行列式展開(行列式展開定理)

行列式展開公式是什么？

行列式的展開公式是在線性代數(shù)的范圍內(nèi)，行列式的值代表由它的列向量張成的“立體”的“體積”。行列式按行展開的定理是拉普拉斯定理的一種簡單情況，該行各元素分別乘以相應(yīng)代數(shù)余子式求和，就等于行列式的值。

如果行列式D的第i行各元素與第j行各元素的代數(shù)余子式對應(yīng)相乘后再相加，則當(dāng)i≠j時，其和為零，行列式依行或依列展開，不僅對行列式計算有重要作用，且在行列式理論中也有重要的應(yīng)用。

比如：行列式

D=|a11 a12 a13 a14|

|a21 a22 a23 a24|

|a31 a32 a33 a34|

|a41 a42 a43 a44|

a23處在二行三列，從原行列式中劃去它所在的行和列各元素，剩下的元素按原位排列構(gòu)成的新行列式，稱為它的余子式。（是一個比原來行列式低一階的行列式）

性質(zhì)：

1、行列互換，行列式不變。

2、把行列式中某一行（列）的所有元素都乘以一個數(shù)K，等于用數(shù)K乘以行列式。

3、如果行列式的某行（列）的各元素是兩個元素之和，那么這個行列式等于兩個行列式的和。

4、如果行列式中有兩行（列）相同，那么行列式為零。

5、如果行列式中兩行（列）成比例，那么行列式為零。

6、把一行（列）的倍數(shù)加到另一行（列），行列式不變。

7、對換行列式中兩行（列）的位置，行列式反號。

關(guān)于行列式的展開

“行列式按第一列展開”意思：按第1列展開，就是第1列中，各個元素，分別乘以各自的代數(shù)余子式（正負(fù)符號，乘以余子式）
【行列式】
在數(shù)學(xué)中，是一個函數(shù)，其定義域為det的矩陣A，取值為一個標(biāo)量，寫作det(A)或 | A | 。無論是在線性代數(shù)、多項式理論，還是在微積分學(xué)中（比如說換元積分法中），行列式作為基本的數(shù)學(xué)工具，都有著重要的應(yīng)用。
行列式可以看做是有向面積或體積的概念在一般的歐幾里得空間中的推廣。或者說，在 n 維歐幾里得空間中，行列式描述的是一個線性變換對“體積”所造成的影響。
【行列式的性質(zhì)】
①行列式A中某行(或列)用同一數(shù)k乘,其結(jié)果等于kA。
②行列式A等于其轉(zhuǎn)置行列式AT(AT的第i行為A的第i列)。
③若n階行列式|αij|中某行(或列);行列式則|αij|是兩個行列式的和，這兩個行列式的第i行(或列),一個是b1,b2,…,bn；另一個是с1，с2,…,сn；其余各行（或列）上的元與|αij|的完全一樣。
④行列式A中兩行（或列）互換,其結(jié)果等于-A。?
⑤把行列式A的某行（或列）中各元同乘一數(shù)后加到另一行（或列）中各對應(yīng)元上，結(jié)果仍然是A。

行列式展開定理是什么？

行列式展開定理即拉普拉斯展開定理，指的是如果行列式的某一行（列）是兩數(shù)之和，則可把它拆分成兩個行列式再求和。行列式的某一行（列）的元素與另一行（列）對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零。

比如：行列式

D=|a11 a12 a13 a14|

|a21 a22 a23 a24|

|a31 a32 a33 a34|

|a41 a42 a43 a44|

a23處在二行三列，從原行列式中劃去它所在的行和列各元素，剩下的元素按原位排列構(gòu)成的新行列式，稱為它的余子式。（是一個比原來行列式低一階的行列式）

行列式依列展開原理

在行列式計算中，我們經(jīng)常利用行列式的展開把n階行列式轉(zhuǎn)化為n-1階行列式，通過降階逐步變?yōu)榈碗A行列式后進行計算。

但行列式按某一行或列展開時，只有在該行或列的元素有較多的零時，才能起到減少計算量的作用，因此往往先運用“化零”后進行“降階”，利用行列式性質(zhì)降低行列式階數(shù)，然后計算行列式之值的方法稱為降階法。

行列式展開公式是什么?

行列式依行展開(expansion of a determinant by a row)是計算行列式的一種方法，設(shè)ai1，ai2，…，ain(1≤i≤n)為n階行列式D=|aij|的任意一行中的元素，而Ai1，Ai2，…，Ain分別為它們在D中的代數(shù)余子式，則D=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin稱為行列式D的依行展開。

如果行列式D的第i行各元素與第j行各元素的代數(shù)余子式對應(yīng)相乘后再相加，則當(dāng)i≠j時，其和為零，行列式依行或依列展開不僅對行列式計算有重要作用，且在行列式理論中也有重要的應(yīng)用 。

注意：

行列式計算有以下幾種方法：①化成三角形行列式法、②降階法、③拆成行列式之和法、④范德蒙行列式、⑤數(shù)學(xué)歸納法、⑥逆推法。

1、化成三角形行列式法：這種化成三角形行列式法在用的時候要求我們將某一個行或者是列全部的化成1，這樣的話就能方便我們利用行列之間的關(guān)系將其轉(zhuǎn)化為一個三角形行列式，從而可以求出來這個三角形行列式的值。

因為我們求的行列式的值之間的各個元素是相等的，各個元素之外也是相等的，這一點也是需要注意的，在使用的時候可以直接轉(zhuǎn)化一下，做題就簡單多了，這種也是一種十分明確的利用行列式的特點來簡化行列式的方法。

2、降階法：降階法也是一種利用行列式的特點來簡化行列式的方法之一，我們在使用的時候，利用行列式的性質(zhì)將一個行或者一個列轉(zhuǎn)化為一個非零的元素的時候，然后可以按照相關(guān)的展開行或者列，每當(dāng)你展開一次，這就說明行列式降低了一階，直到無法展開之后就是最簡單的行列式降階法了。

不過這一點只是適用于一些階層比較低的行列式，針對于一些比較多階的行列式是不可以使用的。

行列式如何展開？

三階行列式可用對角線法則：D = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32- a13a22a31 - a12a21a33 - a11a23a32。

|a11 a12 a13|=a11a22a33-a11a23a32+a12a23a31-a12a21a33+a13a32a21-a13a22a31，a21 a22 a23。

a31 a32 a33，=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31。

a1*(a1的余子式)：

某個數(shù)的余子式是指刪去那個數(shù)所在的行和列后剩下的行列式。

行列式的每一項要求：不同行不同列的數(shù)字相乘如選了a1則與其相乘的數(shù)只能在2，3行2，3列中找，（即在 b2b3c2c3中找）。

而a1(b2·c3-b3·c2) - a2(b1c3-b3·c1) + a3(b1·c2-b2·c1)是用了行列式展開運算：即行列式等于它第一行的每一個數(shù)乘以它的余子式，或等于第一列的每一個數(shù)乘以它的余子式，然后按照 + - + - + -......的規(guī)律給每一項添加符號之后再做求和計算。

行列式的展開式有多少項？

四階行列式的完全展開式共有24項！過程如下：

1、四階行列式展開，共有4個不同的三階行列式；

2、按【行列式展開定理】,4階行列式展開成低一階的三階行列式時,有四個分行列式；繼續(xù)【展開】下去,每個3階行列式可以【展】成3個2階行列式；每個2階行列式可以【展】成2項.所以全部展開后共有 4!=24項——和定義描述的相同!
D4=a11A11+a12A12+a13A13+a14A14
=a11M11-a12M12+a13M13-a14M14

拓展資料：

1、按照一定的規(guī)則，由排成正方形的一組(n個)數(shù)(稱為元素)之乘積形成的代數(shù)和，稱為n階行列式。

例如，四個數(shù)a、b、c、d所排成二階行式記為

，它的展開式為ad-bc。

九個數(shù)a1，a2，a3;b1，b2，b3;c1，c2，c3排成的三階行列式記為

，它的展開式為a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2-a1b3c2-a2b1c3-a3b2c1。

2、行列式起源于線性方程組的求解，在數(shù)學(xué)各分支有廣泛的應(yīng)用。在代數(shù)上，行列式可用來簡化某些表達式，例如表示含較少未知數(shù)的線性方程組的解等。

參考資料來源：百度百科：n階行列式