有理數(有理數概念)

什么叫做有理數啊?

有理數是整數（正整數、0、負整數）和分數的統稱，是整數和分數的集合。

整數也可看做是分母為一的分數。不是有理數的實數稱為無理數，即無理數的小數部分是無限不循環的數。

有理數是“數與代數”領域中的重要內容之一，在現實生活中有廣泛的應用，是繼續學習實數、代數式、方程、不等式、直角坐標系、函數、統計等數學內容以及相關學科知識的基礎。

有理數的加法運算：

1、同號兩數相加，取與加數相同的符號，并把絕對值相加。

2、異號兩數相加，若絕對值相等則互為相反數的兩數和為0；若絕對值不相等，取絕對值較大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值。

3、互為相反數的兩數相加得0。

4、一個數同0相加仍得這個數。

5、互為相反數的兩個數，可以先相加。

6、符號相同的數可以先相加。

什么叫做有理數？

1，有理數是“數與代數”領域中的重要內容之一，在現實生活中有廣泛的應用，是繼續學習實數、代數式、方程、不等式、直角坐標系、函數、統計等數學內容以及相關學科知識的基礎。

數學上，有理數是一個整數a和一個正整數b的比，例如3/8，通則為a/b。0也是有理數。有理數是整數和分數的集合，整數也可看做是分母為一的分數。有理數的小數部分是有限或為無限循環的數。不是有理數的實數稱為無理數，即無理數的小數部分是無限不循環的數。

2，有理數集可以用大寫黑正體符號Q代表。但Q并不表示有理數，有理數集與有理數是兩個不同的概念。有理數集是元素為全體有理數的集合，而有理數則為有理數集中的所有元素。

一，整數

整數，是序列{...，-3，-2，-1，0，1，2，3，...}中所有的數的統稱，包括負整數、零（0）與正整數。和自然數一樣，整數也是一個可數的無限集合。這個集合在數學上通常表示為粗體Z或，源于德語單詞Zahlen（意為“數”）的首字母。

在代數數論中，這些屬于有理數的一般整數會被稱為有理整數，用以和高斯整數等的概念加以區分。

二，有理數命名由來：

“有理數”這一名稱不免叫人費解，有理數并不比別的數更“有道理”。事實上，這似乎是一個翻譯上的失誤。有理數一詞是從西方傳來，在英語中是rational number，而rational通常的意義是“理性的”。中國在近代翻譯西方科學著作，依據日語中的翻譯方法，以訛傳訛，把它譯成了“有理數”。

但是，這個詞來源于古希臘，其英文詞根為ratio，就是比率的意思（這里的詞根是英語中的，希臘語意義與之相同）。所以這個詞的意義也很顯豁，就是整數的“比”。與之相對，“無理數”就是不能精確表示為兩個整數之比的數，而并非沒有道理。

什么是有理數？

根據數學書本定義：整數和分數統稱為有理數。

①有理數主要是和無理數對應的，無理數是無限不循環小數，比如：5.121231234......，有很多根式也是無理數，比如√2、√3、√17......，但不是所有的根式都是無理數，比如√4、√81......

②有理數一定是有限的，或者是無限循環的，注意：循環兩個字。

③易混淆的概念：小數一定是有理數，這是錯誤的。因為小數分為：有限小數、無限循環小數、無限不循環小數。而其中的無限不循環小數就是無理數。所以，一定不能說小數就是有理數！

④所有的有理數一定能轉化成分數形式，即下圖形式：

什么是有理數?

有理數的概念：

有理數為整數(正整數 0、負整數)和分數的統稱。正整數和正分數合稱為正有理數，負整數和負分數合稱為負有理數。因而有理數集的數可分為正有理數、負有理數和零。

一、有理數的定義

有理數有兩種分類，分別是正有理數，包括正整數和正分數;負有理數，包括負整數和負分數。

1、正有理數指的是數學術語，除了負數、0、無理數的數字，正有理數能精確地表示為兩個整數之比。

2、負有理數就是小于零并能用小數表示的數。如-3、123，-1、、、。

3、有理數是“數與代數”領域中的重要內容之一，在現實生活中有廣泛的應用，是繼續學習實數、代數式、方程、不等式、直角坐標系、函數、統計等數學內容以及相關學科知識的基礎。

有理數集可以用大寫黑正體符號Q代表。但Q并不表示有理數，有理數集與有理數是兩個不同的概念。有理數集是元素為全體有理數的集合，而有理數則為有理數集中的所有元素。

二、有理數名字的由來

“有理數”這一名稱不免叫人費解，有理數并不比別的數更“有道理”。事實上，這似乎是一個翻譯上的失誤。有理數一詞是從西方傳來，在英語中是rational number，而rational通常的意義是“理性的”。中國在近代翻譯西方科學著作，依據日語中的翻譯方法，以訛傳訛，把它譯成了“有理數”。但是，這個詞來源于古希臘，其英文詞根為ratio，就是比率的意思（這里的詞根是英語中的，希臘語意義與之相同）。所以這個詞的意義也很顯豁，就是整數的“比”。與之相對，“無理數”就是不能精確表示為兩個整數之比的數，而并非沒有道理。

三、有理數的認識

由于任何一個整數或分數都可以化為十進制循環小數，反之，每一個十進制循環小數也能化為整數或分數，因此，有理數也可以定義為十進制循環小數。

有理數集是整數集的擴張。在有理數集內，加法、減法、乘法、除法（除數不為零）4種運算通行無阻。

有理數a，b的大小順序的規定：如果a-b是正有理數，則稱當a大于b或b小于a，記作a>b或b<a。任何兩個不相等的有理數都可以比較大小。

有理數集與整數集的一個重要區別是，有理數集是稠密的，而整數集是密集的。將有理數依大小順序排定后，任何兩個有理數之間必定還存在其他的有理數，這就是稠密性。整數集沒有這一特性，兩個相鄰的整數之間就沒有其他的整數了。

有理數是實數的緊密子集：每個實數都有任意接近的有理數。一個相關的性質是，僅有理數可化為有限連分數。依照它們的序列，有理數具有一個序拓撲。有理數是實數的（稠密）子集，因此它同時具有一個子空間拓撲。

四、有理數的運算

加法運算

1、同號兩數相加，取與加數相同的符號，并把絕對值相加。

2、異號兩數相加，若絕對值相等則互為相反數的兩數和為0；若絕對值不相等，取絕對值較大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值。

3、互為相反數的兩數相加得0。

4、一個數同0相加仍得這個數。

5、互為相反數的兩個數，可以先相加。

6、符號相同的數可以先相加。

7、分母相同的數可以先相加。

8、幾個數相加能得整數的可以先相加。

減法運算

減去一個數，等于加上這個數的相反數，即把有理數的減法利用數的相反數變成加法進行運算。

乘法運算

1、同號得正，異號得負，并把絕對值相乘。

2、任何數與零相乘，都得零。

3、幾個不等于零的數相乘，積的符號由負因數的個數決定，當負因數有奇數個時，積為負，當負因數有偶數個時，積為正。

4、幾個數相乘，有一個因數為零，積就為零。

5、幾個不等于零的數相乘，首先確定積的符號，然后后把絕對值相乘。

除法運算

1、除以一個不等于零的數，等于乘這個數的倒數。

2、兩數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。零除以任意一個不等于零的數，都得零。

注意：

（1）零不能做除數和分母。

（2）有理數的除法與乘法是互逆運算。

（3）在做除法運算時，根據同號得正，異號得負的法則先確定符號，再把絕對值相除。若在算式中帶有帶分數，一般先化成假分數進行計算。若不能整除，則除法運算都轉化為乘法運算。

（4）乘方運算

1、負數的奇數次冪是負數，負數的偶數次冪是正數。例如：（-2）³（-2的3次方）=-8，（-2）²（-2的2次方）=4。

2、正數的任何次冪都是正數，零的任何正數次冪都是零。例如：2（2的2次方）=4，2 （2的3次方）=8，0（0的3次方）=0。

3、零的零次冪無意義。

4、由于乘方是乘法的特例，因此有理數的乘方運算可以用有理數的乘法運算完成。

5、1的任何次冪都是1，-1的偶次冪是1，奇次冪是-1。

除以零的謬誤

在代數運算中不當使用除以零可得出無效證明：a=b。前提a不等于b

由：0a=0，0b=0，得出0a=0b。

兩邊除以零，得出0a/0=0b/0。

化簡，得：a=b。

以上謬論一個假設，就是某數除以0是容許的。

什么是有理數?

有理數為整數（正整數、0、負整數）和分數的統稱 。

正整數和正分數合稱為正有理數，負整數和負分數合稱為負有理數。因而有理數集的數可分為正有理數、負有理數和零。

由于任何一個整數或分數都可以化為十進制循環小數，反之，每一個十進制循環小數也能化為整數或分數，因此，有理數也可以定義為十進制循環小數。

擴展資料：

有理數的認識

有理數為整數（正整數、0、負整數）和分數的統稱[2]。正整數和正分數合稱為正有理數，負整數和負分數合稱為負有理數。因而有理數集的數可分為正有理數、負有理數和零。

由于任何一個整數或分數都可以化為十進制循環小數，反之，每一個十進制循環小數也能化為整數或分數，因此，有理數也可以定義為十進制循環小數。

有理數集是整數集的擴張。在有理數集內，加法、減法、乘法、除法（除數不為零）4種運算通行無阻有理數的大小順序的規定：如果是正有理數，當大于或小于，記作或任何兩個不相等的有理數都可以比較大小。

有理數集與整數集的一個重要區別是，有理數集是稠密的，而整數集是密集的。將有理數依大小順序排定后，任何兩個有理數之間必定還存在其他的有理數，這就是稠密性。整數集沒有這一特性，兩個相鄰的整數之間就沒有其他的整數了。

有理數是實數的緊密子集：每個實數都有任意接近的有理數。一個相關的性質是，僅有理數可化為有限連分數。依照它們的序列，有理數具有一個序拓撲。有理數是實數的（稠密）子集，因此它同時具有一個子空間拓撲。

參考資料：百度百科---有理數

有理數有哪些？

有理數包括整數和分數，有限小數也是有理數像0.5、0.7、4.7這些都是有理數。

整數就是像2、4、5、8、9、-1、-3-、6等這樣的數，包括正整數，0，負整數。

分數是一個整數a和一個正整數b的不等于整數的比。例如日常生活中所說的七分之四，五分之三等。

有理數是整數和分數的集合，整數也可看做是分母為一的分數。有理數的小數部分是有限或為無限循環的數。不是有理數的實數稱為無理數，即無理數的小數部分是無限不循環的數。

擴展資料

有理數基本運算法則

一、加法運算

1、同號兩數相加，取與加數相同的符號，并把絕對值相加。

2、異號兩數相加，若絕對值相等則互為相反數的兩數和為0；若絕對值不相等，取絕對值較大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值。

3、互為相反數的兩數相加得0。

4、一個數同0相加仍得這個數。

5、互為相反數的兩個數，可以先相加。

6、符號相同的數可以先相加。

7、分母相同的數可以先相加。

8、幾個數相加能得整數的可以先相加。

二、減法運算

減去一個數，等于加上這個數的相反數，即把有理數的減法利用數的相反數變成加法進行運算。

三、乘法運算

1、同號得正，異號得負，并把絕對值相乘。

2、任何數與零相乘，都得零。

3、幾個不等于零的數相乘，積的符號由負因數的個數決定，當負因數有奇數個時，積為負，當負因數有偶數個時，積為正。

4、幾個數相乘，有一個因數為零，積就為零。

5、幾個不等于零的數相乘，首先確定積的符號，然后后把絕對值相乘。

四、除法運算

1、除以一個不等于零的數，等于乘這個數的倒數。

2、兩數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。零除以任意一個不等于零的數，都得零。

注意：

零不能做除數和分母。

有理數的除法與乘法是互逆運算。

在做除法運算時，根據同號得正，異號得負的法則先確定符號，再把絕對值相除。若在算式中帶有帶分數，一般先化成假分數進行計算。若不能整除，則除法運算都轉化為乘法運算。

參考資料：百度百科——有理數