數列通項公式的求法。
1、用累加法求an=an－1+f（n）型通項
2、用累積法求an= f（n）an－1型通項
3、用待定系數法求an=Aan－1＋B型數列通項
4、通過Sn求an
5、取倒數轉化為等差數列
6、構造函數模型轉化為等比數列
7、數學歸納法
求數列通項公式的方法
求數列通項公式常用以下幾種方法：
一、題目已知或通過簡單推理判斷出是等比數列或等差數列，直接用其通項公式。
例：在數列{an}中，若a1=1，an+1=an+2(n1)，求該數列的通項公式an。
解：由an+1=an+2(n1)及已知可推出數列{an}為a1=1，d=2的等差數列。所以an=2n-1。此類題主要是用等比、等差數列的定義判斷，是較簡單的基礎小題。
二、已知數列的前n項和，用公式
S1
(n=1)
Sn-Sn-1
(n2)
例：已知數列{an}的前n項和Sn=n2-9n，第k項滿足5
(A)
9
(B)
8
(C)
7
(D)
6
解：∵an=Sn-Sn-1=2n-10，∴5<2k-10<8
∴k=8
選
(B)
此類題在解時要注意考慮n=1的情況。
三、已知an與Sn的關系時，通常用轉化的方法，先求出Sn與n的關系，再由上面的(二)方法求通項公式。
例：已知數列{an}的前n項和Sn滿足an=SnSn-1(n2)，且a1=-，求數列{an}的通項公式。
解：∵an=SnSn-1(n2)，而an=Sn-Sn-1，SnSn-1=Sn-Sn-1，兩邊同除以SnSn-1，得---=-1(n2)，而-=-=-，∴{-}
是以-為首項，-1為公差的等差數列，∴-=
-，Sn=
-，
再用(二)的方法：當n2時，an=Sn-Sn-1=-，當n=1時不適合此式，所以，
-
(n=1)
-
(n2)
四、用累加、累積的方法求通項公式
對于題中給出an與an+1、an-1的遞推式子，常用累加、累積的方法求通項公式。
例：設數列{an}是首項為1的正項數列，且滿足(n+1)an+12-nan2+an+1an=0，求數列{an}的通項公式
解：∵(n+1)an+12-nan2+an+1an=0，可分解為[(n+1)an+1-nan](an+1+an)=0
又∵{an}是首項為1的正項數列，∴an+1+an
≠0，∴-=-，由此得出：-=-，-=-，-=-，…，-=-,這n-1個式子，將其相乘得：∴
-=-，
又∵a1=1，∴an=-(n2)，∵n=1也成立，∴an=-(n∈N*)
求數列通項公式的方法
在高考中數列部分的考查既是重點又是難點，不論是選擇題或填空題中對基礎知識的檢驗，還是壓軸題中與其他章節知識的綜合，抓住數列的通項公式通常是解題的關鍵。
求數列通項公式常用以下幾種方法：
一、題目已知或通過簡單推理判斷出是等比數列或等差數列，直接用其通項公式。
例：在數列{an}中，若a1=1，an+1=an+2(n1)，求該數列的通項公式an。
解：由an+1=an+2(n1)及已知可推出數列{an}為a1=1，d=2的等差數列。所以an=2n-1。此類題主要是用等比、等差數列的定義判斷，是較簡單的基礎小題。
二、已知數列的前n項和，用公式
s1 (n=1)
sn-sn-1 (n2)
例：已知數列{an}的前n項和sn=n2-9n，第k項滿足5
(a) 9 (b) 8 (c) 7 (d) 6
解：∵an=sn-sn-1=2n-10，∴5<2k-10<8 ∴k=8 選 (b)
此類題在解時要注意考慮n=1的情況。
三、已知an與sn的關系時，通常用轉化的方法，先求出sn與n的關系，再由上面的(二)方法求通項公式。
例：已知數列{an}的前n項和sn滿足an=snsn-1(n2)，且a1=-，求數列{an}的通項公式。
解：∵an=snsn-1(n2)，而an=sn-sn-1，snsn-1=sn-sn-1，兩邊同除以snsn-1，得---=-1(n2)，而-=-=-，∴{-} 是以-為首項，-1為公差的等差數列，∴-= -，sn= -，
再用(二)的方法：當n2時，an=sn-sn-1=-，當n=1時不適合此式，所以，
- (n=1)
- (n2)
四、用累加、累積的方法求通項公式
對于題中給出an與an+1、an-1的遞推式子，常用累加、累積的方法求通項公式。
例：設數列{an}是首項為1的正項數列，且滿足(n+1)an+12-nan2+an+1an=0，求數列{an}的通項公式
解：∵(n+1)an+12-nan2+an+1an=0，可分解為[(n+1)an+1-nan](an+1+an)=0
又∵{an}是首項為1的正項數列，∴an+1+an ≠0，∴-=-，由此得出：-=-，-=-，-=-，…，-=-,這n-1個式子，將其相乘得：∴ -=-，
又∵a1=1，∴an=-(n2)，∵n=1也成立，∴an=-(n∈n*)
五、用構造數列方法求通項公式
題目中若給出的是遞推關系式，而用累加、累積、迭代等又不易求通項公式時，可以考慮通過變形，構造出含有 an(或sn)的式子，使其成為等比或等差數列，從而求出an(或sn)與n的關系，這是近一、二年來的高考熱點，因此既是重點也是難點。
例：已知數列{an}中，a1＝2，an+1=(--1)(an+2)，n=1,2,3,……
(1)求{an}通項公式 (2)略
解：由an+1=(--1)(an+2)得到an+1--＝ (--1)(an--)
∴{an--}是首項為a1--，公比為--1的等比數列。
由a1＝2得an--=(--1)n-1(2--) ，于是an=(--1)n-1(2--)+-
又例：在數列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1(n∈n*)，證明數列{an-n}是等比數列。
證明：本題即證an+1-(n+1)=q(an-n) (q為非0常數)
由an+1=4an-3n+1，可變形為an+1-(n+1)=4(an-n)，又∵a1-1=1，
所以數列{an-n}是首項為1，公比為4的等比數列。
若將此問改為求an的通項公式，則仍可以通過求出{an-n}的通項公式，再轉化到an的通項公式上來。
又例：設數列{an}的首項a1∈(0,1)，an=-，n=2，3，4……(1)求{an}通項公式。(2)略
解：由an=-，n=2,3,4,……，整理為1-an=--(1-an-1)，又1-a1≠0，所以{1-an}是首項為1-a1，公比為--的等比數列，得an=1-(1-a1)(--)n-1
解題方略
求數列通項公式的方法
求數列通項公式的方法有：公式法 累加法 累乘法 待定系數法 對數變換法 迭代法 數學歸納法 換元法
累乘法
適用于an+1=anf(n)
課本上在推導等比數列通項公式的時候采用的是累乘的方法，因此，這種方法也是求數列通項公式最基本的方法之一
定義法
適用于已知數列為等差或等比數列的題目。
Sn法
適用于已知數列前n項的和Sn=f(n)
數學歸納法
適用于易求出數列的前幾項，并容易猜想出數列的通項的題目，然后用數學歸納法證明通項公式是成立的。
數列通項公式的十種求法
求數列通項公式的種方法分別是累加法、累乘法、待定系數法、階差法（逐差法）、迭代法、對數變換法、倒數變換法、換元法、數學歸納法、不動點法、特征根法。
按一定次序排列的一列數稱為數列，而將數列{an} 的第n項用一個具體式子（含有參數n）表示出來，稱作該數列的通項公式。
這正如函數的解析式一樣，通過代入具體的n值便可求知相應an項的值。而數列通項公式的求法，通常是由其遞推公式經過若干變換得到。
數列通項公式求法總結
數列通項公式求法總結如下：
等差數列:通項公式an=a1+(n-1)d，首項a1,公差d,
an第n項數an=ak+(n-k)d，ak為第k項數，若a,A,b構成等差數列，則A=(a+b)/22。
等差數列前n項和:設等差數列的前n項和為：Sn即Sn=a1+a2+...+an;
那么Sn=na1+n(n-1)d/2=dn^2(即n的2次方)/2+(a1-d/2)n；
還有以下的求和方法:不完全歸納法、累加法、倒序相加法。
等比數列:通項公式：an=a1*q^(n-1)(即qn-1次方)，a1為首項,an為第n項，
an=a1*q^(n-1),am=a1*q^(m-1)則an/am=q^(n-m)，
其中an=am*q^(n-m)；a,G,b若構成等比中項,則G^2=ab(a,b,G不等于0)；若m+n=p+q則am×an=ap×aq2。
等比數列前n項和設a1,a2,a3...an構成等比數列前n項和：Sn=a1+a2+a3...anSn=a1+a1*q+a1*q^2+....a1*q^(n-2)+a1*q^(n-1)，(這個公式雖然是最基本公式,但一部分題目中求前n項和是很難用下面那個公式推導的,這時可能要直接從基本公式推導過去)
Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q);
注:q不等于1，Sn=na1。
注:q=1，求和一般有以下5個方法:
完全歸納法（即數學歸納法）、累乘法、錯位相減法、倒序求和法、裂項相消法 ：公式法、累加法、累乘法、待定系數法 。
