等比數列求和(等比數列求和公式推導過程)

等比數列是什么？如何求和

1、等比數列是指從第二項起，每一項與它的前一項的比值等于同一個常數的一種數列。

舉例：

數列：2、4、8、16、······

每一項與前一項的比值：4÷2=8÷4=16÷8=2，所以這個數列是等比數列，而它的公比就是2。

2、等比數列的求和公示如下：

其中a1為首項，q為等比數列公比，Sn為等比數列前n項和。

還是以數列：2、4、8、16、······為例，a1=2，公比q=2，

假如是求前四項的和，即：Sn=2×（1-2^4）÷（1-2）=30，與2+4+8+16=30 相符。

擴展資料

等比數列在生活中也是常常運用的。

如：銀行有一種支付利息的方式---復利。

即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再計算下一期的利息，也就是人們通常說的利滾利。

按照復利計算本利和的公式：本利和=本金×(1+利率)^存期

等比數列求和公式是什么？

求和公式

求和公式推導：

（1）Sn=a1+a2+a3+...+an(公比為q)

（2）qSn=a1q + a2q + a3q +...+ anq = a2+ a3+ a4+...+ an+ a(n+1)

（3）Sn-qSn=(1-q)Sn=a1-a(n+1)

（4）a(n+1)=a1qn

（5）Sn=a1(1-qn)/(1-q)（q≠1)

擴展資料

相關應用：

遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中，下一層燈數是上一層燈數的2倍，則塔的頂層共有幾盞燈。

每層塔所掛的燈的數量形成一個等比數列，公比q=2，我們設塔的頂層有a1盞燈。7層塔一共掛了381盞燈，S7=381，按照等比求和公式， 那么有a1乘以1-2的7次方，除以1-2，等于381.能解出a1等于3. 尖頭必有3盞燈。

參考資料來源：百度百科-等比數列求和公式

等比數列求和的方法

等比數列求和公式：Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。
其中常數q叫作公比，在等比數列中，首項a1與公比q都不為零。等比數列求和公式是求等比數列之和的公式。
如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，這個數列就叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比，公式可以快速的計算出出該數列的和。
一個數列，如果任意的后一項與前一項的比值是同一個常數(這個常數通常用q來表示)且數列中任何項都不能為0。

等比數列怎樣求和？

等比數列的求和公式：Sn=首項（1-公比的n次方）/1-公比（公比≠1）

擴展資料

等比數列是指從第二項起，每一項與它的前一項的比值等于同一個常數的一種數列，常用G、P表示。這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，等比數列a1≠ 0。其中{an}中的每一項均不為0。注：q=1 時，an為常數列。

若{an}是等比數列，公比為q1，{bn}也是等比數列，公比是q2，則{a2n}，{a3n}…是等比數列，公比為q1^2，q1^3…{can}，c是常數，{an*bn}，{an/bn}是等比數列，公比為q1，q1q2，q1/q2。

等比數列在生活中也是常常運用的。如：銀行有一種支付利息的方式——復利。即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，在計算下一期的利息，也就是人們通常說的“利滾利”。按照復利計算本利和的公式：本利和=本金*(1+利率)^存期。

參考資料百度百科-等比數列

等比數列求和公式

等比數列求和公式：Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。
其中常數q叫作公比，在等比數列中，首項a1與公比q都不為零。等比數列求和公式是求等比數列之和的公式。
如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，這個數列就叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比，公式可以快速的計算出出該數列的和。
一個數列，如果任意的后一項與前一項的比值是同一個常數(這個常數通常用q來表示)且數列中任何項都不能為0。

等比數列怎么求和

在數學中解決問題，通常公式是很重要的一部分，記住公式可以很方便的去解決問題，大大減少了工作量和工作時間，一個公式就可以解決一類問題，那么，等比數列求和公式是什么呢？

公式

等比數列求和公式為：Sn=n*a1(q=1)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-anq)/(1-q)（q不等于1）

特殊性質

①若m、n、p、q∈N，且m+n=p+q，則am×an=ap×aq；

②在等比數列中，依次每k項之和仍成等比數列；

③若m、n、q∈N，且m+n=2q，則am×an=(aq)^2；

④若G是a、b的等比中項，則G^2=ab（G≠0）；

⑤在等比數列中，首項a1與公比q都不為零.

注意：上述公式中an表示等比數列的第n項。

等比數列求和公式推導

由等比數列定義

a2=a1*q

a3=a2*q

a(n-1)=a(n-2)*q

an=a(n-1)*q 共n-1個等式兩邊分別相加得

a2+a3+...+an=[a1+a2+...+a(n-1)]*q

即Sn-a1=(Sn-an)*q,即（1-q）Sn=a1-an*q

當q≠1時,Sn=(a1-an*q)/（1-q）(n≥2)

當n=1時也成立.

當q=1時Sn=n*a1

所以Sn=n*a1（q=1）；(a1-an*q)/（1-q）(q≠1)。

錯位相減法

Sn=a1+a2+a3+...+an

Sn*q=a1*q+a2*q+...+a(n-1)*q+an*q=a2+a3+...+an+an*q

以上兩式相減得（1-q）*Sn=a1-an*q

數學歸納法

證明：（1）當n=1時，左邊=a1，右邊=a1·q0=a1，等式成立；

（2）假設當n=k（k≥1，k∈N*）時，等式成立，即ak=a1qk-1；

當n=k+1時，ak+1=ak·q=a1qk=a1·q（k+1）-1；

這就是說，當n=k+1時，等式也成立；

由（1）（2）可以判斷，等式對一切n∈N*都成立。