sir模型(sir模型MATLAB作圖)

SIR 模型

SIR 模型（易感者 susceptible、感染者 infectious、痊愈者 recovered），在流行病學(xué)中占據(jù)了中心位置。

由于這個(gè)模型起源于流行病研究領(lǐng)域，同時(shí)也因?yàn)榭紤]傳染病的痊愈更為自然，因此我們以傳染病的傳播為例來(lái)描述 SIR 模型。為了避免過(guò)于復(fù)雜的數(shù)學(xué)計(jì)算，我們假設(shè)治愈傳染病的人會(huì)重新進(jìn)入易感人群，也就是說(shuō)治愈傳染病并不會(huì)產(chǎn)生未來(lái)對(duì)傳染病的免疫力。

其中，Pcontact, Pspread, Precover 分別等于傳染病的接觸概率、傳播概率和痊愈概率。

流行病學(xué)家對(duì)接觸概率和傳播概率會(huì)進(jìn)行單獨(dú)跟蹤，我們也會(huì)這樣做。接觸概率取決于傳染病如何從一個(gè)人傳播到另一個(gè)人。艾滋病通過(guò)性接觸傳播；白喉通過(guò)唾液傳播；流感病毒通過(guò)空氣傳播。因此，流感的接觸概率高于白喉，白喉的接觸概率又高于艾滋病。而且，在發(fā)生接觸后，各種傳染病的傳播概率也會(huì)有所不同。白喉比 SARS 更容易傳染給另一個(gè)人。

SIR模型會(huì)產(chǎn)生一個(gè)臨界點(diǎn)，就是所謂的 R0，也就是接觸概率乘以擴(kuò)散概率與痊愈概率之比。某種傳染病，如果 R0 大于1，那么這種傳染病就可以傳遍整個(gè)人群，而 R0 小于 1 的傳染病則趨于消失。在這個(gè)模型中，信息（或者，在這個(gè)例子中是傳染病）并不一定會(huì)傳播到整個(gè)相關(guān)人群。能不能做到這一點(diǎn)取決于 R0 的值。因此，像疾病控制中心這樣的政府機(jī)構(gòu)必須依據(jù)對(duì) R0 的估計(jì)來(lái)指導(dǎo)政策制定。

如表11-1所示，麻疹可以通過(guò)空氣傳播，因而它的再生數(shù)高于艾滋病，艾滋病只能通過(guò)性接觸和共用針頭傳播。對(duì) R0 的估計(jì)假設(shè)人們不會(huì)為了應(yīng)對(duì)傳染病而改變行為。

然而，當(dāng)學(xué)校里虱子肆虐時(shí)，家長(zhǎng)的反應(yīng)可能是讓孩子待在家中，以降低接觸概率，還可能會(huì)剃光孩子的頭發(fā)，減少接觸發(fā)生時(shí)傳播的可能性。這兩種行為變化都會(huì)降低虱子傳播的 R0。

在沒有疫苗的情況下，檢疫是一個(gè)選擇，但是成本很高。如果存在疫苗，那么疫苗接種可以預(yù)防傳染病傳播。即便做不到每個(gè)人都接種疫苗，也可以預(yù)防傳染病傳播。必須接種疫苗的人的比例，即疫苗接種閾值（vaccinationthreshold），可以通過(guò)公式 V≥ (R0-1)/R0 求出。我們可以從上述模型中推導(dǎo)出這個(gè)公式。

疫苗接種閾值隨 R0 的增加而提高。例如，脊髓灰質(zhì)炎的 R0 為6，因此為了防止脊髓灰質(zhì)炎的傳播，疫苗必須覆蓋5/6的人群。而麻疹的 R0 為15，為了阻止麻疹的傳播，疫苗必須覆蓋14/15的人口。疫苗接種閾值的數(shù)學(xué)推導(dǎo)也為決策者提供了指引，如果接種疫苗的人數(shù)太少，這種傳染病就會(huì)傳播開來(lái)，因此政府接種疫苗的次數(shù)會(huì)超過(guò)模型估計(jì)的閾值。對(duì)于麻疹和脊髓灰質(zhì)炎等 R0 非常高的傳染病，政府將努力保證所有人都接種疫苗。

有些人擔(dān)心疫苗有副作用，選擇不參加疫苗接種計(jì)劃。如果這些人只占人口的一小部分，那么其他人接種疫苗也可以防止這些人感染這種傳染病，流行病學(xué)家將這種現(xiàn)象稱為群體免疫力。選擇不接種疫苗的人事實(shí)上是搭了其他接種疫苗的人的便車。

盡管SIR模型原本是用來(lái)分析傳染病傳播的，但是我們也可以把它應(yīng)用于所有通過(guò)擴(kuò)散傳播，然后趨于消失的社會(huì)現(xiàn)象例如書的銷售、歌曲的流行、舞步的風(fēng)行，"熱詞"的傳播、食譜和健身方法的流傳等。在這些情況在這些情況下，我們也可以估計(jì)接觸概率、傳播概率和"痊愈"概率，以及基本再生數(shù) R0。這個(gè)模型意味著，這些概率只要發(fā)生了微小的變化，就可以使 R0 移動(dòng)到高于零的水平，從而造成成功與失敗之間的天壤之別。

病毒毒力的輕微減少。就可以使大規(guī)模傳染病為輕微的疾病；歌曲傳唱概率的小幅變動(dòng)，就可能把一直熱門的新樂(lè)隊(duì)送上天堂或打入地獄，區(qū)別之大，恰如披頭士樂(lè)隊(duì)與一直在利物浦某個(gè)地下酒吧賣唱的樂(lè)隊(duì)之間的區(qū)別。

本文節(jié)選自湛廬文化《思維模型》, [遇見] 已獲授權(quán).