垂直平分線(xiàn)

垂直平分線(xiàn)是初中數(shù)學(xué)會(huì)接觸到的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，并且很多幾何題都會(huì)涉及到垂直平分線(xiàn)。所以極客數(shù)學(xué)幫今天就為大家總結(jié)了關(guān)于垂直平分線(xiàn)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)和經(jīng)典例題解析，后面還有垂直平分線(xiàn)的相關(guān)練習(xí)題。一起來(lái)看看吧。

定義：經(jīng)過(guò)某一條線(xiàn)段的中點(diǎn)，并且垂直于這條線(xiàn)段的直線(xiàn)，叫做這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)。

垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)

1.垂直平分線(xiàn)垂直且平分其所在線(xiàn)段。

2.垂直平分線(xiàn)上任意一點(diǎn)，到線(xiàn)段兩端點(diǎn)的距離相等。

3.如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，那么對(duì)稱(chēng)軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線(xiàn)的垂直平分線(xiàn)。

4.線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)和這條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等 。

逆定理：和一條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上。

5.三角形三條邊的垂直平分線(xiàn)相交于一點(diǎn)，該點(diǎn)叫外心，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相 等。(此時(shí)以外心為圓心，外心到頂點(diǎn)的長(zhǎng)度為半徑，所作的圓為此三角形的外接圓。)

垂直平分線(xiàn)的逆定理

到一條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上。

注意：要證明一條線(xiàn)為一個(gè)線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)，應(yīng)證明兩個(gè)點(diǎn)到這條線(xiàn)段的距離相等且這兩個(gè)點(diǎn)都在要求證的直線(xiàn)上才可以證明

通常來(lái)說(shuō)，垂直平分線(xiàn)會(huì)與全等三角形來(lái)使用。

垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)：線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這條線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。

巧記方法：點(diǎn)到線(xiàn)段兩端距離相等。

可以通過(guò)全等三角形證明。

垂直平分線(xiàn)的尺規(guī)作法

方法之一：(用圓規(guī)作圖)

1、在線(xiàn)段的中心找到這條線(xiàn)段的中點(diǎn)通過(guò)這個(gè)點(diǎn)做這條線(xiàn)段的垂線(xiàn)段。

2、分別以線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)為圓心，以大于線(xiàn)段的二分之一長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧線(xiàn)。得到兩個(gè)交點(diǎn)(兩交點(diǎn)交與線(xiàn)段的同側(cè))。

3、連接這兩個(gè)交點(diǎn)。

原理：等腰三角形的高垂直平分底邊。

方法之二：

1、連接這兩個(gè)交點(diǎn)。原理：兩點(diǎn)成一線(xiàn)。

等腰三角形的性質(zhì)：

1、三線(xiàn)合一 ( 等腰三角形底邊上的高、底邊上的中線(xiàn)、頂角平分線(xiàn)相互重合。 )

2、等角對(duì)等邊(如果一個(gè)三角形，有兩個(gè)內(nèi)角相等，那么它一定有兩條邊相等。)

3、等邊對(duì)等角(在同一三角形中，如果兩個(gè)角相等，即對(duì)應(yīng)的邊也相等。)

垂直平分線(xiàn)的判定

①利用定義.

②到一條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上.(即線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)可以看成到線(xiàn)段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的集合)

經(jīng)典例題講解

例1．如圖，已知：在△ABC中，∠C=90°∠A=30°，BD平分∠ABC交AC于D.

求證：D在AB的垂直平分線(xiàn)上.

分析：根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的逆定理，欲證D在AB的垂直平分線(xiàn)上，只需證明BD=DA即可.

證明：∵∠C=90，°∠A=30°（已知），

∴∠ABC=60°（Rt△的兩個(gè)銳角互余）

又∵BD平分∠ABC（已知）

∴∠DBA=1/2∠ABC=30°=∠A

∴BD=AD（等角對(duì)等邊）

∴D在AB的垂直平分線(xiàn)上（和一條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上）.

例2．如圖，已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分線(xiàn)交AB于E，交BC于F。

求證：CF=2BF。

分析：由于∠BAC=120°，AB=AC，可得∠B=∠C=30°，又因?yàn)镋F垂直平分AB，連結(jié)AF，可得AF=BF. 要證CF=2BF，只需證CF=2AF，即證 ∠FAC=90°就可以了.

證明：連結(jié)AF，

∵EF垂直平分AB（已知）

∴FA=FB（線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)和這條線(xiàn)段兩端點(diǎn)的距離相等）

∴∠FAB=∠B（等邊對(duì)等角）

∵AB=AC（已知），

∴∠B=∠C（等邊對(duì)等角）

又∵∠BAC=120°（已知），

∴∠B=∠C=30°（三角形內(nèi)角和定理）

∴∠BAF=30°

∴∠FAC=90°

∴FC=2FA（直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半）

∴FC=2FB

說(shuō)明：線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的定理與逆定理都由三角形的全等證得，初學(xué)者往往不習(xí)慣直接使用絕無(wú)僅有垂直平分線(xiàn)的定理與逆定理，容易舍近求遠(yuǎn)，由三角形全等來(lái)證題.

例3．如圖，已知：AD平分∠BAC，EF垂直平分AD，交BC延長(zhǎng)線(xiàn)于F，連結(jié)AF。

求證：∠B=∠CAF。

分析：∠B與∠CAF不在同一個(gè)三角形中，又∵∠B，∠CAF所在的兩個(gè)三角形不全等，所以欲證∠B=∠CAF，不能利用等腰三角形或全等三角形的性質(zhì). 那么注意到EF垂直平分AD，可得FA=FD，因此∠FAD=∠ADF，又因?yàn)?∠CAF=∠FAD-∠CAD，∠B=∠ADF-∠BAD，而∠CAD=∠BAD，所以可證明∠CAF=∠B.

證明：∵EF垂直平分AD（已知），

∴FA=FD（線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)和這條線(xiàn)段的兩端點(diǎn)的距離相等）.

∴∠FAD=∠ADF（等邊對(duì)等角）

∵∠B=∠ADF-∠BAD（三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和），∠CAF=∠FAD-∠CAD，

又∠CAD=∠BAD（角平分線(xiàn)定義），

∴∠B=∠CAF .

說(shuō)明：運(yùn)用線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的定理或逆定理，能使問(wèn)題簡(jiǎn)化，如本例題中，EF垂直平分AD，可以直接有結(jié)論FA=FD，不必再去證明兩個(gè)三角形全等.

例4．如圖，已知直線(xiàn)l和點(diǎn)A，點(diǎn)B，在直線(xiàn)l上求作一點(diǎn)P，使PA=PB.

分析：假設(shè)P點(diǎn)已經(jīng)作出，則由PA=PB，那么根據(jù)“到線(xiàn)段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上”可知，點(diǎn)P在線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)上. 而點(diǎn)P又在直線(xiàn)l上，則點(diǎn)P應(yīng)是AB的垂直平分線(xiàn)與垂線(xiàn)l的交點(diǎn)。

作法：1．連結(jié)AB.

2．作線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)，交直線(xiàn)l于點(diǎn)P.則P即為所求的點(diǎn).

說(shuō)明：在求作一個(gè)點(diǎn)時(shí)，要考慮該點(diǎn)具備什么樣的特點(diǎn)，如它到一條線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等，它就在連結(jié)這兩點(diǎn)的線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上，如果它到一個(gè)角的兩邊的距離相等，它就在這個(gè)角的平分線(xiàn)上.

看完了垂直平分線(xiàn)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)和例題，我們來(lái)做一下有關(guān)于垂直平分線(xiàn)的練習(xí)題。

以上就是極客數(shù)學(xué)幫為大家整理的有關(guān)垂直平分線(xiàn)的全部?jī)?nèi)容了。