反函數求導(反函數求導法則)

反函數求導

反函數的求導法則是：反函數的導數是原函數導數的倒數。
例題：求y=arcsinx的導函數。 首先，函數y=arcsinx的反函數為x=siny，所以：y‘=1/sin’y=1/cosy

因為x=siny，所以cosy=√1-x2

所以y‘=1/√1-x2。

同理可以求其他幾個反三角函數的導數。所以以后在求涉及到反函數的導數時，先將反函數求出來，只是這里的反函數是以x為因變量，y為自變量，這個要和我們平時的區分開。最后將y想法設法換成x即可。

擴展資料：

一般地，設函數y=f(x)(x∈A)的值域是C，根據這個函數中x,y 的關系，用y把x表示出，得到x= g(y). 若對于y在C反函數中的任何一個值，通過x= g(y)，x在A中都有唯一的值和它對應，那么，x= g(y)就表示y是自變量，x是因變量是y的函數，這樣的函數x= g(y)(y∈C)叫做函數y=f(x)(x∈A)的反函數，記作y=f^(-1) (x) 反函數y=f^(-1) (x)的定義域、值域分別是函數y=f(x)的值域、定義域。

反函數的導數是什么？

反函數的求導法則是：反函數的導數是原函數導數的倒數。

例題：求= arcsinx的導函數。首先， 函數y= arcsinx的反函數為x=siny ,所以: y '=1/sin' y= 1/cosy因為x=siny ,所以cosy=V1-x2;所以y '=1/v1-x2。

原函數的導數等于反函數導數的倒數設y=f (x)。其反函數為x=g (v)可以得到微分關系式: dy= (df/ dx) dx, dx= (dg/ dy) dy。

那么，由導數和微分的關系我們得到：

原函數的導數是df/ dx=dy/ dx。

反函數的導數是dg/ dy=dx/ dy。

所以，可以得到df/ dx=1/ (dg/ dx)。

1、反函數的定義域是原函數的值域，反函數的值域是原函數的定義域。

2、互為反函數的兩個函數的圖像關于直線y=x對稱。

3、原函數若是奇函數，則其反函數為奇函數。

4、若函數是單調函數，則-定有反函數，且反函數的單調性與原函數的一致。

5、原函數與反函數的圖像若有交點，則交點-定在直線y=x上或關于直線y=x對稱出現。

如何求反函數的導數？

反函數的求導法則是：反函數的導數是原函數導數的倒數。

如果函數x=f(y)在區間Iy內單調、可導且f′(y)≠0，那么它的反函數y=f−1(x)在區間Ix=

{x|x=f(y)，y∈Iy}內也可導，且[f−1(x)]′=1f′(y)或dydx=1dxdy

這個結論可以簡單表達為：反函數的導數等于直接函數導數的倒數。

例：

設x=siny，y∈[−π2,π2]

為直接導數，則y=arcsinx是它的反函數，求反函數的導數。

解：函數x=siny在區間內單調可導，f′(y)=cosy≠0

因此，由公式得

(arcsinx)′=1(siny)′=1cosy=11−sin2y−−−−−−−−√=11−x2−−−−−√

一般地，設函數y=f(x)(x∈A)的值域是C，根據這個函數中x,y 的關系，用y把x表示出，得到x= g(y).

若對于y在C反函數中的任何一個值，通過x= g(y)，x在A中都有唯一的值和它對應，那么，x=
g(y)就表示y是自變量，x是因變量是y的函數，這樣的函數x= g(y)(y∈C)叫做函數y=f(x)(x∈A)的反函數，記作y=f^(-1)
(x) 反函數y=f^(-1) (x)的定義域、值域分別是函數y=f(x)的值域、定義域。

如何求反函數求導？

反函數的求導法則是：反函數的導數是原函數導數的倒數。
例題：求y=arcsinx的導函數。 首先，函數y=arcsinx的反函數為x=siny，所以：y‘=1/sin’y=1/cosy

因為x=siny，所以cosy=√1-x2

所以y‘=1/√1-x2。

同理可以求其他幾個反三角函數的導數。所以以后在求涉及到反函數的導數時，先將反函數求出來，只是這里的反函數是以x為因變量，y為自變量，這個要和我們平時的區分開。最后將y想法設法換成x即可。

擴展資料：

一般地，設函數y=f(x)(x∈A)的值域是C，根據這個函數中x,y 的關系，用y把x表示出，得到x= g(y). 若對于y在C反函數中的任何一個值，通過x= g(y)，x在A中都有唯一的值和它對應，那么，x= g(y)就表示y是自變量，x是因變量是y的函數，這樣的函數x= g(y)(y∈C)叫做函數y=f(x)(x∈A)的反函數，記作y=f^(-1) (x) 反函數y=f^(-1) (x)的定義域、值域分別是函數y=f(x)的值域、定義域。

反函數導數怎么求？

y=arcsinx y'=1/√（1-x^2）

反函數的導數：

y=arcsinx,

那么，siny=x,

求導得到，cosy *y'=1

即 y'=1/cosy=1/√[1-(siny)^2]=1/√(1-x^2)

擴展資料：

引用的常用公式

在推導的過程中有這幾個常見的公式需要用到：

⒈(鏈式法則)y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]·g'(x）『f'[g(x)]中g(x）看作整個變量，而g'(x）中把x看作變量』

2. y=u*v,y'=u'v+uv'(一般的leibniz公式)

3.y=u/v,y'=（u'v-uv'）/v^2，事實上4.可由3.直接推得

4.（反函數求導法則）y=f(x）的反函數是x=g(y），則有y'=1/x'

參考資料：導數表-百度百科

反函數的導數

原函數的導數等于反函數導數的倒數。

設y=f(x),其反函數為x=g(y)，

可以得到微分關系式：dy=(df/dx)dx ,dx=(dg/dy)dy ，

那么,由導數和微分的關系我們得到，

原函數的導數是 df/dx = dy/dx，

反函數的導數是 dg/dy = dx/dy ，

所以,可以得到 df/dx = 1/(dg/dx) 。

擴展資料：

一般來說，設函數y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一個函數g(y)在每一處g(y)都等于x，這樣的函數x= g(y)(y∈C)叫做函數y=f(x)(x∈A)的反函數，記作x=f-1(y) 。反函數x=f-1(y)的定義域、值域分別是函數y=f(x)的值域、定義域。最具有代表性的反函數就是對數函數與指數函數。

一般地，如果x與y關于某種對應關系f(x)相對應，y=f(x)，則y=f(x)的反函數為x=f-1(y)。存在反函數（默認為單值函數）的條件是原函數必須是一一對應的（不一定是整個數域內的）。注意：上標"−1"指的是函數冪，但不是指數冪。