正弦定理的證明(正弦定理的證明過程)

數學正弦定理證明如何證明

　　正弦定理證明方法方法1

　　用三角形外接圓

　　證明： 任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.

　　作直徑BD交⊙O于D. 連接DA.

　　因為直徑所對的圓周角是直角,所以∠DAB=90度

　　因為同弧所對的圓周角相等,所以∠D等于∠C. 所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

　　類似可證其余兩個等式。

　　∴a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

　　正弦定理證明方法方法2

　　用直角三角形

　　證明：在銳角△ABC中，設BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足為點H

　　CH=a·sinB CH=b·sinA ∴a·sinB=b·sinA 得到a/sinA=b/sinB

　　同理，在△ABC中， b/sinB=c/sinC ∴a/sinA=b/sinB=c/sinC

　　在直角三角形中,在鈍角三角形中(略)。

　　正弦定理證明方法方法3

　　用三角形面積公式

　　證明：在△ABC中，設BC=a,AC=b,AB=c。作CD⊥AB垂足為點D，作BE⊥AC垂足為點E，則CD=a·sinB，BE= c sinA,由三角形面積公式得：AB·CD=AC·BE

　　即c·a·sinB= b·c sinA ∴a/sinA=b/sinB 同理可得b/sinB=c/sinC

　　∴a/sinA=b/sinB=c/sinC

　　用余弦定理：a^2+b^2-2abCOSc=c^2

　　COSc=(a^2+b^2-c^2)/2ab

　　SINc^2=1-COSc^2

　　SINc^2/c^2=4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2*c^2

　　=[2(a^2*b^2+b^2*c^2+c^2*a^2)-a^2-b^2-c^2]/4a^2*b^2*c^2

　　同理可推倒得SINa^2/a^2=SINb^2/b^2=SINc^2/c^2

　　得證

　　正弦定理：三角形ABC中 BC/sinA=AC/sinB=AB/sinC

　　證明如下：在三角形的外接圓里證明會比較方便

　　例如，用BC邊和經過B的直徑BD，構成的直角三角形DBC可以得到：

　　2RsinD=BC (R為三角形外接圓半徑)

　　角A=角D

　　得到：2RsinA=BC

　　同理：2RsinB=AC，2RsinC=AB

　　這樣就得到正弦定理了

正弦定理證明推導方法

　　正弦定理應用的學科是數學，使用的領域范圍是幾何。下面是我給大家整理的正弦定理證明推導方法，供大家參閱!
　　正弦定理證明推導方法
　　顯然，只需證明任意三角形內，任一角的邊與它所對應的正弦之比值為該三角形外接圓直徑即可。

　　現將△ABC，做其外接圓，設圓心為O。我們考慮∠C及其對邊AB。設AB長度為c。若

　　1 ∠C為直角，則AB就是⊙O的直徑，即c= 2R。

　　正弦定理∵

　　(特殊角正弦函數值)

　　正弦定理∴

　　2 若∠C為銳角或鈍角，過B作直徑BC`'交 ⊙O于C`，連接C'A，顯然BC'= 2R。

　　∵在同圓或等圓中直徑所對的圓周角是直角。∴∠C'AB是直角。

　　2A 若∠C為銳角，則C'與C落于AB的同側，此時

　　∵在同圓或等圓中同弧所對的圓周角相等。

　　∴∠C'=∠C

　　正弦定理∴

　　，有

　　。

　　示意圖2B

　　若∠C為鈍角，則C'與C落于AB的異側，此時∠C'=180°-∠C，亦可推出

　　。

　　在△DAB中，應用正弦函數定義，知

　　因此，對任意三角形的任一角及其對邊，均有上述結論。

　　考慮同一個三角形內的三個角及三條邊，應用上述結果，分別列式可得

　　。故對任意三角形，定理得證。

　　實際上該定理也可以用向量方法證明。
　　正弦定理定義
　　正弦定理(The Law of Sines)是三角學中的一個基本定理，它指出“在任意一個平面三角形中，各邊和它所對角的正弦值的比相等且等于外接圓半徑的2倍”，即a/sinA = b/sinB =c/sinC = 2R(R為外接圓半徑)。正弦定理是解三角形的重要工具。正弦定理指出了任意三角形中三條邊與對應角的正弦值之間的一個關系式。一般地，把三角形的三個角A、B、C和它們的對邊a、b、c叫做三角形的元素。一般地，已知兩邊和其中一邊的對角解三角形，有兩解、一解、無解三種情況，可參考三角形性質、鈍角三角形性質進行判斷。
　　正弦定理意義
　　正弦定理指出了任意三角形中三條邊與對應角的正弦值之間的一個關系式。由正弦函數在區間上的單調性可知，正弦定理非常好地描述了任意三角形中邊與角的一種數量關系。

　　一般地，把三角形的三個角A、B、C和它們的對邊a、b、c叫做三角形的元素。已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形。正弦定理是解三角形的重要工具。
　　正弦定理實際應用
　　1、在解三角形中，有以下的應用領域：

　　已知三角形的兩角與一邊，解三角形。

　　已知三角形的兩邊和其中一邊所對的角，解三角形。

　　運用a:b:c=sinA:sinB:sinC解決角之間的轉換關系。

　　注意：

　　銳角三角形解三角形時，已知兩角與一邊，三角形是確定的，利用正弦定理解三角形時，其解是唯一的;已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，由于該三角形具有不穩定性，所以其解不確定，可結合平面幾何作圖的方法及“大邊對大角，大角對大邊”定理和三角形內角和定理去考慮解決問題。

　　一般地，已知兩邊和其中一邊的對角解三角形，有兩解、一解、無解三種情況，可參考三角形性質、鈍角三角形性質進行判斷。若已知A、A的對邊a、A與a的夾邊C，則：

　　對于鈍角三角形，

　　若a≤b，則無解;

　　若a>b，則有一解;

　　對于銳角三角形，

　　若a

　　若a=bsinA，則有一解;

　　若bsinA

　　若a≥b，則有一解。

　　鈍角三角形2、三角形面積的計算。

　　

正弦定理的證明過程

證明如下：在三角形的外接圓里證明。

用BC邊和經過B的直徑BD，構成的直角三角形DBC可以得到：

2RsinD=BC(R為三角形外接圓半徑)。

角A=角D。

得到：2RsinA=BC。

同理：2RsinB=AC，2RsinC=AB。

這樣就得到正弦定理了。

正弦定理其實是把“大邊對大角、小邊對小角”這一幾何關系的解析化。從三角學的歷史發展來看，三角函數其實就是有關三角形、圓的性質的解析表達。這樣在悄無聲息中，滲透了學科發展中研究觀點和研究方法的嬗變。這其實是一個推陳出新的過程。

正弦定理的證明方法

一、在銳角△ABC中，設BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足為點H ，CH=a·sinB ，CH=b·sinA ，∴a·sinB=b·sinA ，得到a/sinA=b/sinB ，同理，在△ABC中， b/sinB=c/sinC

二、證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R: 任意三角形ABC,作ABC的外接圓O. 作直徑BD交⊙O于D.連接DA. 因為直徑所對的圓周角是直角,所以∠DAB=90度 。因為同弧所對的圓周角相等,所以∠D等于∠C. 所以c/sinC=c/sinD=BD=2R 。類似可證其余兩個等式。

三、記向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,CA為向量a,b,c

∴a+b+c=0，則i(a+b+c)=i·a+i·b+i·c =a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A) =-asinC+csinA=0接著得到正弦定理

定義：正弦定理是三角學中的一個定理。它指出了三角形三邊、三個內角以及外接圓半徑之間的關系。正弦定理(Sinetheorem)內容：在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，則有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(其中R為三角形外接圓的半徑)

意義：正弦定理指出了任意三角形中三條邊與對應角的正弦值之間的一個關系式。也就是任意三角形的邊角關系。

擴展

余弦定理是揭示三角形邊角關系的重要定理，直接運用它可解決一類已知三角形兩邊及夾角求第三邊或者是已知三個邊求角的問題，若對余弦定理加以變形并適當移于其它知識，則使用起來更為方便、靈活。

余弦定理性質：對于任意三角形，任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的兩倍積，若三邊為a,b,c三角為A,B,C，則滿足性質--

a^2=b^2+c^2-2·b·c·cosA

b^2=a^2+c^2-2·a·c·cosB

c^2=a^2+b^2-2·a·b·cosC

cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2·a·b)

cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2·a·c)

cosA=(c^2+b^2-a^2)/(2·b·c)

相關結論:

a/sinA=b/sinB=c/sinC=(a+b)/(sinA+sinB)=(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)

c/sinC=c/sinD=BD=2R(R為外接圓半徑)

(4)設R為三角外接圓半徑，公式可擴展為:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,即當一內角為90°時，所對的邊為外接圓的直徑。靈活運用正弦定理，還需要知道它的幾個變形

sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R

asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA

(5)a=bsinA/sinBsinB=bsinA/a

正弦定理的證明方法

　　正弦定理的證明方法一

　　如圖1,△ABC中,AD平分乙A交BC于D,由三角形內角平分線有AB BDAC一DC由正弦定理有:由(1)(2)(3,得:韶=韶幼朋=Ac:.△ABc為等腰三角形。證明‘三角證法,:BE平分匕B二器二黯…(l)AB AC AB滋nC舀石乙二蕊麗勸元二舀麗””’‘(2)CF平分二C幼器二默…(2);EF//BC

　　用余弦定理：a^2+b^2-2abCOSc=c^2

　　COSc=(a^2+b^2-c^2)/2ab

　　SINc^2=1-COSc^2

　　SINc^2/c^2=4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2*c^2

　　=[2(a^2*b^2+b^2*c^2+c^2*a^2)-a^2-b^2-c^2]/4a^2*b^2*c^2

　　同理可推倒得SINa^2/a^2=SINb^2/b^2=SINc^2/c^2

　　得證

　　正弦定理：三角形ABC中 BC/sinA=AC/sinB=AB/sinC

　　證明如下：在三角形的外接圓里證明會比較方便

　　例如，用BC邊和經過B的直徑BD，構成的直角三角形DBC可以得到：

　　2RsinD=BC (R為三角形外接圓半徑)

　　角A=角D

　　得到：2RsinA=BC

　　同理：2RsinB=AC，2RsinC=AB

　　這樣就得到正弦定理了

　　正弦定理的.證明方法二

　　一種是用三角證asinB=bsinA

　　用面積證

　　用幾何法，畫三角形的外接圓

　　聽說能用向量證，咋么證呢?

　　三角形ABC為銳角三角形時，過A作單位向量j垂直于向量AB，則j 與向量AB夾角為90，j與向量BC夾角為(90-B),j與向量CA夾角為(90+A),設AB=c,BC=a,AC=b,

　　因為AB+BC+CA=0

　　即j*AB+J*BC+J*CA=0

　　|j||AB|cos90+|j||BC|cos(90-B)+|j||CA|cos(90+A)=0

　　所以asinB=bsinA

　　用余弦定理：a^2+b^2-2abCOSc=c^2

　　COSc=(a^2+b^2-c^2)/2ab

　　SINc^2=1-COSc^2

　　SINc^2/c^2=4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2*c^2

　　=[2(a^2*b^2+b^2*c^2+c^2*a^2)-a^2-b^2-c^2]/4a^2*b^2*c^2

　　同理可推倒得SINa^2/a^2=SINb^2/b^2=SINc^2/c^2

　　得證用余弦定理：a^2+b^2-2abCOSc=c^2 COSc=(a^2+b^2-c^2)/2ab SINc^2=1-COSc^2 SINc^2/c^2=4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2*c^2 =[2(a^2*b^2+b^2*c^2+c^2*a^2)-a^2-b^2-c^2]/4a^2*b^2*c^2 同理可推倒得SINa^2/a^2=SINb^2/b^2=SINc^2/c^2 得證

　　正弦定理證明具體步驟

　　步驟1.

　　在銳角△ABC中，設BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足為點H

　　CH=a·sinB

　　CH=b·sinA

　　∴a·sinB=b·sinA

　　得到 a/sinA=b/sinB

　　同理，在△ABC中， b/sinB=c/sinC

　　步驟2.

　　證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

　　如圖，任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.

　　作直徑BD交⊙O于D.

　　連接DA.

　　因為直徑所對的圓周角是直角,所以∠DAB=90度

　　因為同弧所對的圓周角相等,所以∠D等于∠C.

　　所以c/sinC=c/sinD=BD=2R 類似可證其余兩個等式。

　　余弦定理

　　平面向量證法：

　　∵如圖，有a+b=c(平行四邊形定則：兩個鄰邊之間的對角線代表兩個鄰邊大小)

　　∴c·c=(a+b)·(a+b)

　　∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ)

　　(以上粗體字符表示向量)

　　又∵Cos(π-θ)=-CosC

　　∴c^2=a^2+b^2-2|a||b|Cosθ(注意：這里用到了三角函數公式)

　　再拆開，得c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC

　　同理可證其他，而下面的CosC=(c^2-b^2-a^2)/2ab就是將CosC移到左邊表示一下。

　　平面幾何證法：

　　在任意△ABC中

　　做AD⊥BC.

　　∠C所對的邊為c，∠B所對的邊為b，∠A所對的邊為a

　　則有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

　　根據勾股定理可得：

　　AC^2=AD^2+DC^2

　　b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2

　　b^2=sinB²·c²+a^2+cosB²·c^2-2ac*cosB

　　b^2=(sinB^2+cosB^2)*c^2-2ac*cosB+a^2

　　b^2=c^2+a^2-2ac*cosB

　　cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac

正弦定理證明是什么?

正弦定理是三角學中的一個基本定理，它指出，在任意一個平面三角形中，各邊和它所對角的正弦值的比相等且等于外接圓的直徑，即a/sinA = b/sinB =c/sinC = 2r=Dr為外接圓半徑，D為直徑。

在任意△ABC中，角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c，三角形外接圓的半徑為R，直徑為D。則有：a/sinA = b/sinB =c/sinC = 2r=D（r為外接圓半徑，D為直徑）一個三角形中，各邊和所對角的正弦之比相等，且該比值等于該三角形外接圓的直徑（半徑的2倍）長度。

正弦定理發展簡史

歷史上，正弦定理的幾何推導方法豐富多彩。根據其思路特征，主要可以分為兩種。第一種方法可以稱為 “同徑法 ”，最早為13世紀阿拉伯數學家、天文學家納綏爾丁和15世紀德國數學家雷格蒙塔努斯所采用。

同徑法 是將三角形兩個內角的正弦看作半徑相同的圓中的正弦線（16世紀以前，三角函數被視為線段而非比值），利用相似三角形性質得出兩者之比等于角的對邊之比。納綏爾丁同時延長兩個內角的對邊，構造半徑同時大于兩邊的圓。

雷格蒙塔努斯將納綏爾丁的方法進行簡化，只延長兩邊中的較短邊，構造半徑等于較長邊的圓。17~18世紀，中國數學家、天文學家梅文鼎和英國數學家辛普森各自獨立地簡化了同徑法。