線性微分方程(線性微分方程解的結(jié)構(gòu))

什么是線性微分方程？

如果一個(gè)微分方程中僅含有未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)作為整體的一次冪，則稱它為線性微分方程。

可以理解為此微分方程中的未知函數(shù)y是不超過(guò)一次的，且此方程中y的各階導(dǎo)數(shù)也應(yīng)該是不超過(guò)一次的。線性微分方程是指關(guān)于未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)都是一次方，否則稱其為非線性微分方程。

定義

線性方程也稱為一次方程，因?yàn)樵诘芽栕鴺?biāo)系上任何一個(gè)一次方程的表示都是一條直線。組成一次方程的每個(gè)項(xiàng)必須是常數(shù)或者是一個(gè)常數(shù)和一個(gè)變量的乘積。且方程中必須包含一個(gè)變量，因?yàn)槿绻麤](méi)有變量只有常數(shù)的式子是算數(shù)式而非方程式。

如果一個(gè)一次方程中只包含一個(gè)變量（x），那么該方程就是一元一次方程。如果包含兩個(gè)變量（x和y），那么就是一個(gè)二元一次方程，以此類推。

什么是線性微分方程？

如果一個(gè)微分方程中僅含有未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)作為整體的一次冪，則稱它為線性微分方程。可以理解為此微分方程中的未知函數(shù)y是不超過(guò)一次的，且此方程中y的各階導(dǎo)數(shù)也應(yīng)該是不超過(guò)一次的。

對(duì)于線性微分方程，其中只能出現(xiàn)函數(shù)本身，以及函數(shù)的任何階次的導(dǎo)函數(shù)；函數(shù)本身跟所有的導(dǎo)函數(shù)之間除了加減之外，不可以有任何運(yùn)算；

函數(shù)本身跟本身、各階導(dǎo)函數(shù)本身跟本身，都不可以有任何加減之外的運(yùn)算；不允許對(duì)函數(shù)本身、各階導(dǎo)函數(shù)做任何形式的復(fù)合運(yùn)算，例如：siny、cosy、tany、lny、lgx、y、y。

擴(kuò)展資料：

微分方程在物理學(xué)、力學(xué)中的重要應(yīng)用，不在于求方程的任一解，而是求得滿足某些補(bǔ)充條件的解。A.-L.柯西認(rèn)為這是放棄“求通解”的最重要的和決定性的原因。這些補(bǔ)充條件即定解條件。求方程滿足定解條件的解，稱之為求解定解問(wèn)題。

常微分方程的概念、解法、和其它理論很多，比如，方程和方程組的種類及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理論等等。

參考資料來(lái)源：百度百科-微分方程

如何判斷一個(gè)微分方程是線性，還是非線性微分方程？！

如果一個(gè)微分方程中僅含有未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)作為整體的一次冪,則稱它為線性微分方程。可以理解為此微分方程中的未知函數(shù)y是不超過(guò)一次的，且此方程中y的各階導(dǎo)數(shù)也應(yīng)該是不超過(guò)一次的。

線性微分方程是指關(guān)于未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)都是一次方，否則稱其為非線性微分方程。

擴(kuò)展資料：

線性方程：在代數(shù)方程中,僅含未知數(shù)的一次冪的方程稱為線性方程。這種方程的函數(shù)圖象為一條直線，所以稱為線性方程。可以理解為：即方程的最高次項(xiàng)是一次的，允許有0次項(xiàng)，但不能超過(guò)一次。比如ax+by+c=0，此處c為關(guān)于x或y的0次項(xiàng)。

微分方程：含有自變量、未知函數(shù)和未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方程稱為微分方程。

如果一個(gè)微分方程中僅含有未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)作為整體的一次冪,則稱它為線性微分方程。可以理解為此微分方程中的未知函數(shù)y是不超過(guò)一次的，且此方程中y的各階導(dǎo)數(shù)也應(yīng)該是不超過(guò)一次的。

參考資料：線性微分方程 百度百科

什么叫做線性微分方程？

如果一個(gè)微分方程中僅含有未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)作為整體的一次冪,則稱它為線性微分方程。否則稱其為非線性微分方程。

可以理解為此微分方程中的未知函數(shù)y是不超過(guò)一次的，且此方程中y的各階導(dǎo)數(shù)也應(yīng)該是不超過(guò)一次的。在代數(shù)方程中，僅含未知數(shù)的一次幕的方程稱為線性方程。

這種方程的函數(shù)圖象為一條直線，所以稱為線性方程。可以理解為:即方程的最高次項(xiàng)是-次的，允許有0次項(xiàng)，但不能超過(guò)一次。比如ax+by+c=0， 此處c為關(guān)于x或y的0次項(xiàng)。

擴(kuò)展資料

微分方程研究的來(lái)源：它的研究來(lái)源極廣，歷史久遠(yuǎn)。牛頓和G.W.萊布尼茨創(chuàng)造微分和積分運(yùn)算時(shí)，指出了它們的互逆性，事實(shí)上這是解決了最簡(jiǎn)單的微分方程y'=f(x)的求解問(wèn)題。當(dāng)人們用微積分學(xué)去研究幾何學(xué)、力學(xué)、物理學(xué)所提出的問(wèn)題時(shí)，微分方程就大量地涌現(xiàn)出來(lái)。

牛頓本人已經(jīng)解決了二體問(wèn)題：在太陽(yáng)引力作用下，一個(gè)單一的行星的運(yùn)動(dòng)。他把兩個(gè)物體都理想化為質(zhì)點(diǎn)，得到3個(gè)未知函數(shù)的3個(gè)二階方程組，經(jīng)簡(jiǎn)單計(jì)算證明，可化為平面問(wèn)題，即兩個(gè)未知函數(shù)的兩個(gè)二階微分方程組。用叫做“首次積分”的辦法，完全解決了它的求解問(wèn)題。

什么是線性微分方程？

二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的表達(dá)式為y''+py'+qy=f(x)，其特解y設(shè)法分為:

1、如果f(x)=P(x） ，Pn (x）為n階多項(xiàng)式。

2、如果f(x)=P(x) e'a x，Pn (x）為n階多項(xiàng)式。

二階常系數(shù)線性微分方程是形如y''+py'+qy=f(x)的微分方程，其中p，q是實(shí)常數(shù)。自由項(xiàng)f(x)為定義在區(qū)間I上的連續(xù)函數(shù)，即y''+py'+qy=0時(shí)，稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方程。

若函數(shù)y1和y2之比為常數(shù)，稱y1和y2是線性相關(guān)的；若函數(shù)y1和y2之比不為常數(shù)，稱y1和y2是線性無(wú)關(guān)的。特征方程為：λ^2+pλ+q=0，然后根據(jù)特征方程根的情況對(duì)方程求解。

線性微分方程和非線性的區(qū)別 線性微分方程和非線性有什么區(qū)別

區(qū)別線性微分方程和非線性微分方程如下:

1、微分方程中的線性,指的是y及其導(dǎo)數(shù)y都是一次方。如y=2xy。

2、非線性,就是除了線性的。如y=2xy^2。

3、擴(kuò)展資料：

（1）微分方程指含有未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式。解微分方程就是找出未知函數(shù)。

（2）微分方程是伴隨著微積分學(xué)一起發(fā)展起來(lái)的。微積分學(xué)的奠基人Newton和Leibniz的著作中都處理過(guò)與微分方程有關(guān)的問(wèn)題。微分方程的應(yīng)用十分廣泛，可以解決許多與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的問(wèn)題。