中值定理(中值定理有幾個)

中值定理有哪些啊?

中值定理通常包括羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理，他們不但是研究函數形態的基礎，同時也是洛必達法則及泰勒公式的理論基礎。

中值定理是反映函數與導數之間聯系的重要定理，也是微積分學的理論基礎，在許多方面它都有重要的作用，在進行一些公式推導與定理證明中都有很多應用。

在中值定理中，中值指的是，定理的結論里面一定與所討論區間[a，b]的某一個值有關，這個值統稱為中值，是區間[a，b]其中的一個值。

中值定理的前世今生

人們對微分中值定理的認識可以上溯到公元前古希臘時代，古希臘數學家在幾何研究中，得到如下結論，過拋物線弓形的頂點的切線必平行于拋物線弓形的底，這正是拉格朗日定理的特殊情況。希臘著名數學家阿基米德正是巧妙地利用這一結論，求出拋物弓形的面積。

意大利卡瓦列里在《不可分量幾何學》的卷一中給出處理平面和立體圖形切線的有趣引理，其中引理3基于幾何的觀點也敘述了同樣一個事實，曲線段上必有一點的切線平行于曲線的弦。這是幾何形式的微分中值定理，被人們稱為卡瓦列里定理。

中值定理有哪些呢?

中值定理有拉格朗日中值定理，柯西中值定理，泰勒定理。高考試題本身就帶有高等數學的相關影子，同時高等數學的一些知識點，應用到高考題目中，一般只應用一些比較簡單的部分，所以此時用高等數學的知識去解決高考壓軸大題。

中值定理的特點

拉格朗日中值定理LagrangeMeanValueTheorem，提出時間1797年又稱拉氏定理，又稱微分中值定理，是微分學中的基本定理之一，它反映了可導函數在閉區間上的整體的平均變化率與區間內某點的局部變化率的關系。

拉格朗日中值定理是羅爾中值定理的推廣，同時也是柯西中值定理的特殊情形，是泰勒公式的弱形式一階展開，拉格朗日中值定理是微分中值定理的核心，其他中值定理是拉格朗日中值定理的特殊情況和推廣，它是微分學應用的橋梁，在理論和實際中具有極高的研究價值。

三個中值定理的公式是什么？

羅爾定理：如果函數f(x)滿足在閉區間［a,b]上連續；在開區間（a,b)內可導；在區間端點處的函數值相等，即f(a)=f(b)，那么在（a,b)內至少有一點ξ（a<ξ＜b)，使得f'(ξ）＝0。

柯西定理：如果函數f(x)及F(x)滿足在閉區間［a,b]上連續；在開區間（a,b)內可導；（3)對任一x∈（a,b)，F'(x)≠0那么在（a,b)內至少有一點ξ，使等式［f(b)-f(a)]/=f'(ξ）／F'(ξ）成立。

拉格朗日定理：如果函數f(x)滿足在閉區間［a,b]上連續；在開區間（a,b)內可導。那么在（a,b)內至少有一點ξ（a<ξ＜b)，使等式f(b)-f(a)=f′（ξ）（b-a)成立。

積分中值定理：

積分中值定理，是一種數學定律。分為積分第一中值定理和積分第二中值定理，它們各包含兩個公式。其中，積分第二中值定理還包含三個常用的推論。這個定理的幾何意義為：若f(x)≥0，x∈［a,b]，則由x軸、x=a、x=b及曲線y=f(x)圍成的曲邊梯形的面積等于一個長為b-a，寬為f(ξ)的矩形的面積。

三個中值定理的內容是什么?

三個中值定理分別是拉格朗日中值定理、柯西中值定理、積分中值定理。

拉格朗日中值定理：一段連續光滑曲線中必然有一點，它的斜率與整段曲線平均斜率相同。柯西中值定理粗略地表明，對于兩個端點之間的給定平面弧，至少有一個點，使曲線在該點的切線平行于兩端點所在的弦。

柯西中值定理：其幾何意義為，用參數方程表示的曲線上至少有一點，它的切線平行于兩端點所在的弦。該定理可以視作在參數方程下拉格朗日中值定理的表達形式。

積分中值定理：這個定理的幾何意義為若f(x)≥0，x∈[a,b]，則由x軸、x=a、x=b及曲線y=f(x)圍成的曲邊梯形的面積等于一個長為b-a，寬為f(ξ)的矩形的面積。

以下是中值定理應用的相關介紹：

在一些等式的證明中，我們往往容易思維定式，只是對于原來的式子要從哪去證明，很不容易去聯系其它，只從式子本身所表達的意思去證明。

無窮小（大）量階的比較時，看到兩個無窮小（大）量之比的極限可能存在，也可能不存在。如果存在，其極限值也不盡相同。稱兩個無窮小量或兩個無窮大量之比的極限為 型或 型不定式極限。

解決這種極限的問題通常要用到洛比達法則。這是法則的內容，而在計算時往往都是直接的應用結論，沒有注意到定理本身的證明，而這個定理的證明也應用到了中值定理。

以上資料參考百度百科——中值定理

拉格朗日中值定理的內容？

定理內容：

若函數f(x)在區間[a,b]滿足以下條件: 　　

(1)在[a,b]連續 　　

(2)在(a,b)可導 　　

則在(a,b)中至少存在一點f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a) a<c<b，使或f(b)-f(a)=f'(c)(b-a) 成立，其中a<c<b

證明: 把定理里面的c換成x再不定積分得原函數f(x)={[f(b)-f(a)]/(b-a)}x. 　　

做輔助函數G(x)=f(x)-{[f(b)-f(a)]/(b-a)}x. 　　

易證明此函數在該區間滿足條件: 　　

1.G(a)=G(b); 　　

2.G(x)在[a,b]連續; 　　

3.G(x)在(a,b)可導. 　　

此即羅爾定理條件,由羅爾定理條件即證

擴展資料：

定理表述

如果函數f(x)滿足：

（1）在閉區間[a,b]上連續；

（2）在開區間(a,b)內可導；

那么在開區間(a,b)內至少有一點使等式成立。

其他形式記,令,則有上式稱為有限增量公式。

我們知道函數的微分是函數的增量Δy的近似表達式，一般情況下只有當|Δx|很小的時候，dy和Δy之間的近似度才會提高；而有限增量公式卻給出了當自變量x取得有限增量Δx（|Δx|不一定很小）時，函數增量Δy的準確表達式，這就是該公式的價值所在。

輔助函數法：

已知在上連續，在開區間內可導，構造輔助函數

可得又因為在上連續，在開區間內可導，所以根據羅爾定理可得必有一點使得由此可得變形得定理證畢。

參考資料：百度百科-拉格朗日中值定理

費馬定理中值定理是什么？

費馬中值定理：利用連續函數在閉區間的介值定理可解決的一類中值問題，即證明存在ξ∈[a，b]，使得某個命題成立。利用羅爾定理、費馬定理可解決的一類中值定理，即證明存在ξ∈[a，b]，使得H(ξ，f(ξ)，f’(ξ))=0。

歷史：

1995年，安德魯·懷爾斯等人將費馬猜想證明過程發表在《數學年刊》，成功證明了這一定理。

費馬大定理表述雖簡單，但它的證明耗費了數代人的努力，許多數學家在證明過程中發現了許多新的數學理論，拓展了新的數學方法，證明費馬大定理的過程可以算得上是一部數學史。