矩陣的秩(矩陣的秩是什么意思)

什么是矩陣的秩

第一個角度，也就是書本上的定義，矩陣中的任意一個r階子式不為0，且任意的r+1階子式為0，則階數r就叫作該矩陣的秩。

對一個矩陣，存在某個r階行列式，值不為0，這個r階行列式就是對一個矩陣你畫r條橫線，r條豎線，這個橫豎線交叉的元素構成了一個新的數表，這個數表的行列式就叫作這個矩陣的r階子式。

第二個角度，如果我們把矩陣進行初等行變換，將矩陣變換為一個行階梯形矩陣后，那么行階梯形矩陣的非0行就是這個矩陣的秩。這是通過運算的角度來給出的矩陣的秩的定義，對矩陣進行初等行變換后得到的行階梯形矩陣的非0行的個數。

第三個角度，是從線性方程組的角度來給出的，我們可以把秩理解為一種約束，因為方程我們就可以理解為約束，當我們把矩陣看成齊次線性方程組的系數的時候，矩陣的秩就是這個方程組里真正存在的方程的個數。

雖然寫出了很多個方程，但有一些是沒有用的，可以由其他方程來表示的，這些沒用的消去之后剩下的真正的約束的個數就是這個矩陣的秩。

第四個角度，將矩陣看成由一個個向量放在一起拼成的，這個秩就是向量組中獨立的向量的個數，其實和上述方程組的角度是差不多的。

擴展資料

定理：矩陣的行秩，列秩，秩都相等。

定理：初等變換不改變矩陣的秩。

定理：如果A可逆，則r(AB)=r(B),r(BA)=r(B)。

定理：矩陣的乘積的秩Rab<=min{Ra,Rb};

引理：設矩陣A=(aij)sxn的列秩等于A的列數n，則A的列秩，秩都等于n。

當r(A)<=n-2時，最高階非零子式的階數<=n-2，任何n-1階子式均為零，而伴隨陣中的各元素就是n-1階子式再加上個正負號，所以伴隨陣為0矩陣。

當r(A)<=n-1時，最高階非零子式的階數<=n-1，所以n-1階子式有可能不為零，所以伴隨陣有可能非零（等號成立時伴隨陣必為非零）。

參考資料來源：百度百科-矩陣的秩

矩陣的秩是怎么定義的,以及為什么要這么定義

矩陣的秩的定義：是其行向量或列向量的極大無關組中包含向量的個數。

能這么定義的根本原因是：矩陣的行秩和列秩相等（證明可利用n+1個n維向量必線性相關）

矩陣的秩的幾何意義如下：在n維線性空間V中定義線性變換，可以證明：在一組給定的基下，任一個線性變換都可以與一個n階矩陣一一對應；而且保持線性；換言之，所有線性變換組成的空間End<F>(V)與所有矩陣組成的空間M(n)<F>是同構的。

擴展資料：

A=(aij)m×n的不為零的子式的最大階數稱為矩陣A的秩，記作rA，或rankA或R(A)。

特別規定零矩陣的秩為零。

顯然rA≤min(m,n) 易得：若A中至少有一個r階子式不等于零，且在r<min(m,n)時，A中所有的r+1階子式全為零，則A的秩為r。

由定義直接可得n階可逆矩陣的秩為n，通常又將可逆矩陣稱為滿秩矩陣, det(A)≠0；不滿秩矩陣就是奇異矩陣，det(A)=0。

由行列式的性質知，矩陣A的轉置AT的秩與A的秩是一樣的。

奇異值分解非常有用，對于矩陣A(p*q)，存在U(p*p)，V(q*q)，B(p*q)（由對角陣與增廣行或列組成），滿足A = U*B*V

U和V中分別是A的奇異向量，而B是A的奇異值。AA'的特征向量組成U，特征值組成B'B，A'A的特征向量組成V，特征值（與AA'相同）組成BB'。因此，奇異值分解和特征值問題緊密聯系。

如果A是復矩陣，B中的奇異值仍然是實數。

SVD提供了一些關于A的信息，例如非零奇異值的數目（B的階數）和A的階數相同，一旦階數確定，那么U的前k列構成了A的列向量空間的正交基。

參考資料來源：百度百科——矩陣的秩

矩陣的秩是什么？請舉例說明 我不太懂

秩是一個數，并且是一個自然數，只能取 0，1，2，3，4，當我們說一個矩陣的秩是幾的時候，我們到底在說什么？

矩陣中的任意一個r階子式不為0，且任意的r+1階子式為0，則階數r就叫作該矩陣的秩。就是對一個矩陣，存在某個r階行列式，值不為0，這個r階行列式就是對一個矩陣你畫r條橫線，r條豎線，這個橫豎線交叉的元素構成了一個新的數表，這個數表的行列式就叫作這個矩陣的r階子式。

如果把矩陣進行初等行變換，將矩陣變換為一個行階梯形矩陣后，那么行階梯形矩陣的非0行就是這個矩陣的秩。這是通過運算的角度來給出的矩陣的秩的定義，對矩陣進行初等行變換后得到的行階梯形矩陣的非0行的個數。

擴展資料

定理：矩陣的行秩，列秩，秩都相等。

定理：初等變換不改變矩陣的秩。

定理：矩陣的乘積的秩Rab<=min{Ra,Rb};

引理：設矩陣A=(aij)sxn的列秩等于A的列數n，則A的列秩，秩都等于n。

當r(A)<=n-2時，最高階非零子式的階數<=n-2，任何n-1階子式均為零，而伴隨陣中的各元素就是n-1階子式再加上個正負號，所以伴隨陣為0矩陣。

當r(A)<=n-1時，最高階非零子式的階數<=n-1，所以n-1階子式有可能不為零，所以伴隨陣有可能非零（等號成立時伴隨陣必為非零。）

參考資料來源：百度百科-矩陣的秩

什么叫矩陣的秩？

原因如下：

設 A是 m×n 的矩陣，可以通過證明 Ax=0 和A'Ax=0 兩個n元齊次方程同解證得 r(A'A)=r(A)。

1、Ax=0 肯定是 A'Ax=0 的解，好理解。

2、A'Ax=0 → x'A'Ax=0 → (Ax)' Ax=0 →Ax=0。

故兩個方程是同解的。

同理可得 r(AA')=r(A')。

另外 有 r(A)=r(A')。

所以綜上 r(A)=r(A')=r(AA')=r(A'A)。

矩陣的秩不等式

(1)矩陣A的秩等于矩陣A的轉置的秩，也即矩陣的行秩=列秩。

證明思路：一個矩陣經過一系列初等變換，都可以對應到一個標準型，而標準型的非零行數就是矩陣的秩。又因為矩陣的標準型是唯一的，所以矩陣的行秩與矩陣的列秩一定相等。

(2)矩陣A的秩等于矩陣A轉置乘矩陣A的秩。

證明思路：分別構造構造齊次的線性方程組，Ax=0與A轉置乘Ax=0同解。因為可以使用前面一個方程式子推到后面一個方程式，反之，倒過來也成立。兩個方程組同解，故秩相等，即得到證明。

什么是矩陣的秩

行列式的秩如下：

對于行列式來說，非零子式的最高階數就是它的秩。矩陣的秩用來表示一種矩陣結構，表示矩陣的某些行能否被其他行代替。

在線性代數中，一個矩陣A的列秩是A的線性獨立的縱列的極大數目。類似地，行秩是A的線性無關的橫行的極大數目。

行列式的特點：

行列式A中某行用同一數k乘，其結果等于kA。

行列式A等于其轉置行列式AT（AT的第i行為A的第i列）。

若n階行列式|αij|中某行（或列），行列式則|αij|是兩個行列式的和，這兩個行列式的第i行（或列）,一個是b1,b2,…,bn；另一個是с1，с2,…,сn；其余各行（或列）上的元與|αij|的完全一樣。

矩陣的秩怎么計算？

矩陣的秩計算方法：矩陣的行秩，列秩，秩都相等，初等變換不改變矩陣的秩，如果A可逆，則r(AB)=r(B),r(BA)=r(B)，矩陣的乘積的秩Rab<=min{Ra,Rb}。

引理：設矩陣A=(aij)sxn的列秩等于A的列數n，則A的列秩，秩都等于n，當r(A)<=n-2時，最高階非零子式的階數<=n-2，任何n-1階子式均為零，而伴隨陣中的各元素就是n-1階子式再加上個正負號，所以伴隨陣為0矩陣，當r(A)<=n-1時，最高階非零子式的階數<=n-1，所以n-1階子式有可能不為零，所以伴隨陣有可能非零。

矩陣的秩的變化規律

(1)轉置后秩不變

(2)r(A)<=min(m,n),A是m*n型矩陣

(3)r(kA)=r(A),k不等于0

(4)r(A)=0<=>A=0

(5)r(A+B)<=r(A)+r(B)

(6)r(AB)<=min(r(A),r(B))

(7)r(A)+r(B)-n<=r(AB)

(8)P、Q為可逆矩陣，則r(PAQ)=r(A)

(9)n階方陣A，若|A|=0，則r(A)<n，否則r(A)=n

(10)若Ax=B有解，則r(A)=r(A,B)

(11)若A~B，則人r(A)=r(B)

(12)若所有n階子式為零，則r(A)<t(t為A的逆序數)

(13)A中若有S階非零子式，則r(A)>=S