會考數學

高中數學會考知識點總結

龍馳教育

2

高中數學會考知識點總結

一、集合與常用邏輯用語及算法初步

集合中的元素具有確定性、互異性和無序性。

常用數集：自然數集N、正整數集*N或

?

N、整數集Z、

有理數集Q、實數集R。

子集、真子集、補集

交集、并集

邏輯聯結詞：或)(?、且)(?、非)(?。

復合命題三種形式：p或q；p且q；非p。

判斷復合命題的真假：

p或q：同假為假，否則為真；p且q：同真為真；非p：

與p真假相反。

四種命題：

原命題：若p則q；逆命題：若q則p；否命題：若p?則

q?；逆否命題：若q?則p?。

原命題與逆否命題互為逆否命題；逆命題與否命題

互為逆否命題。

互為逆否的兩個命題是等價的。

反證法步驟：假設結論不成立?推出矛盾?否定假

設。

充分條件與必要條件：

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3

若qp?，則p叫做q的充分條件；

若pq?，則p叫做q的必要條件；

若qp?，則p叫做q的充要條件。

三種基本邏輯結構：順序結構、條件結構、循環結

構。

二、基本初等函數

映射、函數

函數的定義域、值域、區間（閉區間、開區間、半

開半閉區間）

求函數的定義域：

分式的分母不等于0；偶次根式的被開方數大于等于

0；對數的真數大于0，底數大于0且不等于1；零

次冪的底數不等于0；三角函數中的正切函數xytan?，

2

?

???kx

)(Zk?；已知函數)(xf定義域為D，求函數)]([xgf的

定義域，只需Dxg?)(；已知函數)]([xgf的定義域為D，

求函數)(xf定義域，只需要求)(xg的值域D?。（5年高

考3年模擬5p，例2）

函數的單調性、單調區間、函數的最大值與最小值

函數的奇偶性

偶函數的圖像關于y軸對稱，奇函數的圖像關于原點

對稱。

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指數、分數指數冪

有理指數冪的運算性質（Qsrba???，，，00）：srsraaa???；

rssraa?)(；rrrbaab?)(。

對數：如果Nax?

)10(??aa，，數x就叫做以a為底N的對

數，記為xN

a

?log，其中a叫做底數，N叫做真數

（NaN

a?log）。

積、商、冪、方根的對數（M，N是正數）：

NMMN

aaa

loglog)(log??；NM

N

M

aaa

logloglog??；MnM

a

n

a

loglog?。

常用對數：以10為底的對數叫做常用對數，N

10

log通

常寫成Nlg。

自然對數：以e為底的對數叫做常用對數，N

e

log通常

寫成Nln。

指數函數、對數函數的定義、圖像和性質（20p）

冪函數的定義、圖像和性質（21p）

函數的零點：使0)(?xf的實數x叫做函數)(xfy?的零點；

方程0)(?xf有實根?函數)(xfy?的圖像與x軸有交點?

函數)(xfy?有零點。

函數有零點的判定：

如果函數)(xfy?在區間][ba，上的圖像是連續不斷的一

條曲線，并且0)()(??bfaf，那么函數)(xfy?在區間)(ba，內

有零點，即存在)(bac，?，使得0)(?cf。這個c也就是方

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5

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6

??

??

??

tantan1

tantan

)tan(

?

?

??。

二倍角的正弦、余弦、正切：

???cossin22sin?；

?????2222sin211cos2sincos2cos??????；

?

?

?

2tan1

tan2

2tan

?

?。

化特殊式子：xbxacossin?為一個角的三角函數形式，例

如：)

6

sin(2sin3cos

?

???xxx。

斜三角形的解法：

正弦定理：

C

c

B

b

A

a

sinsinsin

??。

余弦定理：

Abccbacos2222????，Baccabcos2222????，Cabbaccos2222????。

三角形的面積公式：BacAbcCabS

ABC

sin

2

1

sin

2

1

sin

2

1

???

?

。

四、不等式

不等式的基本性質（43p）

比較兩個數或式的大小，一般步驟是：

作差——變形——與0比較大小；或者作商——變

形——與1比較大小。

解一元二次不等式的一般步驟（43p）

二元一次不等式（組）與平面區域（44p）

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7

基本不等式：

若Rba?，，則abba222??；

若a，b為正數，則

2

ba

ab

?

?，當且僅當ba?時取等號。

利用算術平均數與幾何平均數定理求函數的最大值

和最小值

五、數列

n

a與

n

S的關系：

?

?

?

?

?

?

?

?

)1(

)1(

1

1

n

n

SS

S

a

nn

n

等差數列的通項公式：dnaa

n

)1(

1

???。

等差中項：a，A，b組成等差數列，A叫做a與b的等

差中項；Aba2??。

等差數列的前n項和公式：d

nn

na

aan

Sn

n2

)1(

2

)(

1

1

?

??

?

?。

等差數列的常用性質：dmnaa

mn

)(???；若qpnm???，則

qpnm

aaaa???。

等比數列的通項公式：1

1

??n

n

qaa。

等比中項：a，G，b成等比數列，G叫做a與b的等比

中項；2Gab?。

等比數列的前n項和公式：

)1(

)1(

11

)1(

1

1

1

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

q

q

na

q

qaa

q

qa

S

n

n

n

等比數列的常用性質：mn

mn

qaa??；若qpnm???，則

qpnm

aaaa???。

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六、導數及其應用

導數的幾何意義：函數)(xfy?在

0

xx?處的導數)('

0

xf的幾

何意義，就是曲線)(xfy?在點))((

0

xfx，處的切線的斜率，

即)('

0

xfk?。

導函數

基本初等函數的導數公式：

0)'(?c；1)')((??nnnxx；xxcos)'(sin?；xxsin)'(cos?；

aaaxxln)'(?；xxee?)'(；

ax

x

aln

1

)'(log?；

x

x

1

)'(ln?。

導數的運算法則（61p）

復合函數的求導法則：))((xgfy?，則

xu

uyy'''??。

用導數判斷函數的單調性：在某個區間)(ba，內，如果

0)('?xf，那么函數)(xfy?在這個區間內單調遞增；如果

0)('?xf，那么函數)(xfy?在這個區間內單調遞減。

求函數)(xfy?的極值的方法（61p）

求函數)(xfy?在][ba，上的最大值與最小值的步驟（61p）

七、數系擴充、推理與證明

12??i

dicbia???（Rdcba?，，，）的充要條件是：ca?且db?。

復數的分類：

)(Rbadicbia????，：

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0?b時，為實數；

0?b時，為虛數（0?a且0?b時，為純虛數；0?a且0?b時，

為非純虛數）

共軛復數：biabiaz????)(Rba?，

復平面、實軸、虛軸

復數集C和復平面內所有的點所成的集合是一一對

應關系；

復數集C和復平面內的向量所成的集合也是一一對

應關系。

復數的模：22||||babiaz????

復數的代數形式的四則運算（69p）

復數加減法運算的幾何意義（69p）

三段論：大前提：M是P；小前提：S是M；結論：S是

P。

綜合法、分析法

反證法（70p）

數學歸納法的步驟（70p）

八、平面向量

向量、向量的模（||a）

相等向量和共線向量（平行向量也叫做共線向量）

向量加法的三角形法則、向量加法的平行四邊形法

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10

則（78p）

向量減法的幾何意義（79p）

向量的數乘運算

向量共線的條件：向量a與非零向量b共線，當且僅

當唯一一個實數?，使得ab??。

向量的夾角

平面向量的坐標運算:

設)(

11

yxa，?，)(

22

yxb，?，則)(

2121

yyxxba????，，)(

2121

yyxxba????，。

平面向量共線的坐標表示：

設)(

11

yxa，?，)(

22

yxb，?，0?b，則a，b共線（a∥b）的充

要條件是0

1221

??yxyx。

平面向量的數量積：?cos||||baba??。

向量垂直的條件：設)(

11

yxa，?，)(

22

yxb，?，則向量a，b垂

直當且僅當0

2121

??yyxx。

九、立體幾何

棱柱：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，

并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這

些面所圍成的幾何體叫做棱柱。

棱臺：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底

面與截面之間的部分叫做棱臺。

圓臺：用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與

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11

截面之間的部分叫做圓臺。

棱臺與圓臺統稱為臺體。

投影、三視圖

斜二測畫法的步驟（87p）。

幾何體的表面積和體積公式（88p）。

點A在平面?內，記作??A；點A不在平面?內，記作

??A。

公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么

這條直線上的所有點都在這個平面內。

公理2：經過不在同一直線上的三點，有且只有一個

平面。

典型結論1：經過一條直線和直線外一點有且只有一

個平面。

典型結論2：經過兩條相交直線有且只有一個平面。

典型結論3：經過兩條平行直線有且只有一個平面。

公理3：如果兩個平面有一個公共點，那么它們還有

公共點，且所有這些公共點的集合是一條過這個公

共點的直線。

空間兩直線的位置關系：相交、平行、異面。

公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。

等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分

別平行并且方向相同，那么這兩個角相等。

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異面直線所成的角（取值范圍]

2

0(

?

，）

異面直線垂直

直線與平面的位置關系：直線在平面內、直線和平

面相交、直線和平面平行。

平面和平面的位置關系：平行、相交。

直線和平面平行的判定定理：

平面外的一條直線和此平面內的一條直線平行，則

該直線和此平面平行。

平面和平面平行的判定定理：

一個平面內的兩條相交直線分別平行于另一個平

面，則這兩個平面互相平行。

直線和平面平行的性質定理：

一條直線和一個平面平行，則過這條直線的任一平

面與此平面的交線與該直線平行。

平面和平面平行的性質定理：

如果兩個平面同時和第三個平面相交，那么它們的

交線平行。

直線與平面垂直：如果一條直線和一個平面相交，

并且和這個平面內的任意一條直線都垂直，我們就

說這條直線和這個平面互相垂直，其中直線叫做平

面的垂線，平面叫做直線的垂面，交點叫做垂足。

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13

直線與平面垂直的判定定理：

一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則

該直線與此平面垂直。

直線和平面所成的角（取值范圍]

2

0[

?

，）

二面角

二面角的平面角：過二面角的棱上的一點O分別在兩

個半平面內作棱的兩條垂線OA，OB，則AOB?叫做二面

角????l的平面角。（取值范圍)0[?，，二面角的平面角

為直角時，稱為直二面角）

平面與平面垂直的判定定理：

一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直。

平面與平面垂直的性質定理：

兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與

另一個平面垂直。

空間兩點的距離公式：

空間兩點)(

1111

zyxP，，，)(

2222

zyxP，，，則

2

21

2

21

2

2121

)()()(||zzyyxxPP??????。

十、直線和圓的方程

傾斜角（傾斜角?的取值范圍是??1800???）

斜率：?tan?k；過)(

111

yxP，，)(

222

yxP，的直線的斜率

12

12

xx

yy

k

?

?

?)(

12

xx?。

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14

兩直線平行或垂直的判定（101p）

直線的幾種形式：

點斜式：)(

00

xxkyy???

斜截式：bkxy??

兩點式：

12

1

12

1

xx

xx

yy

yy

?

?

?

?

?

截距式：1??

b

y

a

x

一般式：0???CByAx

直線的交點坐標：聯立直線方程進行求解。

兩點間的距離：

已知平面上兩點)(

111

yxP，，)(

222

yxP，，則

2

21

2

2121

)()(||yyxxPP????。

點到直線的距離：

點)(

00

yxP，到直線0???CByAx的距離

22

00

||

BA

CByAx

d

?

??

?。

兩平行直線的距離：

已知兩條平行直線

1

l和

2

l的一般式方程0

11

???CByAxl：，

0

22

???CByAxl：，則

1

l與

2

l的距離

22

21

||

BA

CC

d

?

?

?。

平面上兩點連線的中點坐標公式：

平面上兩點)(

111

yxP，，)(

222

yxP，，線段

21

PP的中點為

)

22

(2121

yyxx

P

??

，。

圓的標準方程：222)()(rbyax????，圓心為)(ba，，半徑為

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15

r)0(?r。

圓的一般方程：022?????FEyDxyx)04(22???FED，圓心為

)

22

(

ED

??，，半徑為

2

422FED

r

??

?。

圓的直徑式方程：

0))(())((

2121

??????yyyyxxxx（圓的直徑的端點是)(

11

yxA，，

)(

22

yxB，）。

點與圓的位置關系：根據點到圓心的距離與半徑r的

大小關系進行判斷。

直線與圓的位置關系：根據圓心到直線的距離與半

徑r的大小關系進行判斷。

圓與圓的位置關系：根據圓心距與半徑

1

r和

2

r的大小

關系進行判斷（5種情況）。

十一、圓錐曲線

橢圓：平面內與兩個定點

1

F，

2

F的距離的和等于常數

a2)2||2(

21

cFFa??的點的軌跡叫做橢圓。

若M為橢圓上任意一點，則有aMFMF2||||

21

??。

橢圓的標準方程：

1

2

2

2

2

??

b

y

a

x

)0(??ba（焦點在x軸上），或1

2

2

2

2

??

b

x

a

y

)0(??ba（焦

點在y軸上）。

離心率：

a

c

e?，10??e。

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16

雙曲線：平面上與兩個定點

1

F，

2

F的距離的差的絕對

值等于非零常數a2)2||2(

21

cFFa??的動點的軌跡是雙曲

線。若P為雙曲線上任意一點，則有aPFPF2||||

21

??。

雙曲線的標準方程：

1

2

2

2

2

??

b

y

a

x

)00(??ba，（焦點在x軸上），或1

2

2

2

2

??

b

x

a

y

)00(??ba，

（焦點在y軸上）。

離心率：

a

c

e?，1?e。

漸近線：x

a

b

y??叫做雙曲線1

2

2

2

2

??

b

y

a

x的漸近線。

與1

2

2

2

2

??

b

y

a

x

)00(??ba，有共同漸近線的雙曲線方程為

k

b

y

a

x

??

2

2

2

2

)0(?k

等軸雙曲線：實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙

曲線。

拋物線：平面內與一定點F和一條定直線l的距離相

等的動點的軌跡叫做拋物線。

拋物線的標準方程：pxy22?（焦點坐標)0

2

(，

p，準線方

程：

2

p

x??）；

pyx22?（焦點坐標)

2

0(

p

，，準線方程：

2

p

y??）。

如果直線與拋物線的交點為)(

11

yxA，，)(

22

yxB，，

則弦長||

1

1||1)()(||

21

2

21

22

21

2

21

yy

k

xxkyyxxAB??????????，

21

2

2121

4)(||xxxxxx????，21

2

2121

4)(||yyyyyy????。

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17

十二、計數原理、概論統計

系統抽樣、分層抽樣

頻率分布直方圖

莖葉圖

中位數、眾數

均值、方差