arctanx的導數

#頭條創作挑戰賽#

事實上，所有的不定積分都可以當作積分公式來看，當然我們通常都只關注比較簡單的那些，太復雜的也記不住啊。常用的積分公式，指的是六大基本函數相關的一些不定積分。

首先是常量函數的積分公式。包括：

(1)∫0dx=C; (2)∫1dx=x+C; (3)∫adx=ax+C. a是任意常數。

雖然被積函數都是常量，但0的原函數是任意常數，而非0的常數的原函數卻是一次函數.

然后是冪函數：

(3)∫x^adx=x^(a+1)/(a+1)+C (a≠-1,x>0).

你可以對右邊求導，就可以得到被積函數。求導和不定積分可以看作是一個互逆的過程。x大于0是為了防止偶數次號內有負數，或者分母是0，造成被積函數沒有意義。而a=-1時，卻是另外一類不定積分，是原函數為對數函九有關的不定積分。

(4)∫1/xdx=ln|x|+C (x≠0); (5)∫1/(xlna)dx=log_a |x|+C (a>0, a≠1; x≠0);

需要注意的是，當x>0時，不需要加絕對值符號。否則就要加絕對值符號，這一點是很多人容易忽略的。

還有指數函數的不定積分公式：

(6)∫e^xdx=e^x+C; (7)∫a^xdx=a^x/lna+C (a>0, a≠1).

與三角函數有關的不定積分公式特別多，這里只分享比較簡單的一些。注意，不論是與三角函數有關的不定積分，還是與反三角函數有關的積分，它們一般都是成對出現的，而且兩個積分之間總有某種交錯對稱的關系，注意觀察，結合起來才容易記憶。

與三角函數有關的常用積分公式：

(1)∫cosaxdx=1/a*sinax+C; ∫sinaxdx=-1/a*cosax+C(a≠0);

當a=1時，就有∫cosxdx=sinx+C; ∫sinxdx=-cosx+C;

其實所有的積分公式中，x都可以替換成中間變量u=ax，結果在原函數前面乘上一個1/a就可以了。

(2)∫(cx)^2dx=tanx+C; ∫(cscx)^2dx=-cotx+C;

(3)∫cx·tanxdx=cx+C; ∫cscx·tanxdx=-cscx+C;

(4)∫(sinx)^2dx=1/2*(x-sinxcosx)+C; ∫(cosx)^2dx=1/2*(x+sinxcosx)+C;

(5)∫dx/(1±sinx)=tanx?cx+C; ∫dx/(1±cosx)=-cotx±cscx+C;

(6)∫dx/sinxcosx=ln|tanx|+C=ln|csc2x-cot2x|+C;

注意，求不定積分的方法有很多，用不同的方法可能會得到不同的形式，所以千萬不要一看到形式不同，就認為結果是錯誤的。

(7)∫tanxdx=-ln|cosx|+C; ∫cotxdx=ln|sinx|+C;

(8)∫(tanx)^2dx=-x+tanx+C; ∫(cotx)^2dx=-x-cotx+C;

(9)∫dx/(1±tanx)=1/2*(x±ln|cosx±sinx|)+C;

∫dx/(1±cotx)=1/2*(x?ln|sinx±cosx|)+C;

(10)∫dx/(1±cx)=x+cotx?cscx+C; ∫dx/(1±cscx)=x-tanx±cx+C.

(11)∫xsinxdx=sinx-xcosx+C; ∫xcosxdx=cosx+xsinx+C.

最后是與反三角函數有關的幾個積分公式：

(1)∫dx/(1+x^2)=arctanx+C=-arccotx+C;

(2)∫dx/√(1-x^2)=arcsinx+C=-arccosx+C;

(3)∫arcsinxdx=xarcsinx+√(1-x^2 )+C;

∫arccosxdx=xarccosx-√(1-x^2 )+C;

(4)∫arctanx=xarctanx-1/2*ln(1+x^2)+C；

(5)∫arccotx=xarccotx+1/2*ln(1+x^2)+C.

當然，很少人能夠一下子記住這么多公式。所以我們要有記憶的技巧，比如最后的反三角函數的原函數，都是x與它本身的積，再加上或減去它們的導數的分母部分，再加C。有些時候，我們還要運用后面學習的知識，自己來推導這些公式。

最合理的方法是把它們收藏起來，先記住最簡單的那幾個，以后需要的時候，再回頭來查閱，可以為今后解題節省大量的時間。