絕對值不等式的解法(絕對值不等式的解法口訣)

解絕對值不等式時，有幾種常見的方法

一、 絕對值定義法

對于一些簡單的，一側為常數的含不等式絕對值，直接用絕對值定義即可，

1、如|x| < a在數軸上表示出來。利用數軸可將解集表示為−a< x < a

2、|x| ≥ a同理可在數軸上表示出來，因此可得到解集為x≥ a或x≤ a

3、|ax +b| ≥ c型，利用絕對值性質化為不等式組−c ≤ ax + b ≤ c，再解不等式組。

二、平方法

對于不等式兩邊都是絕對值時，可將不等式兩邊同時平方。

解不等式 |x+ 3| > |x− 1|將等式兩邊同時平方為(x + 3)2 > (x − 1)2得到x2 + 6x + 9 > x2 − 2x + 1之后解不等式即可，解得x > −1

三、零點分段法

對于不等式中含有有兩個及以上絕對值，且含有常數項時，一般使用零點分段法。例 解不等式|x + 1| + |x − 3| > 5

在數軸上可以看出，數軸可以分成x < −1,−1 ≤ x < 3, x ≥ 3三個區間，由此進行分類討論。

當x < −1時，因為x + 1 < 0, x − 3 < 0所以不等式化為 −x− 1 −x + 3 > 5解得x < −322．當−1 ≤x < 3時， 因為x + 1 > 0,x− 3 < 0所以不等式化為x + 1 − x + 3 > 5無解。

當 x ≥ 3時 因為x + 1 > 0 ,x − 3 > 0所以不等式化為x + 1 + x− 3 > 5解得x >72綜上所述，不等式的解為x < −32或x >72。

擴展資料

1、實數的絕對值的概念

(1)|a|的幾何意義

|a|表示數軸上實數a對應的點與原點之間的距離.

(2)兩個重要性質

①(ⅰ)|ab|=|a||b|

②|a|<|b|⇔a2<b2

(3)|x-a|的幾何意義:數軸上實數x對應的點與實數a對應的點之間的距離,或數軸上表示x-a的點到原點的距離.

(4)|x+a|的幾何意義:數軸上實數x對應的點與實數-a對應的點之間的距離,或數軸上表示x+a的點到原點的距離。

2、絕對值不等式定理

(1)定理：對任意實數a和b,有|a+b|≤|a|+|b|,當且僅當ab≥0時,等號成立.

(2)定理的另一種形式：對任意實數a和b,有|a-b|≤|a|+|b|,當且僅當ab≤0時,等號成立.

絕對值不等式定理的完整形式：|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.

其中,(1)|a+b|=|a|-|b|成立的條件是ab≤0,且|a|≥|b|;

(2)|a+b|=|a|+|b|成立的條件是ab≥0;

(3)|a-b|=|a|-|b|成立的條件是ab≥0,且|a|≥|b|;

(4)|a-b|=|a|+|b|成立的條件是ab≤0.

含有絕對值的不等式怎么解

解含絕對值的不等式只有兩種模型，它的解法都是由以下兩個得來：
（1）|X|>1那么X>1或者X<-1; |X|>3那么X>3或者X<-3;
即）|X|>a那么X>a或者X<-a;(兩根之外型)
(2)）|X|<1那么-1<X<1；|X|<3那么-3<X<3
即)）|X|<a那么-a<X<a；(兩根之內型)
遇到這類不等式只需用對型把絕對值去掉即可：
如：|1-3X|＞4 我把絕對值中的所有式子看成整體，不等式是兩根之外型，則：1-3X>4或者1-3X<-4，從而又解一次不等式得解集為：X>5/3或者X<-1
又如：|1-3X|<2我把絕對值中的所有式子看成整體，不等式是兩根之內型
則：-2<1-3X<2從而又解一次不等式得解集為：-1/3<x<1

記憶：大于取兩根之外,小于取兩根之間

絕對值不等式的解法

解絕對值不等式必須設法化去式中的絕對值符號，絕對值不等式的解法有幾何意義法、討論法、平方法以及函數圖像法。

絕對值不等式的幾種解法

（一）幾何意義法

例如：求不等式|x|＜1的解集

不等式|x|＜1的解集表示到原點的距離小于1的點的集合，

所以不等式|x|＜1的解集為{x|-1＜x＜1}。

（二）討論法

例如：求不等式|x|＜1的解集

①當x≥0時，原來的不等式可以化為x＜1，∴0≤x＜1。

②當x＜0時，原來的不等式可以化為-x＜1，∴-1＜x＜0。

綜上所述，不等式|x|＜1的解集為{x|-1＜x＜1}。

（三）平方法

例如：求不等式|x|＜1的解集

把原不等式的兩邊平方可以得到：x 2 ＜1，即x 2 -1＜0，即（x+1）（x-1）＜0

即-1＜x小于1，∴不等式|x|＜1的解集為{x|-1＜x＜1}。

（四）函數圖像法

例如：求不等式|x|＜1的解集

從函數觀點看，不等式|x|＜1的解集表示函數y=|x|的圖像位于y=1的圖像下方的部分對應的x的取值范圍。所以不等式|x|＜1的解集為{x|-1＜x＜1}。

絕對值不等式的性質

|a|表示數軸上的點a與原點的距離叫做數a的絕對值。|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|。

兩個重要性質：

1、|ab|=|a||b|

|a/b|=|a|/|b|（b≠0）

2、|a|<|b|可逆推出|b|>|a|

| |a|-|b| |≤|a+b|≤|a|+|b|，當且僅當ab≤0時左邊等號成立，ab≥0時右邊等號成立。

另外有：|a-b|≤|a|+|-b|=|a|+|-1|*|b|=|a|+|b|

| |a|-|b| |≤|a±b|≤|a|+|b|

含絕對值的不等式怎樣解?

絕對值不等式的常見形式及解法：

絕對值不等式解法的基本思路是：去掉絕對值符號，把它轉化為一般的不等式求解。

轉化的方法一般有：（1）絕對值定義法；（2）平方法；（3）零點區域法。常見的形式有以下幾種。

形如不等式：|x|<a(a>0)，利用絕對值的定義得不等式的解集為：-a<x<a

形如不等式：|x|>=a(a>0)，它的解集為：x<=-a或x>=a。

形如不等式|ax+b|<c(c>0)，它的解法是：先化為不等式組：-c<ax+b<c，再利用不等式的性質來得解集。

形如 |ax+b|>c(c>0)，它的解法是：先化為不等式組：ax+b>c或ax+b<-c，再利用不等式的性質求出原不等式的解集。

絕對不等式的解法過程 如何轉化

1、絕對值不等式解法的基本思路是：去掉絕對值符號，把它轉化為一般的不等式求解。

2、轉化的方法一般有：

（1）絕對值定義法；

（2）平方法；

（3）零點區域法。

3、常見的形式有以下幾種：

（1）對絕對值內的部分按大于、等于、小于零進行討論去絕對值；

（2）通過兩邊平方去絕對值；需要注意的是不等號兩邊為非負值。

（3）含有多個絕對值符號的不等式可用“按零點分區間討論”的方法來解。

（4）分式不等式的解法：通解變形為整式不等式；

（5）不等式組的解法：分別求出不等式組中，每個不等式的解集，然后求其交集，即是這個不等式組的解集，在求交集中，通常把每個不等式的解集畫在同一條數軸上，取它們的公共部分。

（6）解含有參數的不等式：

解含參數的不等式時，首先應注意考察是否需要進行分類討論。如果遇到下述情況則一般需要討論：

①不等式兩端乘除一個含參數的式子時，則需討論這個式子的正、負、零性。

②在求解過程中，需要使用指數函數、對數函數的單調性時，則需對它們的底數進行討論。

③在解含有字母的一元二次不等式時，需要考慮相應的二次函數的開口方向，對應的一元二次方程根的狀況（有時要分析△），比較兩個根的大小，設根為（或更多）但含參數，要討論。