拉格朗日中值定理(拉格朗日中值定理的條件)

拉格朗日中值定理的內(nèi)容？

定理內(nèi)容：

若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]滿足以下條件: 　　

(1)在[a,b]連續(xù) 　　

(2)在(a,b)可導(dǎo) 　　

則在(a,b)中至少存在一點f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a) a<c<b，使或f(b)-f(a)=f'(c)(b-a) 成立，其中a<c<b

證明: 把定理里面的c換成x再不定積分得原函數(shù)f(x)={[f(b)-f(a)]/(b-a)}x. 　　

做輔助函數(shù)G(x)=f(x)-{[f(b)-f(a)]/(b-a)}x. 　　

易證明此函數(shù)在該區(qū)間滿足條件: 　　

1.G(a)=G(b); 　　

2.G(x)在[a,b]連續(xù); 　　

3.G(x)在(a,b)可導(dǎo). 　　

此即羅爾定理條件,由羅爾定理條件即證

擴展資料：

定理表述

如果函數(shù)f(x)滿足：

（1）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；

（2）在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；

那么在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一點使等式成立。

其他形式記,令,則有上式稱為有限增量公式。

我們知道函數(shù)的微分是函數(shù)的增量Δy的近似表達(dá)式，一般情況下只有當(dāng)|Δx|很小的時候，dy和Δy之間的近似度才會提高；而有限增量公式卻給出了當(dāng)自變量x取得有限增量Δx（|Δx|不一定很小）時，函數(shù)增量Δy的準(zhǔn)確表達(dá)式，這就是該公式的價值所在。

輔助函數(shù)法：

已知在上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，構(gòu)造輔助函數(shù)

可得又因為在上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，所以根據(jù)羅爾定理可得必有一點使得由此可得變形得定理證畢。

參考資料：百度百科-拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理 “中值”指的是什么？

指的是區(qū)間（a，b）的兩個端點所連直線的斜率，這個定理就是說如果在閉區(qū)間上連續(xù)，開區(qū)間上可導(dǎo)。

那么總有那么一個值能夠使已知曲線的斜率和直線斜率相等，其他的斜率都會比這個大或者小。事實上如果你看過羅爾定理，那么你就會更理解這個中值的意義了，在那個定理中，中值指的是斜率為0。

拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理又稱拉氏定理，是微分學(xué)中的基本定理之一，它反映了可導(dǎo)函數(shù)在閉區(qū)間上的整體的平均變化率與區(qū)間內(nèi)某點的局部變化率的關(guān)系。拉格朗日中值定理是羅爾中值定理的推廣，同時也是柯西中值定理的特殊情形，是泰勒公式的弱形式（一階展開）。

法國數(shù)學(xué)家拉格朗日于1797年在其著作《解析函數(shù)論》的第六章提出了該定理，并進(jìn)行了初步證明，因此人們將該定理命名為拉格朗日中值定理。

拉格朗日中值定理

為了方便理解舉個栗子：如果兩地的距離是500公里，駕車走完這500公里耗時5小時，那么在某一時刻，你的速度必定會達(dá)到平均速度100公里/小時。
上述問題轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語言：f(x)是距離關(guān)于時間的函數(shù)，那么一定存在：

f’(c)就是c時刻的瞬時速度。前提條件是f(x)在[a, b]上連續(xù)，f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且 a < c < b。這就是拉格朗日中值定理的通俗定義。

中值定理的幾何意義如下圖所示：

在曲線的兩點間做一條割線，割線的斜率就是(f(b)-f(a))/(b-a)， f’(c)是與割線平行的一條切線，與曲線相切于c點。
　需要注意的是中值定理的前提條件，下面的曲線不滿足中值定理：

函數(shù)雖然是連續(xù)的，但在x=c點處不可導(dǎo)，中值定理要求函數(shù)在定義域范圍內(nèi)全部可導(dǎo)。
ps1；“中值”指的是區(qū)間（a，b）的兩個端點所連直線的斜率，這個定理就是說如果在閉區(qū)間上連續(xù)，開區(qū)間上可導(dǎo)，那么總有那么一個值能夠使已知曲線的斜率和直線斜率相等，其他的斜率都會比這個大或者小。事實上如果你看過羅爾定理，那么你就會更理解這個中值的意義了，在那個定理中，中值指的是斜率為0。
ps2；如果函數(shù)f(x)滿足在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，那么在(a,b)內(nèi)至少有一點ξ(a<ξ<b)，使等式f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)成立。其中ξ就是中值.

拉格朗日中值定理公式是怎么樣的？

拉格朗日中值定理的內(nèi)容：

若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]滿足以下條件: 　　

(1)在[a,b]連續(xù) 　　

(2)在(a,b)可導(dǎo) 　　

則在(a,b)中至少存在一點f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a) a<c<b，使或f(b)-f(a)=f'(c)(b-a) 成立，其中a<c<b

證明: 把定理里面的c換成x再不定積分得原函數(shù)f(x)={[f(b)-f(a)]/(b-a)}x. 　　

做輔助函數(shù)G(x)=f(x)-{[f(b)-f(a)]/(b-a)}x. 　　

易證明此函數(shù)在該區(qū)間滿足條件: 　　

1.G(a)=G(b); 　　

2.G(x)在[a,b]連續(xù); 　　

3.G(x)在(a,b)可導(dǎo). 　　

此即羅爾定理條件,由羅爾定理條件即證。

擴展資料

人們對拉格朗日中值定理的認(rèn)識可以上溯到公元前古希臘時代，古希臘數(shù)學(xué)家在幾何研究中得到如下結(jié)論：“過拋物線弓形的頂點的切線必平行于拋物線弓形的底”。這正是拉格朗日定理的特殊情況，古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德正是巧妙地利用這一結(jié)論，求出拋物弓形的面積。

意大利卡瓦列里在《不可分量幾何學(xué)》(1635年)的卷一中給出處理平面和立體圖形切線的有趣引理，其中引理3基于幾何的觀點也敘述了同樣一個事實：曲線段上必有一點的切線平行于曲線的弦。這是幾何形式的微分中值定理，被人們稱為卡瓦列里定理。

拉格朗日中值定理的定理意義？

幾何意義：若連續(xù)曲線y=f(x)在A(a,f(a)),B(b,f(b))兩點間的每一點處都有不垂直于x軸的切線,則曲線在A,B間至少存在1點P(c,f(c)),使得該曲線在P點的切線與割線AB平行。

物理意義：對于直線運動，在任意一個運動過程中至少存在一個位置（或一個時刻）的瞬時速度等于這個過程中的平均速度。

拉格朗日中值定理應(yīng)用是什么？

拉格朗日中值定理應(yīng)用是：一點c在連續(xù)可倒區(qū)間內(nèi)，只要使得f（a）-f(b)=f'(c)(b-a)成立即可。推導(dǎo)出的f'（c）可以看出是f(x)的斜率。

g(x)=e^x-ex

g(x)在[1，x]連續(xù)，在（1，x）可導(dǎo)

所以由拉格朗日中值定理

存在w∈(1,x),使得g'(w)=(g(x)-g(1))/(x-1)

e^w-e=(e^x-ex)/(x-1)

即e^x-ex=(x-1)*(e^w-e)

運動學(xué)意義：

對于曲線運動在任意一個運動過程中至少存在一個位置（或一個時刻）的瞬時速率等于這個過程中的平均速率。

拉格朗日中值定理在柯西的微積分理論系統(tǒng)中占有重要的地位。可利用拉格朗日中值定理對洛必達(dá)法則進(jìn)行嚴(yán)格的證明，并研究泰勒公式的余項。從柯西起，微分中值定理就成為研究函數(shù)的重要工具和微分學(xué)的重要組成部分。