什么是羅爾定理
羅爾中值定理是微分學中一條重要的定理，是三大微分中值定理之一，描述如下： 如果函數f(x)滿足以下條件：（1）在閉區間[a,b]上連續，（2）在(a,b)內可導，（3）f(a)=f(b)，則至少存在一個ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=0。
羅爾定理是什么意思
1.羅爾定理的定義
以法國數學家米歇爾·羅爾命名的羅爾中值定理（英語：Rolle's theorem）是微分學中一條重要的定理，是三大微分中值定理之一，敘述如下：如果函數 f(x)滿足
（1）在閉區間 [a,b]上連續；
（2）在開區間 (a,b)內可導；
（3）在區間端點處的函數值相等，即 f(a)=f(b)，
那么在 (a,b)內至少有一點ε （a<ε<b）
使得
2.幾何理解
下面是幾何圖解羅爾定理。函數y=f(x)在 [a,b]上連續，(a,b)內可導，并且f(a)=f(b)，那么f(x)曲線至少存在一點，其斜率為0.（下圖顯示有2個點斜率為0）
3.通俗解釋
你站在地上，垂直向天空拋出一小球，小球又落在地上，那么在小球運動過程中，一定有一個時刻t，在t時刻速度是0.(在這個t時刻之前，速度是向上的，過了這個時刻t，速度向下，而在這個t，就是物體運動的最高點，速度是0）
羅爾定理推論是什么?
羅爾定理的推論是：若連續曲線y=f(x)在區間上所對應的弧段AB，除端點外處處具有不垂直于x軸的切線，且在弧的兩個端點A,B處的縱坐標相等，則在弧AB上至少有一點C，使曲線在C點處的切線平行于x軸。
若M>m，則因為f(a)=f(b)使得最大值M與最小值m至少有一個在（a,b)內某點ξ處取得，從而ξ是f(x)的極值點，又條件f(x)在開區間（a,b)內可導得，f(x)在ξ處取得極值，由費馬引理，可導的極值點一定是駐點，推知：f'(ξ）＝0。
羅爾定理證明過程
證明：因為函數 f(x) 在閉區間[a,b] 上連續，所以存在最大值與最小值，分別用 M 和 m 表示，分兩種情況討論：
1、若 M=m，則函數 f(x) 在閉區間 [a,b] 上必為常函數，結論顯然成立。
2、若 M>m，則因為 f(a)=f(b) 使得最大值 M 與最小值 m 至少有一個在 (a,b) 內某點ξ處取得，從而ξ是f(x)的極值點，又條件 f(x) 在開區間 (a,b) 內可導得，f(x) 在 ξ 處取得極值，由費馬引理，可導的極值點一定是駐點，推知：f'(ξ)=0。
羅爾定理
羅爾定理的證明
羅爾(Rolle)定理
設函數在閉區間上連續，在開區間上可導,
且，則在內至少存在一點，使得。
證明: 由于在閉區間上連續,則,存在.
若,則,內任意一點都可作為.
若,則由知與中至少有一個(不妨設
為)在區間內某點取到, 即,下面證明.
因為在處可導,所以極限存在,因而左、
右極限都存在且相等，即
，由于
是在上的最大值，
所以不論或，都有，
當時，，因而，
當時，，因而，
怎么證明羅爾定理？
羅爾定理可知。
fa=fb時，存在某點e，使f′e=0。
開始證明拉格朗日。
我們假設一函數fx。
目標：證明fb-fa=f′e(b-a)，即拉格朗日。
我們假設fx來做成一個毫無意義的函數，fx-(fb-fa)/(b-a)*x，我們也不知道他能干啥，是我們隨便寫的一個特殊函數，我們令它等于Fx。
這個特殊函數在于，這個a和b，正好滿足Fb=Fa，且一定存在這個a和b。
此時我們就有羅爾定理的前提了。
于是得出有一個e，能讓F′e=0(羅爾定理)
即(fx-(fb-fa)/(b-a)*x)′，
上面求導等于f′x-(fb-fa)/(b-a)。
將唯一的x帶換成e，并且整個式子等于0。
變成f′e-(fb-fa)/(b-a)=0→
f′e=(fb-fa)/(b-a)→
f′e(b-a)=(fb-fa)。
完畢。
羅爾定理成立的三個條件
羅爾定理成立的三個條件一般是函數f(x)在閉區間[a，b]上連續，在開區間(a，b)內可導，且在區間端點的函數值相等，即f(a)=f(b)。
如果函數f(x)在閉區間[a，b]上連續，在開區間(a，b)內可導，且在區間端點的函數值相等，即f(a)=f(b)，那末在(a，b)內至少有一點ζ（a<ζ
