-----n

aaa,,,

10

?使得

0

10

????n

n

aaa???。

8、a是代數(shù)系統(tǒng))0,(A的元素，對任何Ax?均成立xax??，則稱a為---------。

9、有限群的另一定義：一個有乘法的有限非空集合G作成一個群，如果滿足G

對于乘法封閉；結合律成立、---------。

10、一個環(huán)R對于加法來作成一個循環(huán)群，則P是----------。

三、解答題（本大題共3小題，每小題10分，共30分）

1、設集合A={1,2,3}G是A上的置換群，H是G的子群，H={I,(12)}，寫出

H的所有陪集。

2、設E是所有偶數(shù)做成的集合，“?”是數(shù)的乘法，則“?”是E中的運算，（E，

?）是一個代數(shù)系統(tǒng)，問（E，?）是不是群，為什么？

3、a=493,b=391,求(a,b),[a,b]和p,q。

四、證明題（本大題共2小題，第1題10分，第2小題15分，共25分）

1、若是群，則對于任意的a、b∈G，必有惟一的x∈G使得a*x＝b。

2、設m是一個正整數(shù)，利用m定義整數(shù)集Z上的二元關系：a?b當且僅當

m︱a–b。

4

近世代數(shù)模擬試題三

一、單項選擇題

1、6階有限群的任何子群一定不是（）。

A、2階B、3階C、4階D、6階

2、設G是群，G有（）個元素，則不能肯定G是交換群。

A、4個B、5個C、6個D、7個

3、有限布爾代數(shù)的元素的個數(shù)一定等于（）。

A、偶數(shù)B、奇數(shù)C、4的倍數(shù)D、2的正整數(shù)次冪

4、下列哪個偏序集構成有界格（）

A、（N,?）B、（Z,?）

C、（{2,3,4,6,12},|（整除關系））D、(P(A),?)

5、設S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以與(123)

交換的所有元素有（）

A、(1)，(123)，(132)B、12)，(13)，(23)

C、(1)，(123)D、S3中的所有元素

二、填空題(本大題共10小題，每空3分，共30分)請在每小題的空格中填上

正確答案。錯填、不填均無分。

1、群的單位元是--------的，每個元素的逆元素是--------的。

2、如果f是A與A間的一一映射，a是A的一個元，則??????aff1----------。

3、區(qū)間[1，2]上的運算},{minbaba??的單位元是-------。

4、可換群G中|a|=6,|x|=8,則|ax|=——————————。

5、環(huán)Z

8

的零因子有-----------------------。

6、一個子群H的右、左陪集的個數(shù)----------。

7、從同構的觀點，每個群只能同構于他/它自己的---------。

8、無零因子環(huán)R中所有非零元的共同的加法階數(shù)稱為R的-----------。

9、設群G中元素a的階為m，如果ean?，那么m與n存在整除關系為--------。

三、解答題（本大題共3小題，每小題10分，共30分）

5

1、用2種顏色的珠子做成有5顆珠子項鏈，問可做出多少種不同的項鏈？

2、S

1

，S

2

是A的子環(huán)，則S

1

∩S

2

也是子環(huán)。S

1

+S

2

也是子環(huán)嗎？

3、設有置換)1245)(1345(??，6

)456)(234(S???。

1．求??和???1；

2．確定置換??和???1的奇偶性。

四、證明題（本大題共2小題，第1題10分，第2小題15分，共25分）

1、一個除環(huán)R只有兩個理想就是零理想和單位理想。

2、M為含幺半群，證明b=a-1的充分必要條件是aba=a和ab2a=e。

近世代數(shù)模擬試題四

一、單項選擇題(本大題共5小題，每小題3分，共15分)

在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填

寫在題后的括號內。錯選、多選或未選均無分。

1.設集合A中含有5個元素，集合B中含有2個元素，那么，A與B的積集

合A×B中含有（）個元素。

A.2B.5

C.7D.10

2.設A＝B＝R(實數(shù)集)，如果A到B的映射

?：x→x＋2，?x∈R，

則?是從A到B的（）

A.滿射而非單射B.單射而非滿射

C.一一映射D.既非單射也非滿射

3.設S

3

＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S

3

中可以與(123)

交換的所有元素有（）

A.(1)，(123)，(132)B.(12)，(13)，(23)

6

C.(1)，(123)D.S

3

中的所有元素

4.設Z

15

是以15為模的剩余類加群，那么，Z

15

的子群共有（）個。

A.2B.4

C.6D.8

5.下列集合關于所給的運算不作成環(huán)的是（）

A.整系數(shù)多項式全體Z［x］關于多項式的加法與乘法

B.有理數(shù)域Q上的n級矩陣全體M

n

(Q)關于矩陣的加法與乘法

C.整數(shù)集Z關于數(shù)的加法和新給定的乘法“?”：?m，n∈Z，m?n＝0

D.整數(shù)集Z關于數(shù)的加法和新給定的乘法“?”：?m，n∈Z，m?n＝1

二、填空題(本大題共10小題，每空3分，共30分)

請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。

6.設“～”是集合A的一個關系，如果“～”滿足___________，則稱“～”是

A的一個等價關系。

7.設(G，·)是一個群，那么，對于?a，b∈G，則ab∈G也是G中的可逆元，

而且(ab)－1＝

___________。

8.設σ＝(23)(35)，τ＝(1243)(235)∈S

5

，那么στ＝___________(表示成若干個

沒有公共數(shù)字的循環(huán)置換之積)。

9.如果G是一個含有15個元素的群，那么，根據(jù)Lagrange定理知，對于?a

∈G，則元素a的階只可能是___________。

10.在3次對稱群S

3

中，設H＝{(1)，(123)，(132)}是S

3

的一個不變子群，則

商群G/H中的元素(12)H＝___________。

11.設Z

6

＝{［0］，［1］，［2］，［3］，［4］，［5］}是以6為模的剩余類環(huán)，則

Z

6

中的所有零因子是___________。

12.設R是一個無零因子的環(huán)，其特征n是一個有限數(shù)，那么，n是___________。

13.設Z［x］是整系數(shù)多項式環(huán)，(x)是由多項式x生成的主理想，則(x)＝

_____________

7

___________。

14.設高斯整數(shù)環(huán)Z［i］＝{a＋bi|a，b∈Z}，其中i2＝－1，則Z［i］中的所

有單位是___________

___________。

15.有理數(shù)域Q上的代數(shù)元2+3在Q上的極小多項式是___________。

三、解答題（本大題共3小題，每小題10分，共30分）

16.設Z為整數(shù)加群，Z

m

為以m為模的剩余類加群，?是Z到Z

m

的一個映射，

其中

?：k→［k］，?k∈Z，

驗證：?是Z到Z

m

的一個同態(tài)滿射，并求?的同態(tài)核Ker?。

17.求以6為模的剩余類環(huán)Z

6

＝{［0］，［1］，［2］，［3］，［4］，［5］}的所有子

環(huán)，并說明這些子環(huán)都是Z

6

的理想。

18.試說明唯一分解環(huán)、主理想環(huán)、歐氏環(huán)三者之間的關系，并舉例說明唯一

分解環(huán)未必是主理想環(huán)。

四、證明題（本大題共3小題，第19、20小題各10分，第21小題5分，

共25分）

19.設G＝{a，b，c}，G的代數(shù)運算“?”

由右邊的運算表給出，證明：(G，?)作成一個群。

20.設

?abc

aabc

bbca

ccab

8

,Zc,a

0c

0a

I,Zd,c,b,a

dc

ba

R

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

已知R關于矩陣的加法和乘法作成一個環(huán)。證明：I是R的一個子環(huán)，但不

是理想。

21.設(R，＋，·)是一個環(huán)，如果(R，＋)是一個循環(huán)群，證明：R是一個交換環(huán)。

近世代數(shù)試卷

一、判斷題（下列命題你認為正確的在題后括號內打“√”，錯的打“×”；每

小題1分，共10分）

1、設A與B都是非空集合，那么??BAxxBA????x且。（）

2、設A、B、D都是非空集合，則BA?到D的每個映射都叫作二元運算。（）

3、只要f是A到A的一一映射，那么必有唯一的逆映射1?f。（）

4、如果循環(huán)群??aG?中生成元a的階是無限的，則G與整數(shù)加群同構。（）

5、如果群G的子群H是循環(huán)群，那么G也是循環(huán)群。（）

6、群G的子群H是不變子群的充要條件為HHggHhGg??????1;,。（）

7、如果環(huán)R的階2?，那么R的單位元01?。（）

8、若環(huán)R滿足左消去律，那么R必定沒有右零因子。（）

9、)(xF中滿足條件0)(??p的多項式叫做元?在域F上的極小多項式。（）

10、若域E的特征是無限大，那么E含有一個與

??p

Z同構的子域，這里Z是整

數(shù)環(huán)，??p是由素數(shù)p生成的主理想。（）

二、單項選擇題（從下列各題四個備選答案中選出一個正確答案，并將其號碼

寫在題干后面的括號內。答案選錯或未作選擇者，該題無分。每小題1分，共

10分）

1、設

n

AAA,,,

21

?和D都是非空集合，而f是

n

AAA????

21

到D的一個映射，那么

（）

①集合DAAA

n

,,,,

21

?中兩兩都不相同；②

n

AAA,,,

21

?的次序不能調換；

③

n

AAA????

21

中不同的元對應的象必不相同；

④一個元??

n

aaa,,,

21

?的象可以不唯一。

9

2、指出下列那些運算是二元運算（）

①在整數(shù)集Z上，

ab

ba

ba

?

??；②在有理數(shù)集Q上，abba??；

③在正實數(shù)集?R上，babaln??；④在集合??0??nZn上，baba???。

3、設?是整數(shù)集Z上的二元運算，其中??baba,max??（即取a與b中的最大者），

那么?在Z中（）

①不適合交換律；②不適合結合律；③存在單位元；④每個元都有逆元。

4、設???,G為群，其中G是實數(shù)集，而乘法kbaba?????:，這里k為G中固定的

常數(shù)。那么群???,G中的單位元e和元x的逆元分別是（）

①0和x?；②1和0；③k和kx2?；④k?和)2(kx??。

5、設cba,,和x都是群G中的元素且xacacxbxcax???,12，那么?x（）

①11??abc；②11??ac；③11??bca；④cab1?。

6、設H是群G的子群，且G有左陪集分類??cHbHaHH,,,。如果6，那么G的階?G

（）

①6；②24；③10；④12。

7、設

21

:GGf?是一個群同態(tài)映射，那么下列錯誤的命題是（）

①f的同態(tài)核是

1

G的不變子群；②

2

G的不變子群的逆象是

1

G的不變子群；③

1

G的子群的象是

2

G的子群；④

1

G的不變子群的象是

2

G的不變子群。

8、設

21

:RRf?是環(huán)同態(tài)滿射，baf?)(，那么下列錯誤的結論為（）

①若a是零元，則b是零元；②若a是單位元，則b是單位元；

③若a不是零因子，則b不是零因子；④若

2

R是不交換的，則

1

R不交換。

9、下列正確的命題是（）

①歐氏環(huán)一定是唯一分解環(huán)；②主理想環(huán)必是歐氏環(huán)；

③唯一分解環(huán)必是主理想環(huán)；④唯一分解環(huán)必是歐氏環(huán)。

10、若I是域F的有限擴域，E是I的有限擴域，那么（）

①??????FIIEIE:::?；②??????IEFIEF:::?；

③??????IFFEFI:::?；④??????FIIEFE:::?。

三、填空題（將正確的內容填在各題干預備的橫線上，內容填錯或未填者，該

10

空無分。每空1分，共10分）

1、設集合??1,0,1??A；??2,1?B，則有??AB。

2、如果f是A與A間的一一映射，a是A的一個元，則??????aff1。

3、設集合A有一個分類，其中

i

A與

j

A是A的兩個類，如果

ji

AA?，那么

?

ji

AA?。

4、設群G中元素a的階為m，如果ean?，那么m與n存在整除關系為。

5、凱萊定理說：任一個子群都同一個同構。

6、給出一個5-循環(huán)置換)31425(??，那么??1?。

7、若I是有單位元的環(huán)R的由a生成的主理想，那么I中的元素可以表達

為。

8、若R是一個有單位元的交換環(huán)，I是R的一個理想，那么

I

R是一個域當且僅

當I是。

9、整環(huán)I的一個元p叫做一個素元，如果。

10、若域F的一個擴域E叫做F的一個代數(shù)擴域，如果。

四、改錯題（請在下列命題中你認為錯誤的地方劃線，并將正確的內容寫在預

備的橫線上面。指出錯誤1分，更正錯誤2分。每小題3分，共15分）

1、如果一個集合A的代數(shù)運算?同時適合消去律和分配律，那么在

n

aaa????

21

里，元的次序可以掉換。

2、有限群的另一定義：一個有乘法的有限非空集合G作成一個群，如果滿足G

對于乘法封閉；結合律成立、交換律成立。

3、設I和S是環(huán)R的理想且RSI??，如果I是R的最大理想，那么0?S。

4、唯一分解環(huán)I的兩個元a和b不一定會有最大公因子，若d和'd都是a和b的

最大公因子，那么必有'dd?。

11

5、?叫做域F的一個代數(shù)元，如果存在F的都不等于零的元

n

aaa,,,

10

?使得

0

10

????n

n

aaa???。

五、計算題（共15分，每小題分標在小題后）

1、給出下列四個四元置換

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

3412

4321

,

4312

4321

,

3421

4321

,

4321

4321

4321

????

組成的群G，試寫出G的乘法表，并且求出G的單位元及1

4

1

3

1

2

1

1

,,,????????和G的所

有子群。

2、設

??????????????5,4,3,2,1,0

6

?Z是模6的剩余類環(huán)，且

??xZxgxf

6

)(),(?。如果

??????253)(3???xxxf、

??????354)(2???xxxg，計算)()(xgxf?、)()(xgxf?和)()(xgxf以及它

們的次數(shù)。

六、證明題（每小題10分，共40分）

1、設a和b是一個群G的兩個元且baab?，又設a的階ma?，b的階nb?，并且

1),(?nm，證明：ab的階mnab?。

2、設R為實數(shù)集，0,,???aRba，令RxbaxxRRf

ba

????,,:

),(

?，將R的所有這樣

的變換構成一個集合??0,,

),(

????aRbafG

ba

，試證明：對于變換普通的乘法，G作

成一個群。

3、設

1

I和

2

I為環(huán)R的兩個理想，試證

21

II?和??

2121

,IbIabaII?????都是R的理想。

4、設R是有限可交換的環(huán)且含有單位元1，證明：R中的非零元不是可逆元就

是零因子。

測驗題

一、填空題（42分）

1、設集合M與M分別有代數(shù)運算?與?，且MM~，則當?時，?也滿足結

合律；當?時，?也滿足交換律。

2、對群中任意元素1)(,,?abba有=；

3、設群G中元素a的階是n，n|m則ma=；

12

4、設a是任意一個循環(huán)群，若??||a，則a與同構；若na?||，

則a與同構；

5、設G=a為6階循環(huán)群，則G的生成元有；子群有；

6、n次對稱群

n

S的階是；置換)24)(1378(??的階是；

7、設

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

2314

4321

1432

4321

??，，則???；

8、設)25)(136()235)(14(????，，則??1???；

9、設H是有限群G的一個子群，則|G|=；

10、任意一個群都同一個同構。

二、證明題（24）

1、設G為n階有限群，證明：G中每個元素都滿足方程exn?。

2、敘述群G的一個非空子集H作成子群的充要條件，并證明群G的任意

兩個子群H與K的交KH?仍然是G的一個子群。

3、證明:如果群G中每個元素都滿足方程ex?2，則G必為交換群。

三、解答題（34）

1、敘述群的定義并按群的定義驗證整數(shù)集Z對運算4???baba?作成群。

2、寫出三次對稱群

3

S的所有子群并寫出

3

S關于子群H=｛（1），（23）｝的所有

左陪集和所有右陪集。

13

近世代數(shù)模擬試題一參考答案

一、單項選擇題。

1、C；2、D；3、B；4、C；5、D；

二、填空題(本大題共10小題，每空3分，共30分)。

1、

??????????????1,2,0,2,1,21,1,0,1,1,1??；2、單位元；3、交換環(huán)；4、整

數(shù)環(huán)；5、變換群；6、同構;7、零、-a；8、S=I或S=R；9、

域；

三、解答題（本大題共3小題，每小題10分，共30分）

1、解：把?和?寫成不相雜輪換的乘積：

)8)(247)(1653(??)6)(57)(48)(123(??

可知?為奇置換，?為偶置換。?和?可以寫成如下對換的

乘積：

)27)(24)(16)(15)(13(??)57)(48)(12)(13(??

2、解：設A是任意方陣，令

)(

2

1

AAB

?

??

，

)(

2

1

AAC

?

??

，則B

是對稱矩陣，而C是反對稱矩陣，且CBA??。若令有11

CBA??，

這里1

B和1

C分別為對稱矩陣和反對稱矩陣，則CCBB???

11，

而等式左邊是對稱矩陣，右邊是反對稱矩陣，于是兩邊必須

都等于0，即：1

BB?，1

CC?，所以，表示法唯一。

3、答：（m

M，m

?）不是群，因為m

M中有兩個不同的單位元

素0和m。

四、證明題（本大題共2小題，第1題10分，第2小題15

分，共25分）

1、對于G中任意元x，y，由于exy?2)(，所以yxxyxyxy??????111)(

（對每個x，從ex?2可得1??xx）。

2、證明在F里

)0,,(11??????bRba

b

a

abab

有意義，作F的子集

)0,,(??

?

?

?

?

?

?

?

?

bRba

b

a

Q所有

14

1

近世代數(shù)模擬試題一

一、單項選擇題(本大題共5小題，每小題3分，共15分)在每小題列出的四個

備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內。錯選、

多選或未選均無分。

1、設A＝B＝R(實數(shù)集)，如果A到B的映射?：x→x＋2，?x∈R，則?是從A

到B的（）

A、滿射而非單射B、單射而非滿射

C、一一映射D、既非單射也非滿射

2、設集合A中含有5個元素，集合B中含有2個元素，那么，A與B的積集

合A×B中含有（）個元素。

A、2B、5C、7D、10

3、在群G中方程ax=b，ya=b，a,b∈G都有解，這個解是（）乘法來說

A、不是唯一B、唯一的C、不一定唯一的D、相同的(兩方程解一樣)

4、當G為有限群，子群H所含元的個數(shù)與任一左陪集aH所含元的個數(shù)（）

A、不相等B、0C、相等D、不一定相等。

5、n階有限群G的子群H的階必須是n的（）

A、倍數(shù)B、次數(shù)C、約數(shù)D、指數(shù)

二、填空題(本大題共10小題，每空3分，共30分)請在每小題的空格中填上

正確答案。錯填、不填均無分。

1、設集合

??1,0,1??A；

??2,1?B，則有??AB---------。

2、若有元素e∈R使每a∈A，都有ae=ea=a，則e稱為環(huán)R的--------。

3、環(huán)的乘法一般不交換。如果環(huán)R的乘法交換，則稱R是一個------。

4、偶數(shù)環(huán)是---------的子環(huán)。

5、一個集合A的若干個--變換的乘法作成的群叫做A的一個--------。

6、每一個有限群都有與一個置換群--------。

7、全體不等于0的有理數(shù)對于普通乘法來說作成一個群，則這個群的單位元

是---，元a的逆元是-------。

8、設I和S是環(huán)R的理想且RSI??，如果I是R的最大理想，那么---------。

9、一個除環(huán)的中心是一個-------。

三、解答題（本大題共3小題，每小題10分，共30分）

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